Une inégalité est deux expressions reliées par un signe <, >, ≤ ou ≥. Résoudre une inégalité signifie trouver toutes les valeurs de la variable pour lesquelles elle devient une inégalité numérique correcte. La réponse ne sera pas un seul nombre, mais un ensemble entier : un intervalle sur l'axe numérique ou une union d'intervalles. Cette page rassemble une base commune à tous les types d'inégalités : comment lire les signes, quelles transformations sont autorisées, pourquoi le signe s'inverse lors de la division par un nombre négatif et comment écrire correctement la réponse. Et ensuite — un aperçu de tous les types d'inégalités avec des liens vers des analyses détaillées et un exercice interactif pour vous tester.
Que signifie résoudre une inégalité
La solution d'une inégalité est toute valeur de la variable qui transforme l'inégalité en une inégalité numérique correcte. Résoudre une inégalité signifie trouver toutes ces valeurs et les écrire sous forme d'ensemble.
Comparez avec une équation. Pour l'équation \(2x = 8\), la réponse est un seul nombre \(x = 4\). Pour l'inégalité \(2x < 8\), la réponse est une infinité de nombres : \(3\), \(0\), \(-100\), et \(3.999\) conviennent tous. Il est impossible de les écrire un par un, c'est pourquoi la réponse est formulée sous forme d'intervalle : \(x < 4\), c'est-à-dire \((-\infty;\ 4)\).
Il est facile de vérifier si un nombre spécifique est une solution : substituez-le à la place de la variable et voyez si vous obtenez une inégalité correcte.
- \(x = 1\) dans l'inégalité \(2x < 8\) : \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — correct, donc \(1\) est une solution.
- \(x = 5\) : \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — incorrect, donc \(5\) n'est pas une solution.
Deux inégalités sont dites équivalentes si elles ont les mêmes ensembles de solutions. La résolution complète d'une inégalité est une chaîne de passages à une inégalité équivalente plus simple, jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un \(x\) isolé à gauche.
Signes d'inégalités : stricts et non stricts
Il y a quatre signes, et le type de signe utilisé détermine la réponse et sa formulation. Les signes stricts < et > n'incluent pas le point limite dans la réponse, les signes non stricts ≤ et ≥ l'incluent.
Cette distinction se retrouve tout au long de la résolution : un signe strict donne un point vide (exclu) sur l'axe et une parenthèse ronde dans la réponse, un signe non strict donne un point plein (inclus) et une parenthèse carrée.
| Signe | Comment il se lit et ce qu'il donne dans la réponse |
|---|---|
| < | inférieurstrictpoint exclu, parenthèse ronde |
| > | supérieurstrictpoint exclu, parenthèse ronde |
| ≤ | inférieur ou égalnon strictpoint inclus, parenthèse carrée |
| ≥ | supérieur ou égalnon strictpoint inclus, parenthèse carrée |
Transformations équivalentes : ce que l'on peut faire avec une inégalité
Avec une inégalité, on peut faire presque la même chose qu'avec une équation, mais avec une correction importante. On peut additionner et soustraire librement : si l'on ajoute ou soustrait la même quantité aux deux membres, l'ensemble des solutions ne change pas. C'est ainsi que les termes sont « déplacés » à travers le signe, en changeant leur signe.
En revanche, la multiplication et la division dépendent du signe du multiplicateur. Lors de la multiplication ou de la division des deux membres par un nombre négatif, le signe de l'inégalité change pour devenir son opposé : < devient >, ≤ devient ≥ et vice versa. La raison est visible avec des nombres : de \(3 < 5\) (correct), après multiplication par \(-1\), on obtient \(-3\) et \(-5\), et \(-3 > -5\) — l'ordre des nombres s'est inversé.
