El teorema del coseno relaciona los tres lados de un triángulo y uno de sus ángulos: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Funciona en cualquier triángulo, por eso en 9º grado reemplaza al teorema de Pitágoras cuando no hay un ángulo recto. Se utiliza para encontrar el tercer lado si se conocen los otros dos y el ángulo entre ellos, y según el corolario \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\), para encontrar cualquier ángulo dadas tres lados y determinar el tipo de triángulo. En la página encontrarás la formulación y las tres formas de la fórmula, la demostración, una tabla de cosenos, una tabla de referencia de «senos o cosenos», análisis de problemas de la OGE y un simulador para autoevaluación.
Teorema del coseno: formulación y fórmula
El teorema del coseno funciona en cualquier triángulo; no necesita un ángulo recto. Relaciona tres lados y un ángulo, por lo que se utiliza para encontrar un lado si se conocen los otros dos lados y el ángulo entre ellos.
Formulación. El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos.
Aquí \(a\), \(b\), \(c\) son los lados del triángulo, y \(C\) es el ángulo entre los lados \(a\) y \(b\); el lado \(c\) está opuesto a este ángulo. Se pueden usar letras cualesquiera: la fórmula es simétrica, por lo que tiene tres formas equivalentes:
La regla principal de sustitución es: tomamos el ángulo que está entre los dos lados del producto, y encontramos el lado opuesto a él. Si tomamos un ángulo «adyacente», todos los números serán de la condición, y la respuesta será incorrecta.
Por qué el teorema de Pitágoras es un caso particular del teorema del coseno
Si sustituimos un ángulo recto en la fórmula, es decir, \(C = 90°\). El coseno de un ángulo recto es cero, por lo que el tercer término se anula por completo:
Se obtiene exactamente el teorema de Pitágoras, conocido del 8º grado. Por eso el teorema del coseno se llama su generalización: Pitágoras es un «caso particular para 90°», y el teorema del coseno funciona para todos los ángulos a la vez.
El término \(-2ab\cos C\) se entiende convenientemente como una corrección por la no rectitud del ángulo:
- el ángulo es agudo, \(\cos C > 0\) — se resta la corrección, el lado \(c\) resulta más corto de lo que daría Pitágoras;
- el ángulo es recto, \(\cos C = 0\) — no hay corrección, queda \(c^2 = a^2 + b^2\);
- el ángulo es obtuso, \(\cos C < 0\) — se suma la corrección, el lado \(c\) resulta más largo.
Demostración del teorema del coseno
La demostración escolar más corta es la de coordenadas. Colocamos el vértice \(C\) en el origen de coordenadas y el lado \(b = CA\) a lo largo del eje x. Entonces las coordenadas de los vértices son:
- \(C(0;\ 0)\) — origen de coordenadas;
- \(A(b;\ 0)\) — punto en el eje x a una distancia \(b\) del origen;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — vértice a una distancia \(a\) del origen, formando un ángulo \(C\) con el eje x.
El lado \(c\) es la longitud del segmento \(AB\). Lo calculamos con la fórmula de la distancia entre dos puntos:
Expandimos los paréntesis:
Agrupamos los términos con \(a^2\) y aplicamos la identidad trigonométrica fundamental \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Lo que se quería demostrar. Nota: en ningún momento se requirió que el ángulo \(C\) fuera agudo. Si es obtuso, el coseno es negativo, la coordenada \(a\cos C\) se desplaza a la izquierda del eje y, pero todos los cálculos son los mismos: por eso el teorema es válido para cualquier triángulo.
Corolario: cómo encontrar un ángulo dadas tres lados
Del teorema del coseno se despeja el coseno mismo: este es su principal corolario. Permite encontrar el ángulo cuando se conocen los tres lados:
En el numerador está la suma de los cuadrados de los dos lados adyacentes al ángulo, menos el cuadrado del lado opuesto. En el denominador, el doble producto de los lados adyacentes. Para los otros ángulos, las fórmulas son las mismas:
Orden de resolución:
- elegir el ángulo buscado y determinar qué lado está opuesto a él: su cuadrado va al numerador con signo menos;
- calcular la fracción (el denominador es siempre positivo, el signo lo da solo el numerador);
- encontrar el ángulo mismo usando una tabla de valores o la arcocoseno.
Un truco útil: empezar por el lado más largo. El ángulo más grande está opuesto a él, y solo él puede ser recto u obtuso; los otros dos ángulos en un triángulo son siempre agudos.
