Kosinová věta: vzorec, důkaz a úlohy

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

Maskot geometr vedle velkého trojúhelníku, jeden z úhlů je označen obloučkem

Kosinová věta spojuje tři strany trojúhelníku a jeden jeho úhel: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. Funguje v jakémkoli trojúhelníku, proto v 9. třídě nahrazuje Pythagorovu větu tam, kde není pravý úhel. Podle ní se hledá třetí strana, pokud jsou známy dvě další a úhel mezi nimi, a podle důsledku $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ — jakýkoli úhel podle tří stran a typ trojúhelníku. Na stránce — formulace a všechna tři zapsání vzorce, důkaz, tabulka kosinů, přehled „sinů nebo kosinů“, rozbory úloh OGE a trenažér pro samokontrolu.

Kosinová věta: formulace a vzorec

Kosinová věta funguje v jakémkoli trojúhelníku — pravý úhel k tomu nepotřebuje. Spojuje tři strany a jeden úhel, proto podle ní hledáme stranu, pokud známe dvě další strany a úhel mezi nimi.

Formulace. Druhá mocnina strany trojúhelníku se rovná součtu druhých mocnin zbývajících dvou stran, zmenšenému o dvojnásobek součinu těchto stran a kosinu úhlu mezi nimi.

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

Zde $a$, $b$, $c$ — strany trojúhelníku a $C$ — úhel mezi stranami $a$ a $b$; strana $c$ leží proti tomuto úhlu. Písmena lze zvolit libovolně — vzorec je symetrický, proto má tři rovnocenné zápisy:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\]

Hlavní pravidlo dosazení: úhel bereme ten, který je sevřen mezi dvěma stranami ze součinu, a hledáme stranu, která leží proti němu. Pokud vezmeme „sousední“ úhel, všechna čísla budou z podmínek a odpověď — nesprávná.

c² = a² + b² − 2ab · cos C a² = b² + c² − 2bc · cos A b² = a² + c² − 2ac · cos B

Úhel bereme ten, který je sevřen mezi stranami ze součinu, a hledáme stranu proti němu: úhel C — mezi a a b, strana c — naproti.

Proč je Pythagorova věta speciálním případem kosinové věty

Dosadíme do vzorce pravý úhel, tedy $C = 90°$. Kosinus pravého úhlu je nula, proto se třetí člen zcela vynuluje:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 90° = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0 = a^2 + b^2.\]

Získali jsme přesně Pythagorovu větu, známou z 8. třídy. Proto se kosinová věta nazývá jejím zobecněním: Pythagorova věta je „speciální případ při 90°“, zatímco kosinová věta funguje pro všechny úhly najednou.

Člen $-2ab\cos C$ je vhodné chápat jako korekci na ne-pravost úhlu:

úhel je ostrý, $\cos C > 0$ — korekce se odečítá, strana $c$ je kratší, než by dala Pythagorova věta;
úhel je pravý, $\cos C = 0$ — korekce není, zůstává $c^2 = a^2 + b^2$;
úhel je tupý, $\cos C < 0$ — korekce se přičítá, strana $c$ je delší.

Vezmeme kosinovou větuc² = a² + b² − 2ab · cos C

Uděláme úhel pravýmC = 90°, cos 90° = 0 → 2ab · 0 = 0

Zůstává Pythagorova větac² = a² + b²

Důkaz kosinové věty

Nejkratší školní důkaz je pomocí souřadnic. Umístíme vrchol $C$ do počátku souřadnic a stranu $b = CA$ nasměrujeme podél osy x. Souřadnice vrcholů pak jsou:

$C(0;\ 0)$ — počátek souřadnic;
$A(b;\ 0)$ — bod na ose x ve vzdálenosti $b$ od počátku;
$B(a\cos C;\ a\sin C)$ — vrchol ve vzdálenosti $a$ od počátku pod úhlem $C$ k ose x.

Strana $c$ je délka úsečky $AB$. Spočítáme ji pomocí vzorce pro vzdálenost mezi dvěma body:

\[c^2 = (a\cos C - b)^2 + (a\sin C)^2\]

Roznásobíme závorky:

\[c^2 = a^2\cos^2 C - 2ab\cos C + b^2 + a^2\sin^2 C\]

Seskupíme členy s $a^2$ a použijeme základní trigonometrickou identitu $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$:

\[c^2 = a^2(\cos^2 C + \sin^2 C) + b^2 - 2ab\cos C = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

Což bylo dokázati. Všimněte si: nikde nebylo potřeba, aby úhel $C$ byl ostrý. Pokud je tupý, kosinus je záporný, souřadnice $a\cos C$ se posune doleva od osy y, ale všechny výpočty zůstávají stejné — proto je věta platná pro jakýkoli trojúhelník.

