Koosinusteoreem seob kolmnurga kolm külge ja ühe nurga: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). See kehtib igas kolmnurgas, mistõttu asendab see 9. klassis Pythagorase teoreemi seal, kus täisnurka pole. Selle abil leitakse kolmas külg, kui on teada kaks muud külge ja nende vaheline nurk, ning järelduse \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) abil — mis tahes nurk kolme külje järgi ja kolmnurga liik. Lehel on esitatud sõnastus ja kõik kolm valemi kuju, tõestus, koosinuste tabel, meelespea „siinusteoreem või koosinusteoreem“, OGE ülesannete lahendused ja treeningülesanne enesekontrolliks.
Koosinusteoreem: sõnastus ja valem
Koosinusteoreem kehtib igas kolmnurgas — täisnurka pole vaja. See seob kolm külge ja ühe nurga, mistõttu leitakse selle abil külg, kui on teada kaks muud külge ja nende vaheline nurk.
Sõnastus. Kolmnurga külje ruut võrdub kahe teise külje ruutude summaga, millest on lahutatud nende külgede kahekordne korrutis korrutatuna nende vahelise nurga koosinusega.
Siin \(a\), \(b\), \(c\) on kolmnurga küljed ja \(C\) on külgede \(a\) ja \(b\) vaheline nurk; külg \(c\) asub selle nurga vastas. Tähti võib valida suvaliselt — valem on sümmeetriline, seega on sellel kolm võrdväärset kirjapilti:
Peamine reegel asendamisel: võtame nurga, mis jääb korrutises olevate külgede vahele, ja leiame külje, mis asub selle vastas. Kui võtta „kõrvalolev“ nurk, on kõik arvud küll tingimusest, kuid vastus on vale.
Miks Pythagorase teoreem on koosinusteoreemi erijuht
Asendame valemisse täisnurga, ehk \(C = 90°\). Täisnurga koosinus on null, seega kolmas liige muutub tervikuna nulliks:
Saime täpselt Pythagorase teoreemi, mida teame 8. klassist. Seetõttu nimetatakse koosinusteoreemi selle üldistuseks: Pythagoras on „erijuht 90° juures“, aga koosinusteoreem kehtib kõigi nurkade puhul korraga.
Liiget \(-2ab\cos C\) on mugav mõista kui parandust nurga mitte-täisnurksuse kohta:
- nurk on terav, \(\cos C > 0\) — parandus lahutatakse, külg \(c\) tuleb lühem, kui Pythagoras oleks andnud;
- nurk on täisnurk, \(\cos C = 0\) — parandust pole, jääb \(c^2 = a^2 + b^2\);
- nurk on nürinurk, \(\cos C < 0\) — parandus liidetakse, külg \(c\) tuleb pikem.
Koosinusteoreemi tõestus
Kõige lühem koolitõestus on koordinaatide meetod. Paigutame tipu \(C\) koordinaatide alguspunkti ja külje \(b = CA\) suuname piki \(x\)-telge. Siis on tippude koordinaadid järgmised:
- \(C(0;\ 0)\) — alguspunkt;
- \(A(b;\ 0)\) — punkt \(x\)-teljel kaugusel \(b\) alguspunktist;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — tipp kaugusel \(a\) alguspunktist nurga \(C\) all \(x\)-telje suhtes.
Külg \(c\) — see on lõigu \(AB\) pikkus. Arvutame selle kahe punkti vahelise kauguse valemiga:
Avame sulud:
Grupeerime \(a^2\)-ga liikmed ja rakendame põhilist trigonomeetrilist samasust \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Mida oligi vaja tõestada. Pane tähele: kuskil polnud vaja, et nurk \(C\) oleks terav. Kui see on nürinurk, on koosinus negatiivne, koordinaat \(a\cos C\) läheb \(y\)-teljest vasakule, kuid kõik arvutused jäävad samaks — seetõttu kehtib teoreem iga kolmnurga puhul.
Järeldus: kuidas leida nurk kolme külje järgi
Koosinusteoreemist avaldatakse koosinus ise — see on selle peamine järeldus. Selle abil leitakse nurk, kui on teada kõik kolm külge:
Lugejas on nurga lähiskülgede ruutude summa miinus nurga vastaskülje ruut. Nimetajas on lähiskülgede kahekordne korrutis. Teiste nurkade jaoks on valemid samasugused:
Lahenduskäik:
- valida otsitav nurk ja määrata, milline külg asub selle vastas — selle ruut läheb lugejasse miinusmärgiga;
- arvutada murd (nimetaja on alati positiivne, märgi määrab ainult lugeja);
- tabeli väärtuste või arkkoosinuse kaudu leida nurk ise.
