Sarnased kolmnurgad on sama kujuga, kuid erineva suurusega kolmnurgad: nende nurgad on vastavalt võrdsed ja vastavad küljed on proportsionaalsed. Arvu, mis näitab, mitu korda üks kolmnurk on teisest suurem, nimetatakse sarnasuse teguriks \(k\). Sarnasuse tõestamiseks on kolm tunnust ning ümbermõõtude ja pindalade suhted alluvad lihtsale reeglile: ümbermõõdud suhtuvad nagu \(k\), pindalad aga nagu \(k^2\). Sellel lehel on – definitsioon ja sarnasuse kirjapanek tippude õige järjekorraga, kõik kolm tunnust, täisnurksete kolmnurkade sarnasus ja täisnurga kõrgus, OGE ülesannete „leia külg“ lahendused ja interaktiivne treening.
Mis on sarnased kolmnurgad ja sarnasuse tegur
Kahte kolmnurka nimetatakse sarnasteks, kui täidetud on kaks tingimust:
- nende nurgad vastavalt võrdsed – iga esimese kolmnurga nurga kohta leidub teises kolmnurgas võrdne nurk;
- nende vastavad küljed on proportsionaalsed – kõik kolm suhet annavad sama arvu.
Vastavad (kooskõlalised) küljed – need on küljed, mis asuvad võrdsete nurkade vastas. Just nemad moodustavad paarid, mille vahel suhet leitakse.
Sarnasust tähistatakse sümboliga \(\sim\):
Sarnasuse tegur \(k\) – see sama ühine vastavate külgede suhe:
Kui \(k > 1\), on teine kolmnurk esimesest suurem; kui \(k < 1\) – väiksem; kui \(k = 1\), on kolmnurgad lihtsalt võrdsed, sest võrdsus on sarnasuse erijuht.
Tippude järjekord kirjapanekus – mitte formaalsus
Kirjapanekut \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) loetakse rangelt positsioonide järgi: \(A\) vastab \(A_1\), \(B\) – \(B_1\), \(C\) – \(C_1\). Siit järeldub kohe, millised nurgad on võrdsed (\(\angle A = \angle A_1\)) ja millised küljed on vastavad (\(AB\) ja \(A_1B_1\), \(BC\) ja \(B_1C_1\), \(AC\) ja \(A_1C_1\)).
Kui tähed ümber tõsta ja kirjutada \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), saadakse teine väide: nüüd on \(\angle A = \angle B_1\), ja \(AB\) vastavaks küljeks saab \(B_1A_1\). Proportsiooni ei saa koostada „sarnaselt paiknevate“ külgede järgi – ainult kirjapaneku positsioonide järgi. Seepärast kirjutatakse esmalt välja võrdsete nurkade paarid ja alles siis nende alla kohandatakse tähtede järjekord.
Kolme sarnasuse tunnus kolmnurkadel
Kõigi kuue definitsiooni tingimuse kontrollimine pole vajalik: sarnasust tõestatakse ühe kolme tunnuse abil. Igaüks neist on minimaalne andmekogum, millest automaatselt järeldub nii kõigi nurkade võrdsus kui ka kõigi külgede proportsionaalsus.
Kuidas tunnus valida. Vaata, mida ülesandes on antud: kui nurkadest – esimene, kui kahest küljest ja nurgast – teine, kui kõigist kolmest küljest – kolmas.
- Esimene tunnus (kahe nurga järgi) – koolikursuse tööloom: peaaegu kõik OGE ülesanded lahendatakse just sellega. Kolmandat nurka pole vaja kontrollida, see on automaatselt võrdne: kolmnurga nurkade summa on alati \(180°\). Otsi valmis võrdsete nurkade paare – kahe kolmnurga ühine nurk, tipunurgad, vahelduvad ja vastavad nurgad paralleelsete sirgete korral, kaks täisnurgast.
- Teine tunnus (kahe külje ja nende vahelise nurga järgi) nõuab, et nurk oleks täpselt nende kahe külje vahel. Kui võrdne nurk asub ühe neist vastas, tunnus ei tööta ja sarnasus pole tõestatud.
- Kolmas tunnus (kolme külje järgi) – kui tingimustes pole üldse nurki, vaid ainult pikkused. Kirjuta iga kolmnurga küljed kasvavas järjekorras ja jaga vähim vähimaga, keskmine keskmisega, suurim suurimaga: nii ei lähe paarid kindlasti segi. Sarnasus on olemas ainult siis, kui kõik kolm suhet ühtisid.