Il se passe la même chose si l'on échange les membres de gauche et de droite : de \(7 < y\), on obtient \(y > 7\).
| Ce que l'on fait aux deux membres | Qu'advient-il du signe |
|---|---|
| On ajoute ou soustrait le même nombre ou la même expression | le signe reste le même |
| On multiplie ou divise par un nombre positif | le signe reste le même |
| On multiplie ou divise par un nombre négatif | le signe change |
| On échange les membres de gauche et de droite | le signe change |
| On multiplie ou divise par une expression contenant une variable (x - 2) | c'est interdit |
Comment écrire la réponse : axe numérique et intervalles
Lorsque la variable est isolée, la solution est presque prête — il ne reste plus qu'à la formuler. Il est plus pratique de d'abord placer la réponse sur l'axe numérique, puis de lire l'intervalle à partir de l'axe.
Il y a seulement trois règles d'écriture, et elles ne changent pas selon le type d'inégalité :
- parenthèse ronde — le point n'est pas inclus dans la réponse (signe strict, point exclu) ;
- parenthèse carrée — le point est inclus (signe non strict, point inclus) ;
- près de l'infini, la parenthèse est toujours ronde : \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) — une notation comme \([-\infty;\ 4]\) n'existe pas, l'infini n'est pas un nombre et ne peut pas être atteint.
Si la solution comprend deux parties de l'axe, on les relie par le signe d'union ∪ : par exemple, \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Types d'inégalités et méthodes de résolution
Les inégalités se distinguent par la manière dont la variable y intervient : est-elle à la première puissance, sous un carré, au dénominateur ou sous un module. C'est précisément ce qui détermine la méthode de résolution, donc la première étape de toute résolution est d'identifier le type d'inégalité. La logique générale est ensuite la même : ramener l'inégalité à la forme « expression comparée à zéro », puis appliquer la technique appropriée à ce type. Un résumé des types et des méthodes est présenté dans le tableau ci-dessous.
Il faut noter séparément comment le module est levé — le tableau ne le couvre pas. Pour \(a > 0\), l'inégalité \(|f(x)| < a\) est équivalente à l'inégalité double \(-a < f(x) < a\) (ce qui donne un système), et \(|f(x)| > a\) est équivalente à la disjonction \(f(x) < -a\) ou \(f(x) > a\) (ce qui donne une union d'intervalles). Si \(a < 0\), il n'y a rien à réfléchir : le module est non négatif, donc \(|f(x)| < a\) n'a pas de solution, et \(|f(x)| > a\) est vraie pour tous les \(x\) admissibles.
Les inégalités irrationnelles (avec racine carrée) et exponentielles sont étudiées dans le secondaire supérieur : aux transformations habituelles s'ajoute le travail sur le domaine de définition.
Analyses détaillées des types spécifiques : inégalités linéaires, inégalités rationnelles et méthode des intervalles, et les racines d'un trinôme du second degré se trouvent facilement grâce au théorème de Viète.
| Type | Apparence et méthode de résolution |
|---|---|
| Linéaire | ax + b > 0on déplace les termes et on divise par le coefficient de x |
| Quadratique | ax2 + bx + c > 0on cherche les racines du trinôme et on regarde la parabole |
| Fractionnaire-rationnelle | P(x) / Q(x) ≥ 0méthode des intervalles, les zéros du dénominateur sont exclus |
| Avec module | | f(x) | < aon lève le module par définition |
| Système | deux inégalités entre accoladeson résout chaque inégalité, on prend l'intersection |
Systèmes et disjonctions d'inégalités
Souvent, une inégalité se décompose en deux, et il est alors important de ne pas se tromper sur ce qu'il faut faire des ensembles obtenus.
Un système (accolade) signifie « et l'un et l'autre simultanément ». On résout chaque inégalité séparément, on place les deux réponses sur le même axe et on prend l'intersection — la partie commune. S'il n'y a pas de partie commune, le système n'a pas de solution.
Une disjonction (parenthèse carrée) signifie « ou l'un ou l'autre ». Ici, on prend l'union — tout ce qui est colorié par au moins une des réponses. Une disjonction apparaît, par exemple, lors de la levée d'un module avec le signe « supérieur ».
Il faut noter séparément l'inégalité double de type \(-3 < 2x + 1 ≤ 7\) : c'est une écriture abrégée d'un système. Les transformations sont effectuées sur les trois parties simultanément — on soustrait, on divise, et lors de la division par un nombre négatif, on inverse les deux signes ensemble.