Cosenos de ángulos obtusos: tabla de valores
En los problemas escolares, los ángulos suelen ser «de tabla»: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Los ángulos agudos tienen coseno positivo, el ángulo recto tiene coseno cero, y los ángulos obtusos tienen coseno negativo. Los valores para ángulos obtusos se obtienen de los valores para ángulos agudos según la regla de reducción \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): por ejemplo, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
¿Qué significa esto en la práctica? Para un ángulo obtuso, la expresión \(-2ab\cos C\) se convierte en un más: menos por menos. Para el ángulo de \(120°\), la fórmula se ve así:
Aquí es donde se pierden más puntos: se sustituye \(0{,}5\) en lugar de \(-0{,}5\) y se obtiene un lado más corto que los dos dados. Esto es imposible de antemano: el lado opuesto a un ángulo obtuso es el lado más largo del triángulo.
| Ángulo | Coseno |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Cómo determinar el tipo de triángulo dadas tres lados
El teorema del coseno permite conocer el tipo de triángulo sin medir los ángulos con un transportador. El signo de la fracción \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) depende solo del numerador: el denominador \(2ab\) es siempre positivo. Por lo tanto, basta con comparar el cuadrado del lado más largo con la suma de los cuadrados de los otros dos.
Sea \(c\) el lado más largo, entonces el ángulo más grande \(C\) está opuesto a él:
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → el ángulo \(C\) es agudo. Los otros ángulos son menores que él, lo que significa que los tres ángulos son agudos: el triángulo es acutángulo;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — el triángulo es rectángulo (esta es la inversa del teorema de Pitágoras);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → el ángulo \(C\) es obtuso: el triángulo es obtusángulo.
No es necesario comprobar los otros ángulos: en un triángulo solo puede haber un ángulo recto u obtuso. Y no olvides la desigualdad triangular: si el lado más largo no es menor que la suma de los otros dos, un triángulo con tales lados simplemente no existe.
Teorema de los senos o cosenos: cómo elegir
Ambos teoremas resuelven una tarea: encontrar lados y ángulos desconocidos de un triángulo, pero se aplican a diferentes conjuntos de datos. El teorema de los senos relaciona un lado y el ángulo opuesto a él:
De ahí la regla de elección: si en la condición ya hay un par «lado y ángulo opuesto» — funciona el teorema de los senos; si no hay tal par — empezamos con el teorema del coseno. La tabla de referencia para los cuatro conjuntos de datos escolares está en la tabla.
A menudo, un problema se resuelve en dos pasos: primero el teorema del coseno da el tercer lado, y luego el teorema de los senos encuentra rápidamente los ángulos restantes.
| Qué se conoce | Qué aplicar |
|---|---|
| LALDos lados y el ángulo entre ellos | Teorema del cosenoencontrar el tercer lado |
| LLLLos tres lados | Teorema del cosenoencontrar cualquier ángulo y el tipo de triángulo |
| ALAUn lado y dos ángulos | Teorema de los senosencontrar los otros dos lados |
| LLADos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos | Teorema de los senosencontrar el ángulo opuesto |
Teorema del coseno en problemas de la OGE
En el examen OGE de matemáticas, el teorema del coseno aparece en problemas de planimetría, tanto en la primera parte como en los problemas de respuesta detallada. Los escenarios típicos son:
- Encontrar un lado dadas dos lados y el ángulo entre ellos — aplicación directa de la fórmula, a menudo con ángulos de 60° o 120°.
- Encontrar un ángulo o su coseno dadas tres lados — corolario \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Si la tarea dice «encuentra \(\cos\angle A\)», no necesitas calcular la arcocoseno: la respuesta es esa misma fracción, y esa es la que se escribe.
- Diagonales de un paralelogramo. Una diagonal divide un triángulo formado por dos lados y el ángulo entre ellos. Los ángulos adyacentes de un paralelogramo suman 180°, por lo que sus cosenos son opuestos: la diagonal menor está opuesta al ángulo agudo, la mayor al obtuso.
- Tipo de triángulo dadas tres cifras — comparación de \(a^2 + b^2\) con \(c^2\).
- Mediana de un triángulo. La fórmula \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) se deriva de la aplicación doble del teorema del coseno a dos ángulos adyacentes en la base.
