Püthagorase teoreem – 8. klassi geomeetria peamine valem: täisnurkses kolmnurgas on kaatetite ruutude summa võrdne hüpotenuusi ruuduga, ehk \(a^2 + b^2 = c^2\). Sellest tuletatakse valemid, mille abil leitakse hüpotenuus ja ükskõik milline kaatet, ristküliku diagonaal ja kahe punkti vaheline kaugus. Sellel lehel on definitsioon ja valem, visuaalne tõestus pindalade kaudu, pöördtõestus, Egiptuse kolmnurk 3-4-5, samm-sammult ülesannete lahendused ja interaktiivne treening enesekontrolliks.
Mis on Püthagorase teoreem ja kuidas valem kõlab
Püthagorase teoreem kehtib ainult täisnurkses kolmnurgas – sellises, kus üks nurkadest on \(90°\). Sellise kolmnurga külgi nimetatakse erinevalt:
- kaatetid – kaks külge, mis moodustavad täisnurgas;
- hüpotenuus – täisnurgale vastupidine külg, kolmnurga pikim külg.
Teoreemi sõnastus: täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi ruut võrdne kaatetite ruutude summaga.
Siin \(a\) ja \(b\) on kaatetid, \(c\) on hüpotenuus. Mõnikord sõnastatakse teoreem „geomeetriliselt“: hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala on võrdne kaatetitele ehitatud ruutude pindalade summaga. See on üks ja sama teoreem, lihtsalt öeldud pindalade, mitte arvude kohta.
Sama tähtsusega on reegel: suure tähe \(c\) all peitub alati pikim külg. Kui ülesandes hüpotenuus kaatetiga segi ajada, tuleb vale vastus.
Püthagorase teoreemi tõestus
Püthagorase teoreemile on teada üle saja tõestuse. Koolis käsitletakse kõige visuaalsemat – tõestust pindalade kaudu. Võetakse kaks ühesugust ruutu küljega \(a + b\) ja paigutatakse kumbassegi neli ühesugust täisnurkset kolmnurka kaetitega \(a\) ja \(b\) – aga erinevalt.
- Esimeses ruudus nihutatakse kolmnurgad nurkadesse nii, et vabaks jäävad kaks ruutu: küljega \(a\) ja küljega \(b\). Nende pindalad on \(a^2\) ja \(b^2\).
- Teises ruudus paigutatakse samad neli kolmnurka „tuuleveski“ kujuliselt. Vabaks jääb üks kaldruut küljega \(c\), selle pindala on \(c^2\).
- Suurte ruutude pindalad on võrdsed: kumbki on \((a+b)^2\). Samuti on võrdne kolmnurkade pindalade summa: igaüks võtab \(\frac{ab}{2}\), neljakesi – \(2ab\).
Kuna tervik ja lahutatav osa on võrdsed, on ka jäägid võrdsed: \(a^2 + b^2 = c^2\). Teoreem on tõestatud – mõlema ruudu pindalade võrrandid on joonise all välja toodud.
Kuidas leida hüpotenuusi ja kaatetit Püthagorase teoreemi abil
Ühest valemist \(a^2 + b^2 = c^2\) saadakse kõik töövalemid: tundmatu külg avaldatakse võrdusest ja võetakse ruutjuur. Kahe juhtumi vahel on vaid üks erinevus – ja just selles tehakse kõige rohkem vigu:
- hüpotenuusi otsitakse kaatetite ruutude summa kaudu – see peab olema pikem kui kumbki kaatet;
- kaatetit – vahe kaudu: hüpotenuusi ruudust lahutatakse tuntud kaateti ruut ja tulemus peab olema lühem kui hüpotenuus.
Kui ruutjuure alla tuleb negatiivne arv, tähendab see, et hüpotenuus on kaatetiga segi aetud – tagasi joonise juurde ja otsi täisnurka. Ja veel üks detail: ruutjuur on lõpus kohustuslik, selle sammu peal kaotatakse punkte kõige sagedamini.
Valmis mnemooniline tabel kõigi valemitega – allpool.
| Mida otsime | Valem ja selgitus |
|---|---|
| Hüpotenuus | c = √a2 + b2kaatetite ruutude summa ruutjuur |
| Kaatet a | a = √c2 − b2hüpotenuusi ruudu ja teise kaateti ruudu vahe ruutjuur |
| Kaatet b | b = √c2 − a2sümmeetriline: lahutame teise kaateti ruudu |
| Kontroll | a2 + b2 = c2 ?võrdus kehtib → kolmnurk on täisnurkne (pöördtõestus) |
Püthagorase pöördtõestus ja Egiptuse kolmnurk
Püthagorase pöördtõestus: kui ühe kolmnurga külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, siis on see kolmnurk täisnurkne ja täisnurk asub pikima külje vastas.
See on tööriist: kolme arvu järgi saab teada kolmnurga liigi, ilma et seda joonlauaga mõõdaks. Toimingute järjekord on järgmine:
- leia pikim külg – see on hüpotenuusi kandidaat;
- tõsta kaks ülejäänud külge ruutu ja liida;
- võrdle pikima külje ruuduga.
