Ringjoonega on seotud kaks peamist nurka: kesknurk – tipuga ringjoone keskpunktis, ja siseringnurk – tipuga ringjoonel endal. Nende vaheline seos on lihtne: kesknurk on võrdne kaarega, millele ta toetub, ja siseringnurk on pool sellest kaarest. Sellel lehel on definitsioonid, siseringnurga teoreem koos kõigi järeldustega, illustreerivad joonised, ülesannete samm-sammulised lahenduskäigud ja interaktiivne treener, mille abil saate oma teadmisi kohe proovile panna.
Ringjoonega seotud nurgad: kesknurk ja siseringnurk
Joonestame ringjoone sisse nurga, mille haarad lähtuvad ühest punktist. Sõltuvalt sellest, kus asub nurga tipp, eristatakse kahte peamist ringjoonega seotud nurka:
- Kesknurk — nurk, mille tipp on ringjoone keskpunktis \(O\). Selle haaradeks on raadiused.
- Siseringnurk — nurk, mille tipp asub ringjoonel ja mille haarad lõikavad ringjoont (st on kõõlud).
Kumbki neist nurkadest toetub kaarele — ringjoone osale, mis jääb nurga sisse. Just kaar seob kesknurka ja siseringnurka: mõlemad väljendatakse selle kaare kraadimõõdu kaudu.
Kui nurga tipp asub ringi sees (kuid mitte keskpunktis) või sellest väljaspool, ei ole tegemist ei siseringnurga ega kesknurgaga: selliste nurkade jaoks on oma valemid, millest räägime lehe lõpus.
∠AOC = kaar AC = 120°
∠ABC = ½ kaar AC = 60°
Siseringnurga teoreem ja siseringnurga suurus
Kesknurk on võrdne kaarega, millele ta toetub — nii defineeritakse kaare kraadimõõt. Kui \(\angle AOC = 120°\), siis ka kaar \(AC\) on \(120°\).
Siseringnurga teoreem: siseringnurk on võrdne poolega kaarest, millele ta toetub:
Siit tuleneb siseringnurkade ja kesknurkade peamine seos: siseringnurk on poole väiksem samale kaarele toetuvast kesknurgast:
Siseringnurga suurus ei sõltu sellest, kus täpselt ringjoonel selle tipp asub — oluline on ainult kaar, millele see toetub. Seetõttu tasub allolev joonis meelde jätta kui kogu teema "tööjoonis": roheline kaar ja kaks nurka, mis sellele toetuvad.
Siseringnurkade ja kesknurkade omadused ja järeldused
Siseringnurga teoreemist tulenevad otseselt omadused, millele on üles ehitatud enamik kooliülesandeid:
- Samale kaarele toetuvad siseringnurgad on võrdsed. Igaüks neist on võrdne poolega samast kaarest — seega on nad ka omavahel võrdsed, olenemata sellest, kus nende tipud asuvad.
- Diameetrile toetuv siseringnurk on täisnurk. Diameeter jaotab ringjoone kaheks poolringjooneks, kumbki \(180°\), seega on selline nurk võrdne \(180° : 2 = 90°\). Kehtib ka vastupidine: kui siseringnurk on täisnurk, siis toetub see diameetrile.
- Siseringnurk võib olla nürinurk. Kui kaar on suurem kui \(180°\), on nurk suurem kui \(90°\) — valem "pool kaarest" kehtib eranditeta.
Need omadused kehtivad ka "vastupidises suunas": näiteks samale lõigule toetuvate nurkade võrdsuse kaudu tõestatakse, et neli punkti asuvad ühel ringjoonel.
Siseringnurgad ja puutujatevahelised nurgad: nelinurk ringjoonel
Kui nelinurga kõik neli tippu asuvad ringjoonel, nimetatakse seda kõõlnelinurgaks (ja ringjoont selle nelinurga ümberringjooneks). Sellise nelinurga nurgad on siseringnurgad, seega kehtib nende jaoks sama teoreem.
- Kõõlnelinurga vastasnurkade summa on \(180°\). Nurgad \(A\) ja \(C\) toetuvad kahele kaarele, mis kokku moodustavad terve ringjoone (\(360°\)), seega \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Kõõlnelinurga välisnurk on võrdne vastastipus asuva sisenurgaga. Välisnurk täiendab oma sisenurka \(180°\)-ni — täpselt nagu ka vastasnurk.
- Nurkade summa omadus on ka tunnus: kui nelinurga vastasnurkade summad on \(180°\), saab selle ümber joonestada ringjoone. Seetõttu saab iga ristküliku ümber joonestada ringjoone, aga rombi (välja arvatud ruut) ümber mitte.
Lisaks siseringnurkadele esineb ülesannetes ka puutujatevahelisi nurki — nurgad kahe puutuja vahel, mis on tõmmatud ühest punktist väljaspool ringjoont. Selline nurk on võrdne poolest ringjoonest väljalõigatud kaarte vahest.
Näidisülesannete lahendused siseringnurkade ja kesknurkade kohta
Näide 1. Siseringnurga leidmine kaare järgi
Ülesanne. Siseringnurk \(ABC\) toetub kaarele \(AC\), mille suurus on \(120°\). Leidke \(\angle ABC\).
Samm 1. Tuletame meelde teoreemi: siseringnurk on võrdne poolega kaarest, millele see toetub.