Consejo para el examen: antes de calcular, marca en el dibujo el ángulo que está «encerrado» entre los lados conocidos. Si no hay tal ángulo, el teorema del coseno aún no es aplicable, ¡necesitas buscar otro camino!
Ejemplos de resolución de problemas sobre el teorema del coseno
Ejemplo 1. Encontrar un lado dadas dos lados y un ángulo de 60°
Problema. En un triángulo \(ABC\), los lados \(a = 7\) y \(b = 15\), el ángulo entre ellos \(C = 60°\). Encuentra el lado \(c\).
Paso 1. El ángulo \(C\) está entre los lados \(a\) y \(b\) — este es precisamente el caso para el que se creó el teorema:
Paso 2. Sustituimos los números, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Paso 3. Extraemos la raíz: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Respuesta: \(13\). Comprobación por sentido: el ángulo de \(60°\) es agudo, por lo que el lado opuesto no es el más largo — y efectivamente, \(13 < 15\).
Ejemplo 2. Ángulo obtuso: menos por menos
Problema. En un triángulo \(ABC\) se sabe: \(AB = 6\), \(BC = 10\), ángulo \(B = 120°\). Encuentra el lado \(AC\).
Paso 1. El ángulo \(B\) está entre los lados \(AB\) y \(BC\), y el lado \(AC\) está opuesto a él:
Paso 2. El ángulo es obtuso, por lo tanto \(\cos 120° = -0{,}5\). El signo menos antes del producto y el signo menos del coseno dan un más:
Paso 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Respuesta: \(14\). Comprobación: el lado opuesto a un ángulo obtuso es el más largo — \(14\) es mayor que \(6\) y \(10\).
Ejemplo 3. Encontrar un ángulo dadas tres lados
Problema. Los lados de un triángulo miden \(3\), \(5\) y \(7\). Encuentra su ángulo más grande.
Paso 1. El ángulo más grande está opuesto al lado más largo, es decir, al lado \(7\). Lo denotamos como \(C\), entonces \(c = 7\), y los lados adyacentes son \(a = 3\) y \(b = 5\).
Paso 2. Aplicamos el corolario:
Paso 3. El coseno es negativo — el ángulo es obtuso. Según la tabla de valores, \(\cos 120° = -0{,}5\), por lo tanto \(C = 120°\).
Respuesta: \(120°\). De paso, se descubrió que el triángulo es obtusángulo.
Ejemplo 4. Determinar el tipo de triángulo
Problema. Determina el tipo de triángulo con lados \(6\), \(7\) y \(10\).
Paso 1. Comprobamos la desigualdad triangular: \(6 + 7 = 13 > 10\) — el triángulo existe. El lado más largo es \(10\).
Paso 2. Comparamos la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos con el cuadrado del lado más largo:
Paso 3. \(85 < 100\), por lo tanto el numerador de la fracción es negativo y \(\cos C < 0\) — el ángulo opuesto al lado \(10\) es obtuso. Si se desea, también se puede encontrar el ángulo mismo:
Respuesta: el triángulo es obtusángulo. Atención: esto no es visible «a ojo» — los lados son casi iguales, ¡y el ángulo ya ha superado los \(90°\)!
Ejemplo 5. Problema nivel OGE: diagonal de un paralelogramo
Problema. Los lados de un paralelogramo miden \(5\) y \(8\), el ángulo agudo es \(60°\). Encuentra la diagonal menor.
Paso 1. La diagonal divide un triángulo, para el cual se conocen dos lados (\(5\) y \(8\)) y el ángulo entre ellos. La diagonal menor está opuesta al ángulo agudo de \(60°\).
Paso 2. Calculamos:
Paso 3. Comprobación. La otra diagonal está opuesta al ángulo de \(120°\) (los ángulos adyacentes de un paralelogramo suman \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), es decir, \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). La suma de los cuadrados de las diagonales es \(49 + 129 = 178\), y el doble de la suma de los cuadrados de los lados es \(2(25 + 64) = 178\). Coincide, por lo tanto el cálculo es correcto.
Respuesta: \(7\).
Errores comunes en problemas sobre el teorema del coseno
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Tomar el coseno de un ángulo obtuso con signo positivo. Para los lados $4$ y $9$ con un ángulo de $120°$ entre ellos, escriben $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ y obtienen $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), y menos por menos da más: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), es decir, \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Comprobación rápida: el lado opuesto a un ángulo obtuso es el más largo, por lo tanto la respuesta debe ser mayor que \(9\).