Vrchol C je v počátku souřadnic, strana b leží na ose x. Souřadnice vrcholu B se pak vyjadřují pomocí strany a a úhlu C.

Důsledek: jak najít úhel podle tří stran

Z kosinové věty se vyjadřuje samotný kosinus — to je její hlavní důsledek. Podle něj se hledá úhel, když jsou známy všechny tři strany:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

V čitateli — součet druhých mocnin dvou stran, přilehlých k úhlu, minus druhá mocnina strany, která leží proti němu. Ve jmenovateli — dvojnásobek součinu přilehlých stran. Pro jiné úhly jsou vzorce stejné:

\[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \qquad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\]

Postup řešení:

zvolit hledaný úhel a určit, která strana leží proti němu — její druhá mocnina jde do čitatele se znaménkem minus;
spočítat zlomek (jmenovatel je vždy kladný, znaménko určuje pouze čitatel);
podle tabulky hodnot nebo pomocí arkus kosinu najít samotný úhel.

Užitečný trik: začít s nejdelší stranou. Proti ní leží největší úhel, a pouze ten může být pravý nebo tupý — ostatní dva úhly v trojúhelníku jsou vždy ostré.

Kosinusy tupých úhlů jsou záporné: tabulka hodnot

Ve školních úlohách jsou úhly téměř vždy „tabulkové“: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. U ostrých úhlů je kosinus kladný, u pravého je nula a u tupých — záporný. Hodnoty pro tupé úhly se získávají z hodnot pro ostré úhly podle pravidla převodu $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$: například $\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5$.

Co to znamená v praxi: při tupém úhlu se člen $-2ab\cos C$ změní na plus — mínus krát mínus. Pro úhel $120°$ vzorec vypadá takto:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot (-0{,}5) = a^2 + b^2 + ab.\]

Právě zde se nejčastěji ztrácejí body: dosadí se $0{,}5$ místo $-0{,}5$ a získá se strana kratší než obě zadané. To je prokazatelně nemožné — proti tupému úhlu leží nejdelší strana trojúhelníku.

Úhel	Kosinus
30°	√3/2 ≈ 0,87
45°	√2/2 ≈ 0,71
60°	1/2 = 0,5
90°	0
120°	−1/2 = −0,5
135°	−√2/2 ≈ −0,71
150°	−√3/2 ≈ −0,87

Pravidlo přechodu: cos(180° − α) = −cos α. Zelené hodnoty dávají ostrý úhel, růžové — tupý.

Jak určit typ trojúhelníku podle tří stran

Kosinová věta umožňuje zjistit typ trojúhelníku, aniž by se měřily úhly úhloměrem. Znaménko zlomku $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ závisí pouze na čitateli: jmenovatel $2ab$ je vždy kladný. Znamená to, že stačí porovnat druhou mocninu nejdelší strany se součtem druhých mocnin zbývajících dvou.

Nechť $c$ je nejdelší strana, pak proti ní leží největší úhel $C$:

$a^2 + b^2 > c^2$ → $\cos C > 0$ → úhel $C$ je ostrý. Ostatní úhly jsou menší než on, což znamená, že všechny tři úhly jsou ostré — trojúhelník je ostrouhlý;
$a^2 + b^2 = c^2$ → $\cos C = 0$ → $C = 90°$ — trojúhelník je pravoúhlý (to je zpětná Pythagorova věta);
$a^2 + b^2 < c^2$ → $\cos C < 0$ → úhel $C$ je tupý — trojúhelník je tupoúhlý.

Není třeba ověřovat ostatní úhly: pravý nebo tupý úhel v trojúhelníku může být jen jeden. A nezapomeňte na trojúhelníkovou nerovnost — pokud nejdelší strana není menší než součet dvou zbývajících, trojúhelník s takovými stranami vůbec neexistuje.

a² + b² > c²cos C > 0, úhel C je ostrýOstrouhlýpříklad: 5, 6, 7

a² + b² = c²cos C = 0, úhel C je pravýPravoúhlýpříklad: 8, 15, 17

a² + b² < c²cos C < 0, úhel C je tupýTupoúhlýpříklad: 4, 7, 9

Ve všech třech řádcích c — nejdelší strana trojúhelníku: pouze proti ní může ležet pravý nebo tupý úhel.

