Los triángulos semejantes son triángulos de la misma forma pero de diferente tamaño: sus ángulos son respectivamente iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. El número que indica cuántas veces un triángulo es más grande que otro se llama factor de semejanza \(k\). Tres criterios ayudan a demostrar la semejanza, y las relaciones de perímetros y áreas siguen una regla simple: los perímetros se relacionan como \(k\), y las áreas como \(k^2\). En esta página encontrarás la definición y la notación de semejanza con el orden correcto de los vértices, los tres criterios, la semejanza de triángulos rectángulos y la altura desde el ángulo recto, análisis de problemas de la OGE «encuentra el lado» y un simulador interactivo.
¿Qué son los triángulos semejantes y el factor de semejanza?
Dos triángulos se llaman semejantes si se cumplen dos condiciones a la vez:
- sus ángulos son respectivamente iguales — a cada ángulo del primer triángulo le corresponde un ángulo igual en el segundo;
- sus lados correspondientes son proporcionales — las tres razones dan el mismo número.
Lados correspondientes (homólogos) — son los lados que se oponen a ángulos iguales. Son precisamente ellos los que forman los pares entre los que se calcula la razón.
La semejanza se anota con el signo \(\sim\):
Factor de semejanza \(k\) — es esa misma razón igual de los lados correspondientes:
Si \(k > 1\), el segundo triángulo es más grande que el primero; si \(k < 1\), es más pequeño; si \(k = 1\), los triángulos son simplemente iguales, ya que la igualdad es un caso particular de la semejanza.
El orden de los vértices en la notación — no es una formalidad
La notación \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) se lee estrictamente por posiciones: \(A\) corresponde a \(A_1\), \(B\) — a \(B_1\), \(C\) — a \(C_1\). De aquí se deduce inmediatamente qué ángulos son iguales (\(\angle A = \angle A_1\)) y qué lados son correspondientes (\(AB\) y \(A_1B_1\), \(BC\) y \(B_1C_1\), \(AC\) y \(A_1C_1\)).
Si se permutan las letras y se escribe \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), se obtiene una afirmación diferente: ahora \(\angle A = \angle B_1\), y el lado correspondiente a \(AB\) será \(B_1A_1\). No se puede formar una proporción con los lados «situados de forma similar», solo por las posiciones en la notación. Por eso, lo primero es escribir los pares de ángulos iguales y luego ajustar el orden de las letras debajo de ellos.
Tres criterios de semejanza de triángulos
No es necesario comprobar las seis condiciones de la definición: la semejanza se demuestra por uno de los tres criterios. Cada uno es un conjunto mínimo de datos del que se deduce automáticamente tanto la igualdad de todos los ángulos como la proporcionalidad de todos los lados.
Cómo elegir un criterio. Mira lo que se da en el problema: si es sobre ángulos, el primero; si es sobre dos lados y un ángulo, el segundo; si es sobre los tres lados, el tercero.
- Primer criterio (por dos ángulos) — el caballo de batalla del curso escolar: casi todos los problemas de la OGE se resuelven con él. No es necesario comprobar el tercer ángulo, es igual automáticamente: la suma de los ángulos de un triángulo siempre es \(180°\). Busca pares de ángulos iguales ya hechos — ángulo común de dos triángulos, ángulos opuestos por el vértice, alternos internos y correspondientes con rectas paralelas, dos ángulos rectos.
- Segundo criterio (por dos lados y el ángulo entre ellos) requiere que el ángulo esté exactamente entre estos dos lados. Si el ángulo igual está opuesto a uno de ellos, el criterio no funciona y la semejanza no está demostrada.
- Tercer criterio (por tres lados) — cuando no hay ángulos en la condición, solo longitudes. Escribe los lados de cada triángulo en orden ascendente y divide el menor entre el menor, el mediano entre el mediano, el mayor entre el mayor: así las parejas no se confundirán. La semejanza existe solo si las tres razones coinciden.
