נוסחת השורשים פותרת כל משוואה ריבועית מהצורה \(ax^2 + bx + c = 0\) (כאשר \(a \neq 0\)). השורשים שלה ניתנים על ידי \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). בדף זה תראו מה המשמעות של כל חלק, איך להשתמש בנוסחה צעד אחר צעד, איך הדיסקרימיננטה קובעת כמה פתרונות לצפות להם, ודוגמאות פתורות מלאות — בתוספת מתרגל אינטראקטיבי כדי שתוכלו להתאמן מיד.
מהי נוסחת השורשים
משוואה ריבועית היא כל משוואה שניתן לכתוב בצורה הסטנדרטית \(ax^2 + bx + c = 0\), כאשר \(a\), \(b\) ו-\(c\) הם מספרים ו-\(a \neq 0\). המספרים \(a\), \(b\) ו-\(c\) נקראים מקדמים: \(a\) הוא המקדם של \(x^2\), \(b\) הוא המקדם של \(x\), ו-\(c\) הוא האיבר החופשי.
נוסחת השורשים נותנת את הפתרונות (השורשים) ישירות משלושת המקדמים הללו — ללא צורך בפירוק לגורמים. היא עובדת עבור כל משוואה ריבועית, גם אלו שלא מתפרקות בקלות.
מאיפה היא מגיעה (פיתוח): הנוסחה היא מה שמתקבל על ידי השלמה לריבוע של המשוואה הכללית. מחלקים את \(ax^2 + bx + c = 0\) ב-\(a\), מעבירים את האיבר החופשי לצד השני, מוסיפים \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) לשני האגפים כדי ליצור ריבוע מושלם, ומוציאים שורש ריבועי. התוצאה היא הנוסחה היחידה למטה, התקפה לכל \(a\), \(b\), \(c\).
הדיסקרימיננטה: כמה שורשים יש
החלק שנמצא מתחת לשורש, \(b^2 - 4ac\), נקרא דיסקרימיננטה (לעתים קרובות נכתב כ-\(D\)). אין צורך לסיים את כל הנוסחה כדי לדעת כמה פתרונות יש למשוואה — הסימן של הדיסקרימיננטה אומר לכם זאת מיד.
מכיוון שלא ניתן להוציא שורש ריבועי ממשי של מספר שלילי, הסימן של \(D\) מחלק כל משוואה ריבועית לשלושה מקרים בדיוק: שני שורשים, שורש אחד כפול, או ללא שורשים ממשיים. בגרף, זהו המקום שבו הפרבולה \(y = ax^2 + bx + c\) פוגשת את ציר ה-x — פעמיים, פעם אחת (בקודקוד), או בכלל לא.
| דיסקרימיננטה D = b² − 4ac | שורשים ממשיים | מה מקבלים |
|---|---|---|
| D > 0 | שני שורשים ממשיים שונים | הפרבולה חוצה את ציר ה-x פעמיים. השתמשו בשני הסימנים: x = (−b ± √D) / 2a. |
| D = 0 | שורש ממשי אחד (כפול) | הפרבולה נוגעת בציר ה-x בקודקוד שלה. ה-± נעלם: x = −b / 2a. |
| D < 0 | אין שורשים ממשיים | הפרבולה לעולם לא נוגעת בציר ה-x. אין שורש ריבועי ממשי למספר שלילי. |
איך להשתמש בנוסחת השורשים: שלבים
נוסחת השורשים תמיד עובדת באותה דרך. עקבו אחר חמשת השלבים האלה לפי הסדר והיא לעולם לא תאכזב אתכם — החלק הקשה ביותר הוא רק לקרוא את המקדמים (עם הסימנים שלהם) בצורה נכונה.
דוגמאות לנוסחת השורשים (צעד אחר צעד)
דוגמה 1. שני שורשים ממשיים (D > 0)
פתרו את \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
שלב 1–2. המשוואה כבר בצורה סטנדרטית, לכן קראו את המקדמים: \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
שלב 3. דיסקרימיננטה: \(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\).
שלב 4. \(D = 25 > 0\), לכן יש שני שורשים ממשיים שונים.
שלב 5. הצבה: \(x = \dfrac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\).
שימוש בסימן פלוס: \(x = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\). שימוש בסימן מינוס: \(x = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
שורשים: \(x = 3\) ו-\(x = \tfrac{1}{2}\).
דוגמה 2. שורש אחד כפול (D = 0)
פתרו את \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
שלב 1–2. צורה סטנדרטית כבר: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\).
שלב 3. דיסקרימיננטה: \(D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0\).
שלב 4. \(D = 0\), לכן יש שורש ממשי אחד בדיוק (שורש כפול). האיבר \(\pm\) נעלם כי \(\sqrt{0} = 0\).
שלב 5. \(x = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1} = \dfrac{6}{2} = 3\).