Sinová nebo kosinová věta: jak si vybrat

Obě věty řeší jeden úkol — hledají neznámé strany a úhly trojúhelníku — ale zapojují se od různých sad dat. Sinová věta spojuje stranu a úhel jí protilehlý:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

Odtud pravidlo výběru: pokud je v zadání již pár „strana a úhel proti ní“ — funguje sinová věta; pokud takový pár není — začínáme s kosinovou větou. Přehled čtyř školních sad dat — v tabulce.

Často se úloha řeší ve dvou krocích: nejprve kosinová věta dá třetí stranu, a pak sinová věta rychle najde zbývající úhly.

Co je známo	Co použijeme
SUSDvě strany a úhel mezi nimi	Kosinová větahledáme třetí stranu
SSSVšechny tři strany	Kosinová větahledáme libovolný úhel a typ trojúhelníku
USUStrana a dva úhly	Sinová větahledáme dvě další strany
SSUDvě strany a úhel proti jedné z nich	Sinová větahledáme protilehlý úhel

V případě SSU mohou existovat dvě řešení: sinus nerozlišuje ostrý a tupý úhel, proto je třeba oba případy ověřit podle zadání úlohy.

Kosinová věta v úlohách OGE

V OGE z matematiky se kosinová věta vyskytuje v planimetrických úlohách — jak v první části, tak v úlohách s rozepsanou odpovědí. Typické scénáře jsou:

Najít stranu podle dvou stran a úhlu mezi nimi — přímé použití vzorce, nejčastěji s úhly 60° nebo 120°.
Najít úhel nebo jeho kosinus podle tří stran — důsledek $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$. Pokud je v zadání napsáno „najděte $\cos\angle A$“, arkus kosinus brát nemusíte: odpověď je právě tento zlomek, ten se zapíše.
Úhlopříčky rovnoběžníku. Úhlopříčka odřízne trojúhelník ze dvou stran a úhlu mezi nimi. Sousední úhly rovnoběžníku dávají v součtu 180°, proto jejich kosiny jsou opačné: proti ostrému úhlu leží menší úhlopříčka, proti tupému — větší.
Typ trojúhelníku podle tří čísel — porovnání $a^2 + b^2$ s $c^2$.
Těžnice trojúhelníku. Vzorec $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$ se odvozuje dvojím použitím kosinové věty na dva sousední úhly u základny.

Rada u zkoušky: než začnete počítat, označte na náčrtku úhel, který je „sevřen“ mezi známými stranami. Pokud takový úhel není — kosinová věta zatím není použitelná, je třeba hledat jinou cestu.

Příklady řešení úloh na kosinovou větu

Příklad 1. Najít stranu podle dvou stran a úhlu 60°

Úloha. V trojúhelníku $ABC$ jsou strany $a = 7$ a $b = 15$, úhel mezi nimi $C = 60°$. Najděte stranu $c$.

Krok 1. Úhel $C$ je sevřen mezi stranami $a$ a $b$ — to je přesně ten případ, pro který je věta určena:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

Krok 2. Dosadíme čísla, $\cos 60° = 0{,}5$:

\[c^2 = 7^2 + 15^2 - 2 \cdot 7 \cdot 15 \cdot 0{,}5 = 49 + 225 - 105 = 169.\]

Krok 3. Vytkneme odmocninu: $c = \sqrt{169} = 13$.

Odpověď: $13$. Kontrola podle smyslu: úhel $60°$ je ostrý, proto strana proti němu není nejdelší — a skutečně, $13 < 15$.

Příklad 2. Tupý úhel: mínus krát mínus

Úloha. V trojúhelníku $ABC$ je známo: $AB = 6$, $BC = 10$, úhel $B = 120°$. Najděte stranu $AC$.

Krok 1. Úhel $B$ je sevřen mezi stranami $AB$ a $BC$, a strana $AC$ leží proti němu:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B.\]

Krok 2. Úhel je tupý, proto $\cos 120° = -0{,}5$. Mínus před součinem a mínus u kosinu dávají plus:

\[AC^2 = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (-0{,}5) = 136 + 60 = 196.\]

Krok 3. $AC = \sqrt{196} = 14$.