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Sustituir un ángulo que no está entre los lados dados: en la condición se da un ángulo, y se toma «tal cual», sin mirar el dibujo.
En la fórmula \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\), los lados \(a\) y \(b\) forman el ángulo \(C\), y el lado \(c\) está opuesto a él. Si el ángulo conocido es adyacente al lado buscado, esta fórmula no es adecuada: se necesita otra de las tres o el teorema de los senos.
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Olvidar extraer la raíz y escribir el cuadrado del lado como respuesta: obtienen $c^2 = 225$ y escriben «el lado es 225».
La fórmula siempre da el cuadrado del lado. El último paso es obligatorio: \(c = \sqrt{225} = 15\). Lee atentamente la pregunta del problema antes de escribir la respuesta.
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Confundir el orden de los términos en el corolario y escribir $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
El numerador correcto es \(a^2 + b^2 - c^2\): suma de los cuadrados de los lados adyacentes menos el cuadrado del lado opuesto. Al intercambiar el orden, el signo de la fracción cambia al opuesto, y en lugar de un ángulo obtuso de \(120°\) se obtiene uno agudo de \(60°\).
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Encontrar el ángulo por el valor absoluto del coseno: obtienen −0,25, y en la respuesta escriben un ángulo agudo, como si el coseno fuera +0,25.
Un coseno negativo siempre corresponde a un ángulo obtuso. ¡No se debe perder el signo: cos 60° = 0,5, y cos 120° = −0,5; la arcocoseno de un número negativo es mayor que 90°.
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Intentar resolver un problema de «dos lados y el ángulo entre ellos» con el teorema de los senos y quedarse atascado en la primera línea.
El teorema de los senos necesita un par listo «lado y ángulo opuesto». Con dos lados y el ángulo entre ellos, no hay tal par: primero el teorema del coseno da el tercer lado, y solo entonces se aplica el teorema de los senos.
Preguntas y respuestas
¿Cómo suena el teorema del coseno?
El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos: c² = a² + b² − 2ab·cos C. El teorema es válido para cualquier triángulo, no solo para el rectángulo.
¿Cómo encontrar un lado de un triángulo dadas dos lados y el ángulo entre ellos?
Sustituir los datos en la fórmula c² = a² + b² − 2ab·cos C y extraer la raíz. Por ejemplo, con lados 4 y 6 y un ángulo de 60° entre ellos: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, por lo tanto c = √28 ≈ 5,3.
¿Cómo encontrar un ángulo de un triángulo si se conocen tres lados?
Según el corolario del teorema del coseno: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), donde c es el lado opuesto al ángulo buscado. Por ejemplo, para los lados 2, 3 y 4, el coseno del ángulo más grande es (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, es decir, el ángulo es obtuso, aproximadamente 104°.
¿Por qué el teorema de Pitágoras es un caso particular del teorema del coseno?
Porque para un ángulo recto, cos 90° = 0, y el término −2ab·cos C se anula. De la fórmula queda c² = a² + b², que es el teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo.
¿Funciona el teorema del coseno en un triángulo obtusángulo?
Sí, y funciona sin cambios. Un ángulo obtuso tiene un coseno negativo, por lo que el término −2ab·cos C se vuelve positivo y se suma a la suma de los cuadrados. Es por esto que el lado opuesto a un ángulo obtuso resulta ser el más largo.
¿Cuándo aplicar el teorema de los senos y cuándo el teorema del coseno?
El teorema de los senos se necesita cuando en la condición ya existe un par «lado y ángulo opuesto» — por ejemplo, se dan un lado y dos ángulos. El teorema del coseno se aplica cuando no hay tal par: se dan dos lados y el ángulo entre ellos, o los tres lados. A menudo, un problema se resuelve en dos pasos: primero el coseno, luego los senos.
¿Cómo determinar el tipo de triángulo dadas tres lados?
Comparar el cuadrado del lado más largo c² con la suma de los cuadrados de los otros dos. Si a² + b² > c² — el triángulo es acutángulo, si a² + b² = c² — rectángulo, si a² + b² < c² — obtusángulo. El signo de esta diferencia coincide con el signo del coseno del ángulo más grande.
¿En qué grado se enseña el teorema del coseno?
En 9º grado en las clases de geometría, en el tema «Relaciones entre lados y ángulos de un triángulo» — junto con el teorema de los senos. Más adelante se utiliza constantemente en problemas de la OGE y el EGE de planimetría y estereometría.
