אי-שוויון רציונלי הוא אי-שוויון מהצורה \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), כאשר \(P(x)\) ו-\(Q(x)\) הם פולינומים, ובמקום הסימן \(>\) יכול להופיע \(<\), \(\ge\) או \(\le\). פותרים אי-שוויונים כאלה בשיטת האינטרוולים: מעבירים הכל לאגף שמאל, מפרקים לגורמים, מסמנים על ציר המספרים את שורשי המונה ושורשי המכנה ומציבים סימנים. להלן – הגדרה, אלגוריתם מלא, כלל הנקודות המנוקבות, ריבוי שורשים, דוגמאות מפורטות ומתרגל עם בדיקה.
מהו אי-שוויון רציונלי
אי-שוויון רציונלי הוא אי-שוויון ששני אגפיו רשומים כשברים רציונליים, כלומר פולינומים ושברים של פולינומים. לאחר העברת הכל לאגף אחד, הוא תמיד מצטמצם לצורה
כאשר \(P(x)\) ו-\(Q(x)\) הם פולינומים, ובמקום \(\vee\) עומד אחד מהסימנים \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). בצד ימין חייב להיות אפס – זהו התנאי ללא שיטת האינטרוולים לא עובדת.
אי-שוויונים רציונליים מתחלקים לשני סוגים. אם המשתנה מופיע רק במונה, האי-שוויון נקרא רציונלי שלם: אין מה לחלק, וכל ערכי \(x\) מתאימים. אם המשתנה נמצא במכנה, האי-שוויון הוא רציונלי שברני (נקרא גם אי-שוויון שברני או אי-שוויון עם שבר) – ואז מיד מופיע התנאי \(Q(x) \neq 0\).
למה אסור להכפיל את שני האגפים במכנה
הפיתוי הגדול ביותר בפתרון אי-שוויון עם שבר הוא 'להיפטר מהמכנה' על ידי הכפלת שני האגפים בו. עם משוואות זה אפשרי, עם אי-שוויונים – לא. הסיבה פשוטה: בהכפלה במספר שלילי סימן אי-השוויון מתהפך, וסימן הביטוי \(Q(x)\) אינו ידוע מראש – הוא תלוי ב-\(x\).
נסתכל על אי-השוויון \(\frac{5}{x-3} < 1\). נכפיל את שני האגפים ב-\(x - 3\), כאילו היה מספר חיובי: נקבל \(5 < x - 3\), כלומר \(x > 8\). נבדוק את התשובה בהצבה \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) – האי-שוויון נכון, לכן אפס הוא גם פתרון, אך הוא לא נכנס לתשובה \(x > 8\). התשובה אבדה.
הדרך הנכונה – להעביר הכל שמאלה ולהביא לאותו מכנה:
בשלב האחרון הכפלנו את שני האגפים ב-\(-1\) והפכנו את הסימן – זה חוקי, כי \(-1\) הוא תמיד שלילי. מכאן ואילך שיטת האינטרוולים עובדת, והתשובה מתקבלת \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) – היא כוללת גם את האפס שאבד.
הכי קל לזכור כך: אסור להכפיל את שני האגפים בביטוי עם משתנה, מותר להעביר אגפים תמיד. העברה לא משנה את סימן אי-השוויון.
שיטת האינטרוולים: אלגוריתם פתרון צעד אחר צעד
שיטת האינטרוולים נשענת על תכונה אחת: בין שורשים סמוכים של ביטוי רציונלי, הסימן שלו קבוע. לכן, מספיק למצוא את כל הנקודות שבהן המונה או המכנה מתאפסים, לחלק איתן את ציר המספרים ולקבוע את הסימן בכל קטע – באמצעות נקודת מבחן אחת או לפי ריבוי השורשים.
נקודות מנוקבות ומוקפות: תחום הגדרה וסימן אי-שוויון
שגיאה בסוגריים אחת הופכת פתרון נכון לתשובה שגויה, לכן כדאי ללמוד את הכלל לגבי נקודות בנפרד. עובדים בדיוק שני שיקולים.
הראשון – תחום הגדרה. אפס המכנה תמיד מנוקב, בכל סימן אי-שוויון. בנקודה זו השבר פשוט אינו קיים: אסור לחלק באפס, לכן המספר אינו יכול להיות פתרון, גם אם הסימן אינו קפדני.
