Podobné trojúhelníky jsou trojúhelníky stejného tvaru, ale různých velikostí: jejich úhly jsou po řadě shodné a shodné strany jsou úměrné. Číslo, které udává, kolikrát je jeden trojúhelník větší než druhý, se nazývá koeficient podobnosti \(k\). K prokázání podobnosti pomáhají tři znaky a poměry obvodů a ploch se řídí jednoduchým pravidlem: obvody se liší jako \(k\), plochy jako \(k^2\). Na této stránce najdete definici a zápis podobnosti se správným pořadím vrcholů, všechny tři znaky, podobnost pravoúhlých trojúhelníků a výšku z pravého úhlu, rozbory úloh OGE „najděte stranu“ a interaktivní trenažér.
Co je to podobnost trojúhelníků a koeficient podobnosti
Dva trojúhelníky nazýváme podobnými, pokud platí dvě podmínky:
- jejich úhly po řadě shodné — každému úhlu prvního trojúhelníku odpovídá shodný úhel druhého;
- jejich shodné strany úměrné — všechna tři poměry dávají stejné číslo.
Shodné (odpovídající) strany jsou strany, které leží proti shodným úhlům. Právě ony tvoří páry, mezi kterými se počítá poměr.
Podobnost se zapisuje znakem \(\sim\):
Koeficient podobnosti \(k\) — to je právě to stejné poměr shodných stran:
Pokud \(k > 1\), druhý trojúhelník je větší než první; pokud \(k < 1\) — menší; při \(k = 1\) jsou trojúhelníky shodné, protože shodnost je zvláštní případ podobnosti.
Pořadí vrcholů v zápisu — není formalita
Zápis \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) se čte striktně podle pozic: \(A\) odpovídá \(A_1\), \(B\) — \(B_1\), \(C\) — \(C_1\). Odtud hned vyplývá, které úhly jsou shodné (\(\angle A = \angle A_1\)) a které strany jsou shodné (\(AB\) a \(A_1B_1\), \(BC\) a \(B_1C_1\), \(AC\) a \(A_1C_1\)).
Pokud přehodíme písmena a napíšeme \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), dostaneme jiné tvrzení: nyní \(\angle A = \angle B_1\) a shodnou k \(AB\) bude strana \(B_1A_1\). Nelze sestavit poměr podle „podobně umístěných“ stran — pouze podle pozic v zápisu. Proto nejprve vypíšeme páry shodných úhlů a teprve pod ně podřídíme pořadí písmen.
Tři znaky podobnosti trojúhelníků
Není třeba ověřovat všech šest podmínek z definice: podobnost se dokazuje podle jednoho ze tří znaků. Každý je minimální soubor údajů, ze kterého automaticky vyplývá shodnost všech úhlů i úměrnost všech stran.
Jak vybrat znak. Podívejte se, co je v úloze dáno: pokud jde o úhly — první, pokud o dvě strany a úhel — druhý, pokud o všechny tři strany — třetí.
- První znak (podle dvou úhlů) — pracant školního kurzu: téměř všechny úlohy OGE se řeší právě tímto. Třetí úhel není třeba ověřovat, je automaticky shodný: součet úhlů trojúhelníku je vždy \(180°\). Hledejte hotové páry shodných úhlů — společný úhel dvou trojúhelníků, vrcholové úhly, střídavé a souhlasné při rovnoběžných přímkách, dva pravé úhly.
- Druhý znak (podle dvou stran a úhlu mezi nimi) vyžaduje, aby úhel byl právě mezi těmito dvěma stranami. Pokud je shodný úhel proti jedné z nich, znak nefunguje a podobnost není prokázána.
- Třetí znak (podle tří stran) — když v zadání nejsou žádné úhly, pouze délky. Vypište strany každého trojúhelníku vzestupně a vydělte nejmenší nejmenší, střední střední, největší největší: tak se páry určitě nespletou. Podobnost existuje, pouze pokud se všechny tři poměry shodují.
