Una circunferencia genera dos tipos principales de ángulos: el ángulo central, con vértice en el centro, y el ángulo inscrito, con vértice en la propia circunferencia. La relación entre ellos es simple: el ángulo central es igual al arco que abarca, y el ángulo inscrito es igual a la mitad de ese arco. En esta página encontrarás definiciones, el teorema del ángulo inscrito con todos sus corolarios, figuras claras, ejemplos resueltos paso a paso y un entrenador interactivo donde puedes ponerte a prueba de inmediato.
Tipos de ángulos en una circunferencia: central e inscrito
Traza dos segmentos desde un mismo punto dentro de una circunferencia: obtienes un ángulo. Según dónde se encuentre su vértice, hay dos tipos principales de ángulos en una circunferencia:
- Ángulo central: ángulo con vértice en el centro \(O\) de la circunferencia. Sus lados son radios.
- Ángulo inscrito: ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y cuyos lados la cortan (es decir, son cuerdas).
Cada uno de estos ángulos abarca un arco: la parte de la circunferencia que queda dentro del ángulo. Es precisamente el arco el que conecta el ángulo central y el inscrito: ambos se expresan a través de su medida en grados.
Si el vértice del ángulo queda dentro del círculo (pero no en el centro) o fuera de él, ya no es un ángulo inscrito ni central: para esos ángulos existen otras fórmulas, que se explican al final de la página.
∠AOC = arco AC = 120°
∠ABC = ½ arco AC = 60°
Teorema del ángulo inscrito y su medida
El ángulo central es igual al arco que abarca: así se define la medida en grados de un arco. Si \(\angle AOC = 120°\), entonces el arco \(AC\) también es igual a \(120°\).
Teorema del ángulo inscrito: un ángulo inscrito se mide por la mitad del arco que abarca:
De aquí se deduce la relación clave entre el ángulo inscrito y el central: el ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco:
La medida del ángulo inscrito no depende de en qué punto exacto de la circunferencia esté su vértice; solo importa el arco que abarca. Por eso vale la pena memorizar el siguiente esquema como la «imagen clave» de todo el tema: un arco verde con dos ángulos que lo miran.
Ángulo inscrito y ángulo central: propiedades y corolarios
Del teorema del ángulo inscrito se derivan directamente las propiedades sobre las que se basan la mayoría de los problemas escolares:
- Los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales. Cada uno de ellos es igual a la mitad del mismo arco, así que son iguales entre sí, sin importar dónde estén sus vértices.
- Un ángulo inscrito que abarca un diámetro es recto. El diámetro divide la circunferencia en dos semicircunferencias de \(180°\) cada una, por lo que ese ángulo es igual a \(180° : 2 = 90°\). También es cierto lo contrario: si un ángulo inscrito es recto, entonces abarca un diámetro.
- Un ángulo inscrito puede ser obtuso. Si el arco es mayor que \(180°\), el ángulo es mayor que \(90°\): la fórmula «mitad del arco» funciona sin excepciones.
Estas propiedades también funcionan «al revés»: por ejemplo, a partir de la igualdad de ángulos que abarcan el mismo segmento se demuestra que cuatro puntos están en una misma circunferencia.
Ángulos inscritos y circunscritos: un cuadrilátero en la circunferencia
Si los cuatro vértices de un cuadrilátero están en una circunferencia, se llama cíclico (y la circunferencia es circunscrita a él). Los ángulos de ese cuadrilátero son ángulos inscritos, así que se aplica el mismo teorema.
- La suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico es \(180°\). Los ángulos \(A\) y \(C\) abarcan dos arcos que juntos forman toda la circunferencia (\(360°\)), por lo que \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Un ángulo exterior de un cuadrilátero cíclico es igual al ángulo interior del vértice opuesto. El ángulo exterior es suplementario a su propio ángulo interior, tal como lo es el ángulo opuesto.
- La propiedad de la suma de ángulos también funciona como criterio: si en un cuadrilátero las sumas de ángulos opuestos son de \(180°\), se puede circunscribir una circunferencia a su alrededor. Por eso cualquier rectángulo se puede inscribir en una circunferencia, mientras que un rombo (salvo el cuadrado) no.
Junto a los ángulos inscritos, en los problemas también aparecen los ángulos circunscritos: ángulos entre dos tangentes trazadas desde un mismo punto exterior a la circunferencia. Un ángulo circunscrito es igual a la semidiferencia de los arcos que intercepta.
Ejemplos resueltos sobre ángulos inscritos y centrales
Ejemplo 1. Ángulo inscrito a partir de un arco
Problema. El ángulo inscrito \(ABC\) abarca el arco \(AC\), igual a \(120°\). Halla \(\angle ABC\).
Paso 1. Recordamos el teorema: un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca.
Paso 2. Sustituimos: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Respuesta: \(60°\).
Ejemplo 2. Ángulo central a partir del inscrito
Problema. El ángulo inscrito \(ABC\) es igual a \(40°\). Halla el ángulo central \(AOC\), que abarca el mismo arco \(AC\).