שורש: \(x = 3\) (משוואה ריבועית זו היא ריבוע מושלם \((x-3)^2 = 0\)).
דוגמה 3. ללא שורשים ממשיים (D < 0)
פתרו את \(x^2 + 2x + 5 = 0\).
שלב 1–2. צורה סטנדרטית: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
שלב 3. דיסקרימיננטה: \(D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4 - 20 = -16\).
שלב 4. \(D = -16 < 0\). מכיוון שלא ניתן להוציא שורש ריבועי ממשי למספר שלילי, למשוואה זו אין שורשים ממשיים — הפרבולה שלה לעולם לא חוצה את ציר ה-x.
שלב 5. אין צורך בעבודה נוספת עבור פתרונות ממשיים. (אם למדתם מספרים מרוכבים, השורשים הם \(x = -1 \pm 2i\), אך עבור תשובה ממשית אנו עוצרים כאן.)
טעויות נפוצות בנוסחת השורשים
-
טעות בסימן של b, במיוחד כאשר b שלילי.
הנוסחה מתחילה ב-−b. אם b = −7, אז −b = +7 — שני סימני המינוס מתבטלים. כתבו את ההצבה במלואה, למשל −(−7), לפני הפישוט.
-
שכחת ה-± ודיווח על שורש אחד בלבד.
כאשר D > 0 ה-± מפיק שתי תשובות: אחת עם + ואחת עם −. תמיד חשבו את שניהם (−b + √D)/(2a) ו-(−b − √D)/(2a) אלא אם D = 0.
-
חילוק רק חלק מהמונה ב-2a.
כל המונה, −b ± √D, מחולק ב-2a — לא רק החלק של √D. שמרו על זה כשבר אחד: (−b ± √D) / (2a).
-
חישוב שגוי של הדיסקרימיננטה כאשר a או c שליליים.
ב-D = b² − 4ac, חיסור 4ac כאשר a·c שלילי למעשה מוסיף. עבור 3x² − 2x − 1, −4·3·(−1) = +12, לכן D = 4 + 12 = 16, לא 4 − 12.
-
שימוש בנוסחה לפני כתיבת המשוואה בצורה סטנדרטית.
העבירו כל איבר לצד אחד כך שהמשוואה תיקרא ax² + bx + c = 0 תחילה. למשל, x² = 5x − 6 חייב להפוך ל-x² − 5x + 6 = 0 לפני שקוראים את a, b, c.
שאלות נפוצות
מהי נוסחת השורשים?
נוסחת השורשים היא x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). היא נותנת את הפתרונות של כל משוואה ריבועית ax² + bx + c = 0 (עם a ≠ 0) ישירות מהמקדמים a, b ו-c.
איך משתמשים בנוסחת השורשים צעד אחר צעד?
כתבו את המשוואה בצורה סטנדרטית ax² + bx + c = 0, זהו את a, b ו-c עם הסימנים שלהם, חשבו את הדיסקרימיננטה D = b² − 4ac, בדקו את הסימן שלה כדי לראות כמה שורשים יש, ואז הציבו ב-x = (−b ± √D) / (2a) ופשטו גם את גרסת הפלוס וגם את גרסת המינוס.
מהי הדיסקרימיננטה ולמה היא חשובה?
הדיסקרימיננטה היא D = b² − 4ac, הביטוי מתחת לשורש. הסימן שלה אומר לכם את מספר השורשים הממשיים מבלי לסיים את החישוב: D > 0 נותן שני שורשים ממשיים, D = 0 נותן שורש אחד כפול, ו-D < 0 נותן ללא שורשים ממשיים.
מתי כדאי להשתמש בנוסחת השורשים במקום בפירוק לגורמים?
פירוק לגורמים הוא מהיר כאשר המשוואה מתפרקת עם מספרים שלמים קטנים. נוסחת השורשים עובדת עבור כל משוואה ריבועית, כולל כאלו שלא מתפרקות בקלות או שיש להן שורשים אי-רציונליים או לא שלמים, לכן היא הפתרון האמין בכל פעם שפירוק לגורמים אינו ברור.
מאיפה מגיעה נוסחת השורשים?
היא מפותחת על ידי השלמה לריבוע של המשוואה הכללית ax² + bx + c = 0: מחלקים ב-a, משלימים לריבוע על ידי הוספת (b/2a)², כותבים מחדש את הצד השמאלי כריבוע מושלם, ומוציאים שורש ריבועי משני האגפים. התוצאה היא נוסחת השורשים.
האם נוסחת השורשים יכולה לתת 'אין תשובה'?
אם הדיסקרימיננטה שלילית (D < 0), אין פתרון ממשי מכיוון שלא ניתן להוציא שורש ריבועי ממשי למספר שלילי. למשוואה עדיין יש שני שורשים מרוכבים, אך אין שורשים ממשיים — בגרף הפרבולה פשוט לעולם לא נוגעת בציר ה-x.
