একটি বর্গ সমীকরণ হল \(ax^2 + bx + c = 0\) আকারের একটি সমীকরণ, যেখানে \(a \neq 0\)। এর মূলের সংখ্যা ডিসক্রিমিন্যান্ট \(D = b^2 - 4ac\) দ্বারা নির্ধারিত হয়, এবং মূলগুলি \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়। এই পৃষ্ঠায় বিষয়টির সবকিছু সংকলিত হয়েছে: স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম এবং সহগ, তিন ধরণের অসম্পূর্ণ সমীকরণ, ডিসক্রিমিন্যান্ট এবং তিনটি কেস, মূলের সূত্র এবং এর 'জোড়' রূপ, প্রমিত সমীকরণ এবং ভিয়েতার উপপাদ্য, উৎপাদকে বিশ্লেষণ এবং দ্বিঘাত সমীকরণ — ধাপে ধাপে উদাহরণ, সাধারণ ভুলগুলির বিশ্লেষণ এবং একটি ইন্টারেক্টিভ প্রশিক্ষক সহ।
বর্গ সমীকরণ কি
বর্গ সমীকরণ হল একটি সমীকরণ যা
আকারে লেখা হয়, যেখানে \(x\) হল অজানা চলক এবং \(a\), \(b\), \(c\) হল সংখ্যা (সহগ), যেখানে \(a \neq 0\)। এই রূপটিকে বর্গ সমীকরণের স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম বলা হয়: বাম দিকে পদগুলি ঘাতের অবরোহী ক্রমে সাজানো থাকে এবং ডান দিকে শূন্য থাকে।
\(a \neq 0\) শর্তটি একটি আনুষ্ঠানিকতা নয়। \(ax^2\) পদটিই সমীকরণটিকে বর্গাকার করে তোলে: যদি \(a = 0\) হয়, তবে \(bx + c = 0\) অবশিষ্ট থাকে, যা একটি সাধারণ রৈখিক সমীকরণ যার একটি মূল থাকে। তাই প্যারামিটারযুক্ত সমস্যাগুলিতে, প্রথমে দেখা হয় যে সর্বোচ্চ ঘাতের সহগ শূন্য হচ্ছে কিনা।
প্রায়শই একটি সমীকরণকে স্ট্যান্ডার্ড রূপে আনা সম্ভব: বন্ধনী খুলে, সমস্ত পদ বাম দিকে সরিয়ে এবং সদৃশ পদগুলিকে একত্রিত করে। উদাহরণস্বরূপ, \(5x^2 = 3x - 2\) সমীকরণটিকে বাম দিকে সরানোর পরে \(5x^2 - 3x + 2 = 0\) তে রূপান্তরিত হয়, যেখান থেকে \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\) পাওয়া যায়। 'দ্বিঘাত সমীকরণ' শব্দটি ঠিক একই অর্থ বোঝায় — এটি কেবল নামের একটি ভিন্ন রূপ।
পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ বর্গ সমীকরণ
যদি তিনটি সহগই অশূন্য হয়, তবে সমীকরণটিকে পূর্ণ বলা হয়। যদি \(b\) বা \(c\) (বা উভয়ই) শূন্য হয় — তবে এটি অসম্পূর্ণ। অসম্পূর্ণের ঠিক তিনটি ধরণ রয়েছে এবং এদের কোনোটির জন্যই ডিসক্রিমিন্যান্টের প্রয়োজন হয় না: প্রতিটি এক বা দুই লাইনে সমাধান করা যায়, এবং এটি পরীক্ষায় সময় বাঁচানোর সবচেয়ে দ্রুত উপায়।
\(ax^2 + bx = 0\) এর জন্য মূল ধারণা হল সাধারণ উৎপাদক বের করা। \(x(ax + b)\) এর গুণফল শূন্য হবে যদি এবং কেবল যদি অন্তত একটি উৎপাদক শূন্য হয়, এখান থেকে সরাসরি দুটি মূল পাওয়া যায়। \(ax^2 + c = 0\) এর জন্য ধারণাটি ভিন্ন: \(x^2\) কে প্রকাশ করা এবং প্রাপ্ত সংখ্যার চিহ্নের দিকে তাকানো — একটি বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না।