Abyste si nepletli znaky podobnosti se znaky shodnosti, mějte na paměti rozdíl: u shodnosti se strany musí shodovat, u podobnosti — být úměrné.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Poměr obvodů a ploch podobných trojúhelníků
Podobnost má dva důsledky, které se ptají nejčastěji, a jeden z nich je hlavní past tématu.
Obvody se liší jako \(k\). Každá strana druhého trojúhelníku je \(k\)-krát větší než odpovídající strana prvního, proto i součet stran vzroste přesně \(k\)-krát:
Stejně tak — „v \(k\) násobcích“ — se chovají všechny lineární veličiny: výšky, těžnice, úsečky, poloměry vepsaných a opsaných kružnic, střední příčky.
Plochy se liší jako \(k^2\). Plocha závisí na dvou rozměrech najednou: základna i výška se zvětší \(k\)-krát, a součin — \(k \cdot k\) krát:
Nechť \(k = 5\). Pak obvod je 5krát větší (např. bylo 14 cm — je 70 cm), a plocha — už 25krát (bylo 6 cm² — je 150 cm²). Rozdíl je obrovský, a dosadit sem \(k\) místo \(k^2\) je nejčastější chyba u zkoušky.
Zpětný chod. Pokud je v zadání dán poměr ploch, koeficient podobnosti se získá odmocninou: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Například plochy se liší jako \(16 : 1\), pak strany — jako \(4 : 1\).
| k | Obvody P₂ : P₁ | Plochy S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| libovolné | k : 1 | k² : 1 |
Podobnost pravoúhlých trojúhelníků a výška z pravého úhlu
Pro pravoúhlé trojúhelníky se první znak zjednodušuje: pravé úhly jsou u nich shodné předem, proto stačí shodnost jednoho ostrého úhlu, aby byly trojúhelníky podobné. Z toho také vyplývá znak podle dvou odvěsen: pokud jsou odvěsny jednoho úměrné odvěsnám druhého, trojúhelníky jsou podobné (to je druhý znak, protože úhel mezi odvěsnami je pravý).
Nejvíce užitečná konfigurace celé témy — výška spuštěná z vrcholu pravého úhlu. Rozděluje trojúhelník na dva, a všechny tři vzniklé trojúhelníky jsou podobné sobě navzájem.
Proč tak: trojúhelník \(AHC\) má pravý úhel u \(H\) a společný s velkým trojúhelníkem úhel \(A\), tedy \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). Trojúhelník \(CHB\) má pravý úhel u \(H\) a společný úhel \(B\), tedy \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Odtud jsou podobné i dva malé trojúhelníky mezi sebou.
Z těchto podobností vznikají vzorce geometrického průměru (nazývají se proporcionální úsečky v pravoúhlém trojúhelníku):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — výška je geometrický průměr úseků, na které dělí přeponu;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) a \(BC^2 = HB \cdot AB\) — odvěsna je geometrický průměr celé přepony a její projekce na ni.
Hlavní je nepomíchat, která úsečka je „vlastní“: u odvěsny \(AC\) je projekce \(AH\), u odvěsny \(BC\) je projekce \(HB\). Projekce vždy přiléhá ke stejnému konci přepony jako odvěsna.
Úlohy OGE na podobnost: jak najít stranu
Téměř všechny úlohy na podobnost se řeší podle jednoho algoritmu:
- Najít pár shodných úhlů — společný úhel, vrcholové, střídavé při rovnoběžných přímkách nebo dva pravé.
- Zapsat podobnost ve správném pořadí vrcholů — tak, aby shodné úhly stály na stejných pozicích.
- Sestavit poměr shodných stran (vezmeme strany stojící na stejných místech v zápisu).
- Vyjádřit neznámou a spočítat; na konci zkontrolovat odpověď podle smyslu — strana menšího trojúhelníku musí vyjít menší.
