Pythagorova věta je hlavní vzorec geometrie 8. třídy: v pravoúhlém trojúhelníku je součet druhých mocnin odvěsen roven druhé mocnině přepony, tedy \(a^2 + b^2 = c^2\). Z ní se odvozují vzorce pro výpočet přepony a libovolné odvěsny, úhlopříčky obdélníku a vzdálenosti mezi body. Na této stránce najdete definici a vzorec, názorný důkaz pomocí ploch, obrácenou větu, egyptský trojúhelník 3-4-5, podrobné řešení příkladů a interaktivní trenažér pro ověření znalostí.
Co je to Pythagorova věta a jak zní její vzorec
Pythagorova věta platí pouze v pravoúhlém trojúhelníku – v takovém, kde jeden z úhlů má \(90°\). Strany takového trojúhelníku se nazývají různě:
- odvěsny – dvě strany, které svírají pravý úhel;
- přepona – strana proti pravému úhlu, nejdelší strana trojúhelníku.
Znění věty: v pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina přepony rovna součtu druhých mocnin odvěsen.
Zde \(a\) a \(b\) jsou odvěsny, \(c\) je přepona. Někdy se věta formuluje „geometricky“: plocha čtverce nad přeponou je rovna součtu ploch čtverců nad odvěsnami. Je to tatáž věta, jen vyjádřená pomocí ploch místo čísel.
Pořadí písmen si zapamatujete podle jednoduchého pravidla: pod velkým písmenem \(c\) se vždy skrývá nejdelší strana. Pokud v úloze zaměníte přeponu za odvěsnu, výsledek bude nesprávný.
Důkaz Pythagorovy věty
Pythagorova věta má více než sto známých důkazů. Ve škole se probírá ten nejnázornější – důkaz pomocí ploch. Vezmeme dva stejné čtverce o straně \(a + b\) a do každého z nich umístíme čtyři stejné pravoúhlé trojúhelníky s odvěsnami \(a\) a \(b\) – ale různě.
- V prvním čtverci posuneme trojúhelníky do rohů tak, aby volné zůstaly dva čtverce: o straně \(a\) a o straně \(b\). Jejich plochy jsou \(a^2\) a \(b^2\).
- Ve druhém čtverci rozmístíme tytéž čtyři trojúhelníky „vějířovitě“. Volný zůstane jeden šikmý čtverec o straně \(c\), jeho plocha je \(c^2\).
- Plochy velkých čtverců jsou stejné: každá je \((a+b)^2\). Stejná je i souhrnná plocha trojúhelníků: každý zabírá \(\frac{ab}{2}\), dohromady \(2ab\).
Jelikož se shoduje celé i odečítaná část, shodují se i zbytky: \(a^2 + b^2 = c^2\). Věta je dokázána – rovnováha ploch pro oba čtverce je vypsána pod obrázkem.
Jak najít přeponu a odvěsnu pomocí Pythagorovy věty
Z jediného vzorce \(a^2 + b^2 = c^2\) plynou všechny pracovní vzorce tématu: neznámá strana se vyjádří z rovnosti a odmocní. Rozdíl mezi oběma případy je jen jeden – a právě v něm se nejčastěji chybuje:
- přeponu hledáme pomocí součtu druhých mocnin odvěsen – musí vyjít delší než kterákoli z nich;
- odvěsnu – pomocí rozdílu: od druhé mocniny přepony odečteme druhou mocninu známé odvěsny a výsledek musí být menší než přepona.
Pokud pod odmocninou vyjde záporné číslo, znamená to, že jste přeponu zaměnili za odvěsnu – vraťte se k obrázku a najděte pravý úhel. A ještě jedna podrobnost: odmocnina na konci je nezbytná, v tomto kroku se ztrácí body nejčastěji.
Připravená pomůcka se všemi vzorci je níže.
| Co hledáme | Vzorec a vysvětlení |
|---|---|
| Přepona | c = √a2 + b2odmocnina ze součtu druhých mocnin odvěsen |
| Odvěsna a | a = √c2 − b2odmocnina z rozdílu druhých mocnin přepony a druhé odvěsny |
| Odvěsna b | b = √c2 − a2symetricky: odečteme druhou mocninu druhé odvěsny |
| Kontrola | a2 + b2 = c2 ?rovnost platí → trojúhelník je pravoúhlý (obrácená věta) |
Obrácená Pythagorova věta a egyptský trojúhelník
Obrácená Pythagorova věta: pokud je druhá mocnina jedné strany trojúhelníku rovna součtu druhých mocnin zbývajících dvou stran, pak je tento trojúhelník pravoúhlý a pravý úhel leží proti nejdelší straně.
Je to praktický nástroj: podle tří čísel lze určit typ trojúhelníku, aniž bychom měřili úhly úhloměrem. Postup je následující:
- najdeme nejdelší stranu – ta je kandidátem na přeponu;
- umocníme na druhou dvě kratší strany a sečteme;
- porovnáme s druhou mocninou nejdelší strany.