Exemples de résolution d'inégalités
Exemple 1. Vérifier si un nombre est une solution
Exercice. Le nombre \(x = -1\) est-il une solution de l'inégalité \(3x + 5 \ge 1\) ?
Étape 1. On substitue \(-1\) à la place de \(x\) : \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
Étape 2. On compare avec le membre de droite : \(2 \ge 1\) — c'est une inégalité numérique correcte.
Réponse. Oui, \(-1\) est une des solutions. Mais résoudre une inégalité signifie trouver tous ces nombres, pas un seul : ici, la réponse est \(x \ge -\frac{4}{3}\).
Exemple 2. Inégalité linéaire avec changement de signe
Exercice. Résoudre \(7 - 3x < 1\).
Étape 1. On déplace \(7\) à droite (c'est-à-dire qu'on soustrait \(7\) aux deux membres — le signe de l'inégalité ne change pas) : \(-3x < 1 - 7\), donc \(-3x < -6\).
Étape 2. On divise les deux membres par \(-3\). Le diviseur est négatif, donc le signe s'inverse : \(x > 2\).
Étape 3. On place sur l'axe : point exclu en \(2\), on colorie tout ce qui est à droite.
Réponse. \(x > 2\), c'est-à-dire \(x \in (2;\ +\infty)\).
Exemple 3. Inégalité quadratique
Exercice. Résoudre \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
Étape 1. On trouve les racines du trinôme : \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), d'où \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\).
Étape 2. Le coefficient de \(x^2\) est positif, donc les branches de la parabole sont dirigées vers le haut : entre les racines, le trinôme est négatif, et en dehors des racines — positif.
Étape 3. On cherche le signe \(\le 0\), c'est-à-dire les valeurs négatives et les racines elles-mêmes (signe non strict) — on prend le segment entre les racines, y compris les extrémités.
Réponse. \(x \in [-1;\ 5]\).
Exemple 4. Inégalité avec module
Exercice. Résoudre \(|x + 1| > 4\).
Étape 1. Le module est supérieur à un nombre positif — cela signifie que l'expression sous le module est soit supérieure à \(4\), soit inférieure à \(-4\). On obtient une disjonction : \(x + 1 > 4\) ou \(x + 1 < -4\).
Étape 2. On résout chaque inégalité : de la première, \(x > 3\) ; de la seconde, \(x < -5\).
Étape 3. Il s'agit d'une disjonction, donc on prend l'union des intervalles, pas l'intersection.
Réponse. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
Exemple 5. Système d'inégalités
Exercice. Résoudre le système \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
Étape 1. Première inégalité : \(2x > -4\), on divise par le positif \(2\) — le signe reste le même, \(x > -2\).
Étape 2. Deuxième inégalité : \(x \le 4\).
Étape 3. On place les deux réponses sur le même axe et on prend l'intersection — la partie coloriée deux fois. La frontière gauche n'est pas incluse (signe strict), la droite est incluse (signe non strict).
Réponse. \(x \in (-2;\ 4]\).
Erreurs fréquentes lors de la résolution d'inégalités
-
On a divisé par un nombre négatif et conservé le signe précédent.
Lors de la multiplication ou de la division des deux membres par un nombre négatif, le signe change obligatoirement pour devenir son opposé. De \(-5x \ge 10\), on obtient \(x \le -2\), et non \(x \ge -2\). On peut vérifier par substitution : \(x = -3\) donne \(15 \ge 10\) — c'est correct, donc la bonne réponse est bien « inférieur ou égal ».
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On écrit une parenthèse carrée près de l'infini : $[-\infty;\ 7]$.
L'infini n'est pas un nombre, on ne peut pas l'« atteindre », donc la parenthèse près de \(\infty\) est toujours ronde : \((-\infty;\ 7]\). La parenthèse carrée n'est utilisée que pour une frontière finie qui est incluse dans la réponse.
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On confond le type de parenthèse et le type de point : on utilise une parenthèse carrée pour un signe strict.