Kasulik nipp: alustada pikimast küljest. Selle vastas asub suurim nurk ja ainult see võib osutuda täis- või nürinurgaks — ülejäänud kaks nurka kolmnurgas on alati teravad.
Nürinurkade koosinused on negatiivsed: väärtuste tabel
Kooliülesannetes on nurgad peaaegu alati „tabeliväärtustega“: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Teravnurkadel on koosinus positiivne, täisnurgal null ja nürinurkadel — negatiivne. Nürinurkade väärtused saadakse teravnurkade väärtustest taandamisvalemi \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\) abil: näiteks \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Mida see praktikas tähendab: nürinurga puhul muutub avaldis \(-2ab\cos C\) plussiks — miinus korda miinus. Nurga \(120°\) jaoks näeb valem välja selline:
Just siin kaotatakse punkte kõige sagedamini: asendatakse \(-0{,}5\) asemel \(0{,}5\) ja saadakse mõlemast antud küljest lühem külg. See on ilmselgelt võimatu — nürinurga vastas asub kolmnurga pikim külg.
| Nurk | Koosinus |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Kuidas määrata kolmnurga liiki kolme külje järgi
Koosinusteoreem võimaldab teada saada kolmnurga liiki ilma nurgamõõtjaga nurki mõõtmata. Murru \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) märk sõltub ainult lugejast: nimetaja \(2ab\) on alati positiivne. Seega piisab, kui võrrelda pikima külje ruutu kahe teise külje ruutude summaga.
Olgu \(c\) — pikim külg, siis selle vastas asub suurim nurk \(C\):
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → nurk \(C\) on terav. Ülejäänud nurgad on sellest väiksemad, seega on kõik kolm nurka teravad — kolmnurk on teravnurkne;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — kolmnurk on täisnurkne (see ongi Pythagorase teoreemi pöördteoreem);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → nurk \(C\) on nürinurk — kolmnurk on nürinurkne.
Ülejäänud nurki kontrollida pole vaja: täis- või nürinurk saab kolmnurgas olla ainult üks. Ja ära unusta kolmnurga võrratust — kui pikim külg ei ole väiksem kahe teise külje summast, siis selliste külgedega kolmnurka üldse ei eksisteeri.
Siinusteoreem või koosinusteoreem: kuidas valida
Mõlemad teoreemid lahendavad sama ülesannet — leiavad kolmnurga tundmatud küljed ja nurgad —, kuid need aktiveeruvad erinevate andmekogumite puhul. Siinusteoreem seob külje ja selle vastasasuva nurga:
Siit ka valikureegel: kui tingimuses on juba olemas paar „külg ja selle vastasnurk“ — töötab siinusteoreem; kui sellist paari pole — alustame koosinusteoreemist. Meelespea nelja kooliandmekogumi kohta — tabelis.
Sageli lahendatakse ülesanne kahes etapis: kõigepealt annab koosinusteoreem kolmanda külje ja seejärel leiab siinusteoreem kiiresti ülejäänud nurgad.
| Mis on teada | Mida rakendame |
|---|---|
| KUKKaks külge ja nende vaheline nurk | Koosinusteoreemleiame kolmanda külje |
| KKKKõik kolm külge | Koosinusteoreemleiame mis tahes nurga ja kolmnurga liigi |
| UKUKülg ja kaks nurka | Siinusteoreemleiame kaks muud külge |
| KKUKaks külge ja nurk ühe neist vastas | Siinusteoreemleiame vastasnurga |
Koosinusteoreem OGE ülesannetes
Matemaatika OGE-l kohtab koosinusteoreemi planimeetriaülesannetes — nii esimeses osas kui ka lahtise vastusega ülesannetes. Tüüpsituatsioonid on järgmised:
- Külje leidmine kahe külje ja nende vahelise nurga järgi — valemi otsene rakendamine, kõige sagedamini 60° või 120° nurkadega.
- Nurga või selle koosinuse leidmine kolme külje järgi — järeldus \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Kui ülesandes on kirjas „leidke \(\cos\angle A\)“, pole vaja arkkoosinust võtta: vastus on seesama murd, see tulebki kirja panna.
- Rööpküliku diagonaalid. Diagonaal eraldab kolmnurga kahest küljest ja nende vahelisest nurgast. Rööpküliku kõrvunurgad annavad kokku 180°, seetõttu on nende koosinused vastandmärgilised: teravnurga vastas asub lühem diagonaal, nürinurga vastas — pikem.
- Kolmnurga liik kolme arvu järgi — \(a^2 + b^2\) võrdlemine \(c^2\)-ga.