Typických konfigurací v OGE není mnoho a stojí za to je poznat na první pohled:
- Přímka rovnoběžná se stranou. Přímka odřízne od trojúhelníku malý trojúhelník podobný původnímu. Klíčová jemnost: do poměru jde poměr celých stran od společného vrcholu (\(BM : BA\)), nikoli úseků (\(BM : MA\)).
- „Motýlek“. Dvě úsečky se protínají a jejich konce jsou spojeny rovnoběžnými přímkami — vzniknou dva podobné trojúhelníky, otočené proti sobě.
- Výška z pravého úhlu — konfigurace z předchozí sekce; v OGE se podle ní hledá výška, odvěsna nebo úsek přepony.
- Stín a výška předmětu. Sluneční paprsky jsou rovnoběžné, proto předmět se svým stínem a strom se svým stínem tvoří podobné pravoúhlé trojúhelníky.
- Střední příčka — zvláštní případ s \(k = 2\): je rovnoběžná se stranou a dvakrát kratší než ona.
úhel B společný, úhly u M a A souhlasné
úhly u O vrcholové, úhly A a C střídavé
Příklady řešení úloh na podobnost trojúhelníků
Příklad 1. Najít strany podle koeficientu podobnosti
Úloha. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Je známo, že \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) a \(PQ = 21\). Najděte \(QR\) a \(PR\).
Krok 1. Rozebíráme zápis podle pozic: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Tedy shodné páry jsou: \(MN\) a \(PQ\), \(NK\) a \(QR\), \(MK\) a \(PR\).
Krok 2. Počítáme koeficient podle jediného páru, kde jsou obě strany známy:
Krok 3. Ostatní strany druhého trojúhelníku jsou 3krát větší než odpovídající:
Odpověď: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Kontrola: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — všechny poměry se shodují.
Příklad 2. Dokázat podobnost podle druhého znaku
Úloha. V trojúhelnících \(ABC\) a \(DEF\) je známo: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\) a úhly \(A\) a \(D\) jsou shodné. Dokažte, že trojúhelníky jsou podobné.
Krok 1. Ověřujeme hlavní podmínku druhého znaku: úhel \(A\) je mezi stranami \(AB\) a \(AC\), úhel \(D\) — mezi \(DE\) a \(DF\). Úhly mezi danými stranami — znak je použitelný.
Krok 2. Počítáme poměry shodných stran:
Krok 3. Dva páry stran jsou úměrné se stejným koeficientem \(k = 3\), úhly mezi nimi jsou shodné — podle druhého znaku \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Odpověď: trojúhelníky jsou podobné, \(k = 3\). Všimněte si: kdyby shodné byly úhly \(B\) a \(D\), znak by nefungoval — úhel \(B\) neleží mezi \(AB\) a \(AC\).
Příklad 3. Přímka rovnoběžná se stranou (úloha OGE)
Úloha. V trojúhelníku \(ABC\) bod \(M\) leží na straně \(AB\), bod \(N\) — na straně \(BC\), přičemž \(MN \parallel AC\). Je známo, že \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Najděte \(AC\).
Krok 1. Protože \(MN \parallel AC\), úhly \(BMN\) a \(BAC\) jsou shodné jako souhlasné, a úhel \(B\) je společný. Podle prvního znaku \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (pořadí vrcholů: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Krok 2. Najdeme celou stranu od společného vrcholu: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). To je hlavní jemnost — do poměru jde \(BA\), nikoli \(MA\).
Krok 3. Sestavíme poměr podle shodných stran:
Krok 4. Odtud \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Odpověď: \(AC = 20\). Koeficient podobnosti je zde 4: velký trojúhelník je čtyřikrát větší než odříznutý.
Příklad 4. Obvody a plochy
Úloha. Obvody podobných trojúhelníků jsou 18 cm a 45 cm. Plocha menšího trojúhelníku je 16 cm². Najděte plochu většího.