Signe strict (\(<\), \(>\)) — la frontière n'est pas incluse : point exclu et parenthèse ronde. Signe non strict (\(\le\), \(\ge\)) — la frontière est incluse : point plein et parenthèse carrée. La vérification est simple : substituez le point frontière lui-même dans l'inégalité d'origine et voyez si le résultat est correct.
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On multiplie les deux membres par une expression contenant une variable pour « se débarrasser de la fraction ».
Le signe d'une telle expression est inconnu, donc on ne sait pas s'il faut inverser le signe de l'inégalité ou non — la transformation n'est pas équivalente. Au lieu de cela, on déplace tout d'un côté, on réduit à une seule fraction et on applique la méthode des intervalles.
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On écrit un seul nombre comme réponse : « $x = 3$ » au lieu d'un ensemble.
La solution d'une inégalité est un ensemble de valeurs. Écrivez-la sous forme d'intervalle : \(x > 3\), c'est-à-dire \((3;\ +\infty)\). Un seul nombre peut être un élément de la réponse, mais pas la réponse elle-même.
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On prend l'union pour un système et l'intersection pour une disjonction.
Pour un système (accolade, « et ») — intersection, partie commune des intervalles. Pour une disjonction (parenthèse carrée, « ou ») — union avec le signe ∪. Et de plus : une écriture comme « \(-2 < x > 5\) » n'a pas de sens — une telle réponse est formulée comme une union de deux intervalles.
Questions et réponses
Que signifie résoudre une inégalité ?
Résoudre une inégalité signifie trouver toutes les valeurs de la variable pour lesquelles elle devient une inégalité numérique correcte, et les écrire sous forme d'ensemble. La réponse sera un intervalle ou une union d'intervalles, et non un nombre isolé.
Quels types d'inégalités existent ?
Selon la forme de l'expression avec la variable, on distingue les inégalités linéaires (\(ax + b > 0\)), quadratiques (\(ax^2 + bx + c > 0\)), fractionnaires-rationnelles (variable au dénominateur), avec module, irrationnelles et exponentielles. On distingue séparément les systèmes et les disjonctions d'inégalités. Selon le signe, les inégalités sont divisées en strictes (\(<\), \(>\)) et non strictes (\(\le\), \(\ge\)).
Quand le signe d'une inégalité change-t-il pour devenir son opposé ?
Dans deux cas : lorsque les deux membres sont multipliés ou divisés par un nombre négatif, et lorsque les membres de gauche et de droite sont échangés. Lors de l'addition, de la soustraction et de la division par un nombre positif, le signe reste le même.
Quand utilise-t-on une parenthèse ronde et quand une parenthèse carrée ?
Parenthèse ronde — si le point frontière n'est pas inclus dans la réponse (signe strict, point exclu sur l'axe). Parenthèse carrée — s'il est inclus (signe non strict, point inclus). Près de \(+\infty\) et \(-\infty\), la parenthèse est toujours ronde.
En quoi la résolution d'une inégalité diffère-t-elle de la résolution d'une équation ?
Les transformations sont presque les mêmes, mais pour une équation, la réponse se compose généralement de nombres isolés, tandis que pour une inégalité, elle se compose d'intervalles entiers. De plus, une inégalité a une règle de changement de signe lors de la multiplication et de la division par un nombre négatif, ce qui n'existe pas dans les équations.
Quelle inégalité est considérée comme fractionnaire et où est-elle étudiée ?
Une inégalité est dite fractionnaire (fractionnaire-rationnelle) lorsque la variable se trouve au dénominateur, par exemple \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\) ; en raison du dénominateur, elle a un domaine de définition, et elle ne peut pas être résolue par une simple division. L'algorithme pas à pas avec des exemples se trouve dans un document séparé inégalités rationnelles et méthode des intervalles.
En quelle classe étudie-t-on la résolution des inégalités ?
Les inégalités linéaires et les intervalles numériques sont étudiés en 8ème année (en 9ème année selon le programme de Merzlyak), les inégalités quadratiques et fractionnaires-rationnelles avec la méthode des intervalles en 8ème-9ème années, et les inégalités irrationnelles et exponentielles dans le secondaire supérieur.