Samm 2. Arvutame: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Vastus: \(60°\).
Näide 2. Kesknurga leidmine siseringnurga järgi
Ülesanne. Siseringnurk \(ABC\) on \(40°\). Leidke samale kaarele \(AC\) toetuv kesknurk \(AOC\).
Samm 1. Kesknurk on kaks korda suurem samale kaarele toetuvast siseringnurgast: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Samm 2. Arvutame: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Ühtlasi saime teada kaare suuruse: \(AC = 80°\).
Vastus: \(80°\).
Näide 3. Diameetrile toetuv nurk
Ülesanne. \(AC\) on ringjoone diameeter, punkt \(B\) asub ringjoonel, \(\angle BAC = 35°\). Leidke \(\angle BCA\).
Samm 1. Nurk \(ABC\) toetub diameetrile \(AC\), seega \(\angle ABC = 90°\) — kolmnurk \(ABC\) on täisnurkne.
Samm 2. Kolmnurga sisenurkade summa on \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Vastus: \(55°\).
Näide 4. Kõõlnelinurk
Ülesanne. Nelinurk \(ABCD\) on kõõlnelinurk, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Leidke nurgad \(C\) ja \(D\).
Samm 1. Kõõlnelinurga vastasnurkade summa on \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Samm 2. Analoogselt \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Kontroll. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — nelinurga sisenurkade summa klapib.
Vastus: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Levinud vead ringjoone nurkadega seotud ülesannetes
-
Aetakse segi siseringnurk ja kesknurk: keskpunktis asuva tipuga nurga puhul võetakse pool kaarest (või vastupidi).
Kõigepealt vaadake tippu. Tipp keskpunktis \(O\) — tegemist on kesknurgaga, mis on võrdne terve kaarega. Tipp ringjoonel — tegemist on siseringnurgaga, mis on võrdne poolega kaarest.
-
Võetakse vale kaar: siseringnurga puhul arvutatakse kaarega, millel asub selle tipp.
Siseringnurk toetub kaarele, mis jääb nurga "sisse" — tipp asub alati teisel kaarel. Tähistuses \(\angle ABC\) toetub nurk kaarele \(AC\), mis ei sisalda punkti \(B\).
-
Korrutatakse ja jagatakse 2-ga "vales suunas": siseringnurgalt kesknurgale üleminekul jagatakse, mitte ei korrutata.
Pidage meeles: siseringnurk on "väike" (pool kaarest), kesknurk on "suur" (terve kaar). Siseringnurgalt kesknurgale üleminekuks korrutage 2-ga, kesknurgalt siseringnurgale — jagage.
-
Peetakse siseringnurgaks iga nurka, mille haarad lõikavad ringjoont — näiteks nurka kõõlude vahel, mis lõikuvad ringi sees.
Siseringnurga tipp peab asuma ringjoonel endal. Ringi sees asuva tipuga nurk on võrdne poolest väljalõigatud kaarte summast, väljaspool ringi asuva tipuga nurk — poolest vahest: need on teised valemid.
-
Kõõlnelinurga puhul võrdsustatakse $180°$-ga lähisnurkade summa vastasnurkade asemel.
See omadus kehtib ainult vastastippude kohta: \(\angle A + \angle C = 180°\) ja \(\angle B + \angle D = 180°\). Kõõlnelinurga lähisnurgad võivad olla mistahes suurusega.
Küsimused ja vastused
Millega võrdub siseringnurk?
Siseringnurk on võrdne poolega kaarest, millele see toetub. Näiteks, kui kaar on 120°, on siseringnurk 60°. See ongi siseringnurga teoreem — teema peamine valem.
Kuidas on seotud samale kaarele toetuvad siseringnurk ja kesknurk?
Kesknurk on kaks korda suurem kui siseringnurk: ∠AOC = 2·∠ABC. Kesknurk on võrdne kaare endaga, siseringnurk aga poolega sellest.
Miks on diameetrile toetuv siseringnurk 90°?
Diameeter toetub poolringjoonele — 180° suurusele kaarele. Siseringnurk on võrdne poolega kaarest: 180° : 2 = 90°. Seetõttu on iga kolmnurk, mille üks külg on ümberringjoone diameeter, täisnurkne.
Kas siseringnurk võib olla nürinurk?
Jah. Kui kaar, millele nurk toetub, on suurem kui 180°, on nurk nürinurk: näiteks 210° kaarele vastab siseringnurk 105°. Samas on siseringnurk alati väiksem kui 180°.
Mis on puutujatevaheline nurk ja mille poolest see erineb siseringnurgast?
Puutujatevahelise nurga moodustavad kaks puutujat, mis on tõmmatud ringjoonele ühest välispunktist. Selle tipp asub väljaspool ringjoont ja see on võrdne poolest väljalõigatud kaarte vahest. Siseringnurga tipp asub ringjoonel ja see on võrdne poolega ühest kaarest.
Milliseid ringjoonega seotud nurki on veel olemas?
Lisaks kesknurgale ja siseringnurgale vaadeldakse ka nurka kõõlude vahel (tipp ringi sees — pool kaarte summast), nurka lõikajate vahel välispunktist (pool kaarte vahest) ja nurka puutuja ja kõõlu vahel (pool nurga sees olevast kaarest). Kõiki neid väljendatakse ringjoone kaarte kaudu.