Para no confundir los criterios de semejanza con los de igualdad, ten en cuenta la diferencia: en la igualdad los lados deben coincidir, en la semejanza — ser proporcionales.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Relación de perímetros y áreas de triángulos semejantes
La semejanza tiene dos corolarios que se preguntan con frecuencia, y uno de ellos es la principal trampa del tema.
Los perímetros se relacionan como \(k\). Cada lado del segundo triángulo es \(k\) veces mayor que el lado correspondiente del primero, por lo tanto, la suma de los lados aumenta exactamente \(k\) veces:
De la misma manera — «\(k\) veces» — se comportan todas las magnitudes lineales: alturas, medianas, bisectrices, radios de las circunferencias inscrita y circunscrita, líneas medias.
Las áreas se relacionan como \(k^2\). El área depende de dos dimensiones a la vez: tanto la base como la altura aumentan \(k\) veces, y el producto — \(k \cdot k\) veces:
Supongamos \(k = 5\). Entonces el perímetro es 5 veces mayor (por ejemplo, de 14 cm pasó a 70 cm), y el área — ya 25 veces mayor (de 6 cm² pasó a 150 cm²). La diferencia es enorme, y sustituir aquí \(k\) en lugar de \(k^2\) es el error más común en el examen.
Proceso inverso. Si en la condición se da la relación de áreas, el factor de semejanza se obtiene extrayendo la raíz: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Por ejemplo, las áreas se relacionan como \(16 : 1\), lo que significa que los lados se relacionan como \(4 : 1\).
| k | Perímetros P₂ : P₁ | Áreas S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| cualquiera | k : 1 | k² : 1 |
Semejanza de triángulos rectángulos y altura desde el ángulo recto
Para los triángulos rectángulos, el primer criterio se simplifica: los ángulos rectos son iguales de antemano, por lo que basta con la igualdad de un ángulo agudo para que los triángulos sean semejantes. De esto se deduce también el criterio por dos catetos: si los catetos de un triángulo son proporcionales a los catetos del otro, los triángulos son semejantes (este es el segundo criterio, ya que el ángulo entre los catetos es recto).
La configuración más útil de todo el tema es la altura trazada desde el vértice del ángulo recto. Divide el triángulo en dos, y los tres triángulos resultantes son semejantes entre sí.
Por qué: el triángulo \(AHC\) tiene un ángulo recto en \(H\) y comparte el ángulo \(A\) con el triángulo grande, por lo que \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). El triángulo \(CHB\) tiene un ángulo recto en \(H\) y comparte el ángulo \(B\) con el triángulo grande, por lo que \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). De aquí se deduce que los dos triángulos pequeños también son semejantes entre sí.
De estas semejanzas se obtienen las fórmulas de la media geométrica (se llaman segmentos proporcionales en un triángulo rectángulo):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — la altura es la media geométrica de los segmentos en los que divide la hipotenusa;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) y \(BC^2 = HB \cdot AB\) — un cateto es la media geométrica de toda la hipotenusa y su proyección sobre ella.
Lo principal es no confundir qué segmento es «propio»: el cateto \(AC\) tiene la proyección \(AH\), el cateto \(BC\) tiene la proyección \(HB\). La proyección siempre está adyacente al mismo extremo de la hipotenusa que el cateto.
Problemas OGE de semejanza: cómo encontrar un lado
Casi todos los problemas de semejanza se resuelven con un solo algoritmo:
- Encontrar un par de ángulos iguales — ángulo común, opuestos por el vértice, alternos internos con rectas paralelas o dos rectos.
- Escribir la semejanza en el orden correcto de los vértices — de modo que los ángulos iguales estén en las mismas posiciones.
- Formar una proporción con los lados correspondientes (tomamos los lados que están en los mismos lugares en la notación).
- Despejar la incógnita y calcular; al final, comprobar la respuesta según el sentido — el lado del triángulo más pequeño debe resultar ser más pequeño.