Pokud vyjde rovnost – trojúhelník je pravoúhlý. Například strany 6, 8 a 10: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\), takže trojúhelník je pravoúhlý.
Sady celých čísel, pro které platí rovnost, se nazývají pythagorejské trojice. Nejznámější je 3, 4, 5: takový trojúhelník se nazývá egyptský, protože stavitelé ve starověkém Egyptě odměřovali na laně 12 stejných dílků a skládali ho do trojúhelníku o stranách 3, 4 a 5, aby získali přesný pravý úhel na stavbě. Tuto metodu používají dodnes.
Kde se používá Pythagorova věta: příklady z praxe a geometrie
Pythagorova věta je užitečná pokaždé, když v obrazci můžeme vidět pravoúhlý trojúhelník:
- Úhlopříčka obdélníku. Úhlopříčka rozdělí obdélník na dva pravoúhlé trojúhelníky, takže \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\). Takto se počítá úhlopříčka obrazovky televize nebo rozměr místnosti.
- Výška rovnoramenného trojúhelníku. Výška spuštěná k základně ji rozdělí na polovinu a vytvoří pravoúhlý trojúhelník – dál platí stejný vzorec.
- Úhlopříčka čtverce. Pokud je strana \(a\), pak \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\).
- Vzdálenost mezi body na souřadnicové rovině. Vzorec \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) je Pythagorova věta pro trojúhelník sestrojený na rozdílech souřadnic.
- Praktické úlohy. Žebřík opřený o zeď; výška stromu podle stínu; délka lana, napínáku, kabelu – ve všech těchto úlohách se doplní pravoúhlý trojúhelník a použije se vzorec.
Je důležité pamatovat na hlavní omezení: věta platí pouze pro pravoúhlý trojúhelník. Pokud pravý úhel není přítomen, strany spojuje již kosinová věta, kterou se probírá v 9. třídě.
Příklady řešení úloh na Pythagorovu větu
Příklad 1. Nalezení přepony
Úloha. Odvěsny pravoúhlého trojúhelníku jsou 9 cm a 12 cm. Najděte přeponu.
Krok 1. Zapíšeme větu pro náš trojúhelník: \(c^2 = a^2 + b^2\).
Krok 2. Umocníme odvěsny na druhou a sečteme:
Krok 3. Vypočítáme odmocninu: \(c = \sqrt{225} = 15\) cm.
Odpověď: 15 cm. Kontrola podle smyslu: přepona vyšla delší než každá z odvěsen – tak to má být.
Příklad 2. Nalezení odvěsny
Úloha. Přepona pravoúhlého trojúhelníku je 25 cm, jedna odvěsna 7 cm. Najděte druhou odvěsnu.
Krok 1. Vyjádříme neznámou odvěsnu ze vzorce \(a^2 + b^2 = c^2\): \(b^2 = c^2 - a^2\). Zde je rozdíl, ne součet – hledáme odvěsnu, ne přeponu.
Krok 2. Dosadíme čísla:
Krok 3. Vypočítáme odmocninu: \(b = \sqrt{576} = 24\) cm.
Odpověď: 24 cm. Mimochodem jsme zjistili pythagorejskou trojici \(7 - 24 - 25\).
Příklad 3. Úloha s žebříkem
Úloha. Žebřík dlouhý 5 m je opřen o zeď. Jeho spodní konec je od zdi vzdálen 3 m. V jaké výšce se žebřík dotýká zdi?
Krok 1. Nakreslíme obrázek: zeď a zem svírají pravý úhel, žebřík je přepona. Tedy \(c = 5\) m, jedna odvěsna \(a = 3\) m, výška \(h\) je druhá odvěsna.
Krok 2. Hledáme odvěsnu pomocí rozdílu:
Krok 3. \(h = \sqrt{16} = 4\) m.
Odpověď: 4 m. Před námi je ten egyptský trojúhelník \(3 - 4 - 5\).
Příklad 4. Ověření trojúhelníku pomocí obrácené věty
Úloha. Strany trojúhelníku jsou 10, 24 a 26. Je pravoúhlý?
Krok 1. Najdeme nejdelší stranu – je to 26. Pokud je trojúhelník pravoúhlý, bude přeponou právě ona.
Krok 2. Spočítáme součet druhých mocnin dvou kratších stran: \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\).
Krok 3. Porovnáme s druhou mocninou delší strany: \(26^2 = 676\). Čísla se shodují.
Odpověď: ano, trojúhelník je pravoúhlý, pravý úhel leží proti straně 26. Toto je trojice \(5 - 12 - 13\) vynásobená 2.
Příklad 5. Úhlopříčka obdélníku
Úloha. Strany obdélníku jsou 8 cm a 15 cm. Najděte jeho úhlopříčku.