| সমীকরণের রূপ | সমাধানের পদ্ধতি |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | c কে ডানদিকে নিয়ে যান এবং a দিয়ে ভাগ করুন: x2 = −c/a। দ্বিতীয় চিহ্নটি না হারিয়ে বর্গমূল বের করুন।x = 5 এবং x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | x কে সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বের করুন: x(ax + b) = 0। গুণফল শূন্য হয় যখন গুণকের একটি শূন্য হয়।x = 0 এবং x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | a দিয়ে ভাগ করুন এবং শূন্যের বর্গমূল বের করুন। মূল সর্বদা ঠিক একটি।x = 0 |
ডিসক্রিমিন্যান্ট: কিভাবে বের করতে হয় এবং কয়টি মূল থাকবে
ডিসক্রিমিন্যান্ট হল একটি সংখ্যা যা পূর্ণ সমীকরণের সহগগুলি ব্যবহার করে গণনা করা হয়:
শব্দটির অর্থ 'পার্থক্যকারী': ডিসক্রিমিন্যান্ট কোনো সমাধান করে না, এটি কেবল তিনটি পরিস্থিতিকে আলাদা করে — দুটি মূল, একটি মূল বা কোনো মূল নেই। তাই 'সমীকরণের কয়টি মূল আছে' এই প্রশ্নের উত্তর মূলগুলি বের না করেই দেওয়া যায়।
\(D\) সাবধানে গণনা করতে হবে: \(b^2\) সর্বদা ধনাত্মক, এমনকি যদি \(b\) নিজেই ঋণাত্মক হয়, এবং \(a\) ও \(c\) এর চিহ্ন \(4ac\) গুণফলের মধ্যে যেমন আছে তেমনই অন্তর্ভুক্ত হয়। \(x^2 + 4x - 5 = 0\) সমীকরণটি নেওয়া যাক: এখানে \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), সুতরাং \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\)। ডিসক্রিমিন্যান্ট ধনাত্মক, এবং দুটি মূল থাকবে।
বর্গ সমীকরণের মূলের সূত্র
যখন \(D \ge 0\), মূলগুলি এই বিষয়ের প্রধান সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:
\(\pm\) চিহ্নটি দুটি গণনার অর্থ বোঝায়: একবার যোগ দিয়ে, অন্যবার বিয়োগ দিয়ে। \(D = 0\) হলে উভয় গণনা একই সংখ্যা \(x = -\dfrac{b}{2a}\) দেয় — এই মূলটিকে দ্বিগুণ মূল বলা হয়।
দুটি জায়গা যেখানে সবচেয়ে বেশি ভুল হয়: লবে \(b\) এর মাইনাস চিহ্ন থাকে (যদি \(b = -7\) হয় তবে এটি \(+7\) হবে), এবং হরে থাকে \(2a\), শুধু \(2\) নয়। যদি \(a = 1\) হয় তবে পার্থক্য বোঝা যায় না, তাই ভুলটি সেখানেই দেখা দেয় যেখানে সর্বোচ্চ সহগ এক থেকে ভিন্ন।
\(2x^2 - 9x - 5 = 0\) সমাধান করি: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), সুতরাং \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) এবং \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\)।
জোড় দ্বিতীয় সহগ: D₁ সহ সূত্র
যদি \(b\) একটি জোড় সংখ্যা হয়, তবে এটিকে \(b = 2k\) হিসাবে লেখা সুবিধাজনক এবং 'হ্রাসকৃত' ডিসক্রিমিন্যান্ট গণনা করা হয়:
গণনার সংখ্যাগুলি চারগুণ কমে যায় (\(D = 4D_1\)), এবং \(D_1\) এর চিহ্ন \(D\) এর মতোই — এর মানে মূলের সংখ্যা সম্পর্কে সিদ্ধান্ত পরিবর্তন হয় না।
