Kružnice vytváří dva hlavní typy úhlů: středový — s vrcholem ve středu kružnice, a obvodový — s vrcholem na samotné kružnici. Vztah mezi nimi je jednoduchý: středový úhel odpovídá velikosti oblouku, na který se dívá, zatímco obvodový úhel je jeho poloviční hodnotou. Na této stránce najdete definice, větu o obvodovém úhlu se všemi důsledky, názorné nákresy, podrobná řešení úloh a interaktivní trenažér, kde si můžete vše ihned vyzkoušet.
Typy úhlů v kružnici: středový a obvodový
Pokud v kružnici vedeme dvě úsečky z jednoho bodu, vznikne úhel. Podle toho, kde leží jeho vrchol, rozlišujeme dva základní typy úhlů v kružnici:
- Středový úhel — úhel s vrcholem ve středu kružnice \(O\). Jeho ramena tvoří poloměry.
- Obvodový úhel — úhel, jehož vrchol leží na kružnici a jehož ramena ji protínají (jsou to tětivy).
Každý z těchto úhlů přísluší k určitému oblouku — části kružnice, která leží uvnitř úhlu. Právě oblouk spojuje středový a obvodový úhel: oba lze vyjádřit pomocí jeho úhlové míry.
Pokud vrchol úhlu leží uvnitř kruhu (ale ne ve středu) nebo vně, nejedná se o obvodový ani středový úhel: pro tyto případy existují jiné vzorce, o kterých se dozvíte na konci stránky.
∠AOC = oblouk AC = 120°
∠ABC = ½ oblouku AC = 60°
Věta o obvodovém úhlu a jeho velikost
Středový úhel odpovídá velikosti oblouku, ke kterému přísluší — takto definujeme úhlovou míru oblouku. Pokud \(\angle AOC = 120°\), pak i oblouk \(AC\) má \(120°\).
Věta o obvodovém úhlu: obvodový úhel má poloviční velikost než oblouk, ke kterému přísluší:
Z toho vyplývá hlavní vztah mezi obvodovými a středovými úhly: obvodový úhel je poloviční oproti středovému úhlu, který přísluší ke stejnému oblouku:
Velikost obvodového úhlu nezávisí na tom, kde přesně na kružnici se vrchol nachází — důležitý je pouze oblouk, ke kterému úhel přísluší. Proto si níže uvedený nákres zapamatujte jako „pracovní schéma“ celého tématu: zelený oblouk a dva úhly, které se na něj dívají.
Obvodové a středové úhly: vlastnosti a důsledky
Z věty o obvodovém úhlu přímo vyplývají vlastnosti, na kterých staví většina školních úloh:
- Obvodové úhly příslušející ke stejnému oblouku jsou shodné. Každý z nich je roven polovině téhož oblouku — a tudíž jsou si rovny navzájem, bez ohledu na to, kde leží jejich vrcholy.
- Obvodový úhel nad průměrem je pravý. Průměr dělí kružnici na dvě půlkružnice po \(180°\), proto je takový úhel roven \(180° : 2 = 90°\). Platí i obráceně: pokud je obvodový úhel pravý, pak přísluší k průměru.
- Obvodový úhel může být tupý. Pokud je oblouk větší než \(180°\), úhel je větší než \(90°\) — vzorec „polovina oblouku“ funguje bez výjimek.
Tyto vlastnosti fungují i „obráceně“: například pomocí rovnosti úhlů, které se dívají na jednu úsečku, dokazujeme, že čtyři body leží na jedné kružnici.
Obvodové a tětivové čtyřúhelníky
Pokud všechny čtyři vrcholy čtyřúhelníku leží na kružnici, nazýváme jej tětivový čtyřúhelník (a kružnici opsanou kolem něj). Úhly takového čtyřúhelníku jsou obvodové, proto pro ně platí stejná věta.
- Součet protilehlých úhlů tětivového čtyřúhelníku je \(180°\). Úhly \(A\) a \(C\) příslušejí ke dvěma obloukům, které dohromady tvoří celou kružnici (\(360°\)), proto \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Vnější úhel tětivového čtyřúhelníku je roven vnitřnímu úhlu u protilehlého vrcholu. Vnější úhel doplňuje vnitřní úhel do \(180°\) — stejně jako protilehlý úhel.
- Vlastnost součtu úhlů je zároveň kritériem: pokud má čtyřúhelník součet protilehlých úhlů \(180°\), lze kolem něj opsat kružnici. Proto lze každý obdélník vepsat do kružnice, zatímco kosočtverec (kromě čtverce) nikoliv.
Vedle obvodových úhlů se v úlohách setkáváme i s úhly mezi tečnami — úhly mezi dvěma tečnami vedenými z jednoho bodu vně kružnice. Tento úhel je roven polovině rozdílu oblouků, které na kružnici vytíná.
Příklady řešení úloh na obvodové a středové úhly
Příklad 1. Obvodový úhel podle oblouku
Úloha. Obvodový úhel \(ABC\) přísluší k oblouku \(AC\), který má \(120°\). Najděte \(\angle ABC\).
Krok 1. Vzpomeneme si na větu: obvodový úhel je roven polovině oblouku, ke kterému přísluší.