Odpověď: $14$. Kontrola: proti tupému úhlu leží nejdelší strana — $14$ je větší než $6$ i $10$.

Příklad 3. Najít úhel podle tří stran

Úloha. Strany trojúhelníku jsou $3$, $5$ a $7$. Najděte jeho největší úhel.

Krok 1. Největší úhel leží proti nejdelší straně, tedy proti straně $7$. Označme ho $C$, pak $c = 7$, a přilehlé strany $a = 3$ a $b = 5$.

Krok 2. Použijeme důsledek:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{-15}{30} = -0{,}5.\]

Krok 3. Kosinus je záporný — úhel je tupý. Podle tabulky hodnot $\cos 120° = -0{,}5$, takže $C = 120°$.

Odpověď: $120°$. Mimochodem se zjistilo, že trojúhelník je tupoúhlý.

Příklad 4. Určit typ trojúhelníku

Úloha. Určete typ trojúhelníku se stranami $6$, $7$ a $10$.

Krok 1. Ověříme trojúhelníkovou nerovnost: $6 + 7 = 13 > 10$ — trojúhelník existuje. Nejdelší strana je $10$.

Krok 2. Porovnáme součet druhých mocnin dvou kratších stran s druhou mocninou nejdelší strany:

\[6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85, \qquad 10^2 = 100.\]

Krok 3. $85 < 100$, takže čitatel zlomku je záporný a $\cos C < 0$ — úhel proti straně $10$ je tupý. Pokud chcete, můžete najít i samotný úhel:

\[\cos C = \frac{85 - 100}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{-15}{84} \approx -0{,}18 \Rightarrow C \approx 100°.\]

Odpověď: trojúhelník je tupoúhlý. Všimněte si: „na oko“ to není vidět — strany jsou téměř stejné, ale úhel už přesáhl $90°$.

Příklad 5. Úloha úrovně OGE: úhlopříčka rovnoběžníku

Úloha. Strany rovnoběžníku jsou $5$ a $8$, ostrý úhel je $60°$. Najděte menší úhlopříčku.

Krok 1. Úhlopříčka odřízne trojúhelník, u kterého známe dvě strany ($5$ a $8$) a úhel mezi nimi. Menší úhlopříčka leží proti ostrému úhlu $60°$.

Krok 2. Počítáme:

\[d^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 25 + 64 - 40 = 49 \Rightarrow d = 7.\]

Krok 3. Kontrola. Druhá úhlopříčka leží proti úhlu $120°$ (sousední úhly rovnoběžníku v součtu dávají $180°$): $D^2 = 89 + 40 = 129$, tedy $D = \sqrt{129} \approx 11{,}4$. Součet druhých mocnin úhlopříček je $49 + 129 = 178$, a dvojnásobek součtu druhých mocnin stran je $2(25 + 64) = 178$. Shoduje se, takže výpočet je správný.

Odpověď: $7$.

Časté chyby v úlohách na kosinovou větu

Berou kosinus tupého úhlu se znaménkem plus. Pro strany $4$ a $9$ s úhlem $120°$ mezi nimi píší $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ a získají $c \approx 7{,}8$.

$\cos 120° = -0{,}5$, a mínus krát mínus dává plus: $c^2 = 97 + 36 = 133$, tedy $c = \sqrt{133} \approx 11{,}5$. Rychlá kontrola: proti tupému úhlu leží nejdelší strana, takže odpověď musí být větší než $9$.
Dosazují úhel, který není sevřen mezi zadanými stranami: v zadání je dán jeden úhel a berou ho „jak je“, aniž by se podívali na náčrt.

V zápisu $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ strany $a$ a $b$ tvoří úhel $C$, a strana $c$ leží proti němu. Pokud je známý úhel přilehlý k hledané straně, tento zápis není vhodný — je třeba jiný ze tří nebo sinová věta.
Zapomínají odmocnit a zapisují do odpovědi druhou mocninu strany: získali $c^2 = 225$ a píší „strana je 225“.

Vzorec vždy dává právě druhou mocninu strany. Poslední krok je povinný: $c = \sqrt{225} = 15$. Přečtěte si znovu otázku úlohy, než zapíšete odpověď.
Zaměňují pořadí členů v důsledku a píší $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.