Et mitte segi ajada sarnasuse ja võrdsuse tunnuseid, pea meeles erinevust: võrdsuse korral peavad küljed kattuma, sarnasuse korral – olema proportsionaalsed.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Sarnaste kolmnurkade ümbermõõtude ja pindalade suhe
Sarnasusel on kaks kõige sagedamini küsitavat järeldust ja üks neist on teema peamine lõks.
Ümbermõõdud suhtuvad nagu \(k\). Teise kolmnurga iga külg on \(k\) korda suurem kui esimese vastav külg, seega ka külgede summa kasvab täpselt \(k\) korda:
Samamoodi – „\(k\) korda“ – käituvad kõik lineaarsed suurused: kõrgused, mediaanid, nurgapoolitajad, siseringjoone ja kindlusringjoone raadiused, keskjooned.
Pindalad suhtuvad nagu \(k^2\). Pindala sõltub kahest mõõtmest korraga: nii alus kui ka kõrgus suurenevad \(k\) korda, ja nende korrutis – \(k \cdot k\) korda:
Olgu \(k = 5\). Siis on ümbermõõt 5 korda suurem (näiteks oli 14 cm – sai 70 cm), aga pindala – juba 25 korda (oli 6 cm² – sai 150 cm²). Vahe on tohutu ja siia \(k\) asemel \(k^2\) panemine on kõige sagedasem viga eksamil.
Pöördtegevus. Kui tingimuses on antud pindalade suhe, leitakse sarnasuse tegur juure abil: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Näiteks pindalad suhtuvad nagu \(16 : 1\), siis küljed – nagu \(4 : 1\).
| k | Ümbermõõdud P₂ : P₁ | Pindalad S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| mis tahes | k : 1 | k² : 1 |
Täisnurksete kolmnurkade sarnasus ja täisnurga kõrgus
Täisnurksete kolmnurkade puhul lihtsustub esimene tunnus: täisnurgad on neil juba võrdsed, seega piisab ühe terava nurga võrdsusest, et kolmnurgad oleksid sarnased. Sellest järeldub ka tunnus kahe kaateti järgi: kui ühe kolmnurga kaatetid on teise omadega proportsionaalsed, on kolmnurgad sarnased (see on teine tunnus, sest kaatettide vaheline nurk on täisnurk).
Kogu teema kõige kasulikum konfiguratsioon – täisnurgast kõrguse joonestamine. See jagab kolmnurga kaheks ja kõik kolm tekkinud kolmnurka on omavahel sarnased.
Miks nii: kolmnurgal \(AHC\) on täisnurk tipus \(H\) ja ühine suure kolmnurgaga nurk \(A\), seega \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). Kolmnurgal \(CHB\) on täisnurk tipus \(H\) ja ühine nurk \(B\), seega \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Sellest järeldub, et ka kaks väikest kolmnurka on omavahel sarnased.
Nendest sarnasustest saadakse keskmise geomeetrilise valemid (neid nimetatakse täisnurkses kolmnurgas proportsionaalseteks lõikudeks):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) – kõrgus on hüpotenuusi jaotavate lõikude keskmine geomeetriline;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) ja \(BC^2 = HB \cdot AB\) – kaatet on hüpotenuusi ja selle projektsiooni keskmine geomeetriline.
Peaasi – ära aja segi, milline lõik on „oma“: kaateti \(AC\) projektsioon on \(AH\), kaateti \(BC\) projektsioon on \(HB\). Projektsioon on alati hüpotenuusi selle otsa küljes, kuhu kaatet ulatub.
OGE ülesanded sarnasuse kohta: kuidas leida külge
Peaaegu kõik sarnasuse ülesanded lahendatakse ühe algoritmi järgi:
- Leia võrdsete nurkade paar – ühine nurk, tipunurgad, vahelduvad nurgad paralleelsete sirgete korral või kaks täisnurgast.
- Kirjuta sarnasus õiges tippude järjekorras – nii, et võrdsed nurgad oleksid samadel positsioonidel.
- Koosta proportsioon vastavatest külgedest (võta küljed, mis asuvad kirjapanekus samadel kohtadel).
