נוסחאות הכפל המקוצר הן זהויות אלגבריות מוכנות המאפשרות לפתוח סוגריים ולפרק ביטויים לגורמים ללא צורך בכפל ארוך. בעמוד זה תמצא טבלה של כל שבע הנוסחאות: ריבוע סכום והפרש, הפרש ריבועים, קוביית סכום והפרש, וסכום והפרש קוביות. כל נוסחה מוסברת עם פיתוח ודוגמאות, ובסוף העמוד מחכה לך תרגול אינטראקטיבי ליישום הנוסחאות.
מהן נוסחאות הכפל המקוצר
נוסחאות הכפל המקוצר הן זהויות שמתקבלות לאחר שמכפילים פולינומים פעם אחת בצורה מסודרת וזוכרים את התוצאה. לאחר מכן, אין צורך לפתוח סוגריים בכל פעם מחדש: מספיק לזהות את ה"תבנית" ולהציב את המספרים או האותיות שלך.
בתוכנית הלימודים באלגברה לכיתה ז', נוסחאות הכפל המקוצר משמשות בשני כיוונים:
- משמאל לימין — כדי לפתוח סוגריים במהירות ולהעלות ביטוי בריבוע או בחזקת שלוש;
- מימין לשמאל — כדי לפרק פולינום לגורמים (דבר נחוץ לצמצום שברים ופתרון משוואות).
בסך הכל לומדים שבע נוסחאות. להלן טבלת עזר, ולאחריה הסבר על כל נוסחה בנפרד.
טבלת נוסחאות הכפל המקוצר
נוח להחזיק את כל שבע נוסחאות הכפל המקוצר מול העיניים בטבלה אחת. האותיות \(a\) ו-\(b\) כאן מייצגות כל ביטוי: מספר, משתנה או חד-איבר שלם כמו \(2x\).
| נוסחה | רישום |
|---|---|
| ריבוע סכום | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| ריבוע הפרש | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| הפרש ריבועים | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| קוביית סכום | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| קוביית הפרש | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| סכום קוביות | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| הפרש קוביות | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
ריבוע סכום וריבוע הפרש
ריבוע סכום מתקבל כאשר מכפילים את \((a+b)\) בעצמו:
במילים: ריבוע סכום שווה לריבוע הביטוי הראשון ועוד פעמיים מכפלת הראשון בשני ועוד ריבוע הביטוי השני. באותו אופן מפתחים את ריבוע ההפרש — הסימן של האיבר האמצעי הופך למינוס:
העיקר הוא לא לשכוח את האיבר האמצעי \(2ab\): בגללו \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). בריבוע סכום ובריבוע הפרש ההבדל היחיד הוא בסימן שלפני \(2ab\), בעוד שהאיברים בקצוות \(a^2\) ו-\(b^2\) תמיד חיוביים.
דוגמה. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
לריבוע סכום יש משמעות גיאומטרית מוחשית: זהו שטח של ריבוע גדול עם צלע \((a+b)\).
הפרש ריבועים
אם מכפילים סכום והפרש של אותם ביטויים, האיברים האמצעיים מתבטלים:
מתקבלת נוסחת הפרש ריבועים: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). זוהי הנוסחה השימושית ביותר לפירוק לגורמים: ברגע שרואים הפרש של שני ריבועים — מיד מפרקים למכפלה.
דוגמה (פתיחת סוגריים). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
דוגמה (פירוק לגורמים). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
חשוב: סכום ריבועים \(a^2 + b^2\) אינו מתפרק לגורמים לפי נוסחה זו — רק הפרש ריבועים מתפרק.
קוביית סכום, קוביית הפרש, סכום והפרש קוביות
קוביית סכום וקוביית הפרש מכילות כבר ארבעה איברים:
בקוביית הפרש הסימנים מתחלפים: \(+\,-\,+\,-\). ושוב מלכודת נפוצה: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — אי אפשר פשוט "לחלק" את החזקה, אסור לאבד את האיברים האמצעיים \(3a^2b\) ו-\(3ab^2\).
דוגמה. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
בנפרד עומדים סכום והפרש קוביות — הם, להפך, מפרקים ביטוי לגורמים:
הגורם השני נקרא ריבוע חסר של סכום או הפרש. הסימן באיבר האמצעי שלו תמיד הפוך לסימן בסוגריים הראשונים: בסכום קוביות יש \(-ab\), ובהפרש קוביות יש \(+ab\).
דוגמה. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
דוגמאות ליישום נוסחאות הכפל המקוצר
דוגמה 1. פתיחת סוגריים: ריבוע סכום
משימה. העלה בריבוע את \((2x+5)^2\).