השני – סימן קפדני או לא קפדני. שורשי המונה מאפסים את השבר. בסימן לא קפדני (\(\le\) או \(\ge\)) השוויון לאפס מספק אותנו, לכן הנקודה מוקפת ונכנסת לתשובה בסוגריים מרובעים. בסימן קפדני (\(<\) או \(>\)) אפס אינו מתאים, והנקודה מנוקבת.
לדוגמה, באי-השוויון \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) הנקודה \(x = 6\) מוקפת (אפס מונה, סימן לא קפדני), והנקודה \(x = -1\) מנוקבת (אפס מכנה). תשובה: \(x \in (-1; 6]\).
| איזו נקודה | איך מסמנים |
|---|---|
| אפס המכנה, Q(x) = 0 | מנוקבת תמיד, בכל סימן – הנקודה אינה בתחום ההגדרה |
| אפס המונה, סימן קפדני < או > | מנוקבת השבר שווה לאפס, אבל נדרש סימן שונה |
| אפס המונה, סימן לא קפדני ≤ או ≥ | מוקפת שוויון לאפס מתאים, הנקודה נכנסת לתשובה |
ריבוי שורשים: איפה הסימן משתנה ואיפה לא
הסימנים בקטעים לא חייבים פשוט להתחלף – זו הטעות הנפוצה ביותר בנושא. החלפה מתרחשת רק כאשר כל הסוגריים מופיעים בחזקה ראשונה. הכלל המדויק יותר נשמע דרך ריבוי השורש – המעריך של החזקה המתאימה.
במעבר דרך שורש בריבוי אי-זוגי (חזקה 1, 3, 5) סימן הביטוי משתנה. במעבר דרך שורש בריבוי זוגי (חזקה 2, 4) הסימן אינו משתנה: הסוגריים בחזקה זוגית אי-שליליים ואינם פוגעים בסימן הביטוי. הריבוי נספר באופן שווה גם למונה וגם למכנה.
ניקח \((x-9)^2(x+3) > 0\). שורשים: \(x = 9\) בריבוי 2 ו-\(x = -3\) בריבוי 1. מימין לתשע הביטוי חיובי. נעבור דרך 9 – ריבוי זוגי, הסימן נשמר, גם בקטע \((-3; 9)\) יש פלוס. נעבור דרך \(-3\) – ריבוי אי-זוגי, הסימן משתנה למינוס. תשובה לאי-שוויון קפדני: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), הנקודה 9 מנוקבת, כי הביטוי שם שווה לאפס. אבל באי-שוויון לא קפדני \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) התשובה כבר שונה: \(x \in [-3; +\infty)\) – התשע מוקפת ו'מדביקה' שני קטעים לקטע אחד.
| ריבוי שורש | סימן במעבר |
|---|---|
| אי-זוגי: (x − a), (x − a)3 | משתנה |
| זוגי: (x − a)2, (x − a)4 | לא משתנה |
ציר המספרים בדוגמה: הצבת סימנים
נאסוף הכל יחד באי-השוויון \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). שורשי המונה: \(x = -7\). שורשי המכנה: \(x = 2\) ו-\(x = 5\), שהם גם תחום ההגדרה. כל שלושת הסוגריים בחזקה ראשונה, לכן הסימנים מתחלפים. נקודת מבחן \(x = 10\) בקטע הימני ביותר נותנת \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) – נתחיל מפלוס ונלך שמאלה, נשנה סימן בכל נקודה.
דוגמאות לפתרון אי-שוויונים רציונליים
דוגמה 1. אי-שוויון שברני פשוט
פתור \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
שלב 1. מימין כבר אפס, השבר כבר אחד – אין מה להעביר או להביא לאותו מכנה.
שלב 2. תחום הגדרה. \(x + 5 \neq 0\), כלומר \(x \neq -5\).
שלב 3. שורשים. המונה שווה לאפס כאשר \(x = 3\), המכנה – כאשר \(x = -5\).
שלב 4. נקודות על הציר. \(x = 3\) מוקפת (אפס מונה, סימן לא קפדני), \(x = -5\) מנוקבת (אפס מכנה).