- Väljenda tundmatu ja arvuta; lõpus kontrolli vastust mõtte järgi – väiksema kolmnurga külg peab saama väiksem.
OGE tüüpilisi konfiguratsioone on vähe ja neid tasub ära tunda esmapilgul:
- Sirge, mis on paralleelne küljega. Sirge lõikab kolmnurgast välja väikese kolmnurga, mis on sarnane algsega. Peamine nüanss: proportsiooni läheb tervete külgede suhe ühisest tipust (\(BM : BA\)), mitte lõikude (\(BM : MA\)).
- „Liblikas“. Kaks lõiku ristuvad ja nende otspunktid on ühendatud paralleelsete sirgetega – tekivad kaks sarnast, teineteise suhtes pööratud kolmnurka.
- Täisnurga kõrgus – eelmisest jaost pärit konfiguratsioon; OGE-s otsitakse selle abil kõrgust, kaetit või hüpotenuusi lõiku.
- Puude vari ja kõrgus. Päikesekiired on paralleelsed, seega annavad puu koos varjuga ja puu koos varjuga sarnased täisnurksed kolmnurgad.
- Keskjoon – erijuht \(k = 2\): see on paralleelne küljega ja kaks korda lühem sellest.
nurk B ühine, nurgad M ja A vastavad
nurgad tipus O on tipunurgad, nurgad A ja C on vahelduvad
Näited sarnaste kolmnurkade ülesannete lahendamisest
Näide 1. Leia küljed sarnasuse teguri järgi
Ülesanne. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). On teada, et \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) ja \(PQ = 21\). Leia \(QR\) ja \(PR\).
Samm 1. Vaatame kirjapanekut positsioonide järgi: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Seega vastavad paarid on: \(MN\) ja \(PQ\), \(NK\) ja \(QR\), \(MK\) ja \(PR\).
Samm 2. Arvutame sarnasuse teguri ainsa paari järgi, kus mõlemad küljed on teada:
Samm 3. Ülejäänud teise kolmnurga küljed on 3 korda suuremad vastavatest külgedest:
Vastus: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Kontroll: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) – kõik suhted ühtisid.
Näide 2. Tõesta sarnasus teise tunnuse järgi
Ülesanne. Kolmnurkades \(ABC\) ja \(DEF\) on teada: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), ja nurgad \(A\) ja \(D\) on võrdsed. Tõesta, et kolmnurgad on sarnased.
Samm 1. Kontrollime teise tunnuse peamist tingimust: nurk \(A\) asub külgede \(AB\) ja \(AC\) vahel, nurk \(D\) – külgede \(DE\) ja \(DF\) vahel. Nurgad antud külgede vahel – tunnus on rakendatav.
Samm 2. Arvutame vastavate külgede suhteid:
Samm 3. Kaks küljepaari on proportsionaalsed sama teguriga \(k = 3\), nende vahelised nurgad on võrdsed – teise tunnuse järgi \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Vastus: kolmnurgad on sarnased, \(k = 3\). Pane tähele: kui võrdsed oleksid olnud nurgad \(B\) ja \(D\), tunnus ei oleks töötanud – nurk \(B\) ei asu külgede \(AB\) ja \(AC\) vahel.
Näide 3. Sirge, mis on paralleelne küljega (OGE ülesanne)
Ülesanne. Kolmnurgas \(ABC\) punkt \(M\) asub küljel \(AB\), punkt \(N\) – küljel \(BC\), kusjuures \(MN \parallel AC\). On teada, et \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Leia \(AC\).
Samm 1. Kuna \(MN \parallel AC\), on nurgad \(BMN\) ja \(BAC\) võrdsed kui vastavad nurgad, ja nurk \(B\) on ühine. Esimese tunnuse järgi \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (tippude järjekord: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Samm 2. Leia täispikk külg ühisest tipust: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). See on peamine nüanss – proportsiooni läheb \(BA\), mitte \(MA\).
Samm 3. Koosta proportsioon vastavatest külgedest:
Samm 4. Siit \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Vastus: \(AC = 20\). Sarnasuse tegur siin on 4: suur kolmnurk on lõigatud kolmnurgast neli korda suurem.
Näide 4. Ümbermõõdud ja pindalad
Ülesanne. Sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud on 18 cm ja 45 cm. Väiksema kolmnurga pindala on 16 cm². Leia suurema pindala.