Las configuraciones típicas en la OGE son pocas, y conviene reconocerlas a primera vista:
- Una recta paralela a un lado. Una recta corta un triángulo pequeño del triángulo original, semejante a este. La sutileza clave: en la proporción se toma la relación de los lados completos desde el vértice común (\(BM : BA\)), no de los segmentos (\(BM : MA\)).
- «Mariposa». Dos segmentos se cruzan, y sus extremos están unidos por rectas paralelas — se forman dos triángulos semejantes, uno frente al otro.
- Altura desde el ángulo recto — configuración de la sección anterior; en la OGE se usa para encontrar la altura, un cateto o un segmento de la hipotenusa.
- Sombra y altura de un objeto. Los rayos del sol son paralelos, por lo que el objeto con su sombra y el árbol con su sombra forman triángulos rectángulos semejantes.
- Línea media — caso particular con \(k = 2\): es paralela a un lado y el doble de corta que él.
ángulo B común, ángulos en M y A correspondientes
ángulos opuestos por el vértice en O, ángulos A y C alternos internos
Ejemplos de resolución de problemas de semejanza de triángulos
Ejemplo 1. Encontrar lados por el factor de semejanza
Problema. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Se sabe que \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) y \(PQ = 21\). Encuentra \(QR\) y \(PR\).
Paso 1. Analizamos la notación por posiciones: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Por lo tanto, los pares correspondientes son: \(MN\) y \(PQ\), \(NK\) y \(QR\), \(MK\) y \(PR\).
Paso 2. Calculamos el factor de semejanza con el único par donde se conocen ambos lados:
Paso 3. Los demás lados del segundo triángulo son 3 veces mayores que los correspondientes:
Respuesta: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Comprobación: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — todas las razones coinciden.
Ejemplo 2. Demostrar semejanza por el segundo criterio
Problema. En los triángulos \(ABC\) y \(DEF\) se sabe: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), y los ángulos \(A\) y \(D\) son iguales. Demuestra que los triángulos son semejantes.
Paso 1. Comprobamos la condición principal del segundo criterio: el ángulo \(A\) está entre los lados \(AB\) y \(AC\), el ángulo \(D\) — entre \(DE\) y \(DF\). Los ángulos entre los lados dados — el criterio es aplicable.
Paso 2. Calculamos las razones de los lados correspondientes:
Paso 3. Dos pares de lados son proporcionales con el mismo factor \(k = 3\), los ángulos entre ellos son iguales — por el segundo criterio \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Respuesta: los triángulos son semejantes, \(k = 3\). Nota: si los ángulos iguales fueran \(B\) y \(D\), el criterio no funcionaría — el ángulo \(B\) no está entre \(AB\) y \(AC\).
Ejemplo 3. Recta paralela a un lado (problema OGE)
Problema. En el triángulo \(ABC\), el punto \(M\) está en el lado \(AB\), el punto \(N\) — en el lado \(BC\), tal que \(MN \parallel AC\). Se sabe que \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Encuentra \(AC\).
Paso 1. Como \(MN \parallel AC\), los ángulos \(BMN\) y \(BAC\) son iguales como correspondientes, y el ángulo \(B\) es común. Por el primer criterio \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (orden de los vértices: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Paso 2. Encontramos el lado completo desde el vértice común: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Esta es la sutileza principal — en la proporción va \(BA\), no \(MA\).
Paso 3. Formamos la proporción con los lados correspondientes:
Paso 4. De aquí \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Respuesta: \(AC = 20\). El factor de semejanza aquí es 4: el triángulo grande es cuatro veces más grande que el cortado.
Ejemplo 4. Perímetros y áreas
Problema. Los perímetros de triángulos semejantes son 18 cm y 45 cm. El área del triángulo más pequeño es 16 cm². Encuentra el área del más grande.