Krok 1. Úhlopříčka rozdělí obdélník na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky: strany obdélníku se stanou odvěsnami, úhlopříčka přeponou.
Krok 2. Použijeme vzorec: \(d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}\).
Krok 3. \(d = 17\) cm.
Odpověď: 17 cm. Zde platí pythagorejská trojice \(8 - 15 - 17\).
Časté chyby v úlohách na Pythagorovu větu
-
Záměna odvěsny za přeponu: nejdelší stranu dosadí jako odvěsnu a dostanou záporné číslo pod odmocninou.
Přepona je vždy strana proti pravému úhlu a vždy nejdelší. Začněte řešení obrázkem: označte pravý úhel a bude jasné, která strana leží proti němu.
-
Sčítají se samotné strany, ne jejich druhé mocniny: napíší $a + b = c$ a pro odvěsny 6 a 8 dostanou 14.
Věta spojuje právě druhé mocniny: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), takže \(c = 10\). Součet samotných odvěsen je vždy větší než přepona – to není odpověď, ale příznak chyby.
-
Zapomenou odmocnit a do odpovědi napíší $c^2$ místo $c$: „přepona je 225“.
Po výpočtech vždy zůstane druhá mocnina strany. Poslední krok je odmocnina: \(c = \sqrt{225} = 15\). Zvykněte si před zápisem odpovědi znovu přečíst zadání úlohy.
-
Hledají odvěsnu pomocí součtu: $b = \sqrt{c^2 + a^2}$.
Pomocí součtu se hledá pouze přepona. Odvěsna – pomocí rozdílu: \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\). Kontrola je jednoduchá: odvěsna musí vyjít menší než přepona.
-
Používají větu pro trojúhelník bez pravého úhlu – například pro rovnoramenný nebo pro obecný trojúhelník se stranami 5, 6, 7.
Pythagorova věta platí pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pokud pravý úhel není, nejprve se „vytvoří“ – spustí se výška – nebo se použije kosinová věta z 9. třídy.
-
V obrácené větě porovnávají s nesprávnou stranou: umocní na druhou dvě libovolné strany a sečtou.
Druhá mocnina nejdelší strany se musí rovnat součtu druhých mocnin zbývajících dvou. Pro strany 6, 8, 11 porovnáme \(6^2 + 8^2 = 100\) a \(11^2 = 121\): rovnost neplatí, trojúhelník není pravoúhlý.
Otázky a odpovědi
Jak zní vzorec Pythagorovy věty?
a² + b² = c², kde a a b jsou odvěsny pravoúhlého trojúhelníku a c je přepona. Slovy: druhá mocnina přepony je rovna součtu druhých mocnin odvěsen.
Jak najít přeponu, když známe odvěsny?
Umocnit odvěsny na druhou, sečíst a odmocnit: c = √(a² + b²). Například pro odvěsny 6 a 8 dostaneme c = √(36 + 64) = √100 = 10.
Jak najít odvěsnu, když známe přeponu a druhou odvěsnu?
Pomocí rozdílu druhých mocnin: a = √(c² − b²). Například pro přeponu 13 a odvěsnu 5 je druhá odvěsna √(169 − 25) = √144 = 12.
V jaké třídě se probírá Pythagorova věta?
V 8. třídě na hodinách geometrie, v tématu „Pravoúhlý trojúhelník“. Tam se také probírá obrácená Pythagorova věta a pythagorejské trojice, a dále se věta používá v 9. třídě a v úlohách OGE a ЕГЭ.
Co je to obrácená Pythagorova věta?
Je to tvrzení v opačném směru: pokud je druhá mocnina jedné strany trojúhelníku rovna součtu druhých mocnin zbývajících dvou stran, pak je trojúhelník pravoúhlý. Umožňuje určit typ trojúhelníku podle tří čísel, bez měření úhlů.
Jaký trojúhelník se nazývá egyptský?
Trojúhelník se stranami 3, 4 a 5: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Ve starověkém Egyptě pomocí lana rozděleného na 12 stejných dílků z něj získali přesný pravý úhel při zaměřování staveb.
Platí Pythagorova věta v neprávoúhlém trojúhelníku?
Ne. Rovnost a² + b² = c² platí pouze při pravém úhlu. Pro obecný trojúhelník se používá kosinová věta c² = a² + b² − 2ab·cos C, která se při úhlu 90° přesně transformuje na Pythagorovu větu.
Jak jednoduše dokázat Pythagorovu větu?
Nejnázornější školní důkaz je pomocí ploch. Vezmou se dva stejné čtverce o straně a + b a do každého se umístí čtyři shodné pravoúhlé trojúhelníky s odvěsnami a a b. V prvním zůstanou volné čtverce a² a b², ve druhém – čtverec c². Jelikož velké čtverce a trojúhelníky jsou shodné, platí a² + b² = c².