Samm 1. Ümbermõõdud suhtuvad nagu sarnasuse tegur:
Samm 2. Pindalad suhtuvad nagu sarnasuse teguri ruut: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Samm 3. Korruta väiksema kolmnurga pindala \(k^2\)-ga:
Vastus: 100 cm². Kui oleksime korrutanud \(k = 2{,}5\)-ga, saaksime 40 cm² – tüüpiline viga, mille tõttu kaotatakse kogu punkt.
Näide 5. Täisnurga tipust kõrgus
Ülesanne. Täisnurkses kolmnurgas \(ABC\) täisnurgaga tipus \(C\) on joonestatud kõrgus \(CH\) hüpotenuusile. On teada, et \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Leia kõrgus \(CH\) ja kolmnurga pindala.
Samm 1. Täisnurga kõrgus on hüpotenuusi lõikude keskmine geomeetriline, sest \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Samm 2. Võtame ruutjuure: \(CH = 6\) cm.
Samm 3. Hüpotenuus \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. Pindala arvutame hüpotenuusi ja sellele joonestatud kõrguse kaudu:
Vastus: \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
Näide 6. Puu kõrgus varju järgi
Ülesanne. Vertikaalne latt kõrgusega 2 m heidab 1,5 m pikkuse varju. Samal hetkel on puu vari 9 m pikk. Kui kõrge on puu?
Samm 1. Päikesekiired on paralleelsed, seega langeva kiirte nurk lattile ja puule on sama. Latt koos varjuga ja puu koos varjuga moodustavad täisnurksed kolmnurgad, millel on üks terav nurk võrdne – seega nad on sarnased.
Samm 2. Koostame proportsiooni „kõrgus tema varju suhtes“:
Samm 3. Väljendame tundmatu kõrguse:
Vastus: 12 m. Kontroll mõtte järgi: puu vari on 6 korda pikem kui latti vari, seega ka puu on 6 korda kõrgem: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Sarnaste kolmnurkade ülesannete sagedased vead
-
Arvatakse, et sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu $k$: $k = 3$ korral suurendatakse pindala kolm korda.
Pindalad suhtuvad nagu sarnasuse teguri ruut: \(k = 3\) korral on pindala suurem \(3^2 = 9\) korda. Nagu \(k\) suhtuvad ainult lineaarsed suurused – küljed, ümbermõõt, kõrgused, mediaanid. Reegel-vihje: pindala mõõdetakse ruutühikutes, seega ka tegur siseneb sellesse ruudus.
-
Tippude järjekorda ignoreeritakse: kirjapanekust $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ koostatakse proportsioon $AB : LM$.
Tippude vastavus määratakse kirjapaneku positsioonidega: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). \(AB\) vastavaks on \(KL\), ja \(BC\) – \(LM\). Enne proportsiooni kirjutamist kirjuta tipupaarid veergu – see võtab viis sekundit ja kõrvaldab enamiku vigadest.
-
Tõestatakse sarnasus ühe võrdse nurga või kahe proportsionaalse külje järgi ilma nurgata.
Ühest võrdest nurgast ei piisa: kahel kolmnurgal võib nurk olla sama, aga kuju hoopis erinev. Vaja on täielikku tunnust – kaks nurka, või kaks külge ja nende vaheline nurk, või kõik kolm külge.
-
Teises tunnuses võetakse nurk, mis ei asu antud külgede vahel.
Teine tunnus töötab ainult nurga korral vahel kahe antud külje vahel. Kui on teada \(AB\), \(AC\) ja nurk \(B\) on võrdne, tunnus ei ole rakendatav – otsi teist teed: võrdsete nurkade paari või kolmandat külge.
-
Pööratakse tegur tagurpidi: leitakse $k$ kui „väiksem külg suurema suhtes“, ja siis korrutatakse sellega, et saada suurema kolmnurga külg.
Lepita iseendaga kokku suund: kui \(k\) on teise kolmnurga suhe esimese külgede suhtes, siis esimese kolmnurga külgi korrutatakse \(k\)-ga, ja teise kolmnurga külgi jagatatakse \(k\)-ga. Lõplik kontroll mõtte järgi: väiksema kolmnurga külg peab saama väiksem.
-
Ülesandes sirgega, mis on paralleelne küljega, koostatakse proportsioon lõikudest: $BM : MA = MN : AC$.