שלב 5. סימנים. נקודת מבחן \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) – מימין פלוס. שני הסוגריים בחזקה ראשונה, לכן הסימנים מתחלפים: על \((-5; 3)\) מינוס, על \((-\infty; -5)\) פלוס. נבדוק: עבור \(x = -6\) מקבלים \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) – מסתדר.
שלב 6. תשובה. נדרש סימן «פלוס או אפס»: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
דוגמה 2. מימין לא אפס – מעבירים
פתור \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
שלב 1. מעבירים את האחד שמאלה. אסור להכפיל ב-\(x - 4\), סימן הביטוי הזה אינו ידוע:
שלב 2. מביאים לאותו מכנה.
שלב 3. תחום הגדרה. \(x \neq 4\).
שלב 4. נקודות. \(x = -5\) – אפס מונה, סימן לא קפדני, מוקפת. \(x = 4\) – אפס מכנה, מנוקבת.
שלב 5. סימנים. עבור \(x = 5\) השבר שווה \(\frac{10}{1} > 0\). לכן על \((4; +\infty)\) פלוס, על \((-5; 4)\) מינוס, על \((-\infty; -5)\) פלוס.
שלב 6. תשובה. \(x \in [-5; 4)\). בדיקת נקודות גבול: עבור \(x = -5\) השבר שווה אפס – מתאים ל-\(\le\); עבור \(x = 4\) אין שבר – לא מתאים.
דוגמה 3. שורש בריבוי זוגי ונקודה מבודדת
פתור \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
שלב 1. תחום הגדרה. \(x \neq 9\).
שלב 2. שורשים וריבויים. \(x = 2\) – ריבוי 2 (זוגי), \(x = -6\) – ריבוי 1, \(x = 9\) – ריבוי 1 במכנה.
שלב 3. נקודות. \(x = 2\) ו-\(x = -6\) מוקפות (שורשי מונה בסימן לא קפדני), \(x = 9\) מנוקבת.
שלב 4. סימנים. נקודת מבחן \(x = 10\): מונה חיובי, מכנה שווה 1 – פלוס. הולכים שמאלה. דרך 9 (ריבוי אי-זוגי) הסימן משתנה: על \((2; 9)\) מינוס. דרך 2 (ריבוי זוגי) הסימן אינו משתנה: על \((-6; 2)\) גם מינוס. דרך \(-6\) (ריבוי אי-זוגי) הסימן משתנה: על \((-\infty; -6)\) פלוס.
שלב 5. תשובה. לוקחים קטעים עם סימן «פלוס» ועוד כל הנקודות שבהן הביטוי שווה לאפס. הנקודה \(x = 2\) נמצאת בתוך קטע מינוסי, אך הביטוי עצמו שם שווה לאפס, לכן היא נכנסת לתשובה בנפרד:
נקודה 'בודדת' כזו בתשובה – סימן בטוח לשורש בריבוי זוגי בסימן לא קפדני.
דוגמה 4. צמצום שבר: מלכודת עם תחום הגדרה
פתור \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
שלב 1. מפרקים לגורמים. המונה – ריבוע מושלם: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). למכנה מחשבים דיסקרימיננטה: \(D = 81 + 40 = 121\), שורשים \(x_1 = \frac{1}{5}\) ו-\(x_2 = -2\), לכן \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
שלב 2. תחום הגדרה – לפני כל צמצום. \(5x - 1 \neq 0\) ו-\(x + 2 \neq 0\), כלומר \(x \neq \frac{1}{5}\) ו-\(x \neq -2\).
שלב 3. מצמצמים. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), אבל רק עבור \(x \neq \frac{1}{5}\) – הצמצום לא מחזיר את הנקודה המנוקבת.
שלב 4. פותרים \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). שורשים: \(\frac{1}{5}\) ו-\(-2\). עבור \(x = 1\) השבר שווה \(\frac{4}{3} > 0\). לכן על \((\frac{1}{5}; +\infty)\) פלוס, על \((-2; \frac{1}{5})\) מינוס, על \((-\infty; -2)\) פלוס.
שלב 5. מחזירים את תחום ההגדרה. הקטע \((-2; \frac{1}{5}]\) היה מתאים לפי הסימן, אבל הנקודה \(\frac{1}{5}\) מנוקבת: באי-השוויון המקורי המכנה \(5x^2+9x-2\) עבור \(x = \frac{1}{5}\) מתאפס, השבר שם פשוט אינו קיים.