- Kolmnurga mediaan. Valem \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) tuletatakse koosinusteoreemi kahekordse rakendamisega kahele aluse juures olevale kõrvunurgale.
Nõuanne eksamil: enne arvutamist märgi joonisele nurk, mis on „pigistatud“ teadaolevate külgede vahele. Kui sellist nurka pole — pole koosinusteoreem veel rakendatav, tuleb otsida teine tee.
Koosinusteoreemi ülesannete lahendamise näited
Näide 1. Külje leidmine kahe külje ja 60° nurga järgi
Ülesanne. Kolmnurgas \(ABC\) on küljed \(a = 7\) ja \(b = 15\), nende vaheline nurk \(C = 60°\). Leidke külg \(c\).
1. samm. Nurk \(C\) jääb külgede \(a\) ja \(b\) vahele — see on just see juhtum, mille jaoks teoreem on välja mõeldud:
2. samm. Asendame arvud, \(\cos 60° = 0{,}5\):
3. samm. Eemaldame ruutjuure: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Vastus: \(13\). Kontroll mõtte järgi: nurk \(60°\) on terav, seega pole selle vastas olev külg kõige pikem — ja tõesti, \(13 < 15\).
Näide 2. Nürinurk: miinus korda miinus
Ülesanne. Kolmnurgas \(ABC\) on teada: \(AB = 6\), \(BC = 10\), nurk \(B = 120°\). Leidke külg \(AC\).
1. samm. Nurk \(B\) jääb külgede \(AB\) ja \(BC\) vahele ning külg \(AC\) asub selle vastas:
2. samm. Nurk on nürinurk, seega \(\cos 120° = -0{,}5\). Miinus korrutise ees ja miinus koosinuse juures annavad plussi:
3. samm. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Vastus: \(14\). Kontroll: nürinurga vastas asub pikim külg — \(14\) on suurem nii \(6\)-st kui ka \(10\)-st.
Näide 3. Nurga leidmine kolme külje järgi
Ülesanne. Kolmnurga küljed on \(3\), \(5\) ja \(7\). Leidke selle suurim nurk.
1. samm. Suurim nurk asub pikima külje vastas, ehk külje \(7\) vastas. Tähistame selle \(C\)-ga, siis \(c = 7\) ja lähisküljed on \(a = 3\) ja \(b = 5\).
2. samm. Rakendame järeldust:
3. samm. Koosinus on negatiivne — nurk on nürinurk. Tabeli väärtuste järgi \(\cos 120° = -0{,}5\), seega \(C = 120°\).
Vastus: \(120°\). Muuhulgas selgus, et kolmnurk on nürinurkne.
Näide 4. Kolmnurga liigi määramine
Ülesanne. Määrake kolmnurga liik külgedega \(6\), \(7\) ja \(10\).
1. samm. Kontrollime kolmnurga võrratust: \(6 + 7 = 13 > 10\) — kolmnurk on olemas. Pikim külg on \(10\).
2. samm. Võrdleme kahe lühema külje ruutude summat pikima külje ruuduga:
3. samm. \(85 < 100\), seega on murru lugeja negatiivne ja \(\cos C < 0\) — nurk külje \(10\) vastas on nürinurk. Soovi korral võib leida ka nurga enda:
Vastus: kolmnurk on nürinurkne. Pane tähele: „silma järgi“ seda ei näe — küljed on peaaegu võrdsed, aga nurk on juba üle \(90°\).
Näide 5. OGE taseme ülesanne: rööpküliku diagonaal
Ülesanne. Rööpküliku küljed on \(5\) ja \(8\), teravnurk on \(60°\). Leidke lühem diagonaal.
1. samm. Diagonaal eraldab kolmnurga, millel on teada kaks külge (\(5\) ja \(8\)) ja nende vaheline nurk. Lühem diagonaal asub teravnurga \(60°\) vastas.
2. samm. Arvutame:
3. samm. Kontroll. Teine diagonaal asub nurga \(120°\) vastas (rööpküliku kõrvunurgad annavad kokku \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), ehk \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Diagonaalide ruutude summa on \(49 + 129 = 178\), aga külgede ruutude kahekordne summa — \(2(25 + 64) = 178\). Klappis, seega on arvutus õige.
Vastus: \(7\).
Sagedased vead koosinusteoreemi ülesannetes
-
Võetakse nürinurga koosinus plussmärgiga. Külgede $4$ ja $9$ ning nende vahelise $120°$ nurga puhul kirjutatakse $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ ja saadakse $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), aga miinus korda miinus annab plussi: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), ehk \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Kiire kontroll: nürinurga vastas asub pikim külg, seega peab vastus olema suurem kui \(9\).