Krok 1. Obvody se liší jako koeficient podobnosti:
Krok 2. Plochy se liší jako druhá mocnina koeficientu: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Krok 3. Vynásobíme plochu menšího trojúhelníku \(k^2\):
Odpověď: 100 cm². Kdybychom vynásobili \(k = 2{,}5\), dostali bychom 40 cm² — typická chyba, kvůli které se ztrácí celý bod.
Příklad 5. Výška z vrcholu pravého úhlu
Úloha. V pravoúhlém trojúhelníku \(ABC\) s pravým úhlem u vrcholu \(C\) je spuštěna výška \(CH\) na přeponu. Je známo, že \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Najděte výšku \(CH\) a plochu trojúhelníku.
Krok 1. Výška z pravého úhlu je geometrický průměr úseků přepony, protože \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Krok 2. Odmocníme: \(CH = 6\) cm.
Krok 3. Přepona \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. Plochu počítáme přes přeponu a k ní spuštěnou výšku:
Odpověď: \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
Příklad 6. Výška stromu podle stínu
Úloha. Svislá tyč výšky 2 m vrhá stín délky 1,5 m. Ve stejný okamžik je stín stromu 9 m. Jaká je výška stromu?
Krok 1. Sluneční paprsky jsou rovnoběžné, proto úhel dopadu paprsku pro tyč a pro strom je stejný. Tyč se stínem a strom se stínem tvoří pravoúhlé trojúhelníky se shodným ostrým úhlem — tedy jsou podobné.
Krok 2. Sestavíme poměr „výška k jejímu stínu“:
Krok 3. Vyjádříme neznámou výšku:
Odpověď: 12 m. Kontrola podle smyslu: stín stromu je 6krát delší než stín tyče, tedy i strom je 6krát vyšší: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Časté chyby v úlohách na podobnost trojúhelníků
-
Počítají, že plochy podobných trojúhelníků se liší jako $k$: při $k = 3$ zvětšují plochu trojnásobně.
Plochy se liší jako druhá mocnina koeficientu: při \(k = 3\) je plocha větší \(3^2 = 9\)krát. Jako \(k\) se liší pouze lineární veličiny — strany, obvod, výšky, těžnice. Pravidlo-nápověda: plocha se měří v čtverečních jednotkách, proto i koeficient do ní vstupuje ve druhé mocnině.
-
Ignorují pořadí vrcholů: ze zápisu $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ sestavují poměr $AB : LM$.
Shoda vrcholů je dána pozicemi v zápisu: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). Shodnou k \(AB\) bude \(KL\), a k \(BC\) — \(LM\). Než napíšete poměr, vypište páry vrcholů pod sebe — to zabere pět sekund a odstraní většinu chyb.
-
Dokazují podobnost podle jednoho shodného úhlu nebo podle dvou úměrných stran bez úhlu.
Jeden shodný úhel nestačí: dva trojúhelníky mohou mít shodný úhel při naprosto odlišném tvaru. Je potřeba plný znak — dva úhly, nebo dvě strany a úhel mezi nimi, nebo všechny tři strany.
-
Ve druhém znaku berou úhel, který neleží mezi danými stranami.
Druhý znak funguje pouze s úhlem mezi dvěma danými stranami. Pokud jsou známy \(AB\), \(AC\) a je shodný úhel \(B\), znak není použitelný — hledejte jinou cestu: pár shodných úhlů nebo třetí stranu.
-
Převracejí koeficient: najdou $k$ jako „menší strana ku větší“, a pak jím násobí, aby získali stranu většího trojúhelníku.
Dohodněte se sami se sebou o směru: pokud \(k\) je poměr stran druhého trojúhelníku k prvnímu, pak strany prvního násobíme \(k\), a strany druhého \(k\) dělíme. Finální kontrola podle smyslu: strana menšího trojúhelníku musí vyjít menší.