Krok 2. Dosadíme: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Odpověď: \(60°\).
Příklad 2. Středový úhel podle obvodového
Úloha. Obvodový úhel \(ABC\) má \(40°\). Najděte středový úhel \(AOC\), který přísluší ke stejnému oblouku \(AC\).
Krok 1. Středový úhel je dvakrát větší než obvodový, který přísluší ke stejnému oblouku: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Krok 2. Vypočítáme: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Zároveň jsme zjistili velikost oblouku: \(AC = 80°\).
Odpověď: \(80°\).
Příklad 3. Úhel nad průměrem
Úloha. \(AC\) je průměr kružnice, bod \(B\) leží na kružnici, \(\angle BAC = 35°\). Najděte \(\angle BCA\).
Krok 1. Úhel \(ABC\) přísluší k průměru \(AC\), tedy \(\angle ABC = 90°\) — trojúhelník \(ABC\) je pravoúhlý.
Krok 2. Součet úhlů v trojúhelníku je \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Odpověď: \(55°\).
Příklad 4. Tětivový čtyřúhelník
Úloha. Čtyřúhelník \(ABCD\) je vepsán do kružnice, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Najděte úhly \(C\) a \(D\).
Krok 1. Součet protilehlých úhlů tětivového čtyřúhelníku je \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Krok 2. Obdobně \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Kontrola. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — součet úhlů čtyřúhelníku souhlasí.
Odpověď: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Časté chyby v úlohách o úhlech v kružnici
-
Záměna obvodového úhlu se středovým: u úhlu s vrcholem ve středu berou polovinu oblouku (nebo naopak).
Nejdříve se podívejte na vrchol. Vrchol ve středu \(O\) — středový úhel, je roven celému oblouku. Vrchol na kružnici — obvodový úhel, je roven polovině oblouku.
-
Výběr špatného oblouku: pro obvodový úhel počítají oblouk, na kterém leží jeho vrchol.
Obvodový úhel přísluší k oblouku, který leží „uvnitř“ úhlu — vrchol vždy leží na opačném oblouku. V zápisu \(\angle ABC\) úhel přísluší k oblouku \(AC\), který neobsahuje bod \(B\).
-
Násobení a dělení 2 „na špatnou stranu“: od obvodového úhlu ke středovému dělí, místo aby násobili.
Pamatujte: obvodový je „malý“ (polovina oblouku), středový je „velký“ (celý oblouk). Od obvodového ke středovému — násobit 2, od středového k obvodovému — dělit 2.
-
Považují za obvodový jakýkoliv úhel, jehož ramena protínají kružnici — například úhel mezi tětivami, které se protínají uvnitř kruhu.
U obvodového úhlu musí vrchol ležet přímo na kružnici. Úhel s vrcholem uvnitř kruhu je roven polovičnímu součtu vytínaných oblouků, s vrcholem vně kruhu — polovičnímu rozdílu: to jsou jiné vzorce.
-
U tětivového čtyřúhelníku přirovnávají součet sousedních úhlů ke $180°$ místo protilehlých.
Vlastnost platí pouze pro protilehlé vrcholy: \(\angle A + \angle C = 180°\) a \(\angle B + \angle D = 180°\). Sousední úhly tětivového čtyřúhelníku mohou mít libovolnou velikost.
Otázky a odpovědi
Kolik stupňů má obvodový úhel?
Obvodový úhel je roven polovině oblouku, ke kterému přísluší. Například pokud má oblouk 120°, obvodový úhel má 60°. To je věta o obvodovém úhlu — hlavní vzorec tohoto tématu.
Jak spolu souvisí obvodový a středový úhel, které příslušejí ke stejnému oblouku?
Středový úhel je dvakrát větší než obvodový: ∠AOC = 2·∠ABC. Středový úhel je roven přímo oblouku, zatímco obvodový je jeho polovinou.
Proč je obvodový úhel nad průměrem roven 90°?
Průměr vymezuje půlkružnici — oblouk 180°. Obvodový úhel je roven polovině oblouku: 180° : 2 = 90°. Proto je každý trojúhelník, jehož jedna strana je průměrem opsané kružnice, pravoúhlý.
Může být obvodový úhel tupý?
Ano. Pokud je oblouk, ke kterému úhel přísluší, větší než 180°, úhel je tupý: například oblouku 210° odpovídá obvodový úhel 105°. Obvodový úhel je přitom vždy menší než 180°.
Co je to úhel mezi tečnami a čím se liší od obvodového?
Úhel mezi tečnami tvoří dvě tečny vedené ke kružnici z jednoho vnějšího bodu. Jeho vrchol leží vně kružnice a je roven polovičnímu rozdílu vytínaných oblouků. U obvodového úhlu leží vrchol na kružnici a je roven polovině jednoho oblouku.
Jaké další typy úhlů v kružnici existují?
Kromě středového a obvodového se uvažuje úhel mezi tětivami (vrchol uvnitř kruhu — poloviční součet oblouků), úhel mezi sečnami z vnějšího bodu (poloviční rozdíl oblouků) a úhel mezi tečnou a tětivou (polovina oblouku uzavřeného uvnitř). Všechny se vyjadřují pomocí oblouků kružnice.