Paso 1. Los perímetros se relacionan como el factor de semejanza:
Paso 2. Las áreas se relacionan como el cuadrado del factor de semejanza: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Paso 3. Multiplicamos el área del triángulo más pequeño por \(k^2\):
Respuesta: 100 cm². Si hubiéramos multiplicado por \(k = 2{,}5\), habríamos obtenido 40 cm² — un error típico que hace perder todos los puntos.
Ejemplo 5. Altura desde el vértice del ángulo recto
Problema. En el triángulo rectángulo \(ABC\) con ángulo recto en el vértice \(C\), se traza la altura \(CH\) a la hipotenusa. Se sabe que \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Encuentra la altura \(CH\) y el área del triángulo.
Paso 1. La altura desde el ángulo recto es la media geométrica de los segmentos de la hipotenusa, porque \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Paso 2. Extraemos la raíz: \(CH = 6\) cm.
Paso 3. La hipotenusa \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. Calculamos el área a través de la hipotenusa y la altura trazada a ella:
Respuesta: \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
Ejemplo 6. Altura de un árbol por su sombra
Problema. Un poste vertical de 2 m de altura proyecta una sombra de 1,5 m. En el mismo momento, la sombra de un árbol mide 9 m. ¿Cuál es la altura del árbol?
Paso 1. Los rayos del sol son paralelos, por lo que el ángulo de incidencia del rayo es el mismo para el poste y para el árbol. El poste con su sombra y el árbol con su sombra forman triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual — por lo tanto, son semejantes.
Paso 2. Formamos la proporción «altura a su sombra»:
Paso 3. Despejamos la altura desconocida:
Respuesta: 12 m. Comprobación según el sentido: la sombra del árbol es 6 veces más larga que la sombra del poste, por lo tanto, el árbol también es 6 veces más alto: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Errores comunes en problemas de semejanza de triángulos
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Se asume que las áreas de triángulos semejantes se relacionan como $k$: con $k = 3$, el área aumenta tres veces.
Las áreas se relacionan como el cuadrado del factor: con \(k = 3\), el área es \(3^2 = 9\) veces mayor. Solo las magnitudes lineales — lados, perímetro, alturas, medianas — se relacionan como \(k\). Regla de ayuda: el área se mide en unidades cuadradas, por lo tanto, el factor también entra en ella al cuadrado.
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Se ignora el orden de los vértices: de la notación $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ se forma la proporción $AB : LM$.
La correspondencia de vértices viene dada por las posiciones en la notación: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). El lado correspondiente a \(AB\) es \(KL\), y a \(BC\) — \(LM\). Antes de escribir la proporción, escribe los pares de vértices en columna — esto lleva cinco segundos y elimina la mayoría de los errores.
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Se demuestra la semejanza por un solo ángulo igual o por dos lados proporcionales sin el ángulo.
Un ángulo igual no es suficiente: dos triángulos pueden tener un ángulo igual con formas completamente diferentes. Se necesita un criterio completo: dos ángulos, o dos lados y el ángulo entre ellos, o los tres lados.
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En el segundo criterio, se toma un ángulo que no está entre los lados dados.
El segundo criterio solo funciona con el ángulo entre los dos lados dados. Si se conocen \(AB\), \(AC\) y el ángulo \(B\) es igual, el criterio no es aplicable — busca otra vía: un par de ángulos iguales o el tercer lado.
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Se invierte el factor: se calcula $k$ como «lado menor entre lado mayor», y luego se multiplica por él para obtener el lado del triángulo más grande.
Ponte de acuerdo contigo mismo sobre la dirección: si \(k\) es la relación de los lados del segundo triángulo respecto al primero, entonces los lados del primero se multiplican por \(k\), y los lados del segundo se dividen por \(k\). Comprobación final según el sentido: el lado del triángulo más pequeño debe resultar ser más pequeño.
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En un problema con una recta paralela a un lado, se forma una proporción con los segmentos: $BM : MA = MN : AC$.