תשובה: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) – שני הסוגריים עגולים.
דוגמה 5. פולינום ריבועי במונה
פתור \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
שלב 1. מפרקים את המונה. לפי משפט וייטה סכום השורשים הוא 7, מכפלתם 10, לכן \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). אי-השוויון מקבל את הצורה \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
שלב 2. תחום הגדרה. \(x \neq -4\).
שלב 3. נקודות. כל שלוש הנקודות מנוקבות: \(-4\) – אפס מכנה, \(2\) ו-5 – שורשי מונה בסימן קפדני.
שלב 4. סימנים. נקודת מבחן \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). כל הסוגריים בחזקה ראשונה, לכן הסימנים מתחלפים: על \((5; +\infty)\) פלוס, על \((2; 5)\) מינוס, על \((-4; 2)\) פלוס, על \((-\infty; -4)\) מינוס.
שלב 5. תשובה. נדרש מינוס קפדני: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). בדיקת הצבה: עבור \(x = -5\) מקבלים \(\frac{70}{-1} < 0\), עבור \(x = 3\) מקבלים \(\frac{-2}{7} < 0\) – שני הקטעים מתאימים.
שגיאות נפוצות בפתרון אי-שוויונים רציונליים
-
מכפילים את שני האגפים במכנה: מ-$\frac{3}{x-8} > 1$ עושים $3 > x - 8$ ורושמים $x < 11$.
סימן הביטוי \(x - 8\) אינו ידוע מראש, ובהכפלה בשלילי אי-השוויון מתהפך. בדיקה: \(x = 0\) נותן \(\frac{3}{-8} < 1\) – אפס אינו פתרון, למרות שנכנס לתשובה \(x < 11\). נכון: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), כלומר \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), מכאן \(x \in (8; 11)\).
-
מקפים אפס מכנה, כי הסימן לא קפדני: אצל $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ רושמים תשובה עם סוגריים מרובעים ליד השבע.
אפס המכנה מנוקב תמיד, בכל סימן: בנקודה זו השבר פשוט אינו קיים. תשובה נכונה: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) – ליד האחד סוגריים מרובעים, ליד השבע עגולים.
-
מצמצמים שבר ומאבדים תחום הגדרה: מ-$\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ מקבלים $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ וכוללים בתשובה את הנקודה $x = -3$.
רושמים את תחום ההגדרה לפני הצמצום, לפי המכנה המקורי: \(x \neq -3\) ו-\(x \neq 5\). השבר המצומצם \(\frac{x+3}{x-5}\) אי-חיובי על \([-3; 5)\) – עבור \(x = 0\) הוא שווה \(-0{,}6\), שזה מה שנדרש לסימן \(\le\). אבל הנקודה \(-3\) מנוקבת לפי תחום ההגדרה, לכן התשובה היא \((-3; 5)\), ולא \([-3; 5)\).
-
חושבים שסימנים בקטעים תמיד מתחלפים, ועבור $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ שמים מינוס מימין לאחד.
החלפה נכונה רק עבור סוגריים בחזקה ראשונה. השורש \(x = 1\) הוא בריבוי 2, לכן הסימן דרכו לא משתנה. הביטוי חיובי על כל \((-4; +\infty)\), פרט לאחד עצמו, שם הוא שווה לאפס. תשובה: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
משנים סימן אי-שוויון בהעברת איבר: מ-$\frac{x}{x-2} \le 3$ עושים $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
העברת איבר מצד אחד לצד אחר אינה משנה את סימן אי-השוויון – משתנה רק סימן האיבר עצמו. הסימן מתהפך רק בהכפלה או חילוק של שני האגפים במספר שלילי. נכון: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), מכאן \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), כלומר \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
מסמנים על הציר רק שורשי מונה, ואת המכנה בודקים 'אחר כך': עבור $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ שמים נקודה אחת $-11$.
על הציר מסמנים את כל השורשים מיד – גם של המונה וגם של המכנה, אחרת הקטעים יתקבלו שגויים. כאן \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), לכן יש שלוש נקודות: \(-11\), \(-4\) ו-4, ולא אחת. כולן מנוקבות (סימן קפדני), תשובה: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
שאלות ותשובות
מהו אי-שוויון רציונלי?