-
V úloze s přímkou rovnoběžnou se stranou sestavují poměr z úseků: $BM : MA = MN : AC$.
Podobné jsou trojúhelníky \(BMN\) a \(BAC\), a jejich shodné strany — \(BM\) a \(BA\) (celá strana od společného vrcholu), nikoli úsek \(MA\). Nejprve najděte \(BA = BM + MA\), a teprve potom sestavte poměr.
-
Pletou si podobnost se shodností a v odpovědi píší, že strany jsou prostě shodné.
Shodnost je zvláštní případ podobnosti při \(k = 1\). Pokud \(k \ne 1\), trojúhelníky mají shodné pouze úhly, a strany se liší \(k\)-krát. Znaky jsou také různé: u shodnosti to je SUS, USU, SSS se shodujícími se stranami, u podobnosti — úměrné strany.
Otázky a odpovědi
Jaké trojúhelníky se nazývají podobné?
Podobné se nazývají trojúhelníky, u kterých jsou úhly po řadě shodné a shodné strany úměrné. Jednoduše řečeno, jsou to trojúhelníky stejného tvaru, ale různých velikostí. Podobnost se zapisuje znakem ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Co je to koeficient podobnosti trojúhelníků?
Koeficient podobnosti k — to je číslo, rovné poměru shodných stran podobných trojúhelníků: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Ukazuje, kolikrát je jeden trojúhelník větší než druhý. Při k = 1 jsou trojúhelníky shodné.
Kolik je znaků podobnosti trojúhelníků a jaké jsou?
Znaků jsou tři. První — podle dvou úhlů: dva úhly jednoho trojúhelníku jsou shodné dvěma úhlům druhého. Druhý — podle dvou stran a úhlu mezi nimi: dvě strany jsou úměrné a úhly mezi nimi jsou shodné. Třetí — podle tří stran: všechny tři páry shodných stran jsou úměrné.
Jak se liší plochy podobných trojúhelníků?
Plochy podobných trojúhelníků se liší jako druhá mocnina koeficientu podobnosti: S₂ : S₁ = k². Například při k = 4 je plocha větší 16krát. Naopak: pokud se plochy liší jako 25 : 1, pak strany se liší jako 5 : 1.
Jak se liší obvody podobných trojúhelníků?
Obvody se liší jako koeficient podobnosti: P₂ : P₁ = k. Stejně se chovají všechny lineární prvky — výšky, těžnice, úsečky, střední příčky, poloměry vepsaných a opsaných kružnic.
Čím se podobnost trojúhelníků liší od shodnosti?
U shodných trojúhelníků se shodují jak úhly, tak strany, proto lze útvary na sebe položit. U podobných se shodují pouze úhly, a strany jsou úměrné s koeficientem k. Shodnost je zvláštní případ podobnosti při k = 1.
Jak dokázat podobnost pravoúhlých trojúhelníků?
Stačí shodnost jednoho ostrého úhlu: pravé úhly jsou u nich již shodné, tedy funguje první znak. Druhý způsob — úměrnost odvěsen: úhel mezi odvěsnami je pravý, proto je použitelný druhý znak podobnosti.
Proč výška z pravého úhlu dává tři podobné trojúhelníky?
Výška CH z vrcholu pravého úhlu C dělí trojúhelník ABC na trojúhelníky AHC a CHB. AHC má pravý úhel u H a společný s ABC úhel A, CHB — pravý úhel u H a společný úhel B, proto oba jsou podobné původnímu, a tedy i sobě navzájem. Odtud vznikají vzorce CH² = AH · HB, AC² = AH · AB a BC² = HB · AB.
V kterém ročníku se probírá podobnost trojúhelníků?
V 8. třídě na hodinách geometrie — hned po tématu o proporcionálních úsecích. Tam se také studují tři znaky podobnosti, poměr ploch a aplikace podobnosti na pravoúhlý trojúhelník. Dále se téma používá v 9. třídě a v úlohách OGE.