Kui võrdus kehtib – kolmnurk on täisnurkne. Näiteks küljed 6, 8 ja 10: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\), seega kolmnurk on täisnurkne.
Nimetatakse täisarvude kogumeid, mille puhul võrdus kehtib, Püthagorase kolmikud. Tuntuim on 3, 4, 5: sellist kolmnurka nimetatakse Egiptuse kolmnurgaks, sest Vana-Egiptuse ehitajad mõõtsid köiel 12 võrdset osa ja panid selle kolmnurgaks külgedega 3, 4 ja 5, et saada ehitusplatsil täpne täisnurk. Seda võtet kasutatakse tänaseni.
Kus Püthagorase teoreemi kasutatakse: ülesanded elust ja geomeetriast
Püthagorase teoreem on vajalik iga kord, kui joonisel saab näha täisnurkset kolmnurka:
- Ristküliku diagonaal. Diagonaal jagab ristküliku kaheks täisnurkseks kolmnurgaks, seega \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\). Nii arvutatakse teleri ekraani diagonaali või toa suurust.
- Võrdhaarse kolmnurga kõrgus. Alusele tõmmatud kõrgus jagab selle pooleks ja moodustab täisnurkse kolmnurga – edasi töötab sama valem.
- Ruudu diagonaal. Kui külg on \(a\), siis \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\).
- Kahe punkti vaheline kaugus koordinaattasandil. Valem \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) on Püthagorase teoreem koordinaatide vahedele ehitatud kolmnurgale.
- Praktilised ülesanded. Seinale toetatud redel; puu kõrgus selle varju järgi; trossi, pinguti, kaabli pikkus – kõigis neis ülesannetes ehitatakse täisnurkne kolmnurk ja rakendatakse valemit.
Oluline on meeles pidada peamist piirangut: Püthagorase teoreem kehtib ainult täisnurkses kolmnurgas. Kui täisnurka pole, seob külgi juba kosinusteoreem, mida õpitakse 9. klassis.
Näited Püthagorase teoreemi ülesannete lahendamisest
Näide 1. Hüpotenuusi leidmine
Ülesanne. Täisnurkse kolmnurga kaatetid on \(9\) cm ja \(12\) cm. Leidke hüpotenuus.
Samm 1. Kirjutame teoreemi meie kolmnurgale: \(c^2 = a^2 + b^2\).
Samm 2. Tõstame kaatetid ruutu ja liidame:
Samm 3. Võtame ruutjuure: \(c = \sqrt{225} = 15\) cm.
Vastus: \(15\) cm. Kontroll mõtte järgi: hüpotenuus tuli pikem kui kumbki kaatet – nii peabki olema.
Näide 2. Kaateti leidmine
Ülesanne. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on \(25\) cm, üks kaatet – \(7\) cm. Leidke teine kaatet.
Samm 1. Avaldame tundmatu kaateti valemist \(a^2 + b^2 = c^2\): \(b^2 = c^2 - a^2\). Siin on vahe, mitte summa – otsime kaatetit, mitte hüpotenuusi.
Samm 2. Asetame arvud:
Samm 3. Võtame ruutjuure: \(b = \sqrt{576} = 24\) cm.
Vastus: \(24\) cm. Ühtlasi saime teada Püthagorase kolmiku \(7 - 24 - 25\).
Näide 3. Redeli ülesanne
Ülesanne. 5 m pikkune redel on vastu seina toetatud. Selle alumine ots on seinast 3 m kaugusel. Mis kõrgusel redel vastu seina ulatub?
Samm 1. Teeme joonise: sein ja maa moodustavad täisnurga, redel – hüpotenuus. Seega \(c = 5\) m, üks kaatet \(a = 3\) m, kõrgus \(h\) – teine kaatet.
Samm 2. Otsime kaatetit vahe kaudu:
Samm 3. \(h = \sqrt{16} = 4\) m.
Vastus: \(4\) m. Ees on meil see Egiptuse kolmnurk \(3 - 4 - 5\).
Näide 4. Kolmnurga kontrollimine pöördtõestuse abil
Ülesanne. Kolmnurga küljed on 10, 24 ja 26. Kas see on täisnurkne?
Samm 1. Leiame pikima külje – see on 26. Kui kolmnurk on täisnurkne, on hüpotenuus just see.
Samm 2. Arvutame kahe väiksema külje ruutude summa: \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\).
Samm 3. Võrdleme pikima külje ruuduga: \(26^2 = 676\). Arvud ühtisid.
Vastus: jah, kolmnurk on täisnurkne, täisnurk asub külje 26 vastas. See on kolmik 5 – 12 – 13, korrutatud 2-ga.
Näide 5. Ristküliku diagonaal
Ülesanne. Ristküliku küljed on 8 cm ja 15 cm. Leidke selle diagonaal.
Samm 1. Diagonaal jagab ristküliku kaheks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks: ristküliku küljed muutuvad kaatetiteks, diagonaal – hüpotenuusiks.