זהו אי-שוויון ששני אגפיו הם ביטויים רציונליים (פולינומים ושברים של פולינומים). לאחר העברת הכל לאגף שמאל, הוא מצטמצם לצורה \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), כאשר \(P(x)\) ו-\(Q(x)\) הם פולינומים, ובמקום \(>\) יכול להופיע \(<\), \(\le\) או \(\ge\).
איך פותרים אי-שוויונים רציונליים?
בשיטת האינטרוולים בשישה שלבים: העבר הכל שמאלה, כדי שמימין יישאר אפס; הבא לאותו מכנה ופרק מונה ומכנה לגורמים; רשום את תחום ההגדרה (\(Q(x) \neq 0\)); סמן על ציר המספרים את שורשי המונה והמכנה; הצב סימנים בקטעים לפי נקודת מבחן וריבוי שורשים; רשום בתשובה את הקטעים עם הסימן הרצוי.
במה שונה אי-שוויון רציונלי שברני מאי-שוויון רציונלי שלם?
באי-שוויון רציונלי שלם המשתנה נמצא רק במונה, למשל \((x-1)(x+4) > 0\), ותחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים. באי-שוויון רציונלי שברני המשתנה נמצא במכנה, למשל \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), ומופיע התנאי \(x \neq -4\). האלגוריתם זהה – משתנות רק הנקודות המנוקבות.
איך פותרים אי-שוויונים עם שבר?
כמו כל אי-שוויון רציונלי: קודם כל העבר הכל לאגף שמאל והבא לאותו מכנה, ולא להיפטר מהמכנה. למשל, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) הופך ל-\(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), כלומר \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). המונה קבוע ושלילי, לכן השבר אי-שלילי רק כאשר המכנה שלילי: \(x + 2 < 0\). תשובה: \(x \in (-\infty; -2)\).
למה אסור להכפיל את שני אגפי אי-השוויון במכנה?
כי סימן המכנה תלוי ב-\(x\): בהכפלה בביטוי חיובי סימן אי-השוויון נשמר, ובהכפלה בשלילי – מתהפך. לא ידוע מראש איזה מקרה לפנינו, לכן חלק מהפתרונות אובדים וחלק נוספים שלא לצורך. מותר להעביר אגפים תמיד – העברה לא משנה את סימן אי-השוויון.
איך מוצאים תחום הגדרה באי-שוויון?
עבור אי-שוויון רציונלי, תחום ההגדרה הוא כל ערכי \(x\) שעבורם המכנה אינו מתאפס. השווה את המכנה לאפס, פתור את המשוואה ושלול את המספרים שנמצאו. יש לרשום את תחום ההגדרה לפי המכנה המקורי, לפני צמצום השבר – אחרת הנקודות המנוקבות יאבדו.
אילו נקודות מנוקבות, ואילו מוקפות?
שורשי מכנה מנוקבים תמיד, בכל סימן אי-שוויון. שורשי מונה מוקפים בסימן לא קפדני (\(\le\) או \(\ge\)) ומנוקבים בסימן קפדני (\(<\) או \(>\)). ברישום התשובה לנקודה מנוקבת מתאים סוגר עגול, למוקפת – מרובע.
מהו ריבוי שורש ולמה הוא נחוץ בשיטת האינטרוולים?
ריבוי הוא החזקה שבה הסוגריים מופיעים בפירוק. במעבר דרך שורש בריבוי אי-זוגי סימן הביטוי משתנה, במעבר דרך שורש בריבוי זוגי – נשמר. בדיוק בגלל זה הסימנים לא תמיד פשוט מתחלפים: אצל \((x-9)^2(x+3)\) בנקודה 9 הסימן נשאר זהה.
באיזו כיתה לומדים אי-שוויונים רציונליים?
בכיתה ט' בשיעורי אלגברה, אחרי אי-שוויונים ריבועיים ופירוק פולינומים לגורמים. שיטת האינטרוולים משמשת בהמשך לאי-שוויונים מעריכיים, לוגריתמיים ואי-רציונליים, וכן במשימות OGE ו-EGE פרופיל.