Los triángulos \(BMN\) y \(BAC\) son semejantes, y sus lados correspondientes son \(BM\) y \(BA\) (el lado completo desde el vértice común), no el segmento \(MA\). Primero encuentra \(BA = BM + MA\), y solo entonces forma la proporción.
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Se confunde la semejanza con la igualdad y en la respuesta se escribe que los lados son simplemente iguales.
La igualdad es un caso particular de la semejanza con \(k = 1\). Si \(k \ne 1\), los triángulos solo tienen ángulos iguales, y los lados difieren \(k\) veces. Los criterios también son diferentes: para la igualdad son LAL, ALA, LLL con lados coincidentes, para la semejanza — lados proporcionales.
Preguntas y respuestas
¿Qué triángulos se llaman semejantes?
Se llaman semejantes los triángulos cuyos ángulos son respectivamente iguales y cuyos lados correspondientes son proporcionales. En términos más sencillos, son triángulos de la misma forma pero de diferente tamaño. La semejanza se anota con el signo ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
¿Qué es el factor de semejanza de triángulos?
El factor de semejanza k es un número igual a la relación de los lados correspondientes de triángulos semejantes: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Indica cuántas veces un triángulo es más grande que otro. Con k = 1, los triángulos son iguales.
¿Cuántos criterios de semejanza de triángulos existen y cuáles son?
Hay tres criterios. El primero — por dos ángulos: dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos del otro. El segundo — por dos lados y el ángulo entre ellos: dos lados son proporcionales y los ángulos entre ellos son iguales. El tercero — por tres lados: los tres pares de lados correspondientes son proporcionales.
¿Cómo se relacionan las áreas de triángulos semejantes?
Las áreas de triángulos semejantes se relacionan como el cuadrado del factor de semejanza: S₂ : S₁ = k². Por ejemplo, con k = 4, el área es 16 veces mayor. A la inversa: si las áreas se relacionan como 25 : 1, entonces los lados se relacionan como 5 : 1.
¿Cómo se relacionan los perímetros de triángulos semejantes?
Los perímetros se relacionan como el factor de semejanza: P₂ : P₁ = k. De la misma manera se comportan todos los elementos lineales — alturas, medianas, bisectrices, líneas medias, radios de las circunferencias inscrita y circunscrita.
¿En qué se diferencia la semejanza de triángulos de la igualdad?
En triángulos iguales coinciden tanto los ángulos como los lados, por lo que las figuras se pueden superponer. En triángulos semejantes solo coinciden los ángulos, y los lados son proporcionales con un factor k. La igualdad es un caso particular de la semejanza con k = 1.
¿Cómo demostrar la semejanza de triángulos rectángulos?
Basta con la igualdad de un ángulo agudo: los ángulos rectos ya son iguales, por lo que funciona el primer criterio. El segundo método es la proporcionalidad de los catetos: el ángulo entre los catetos es recto, por lo que el segundo criterio de semejanza es aplicable.
¿Por qué la altura desde el ángulo recto da tres triángulos semejantes?
La altura CH desde el vértice del ángulo recto C divide el triángulo ABC en los triángulos AHC y CHB. El AHC tiene un ángulo recto en H y comparte el ángulo A con ABC; el CHB tiene un ángulo recto en H y comparte el ángulo B con ABC, por lo que ambos son semejantes al original, y por lo tanto, entre sí. De aquí se obtienen las fórmulas CH² = AH · HB, AC² = AH · AB y BC² = HB · AB.
¿En qué grado se estudia la semejanza de triángulos?
En 8.º grado en las clases de geometría — inmediatamente después del tema sobre segmentos proporcionales. Allí también se estudian los tres criterios de semejanza, la relación de áreas y la aplicación de la semejanza a triángulos rectángulos. Más adelante, el tema se utiliza en 9.º grado y en los problemas de la OGE.