Samm 2. Rakendame valemit: \(d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}\).
Samm 3. \(d = 17\) cm.
Vastus: \(17\) cm. Siin töötab Püthagorase kolmik 8 – 15 – 17.
Sagedased vead Püthagorase teoreemi ülesannetes
-
Kaatetit ja hüpotenuusi aetakse segi: pikim külg asetatakse kaatetiks ja saadakse negatiivne arv ruutjuure alla.
Hüpotenuus on alati täisnurga vastas olev külg ja alati pikim. Alusta lahendust joonisega: märgi täisnurk ja näed, milline külg asub selle vastas.
-
Liidetakse küljed ise, mitte nende ruudud: kirjutatakse $a + b = c$ ja kaatetite 6 ja 8 puhul saadakse 14.
Teoreem seob just ruute: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), seega \(c = 10\). Kaatetite summa on alati suurem kui hüpotenuus – see pole vastus, vaid vea tunnus.
-
Unustatakse ruutjuur võtta ja vastuseks kirjutatakse $c^2$ asemel $c$: „hüpotenuus on 225“.
Pärast arvutusi jääb alati alles külje ruut. Viimane samm – ruutjuur: \(c = \sqrt{225} = 15\). Tee endale reegliks lugeda ülesande küsimus enne vastuse kirjutamist.
-
Kaatetit otsitakse summaga: $b = \sqrt{c^2 + a^2}$.
Summaga otsitakse ainult hüpotenuusi. Kaatetit – vahe kaudu: \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\). Kontroll on lihtne: kaatet peab tulema lühem kui hüpotenuus.
-
Teoreemi rakendatakse kolmnurgale ilma täisnurgata – näiteks võrdhaarsele või suvalisele külgedega 5, 6, 7.
Püthagorase teoreem kehtib ainult täisnurkses kolmnurgas. Kui täisnurka pole, „luuakse“ see kõigepealt – tõmmatakse kõrgus – või kasutatakse 9. klassi kosinusteoreemi.
-
Pöördtõestuses võrreldakse mitte selle küljega: tõstetakse ruutu kaks suvalist külge ja liidetakse.
Pikima külje ruut peab olema võrdne kahe teise külje ruutude summaga. Külgede 6, 8, 11 puhul võrreldakse \(6^2 + 8^2 = 100\) ja \(11^2 = 121\): võrdust ei ole, kolmnurk ei ole täisnurkne.
Küsimused ja vastused
Kuidas kõlab Püthagorase teoreemi valem?
a² + b² = c², kus a ja b on täisnurkse kolmnurga kaatetid ja c on hüpotenuus. Sõnadega: hüpotenuusi ruut on võrdne kaatetite ruutude summaga.
Kuidas leida hüpotenuusi, kui kaatetid on teada?
Tõsta kaatetid ruutu, liida ja võta ruutjuur: c = √(a² + b²). Näiteks kaatetite 6 ja 8 puhul saame c = √(36 + 64) = √100 = 10.
Kuidas leida kaatetit, kui hüpotenuus ja teine kaatet on teada?
Ruutude vahe kaudu: a = √(c² − b²). Näiteks hüpotenuusi 13 ja kaateti 5 puhul on teine kaatet √(169 − 25) = √144 = 12.
Mis klassis Püthagorase teoreemi õpitakse?
- klassis geomeetria tundides, teemas „Täisnurkne kolmnurk“. Seal õpitakse ka Püthagorase pöördtõestust ja Püthagorase kolmikuid, edasi kasutatakse teoreemi 9. klassis ja OGE ning EGE ülesannetes.
Mis on Püthagorase pöördtõestus?
See on väide vastupidises suunas: kui ühe kolmnurga külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, siis on kolmnurk täisnurkne. See võimaldab määrata kolmnurga liigi kolme arvu järgi, ilma nurki mõõtmata.
Millist kolmnurka nimetatakse Egiptuse kolmnurgaks?
Kolmnurka külgedega 3, 4 ja 5: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Vana-Egiptuses saadi selle abil täpse täisnurga 12 võrdseks osaks jaotatud nööri abil ehitiste märkimisel.
Kas Püthagorase teoreem töötab täisnurgata kolmnurgas?
Ei. Võrdus a² + b² = c² kehtib ainult täisnurga korral. Suvalise kolmnurga jaoks kasutatakse kosinusteoreemi c² = a² + b² − 2ab·cos C, mis 90° nurga korral taandub täpselt Püthagorase teoreemiks.
Kuidas Püthagorase teoreemi lihtsal viisil tõestada?
Kõige visuaalsem koolitõestus on pindalade kaudu. Võetakse kaks ühesugust ruutu küljega a + b ja paigutatakse kumbassegi neli ühesugust täisnurkset kolmnurka kaetitega a ja b. Esimeses jäävad vabaks ruudud a² ja b², teises – ruut c². Kuna suured ruudud ja kolmnurgad on ühesugused, siis a² + b² = c².