Sarnased on kolmnurgad \(BMN\) ja \(BAC\), ja nende vastavad küljed on \(BM\) ja \(BA\) (terve külg ühisest tipust), mitte lõik \(MA\). Leia kõigepealt \(BA = BM + MA\), ja alles siis koosta proportsioon.
-
Segatakse sarnasus võrdsusega ja vastuses kirjutatakse, et küljed on lihtsalt võrdsed.
Võrdsus on sarnasuse erijuht \(k = 1\) korral. Kui \(k \ne 1\), siis kolmnurkadel langevad kokku ainult nurgad, aga küljed erinevad \(k\) korda. Tunnused on samuti erinevad: võrdsuse korral on need KNK, NKN, KKK koos kattuvate külgedega, sarnasuse korral – proportsionaalsed küljed.
Küsimused ja vastused
Milliseid kolmnurki nimetatakse sarnasteks?
Sarnasteks nimetatakse kolmnurki, mille nurgad on vastavalt võrdsed ja vastavad küljed on proportsionaalsed. Lihtsamalt öeldes on need sama kujuga, kuid erineva suurusega kolmnurgad. Sarnasust kirjutatakse sümboliga ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Mis on sarnasuse tegur kolmnurkadel?
Sarnasuse tegur k on arv, mis on võrdne sarnaste kolmnurkade vastavate külgede suhtega: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. See näitab, mitu korda üks kolmnurk on teisest suurem. Kui k = 1, on kolmnurgad võrdsed.
Mitu sarnasuse tunnust kolmnurkadel on ja millised need on?
Tunnuseid on kolm. Esimene – kahe nurga järgi: ühe kolmnurga kaks nurka on võrdsed teise kolmnurga kahe nurgaga. Teine – kahe külje ja nende vahelise nurga järgi: kaks külge on proportsionaalsed ja nende vahelised nurgad on võrdsed. Kolmas – kolme külje järgi: kõik kolm vastavate külgede paari on proportsionaalsed.
Kuidas suhtuvad sarnaste kolmnurkade pindalad?
Sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu sarnasuse teguri ruut: S₂ : S₁ = k². Näiteks, kui k = 4, on pindala 16 korda suurem. Vastupidi: kui pindalad suhtuvad nagu 25 : 1, siis küljed suhtuvad nagu 5 : 1.
Kuidas suhtuvad sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud?
Ümbermõõdud suhtuvad nagu sarnasuse tegur: P₂ : P₁ = k. Samamoodi käituvad kõik lineaarsed elemendid – kõrgused, mediaanid, nurgapoolitajad, keskjooned, siseringjoone ja kindlusringjoone raadiused.
Mille poolest erineb kolmnurkade sarnasus võrdsusest?
Võrdsete kolmnurkade nurgad ja küljed langevad kokku, seega saab kujundeid üksteise peale asetada. Sarnastel langevad kokku ainult nurgad, küljed aga on proportsionaalsed teguriga k. Võrdsus on sarnasuse erijuht k = 1 korral.
Kuidas tõestada täisnurksete kolmnurkade sarnasus?
Piisab ühe terava nurga võrdsusest: täisnurgad on neil juba võrdsed, seega töötab esimene tunnus. Teine viis – kaatettide proportsionaalsus: kaatettide vaheline nurk on täisnurk, seega on teine sarnasuse tunnus rakendatav.
Miks täisnurga tipust kõrgus annab kolm sarnast kolmnurka?
Täisnurga C tipust tõmmatud kõrgus CH jagab kolmnurga ABC kolmnurkadeks AHC ja CHB. AHC-l on täisnurk tipus H ja ühine nurk A kolmnurgaga ABC, CHB-l aga täisnurk tipus H ja ühine nurk B, seega mõlemad on sarnased algsega, ja sellest tulenevalt ka omavahel. Siit saadakse valemid CH² = AH · HB, AC² = AH · AB ja BC² = HB · AB.
Mis klassis õpitakse kolmnurkade sarnasust?
- klassis geomeetria tundides – kohe pärast teemat proportsionaalsetest lõikudest. Seal õpitakse ka kolme sarnasuse tunnust, pindalade suhet ja sarnasuse rakendamist täisnurksele kolmnurgale. Edasi kasutatakse teemat 9. klassis ja OGE ülesannetes.