שלב 1. נזהה את נוסחת ריבוע סכום: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), כאשר \(a = 2x\), \(b = 5\).
שלב 2. נחשב כל איבר:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
תשובה. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
דוגמה 2. כיווץ לפי נוסחת הפרש ריבועים
משימה. מצא את המכפלה \((3x-4)(3x+4)\).
שלב 1. לפנינו מכפלה של הפרש וסכום של אותם ביטויים — זוהי נוסחת הפרש ריבועים \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), כאשר \(a = 3x\), \(b = 4\).
שלב 2. נעלה בריבוע כל ביטוי: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
תשובה. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
דוגמה 3. פירוק לגורמים
משימה. פרק לגורמים את \(x^2 - 36\) ואת \(x^3 + 27\).
הפרש ריבועים. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
סכום קוביות. נשים לב ש-\(27 = 3^3\), לכן \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). נשתמש בנוסחה \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) כאשר \(a = x\), \(b = 3\):
שים לב לסימן \(-3x\) בריבוע החסר — בסכום קוביות האיבר האמצעי הוא בסימן מינוס.
דוגמה 4. קוביית סכום
משימה. פתח סוגריים \((x+2)^3\).
שלב 1. נוסחת קוביית סכום: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), כאשר \(a = x\), \(b = 2\).
שלב 2. נחשב את האיברים לפי הסדר:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
תשובה. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
טעויות נפוצות בעבודה עם נוסחאות הכפל המקוצר
-
שוכחים את פעמיים המכפלה: כותבים $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
בריבוע סכום והפרש תמיד יש איבר אמצעי \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). קל לבדוק זאת — פתח את \((a+b)(a+b)\) בטור, והאיבר האמצעי יופיע מעצמו.
-
מתבלבלים בסימנים בריבוע הפרש ובהפרש ריבועים.
בריבוע הפרש המינוס נמצא רק לפני האיבר האמצעי: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (הקצוות חיוביים). ואילו בהפרש ריבועים המינוס נמצא בין הריבועים עצמם: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). אלו נוסחאות שונות.
-
"מחלקים" את החזקה בקובייה: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
אסור לעשות זאת. קוביית סכום מכילה ארבעה איברים: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). הנוסחה \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) היא משהו אחר לגמרי (סכום קוביות), והיא מיועדת לפירוק לגורמים.
-
בריבוע החסר של סכום/הפרש קוביות שמים פעמיים את המכפלה $2ab$.
ריבוע חסר הוא \(a^2 \pm ab + b^2\), ללא השתיים לפני \(ab\). הסימן הפוך לסימן בסוגריים הראשונים: סכום קוביות \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), הפרש קוביות \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
מנסים לפרק סכום ריבועים $a^2 + b^2$ לגורמים.
רק הפרש ריבועים מתפרק לגורמים: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). סכום ריבועים \(a^2 + b^2\) אינו מתפרק לגורמים בתוכנית הלימודים בבית הספר.
שאלות ותשובות
כמה נוסחאות כפל מקוצר יש בסך הכל?
שבע: ריבוע סכום, ריבוע הפרש, הפרש ריבועים, קוביית סכום, קוביית הפרש, סכום קוביות והפרש קוביות. כולן מופיעות בטבלה למעלה.
למה שווה ריבוע סכום?
לריבוע הביטוי הראשון ועוד פעמיים מכפלת הראשון בשני ועוד ריבוע השני: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). בריבוע הפרש האיבר האמצעי הוא בסימן מינוס: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
איך מפרקים הפרש ריבועים לגורמים?
לפי הנוסחה \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). למשל, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). מספיק לראות ששני האיברים הם ריבועים שלמים, וביניהם יש מינוס.
למה $(a+b)^2$ לא שווה ל-$a^2 + b^2$?
כי בהכפלת \((a+b)(a+b)\) מופיעים עוד שני איברים זהים \(ab\), שנותנים את האיבר האמצעי \(2ab\). אסור לאבד אותו: הנוסחה הנכונה היא \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
מה ההבדל בין קוביית סכום לסכום קוביות?
קוביית סכום \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) היא פתיחת סוגריים. סכום קוביות \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) היא, להפך, פירוק ביטוי לגורמים. אלו נוסחאות שונות, אל תתבלבל ביניהן.
באיזו כיתה לומדים את נוסחאות הכפל המקוצר?
בדרך כלל בכיתה ז' בשיעורי אלגברה: בהתחלה ריבוע סכום והפרש, הפרש ריבועים, ולאחר מכן נוסחאות לקוביות. משתמשים בהן באופן פעיל בהמשך לצורך פישוט ביטויים, צמצום שברים ופתרון משוואות.