Správný čitatel je $a^2 + b^2 - c^2$: součet druhých mocnin přilehlých stran minus druhá mocnina protilehlé. Při záměně se znaménko zlomku změní na opačné a místo tupého úhlu $120°$ se získá ostrý $60°$.
Hledají úhel podle absolutní hodnoty kosinu: získali −0,25, a do odpovědi napíší ostrý úhel, jako by kosinus byl +0,25.

Záporný kosinus znamená vždy tupý úhel. Znaménko nelze ztratit: cos 60° = 0,5, a cos 120° = −0,5; arkus kosinus záporného čísla je větší než 90°.
Snaží se řešit úlohu „dvě strany a úhel mezi nimi“ sinovou větou a zaseknou se na první řádce.

Sinová věta potřebuje hotový pár „strana a protilehlý úhel“. Při dvou stranách a úhlu mezi nimi takový pár není — nejprve kosinová věta dá třetí stranu, a teprve potom se zapojí sinová věta.

Otázky a odpovědi

Jak zní kosinová věta?

Druhá mocnina strany trojúhelníku se rovná součtu druhých mocnin zbývajících dvou stran, zmenšenému o dvojnásobek součinu těchto stran a kosinu úhlu mezi nimi: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Věta platí pro jakýkoli trojúhelník, nejen pro pravoúhlý.

Jak najít stranu trojúhelníku podle dvou stran a úhlu mezi nimi?

Dosadit údaje do vzorce c² = a² + b² − 2ab·cos C a odmocnit. Například při stranách 4 a 6 a úhlu 60° mezi nimi: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, takže c = √28 ≈ 5,3.

Jak najít úhel trojúhelníku, pokud jsou známy tři strany?

Podle důsledku kosinové věty: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), kde c je strana naproti hledanému úhlu. Například pro strany 2, 3 a 4 je kosinus největšího úhlu (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, tedy úhel je tupý, přibližně 104°.

Proč je Pythagorova věta speciálním případem kosinové věty?

Protože při pravém úhlu cos 90° = 0, a člen −2ab·cos C se vynuluje. Z vzorce zůstává c² = a² + b² — to je Pythagorova věta pro pravoúhlý trojúhelník.

Funguje kosinová věta v tupoúhlém trojúhelníku?

Ano, a funguje beze změn. U tupého úhlu je kosinus záporný, proto se člen −2ab·cos C stává kladným a přičítá se k součtu druhých mocnin. Právě proto je strana proti tupému úhlu nejdelší.

Kdy použít sinovou větu a kdy kosinovou větu?

Sinová věta je potřeba, když je v zadání již pár „strana a protilehlý úhel“ — například je dána strana a dva úhly. Kosinová věta — když takový pár není: jsou dány dvě strany a úhel mezi nimi nebo všechny tři strany. Často se úloha řeší ve dvou krocích: nejprve kosinová, pak sinová.

Jak určit typ trojúhelníku podle tří stran?

Porovnat druhou mocninu nejdelší strany c² se součtem druhých mocnin zbývajících dvou. Pokud a² + b² > c² — trojúhelník je ostrouhlý, pokud a² + b² = c² — pravoúhlý, pokud a² + b² < c² — tupoúhlý. Znaménko tohoto rozdílu se shoduje se znaménkem kosinu největšího úhlu.

V jakém ročníku se probírá kosinová věta?

V 9. třídě na hodinách geometrie, v tématu „Vztahy mezi stranami a úhly trojúhelníku“ — spolu se sinovou větou. Dále se neustále používá v úlohách OGE a ЕГЭ z planimetrie a stereometrie.

Zůstaly otázky? Pokračuj v chatu

Vyřeš můj problém Zkontroluj moje řešení Najít stranu trojúhelníku Najít úhel podle tří stran Sinová nebo kosinová? Dej úlohy na procvičení

Uživatel #4365351

Editor textu na fotkách se mi opravdu líbil — výsledek je naprosté mistrovské dílo.

Web · květen 2026

Uživatel #4383661

Děkuji, práce neuronové sítě mě opravdu ohromila. Perfektní!

Uživatel #4279467

Moc se mi to líbí — bylo by skvělé mít pár pokusů zdarma navíc.

Google Play · květen 2026

Uživatel #4160129

Úžasná aplikace s dostupnými cenami.