Paso 1. Un ángulo central es el doble del inscrito que abarca el mismo arco: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Paso 2. Calculamos: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). De paso, hallamos el arco: \(AC = 80°\).
Respuesta: \(80°\).
Ejemplo 3. Ángulo que abarca un diámetro
Problema. \(AC\) es un diámetro de una circunferencia, el punto \(B\) está en la circunferencia, \(\angle BAC = 35°\). Halla \(\angle BCA\).
Paso 1. El ángulo \(ABC\) abarca el diámetro \(AC\), por lo que \(\angle ABC = 90°\): el triángulo \(ABC\) es rectángulo.
Paso 2. La suma de los ángulos de un triángulo es \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Respuesta: \(55°\).
Ejemplo 4. Cuadrilátero cíclico
Problema. El cuadrilátero \(ABCD\) está inscrito en una circunferencia, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Halla los ángulos \(C\) y \(D\).
Paso 1. Las sumas de los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son iguales a \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Paso 2. De manera análoga, \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Comprobación. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\): la suma de los ángulos del cuadrilátero es correcta.
Respuesta: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Errores frecuentes en problemas de ángulos en una circunferencia
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Confundir el ángulo inscrito con el central: tomar la mitad del arco para el ángulo con vértice en el centro (o al revés).
Primero fíjate en el vértice. Vértice en el centro \(O\): es un ángulo central, igual al arco completo. Vértice en la circunferencia: es un ángulo inscrito, igual a la mitad del arco.
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Tomar el arco equivocado: para el ángulo inscrito, usar el arco donde está su vértice.
Un ángulo inscrito abarca el arco que queda «dentro» del ángulo: el vértice siempre está en el otro arco. En la notación \(\angle ABC\), el ángulo abarca el arco \(AC\) que no contiene al punto \(B\).
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Multiplicar y dividir por 2 «en el sentido equivocado»: dividir en lugar de multiplicar al pasar del ángulo inscrito al central.
Recuerda: el inscrito es «pequeño» (mitad del arco), el central es «grande» (el arco completo). Del inscrito al central se multiplica por 2; del central al inscrito se divide.
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Considerar inscrito a cualquier ángulo cuyos lados corten la circunferencia, por ejemplo, un ángulo entre cuerdas que se cruzan dentro del círculo.
Un ángulo inscrito debe tener su vértice sobre la propia circunferencia. Un ángulo con vértice dentro del círculo es igual a la semisuma de los arcos interceptados; con vértice fuera del círculo, a la semidiferencia: son fórmulas distintas.
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En un cuadrilátero cíclico, igualar a $180°$ la suma de ángulos adyacentes en lugar de la de los opuestos.
La propiedad solo se cumple para vértices opuestos: \(\angle A + \angle C = 180°\) y \(\angle B + \angle D = 180°\). Los ángulos adyacentes de un cuadrilátero cíclico pueden ser cualesquiera.
Preguntas y respuestas
¿A qué es igual un ángulo inscrito?
Un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca. Por ejemplo, si el arco es de 120°, el ángulo inscrito es de 60°. Este es el teorema del ángulo inscrito: la fórmula principal del tema.
¿Cómo se relacionan el ángulo inscrito y el central que abarcan el mismo arco?
El ángulo central es el doble del inscrito: ∠AOC = 2·∠ABC. El ángulo central es igual al arco en sí, mientras que el inscrito es igual a su mitad.
¿Por qué un ángulo inscrito que abarca un diámetro es igual a 90°?
Un diámetro abarca una semicircunferencia, un arco de 180°. El ángulo inscrito es igual a la mitad del arco: 180° : 2 = 90°. Por eso, cualquier triángulo en el que un lado sea el diámetro de su circunferencia circunscrita es un triángulo rectángulo.
¿Puede un ángulo inscrito ser obtuso?
Sí. Si el arco que abarca el ángulo es mayor de 180°, el ángulo es obtuso: por ejemplo, a un arco de 210° le corresponde un ángulo inscrito de 105°. Aun así, un ángulo inscrito siempre es menor de 180°.
¿Qué es un ángulo circunscrito y en qué se diferencia del inscrito?
Un ángulo circunscrito lo forman dos tangentes trazadas a una circunferencia desde un mismo punto exterior. Su vértice está fuera de la circunferencia y es igual a la semidiferencia de los arcos interceptados. El ángulo inscrito tiene su vértice en la circunferencia y es igual a la mitad de un solo arco.
¿Qué otros tipos de ángulos en una circunferencia existen?
Además del central y el inscrito, se estudian el ángulo entre cuerdas (vértice dentro del círculo: semisuma de los arcos), el ángulo entre secantes desde un punto exterior (semidiferencia de los arcos) y el ángulo entre una tangente y una cuerda (mitad del arco encerrado). Todos ellos se expresan a través de los arcos de la circunferencia.