-
Asendatakse nurk, mis ei jää antud külgede vahele: tingimuses on antud üks nurk ja see võetakse „nii nagu on“, joonist vaatamata.
Kirjutises \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) moodustavad küljed \(a\) ja \(b\) nurga \(C\) ning külg \(c\) asub selle vastas. Kui teadaolev nurk on otsitava külje kõrval, see kirjapilt ei sobi — vaja on teist kolmest või siinusteoreemi.
-
Unustatakse ruutjuur võtta ja kirjutatakse vastuseks külje ruut: saadi $c^2 = 225$ ja kirjutatakse „külg on 225“.
Valem annab alati just külje ruudu. Viimane samm on kohustuslik: \(c = \sqrt{225} = 15\). Loe ülesande küsimus uuesti läbi enne vastuse kirjutamist.
-
Aetakse segamini liikmete järjekord järelduses ja kirjutatakse $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Õige lugeja on \(a^2 + b^2 - c^2\): lähiskülgede ruutude summa miinus vastaskülje ruut. Ümberpaigutamisel muutub murru märk vastupidiseks ja nürinurga \(120°\) asemel saadakse teravnurk \(60°\).
-
Leitakse nurk koosinuse mooduli järgi: saadi −0,25, aga vastuseks kirjutatakse teravnurk, nagu koosinus oleks olnud +0,25.
Negatiivne koosinus on alati nürinurk. Märki ei tohi kaotada: cos 60° = 0,5, aga cos 120° = −0,5; negatiivse arvu arkkoosinus on suurem kui 90°.
-
Püütakse lahendada ülesannet „kaks külge ja nende vaheline nurk“ siinusteoreemiga ja jäädakse esimese reaga hätta.
Siinusteoreem vajab valmis paari „külg ja vastasnurk“. Kahe külje ja nende vahelise nurga puhul sellist paari pole — kõigepealt annab koosinusteoreem kolmanda külje ja alles siis lülitub sisse siinusteoreem.
Küsimused ja vastused
Kuidas kõlab koosinusteoreem?
Kolmnurga külje ruut võrdub kahe teise külje ruutude summaga, millest on lahutatud nende külgede kahekordne korrutis korrutatuna nende vahelise nurga koosinusega: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Teoreem kehtib iga kolmnurga puhul, mitte ainult täisnurkse.
Kuidas leida kolmnurga külg kahe külje ja nende vahelise nurga järgi?
Asendada andmed valemisse c² = a² + b² − 2ab·cos C ja võtta ruutjuur. Näiteks külgede 4 ja 6 ning nende vahelise 60° nurga puhul: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, seega c = √28 ≈ 5,3.
Kuidas leida kolmnurga nurk, kui on teada kolm külge?
Koosinusteoreemi järelduse abil: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), kus c on otsitava nurga vastas olev külg. Näiteks külgede 2, 3 ja 4 puhul on suurima nurga koosinus (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, ehk nurk on nürinurk, umbes 104°.
Miks Pythagorase teoreem on koosinusteoreemi erijuht?
Sest täisnurga puhul cos 90° = 0 ja liige −2ab·cos C muutub nulliks. Valemist jääb järele c² = a² + b² — see ongi Pythagorase teoreem täisnurkse kolmnurga jaoks.
Kas koosinusteoreem töötab nürinurkses kolmnurgas?
Jah, ja töötab ilma muudatusteta. Nürinurga koosinus on negatiivne, seetõttu muutub liige −2ab·cos C positiivseks ja liidetakse ruutude summale. Just seetõttu osutub nürinurga vastas olev külg kõige pikemaks.
Millal rakendada siinusteoreemi ja millal koosinusteoreemi?
Siinusteoreemi on vaja, kui tingimuses on juba paar „külg ja selle vastasnurk“ — näiteks on antud külg ja kaks nurka. Koosinusteoreemi — kui sellist paari pole: antud on kaks külge ja nende vaheline nurk või kõik kolm külge. Sageli lahendatakse ülesanne kahes etapis: kõigepealt koosinused, siis siinused.
Kuidas määrata kolmnurga liiki kolme külje järgi?
Võrrelda pikima külje ruutu c² kahe teise külje ruutude summaga. Kui a² + b² > c² — kolmnurk on teravnurkne, kui a² + b² = c² — täisnurkne, kui a² + b² < c² — nürinurkne. Selle vahe märk langeb kokku suurima nurga koosinuse märgiga.
Mis klassis õpitakse koosinusteoreemi?
- klassis geomeetria tundides, teemas „Kolmnurga külgede ja nurkade vahelised seosed“ — koos siinusteoreemiga. Edaspidi kasutatakse seda pidevalt OGE ja riigieksami planimeetriaülesannetes ning stereomeetrias.