উদাহরণ: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\)। এখানে \(b = 8\), অর্থাৎ \(k = 4\), এবং \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\)। তাহলে \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) এবং \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\)। সাধারণ সূত্রে \(D = 100\) নিয়ে কাজ করতে হত — ফলাফল একই, কিন্তু পাটিগণিত বেশি।
প্রমিত সমীকরণ এবং ভিয়েতার উপপাদ্য
\(a = 1\) সহ সমীকরণকে প্রমিত বলা হয় এবং \(x^2 + px + q = 0\) হিসাবে লেখা হয়। যেকোনো বর্গ সমীকরণকে \(a\) দিয়ে ভাগ করে এই রূপে আনা যায়: উদাহরণস্বরূপ, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) কে 4 দিয়ে ভাগ করার পর \(x^2 - 3x + 2 = 0\) হয়।
প্রমিত রূপটি মূল্যবান কারণ এর জন্য ভিয়েতার উপপাদ্য কাজ করে: মূলগুলির যোগফল \(-p\) এর সমান এবং গুণফল \(q\) এর সমান। \(x^2 - 7x + 10 = 0\) এর জন্য 7 যোগফল এবং 10 গুণফল বিশিষ্ট দুটি সংখ্যা প্রয়োজন — সেগুলি হল 2 এবং 5, এবং ডিসক্রিমিন্যান্ট গণনা করার প্রয়োজন হয়নি।
ভিয়েতা অনুসারে বাছাই করা পদ্ধতিটি কাজে আসে যখন মূলগুলি পূর্ণসংখ্যা এবং ছোট হয়, এবং এটি ডিসক্রিমিন্যান্ট দ্বারা প্রাপ্ত উত্তর যাচাই করতেও সাহায্য করে: যোগফল \(-p\) এবং গুণফল \(q\) হওয়া উচিত। সাধারণ রূপের জন্য সূত্র, বিপরীত উপপাদ্য এবং বাছাইয়ের অ্যালগরিদম একটি পৃথক উপাদানে আলোচনা করা হয়েছে — ভিয়েতার উপপাদ্য।
বর্গ ত্রিপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ
যদি মূল \(x_1\) এবং \(x_2\) পাওয়া যায়, তবে বর্গ ত্রিপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়:
\(a\) উৎপাদকটি ভুলে যাওয়া উচিত নয় — এটি ছাড়া সমতা সঠিক থাকে না। বিশ্লেষণ যাচাই করা সবসময় সহজ: বন্ধনী খুলে মূল ত্রিপদীর সাথে তুলনা করুন। ধরা যাক, \(x^2 + 2x - 8\) এর মূলগুলি হল 2 এবং \(-4\), তাই \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\)।
বিপরীত দিকেও কাজ করে: যদি ত্রিপদীকে মনে মনে বিশ্লেষণ করা যায়, তবে মূলগুলি অবিলম্বে দেখা যায় এবং ডিসক্রিমিন্যান্টের প্রয়োজন হয় না। এখানে সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র সহায়ক — উদাহরণস্বরূপ, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) মূলগুলি 4 এবং \(-4\) অবিলম্বে দেয়।
মূলের সূত্র ব্যবহার না করার তৃতীয় উপায় হল পূর্ণ বর্গ তৈরি করা। \(x^2 + 6x + 5 = 0\) তে প্রথম দুটি পদকে একটি পূর্ণ বর্গ হিসাবে সম্পূর্ণ করা হয়: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), অর্থাৎ \((x + 3)^2 = 4\), যেখান থেকে \(x + 3 = \pm 2\) এবং \(x = -1\) বা \(x = -5\)। ঠিক এই পদ্ধতি ব্যবহার করেই মূলের সূত্রটি সাধারণ রূপে বের করা হয়।
বর্গ সমীকরণে রূপান্তরিত সমীকরণ: দ্বিঘাত সমীকরণ
দ্বিঘাত সমীকরণ হল \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) আকারের সমীকরণ: ঘাতগুলি কেবল জোড়। এটি \(t = x^2\) প্রতিস্থাপন করে সমাধান করা হয়, যেখানে অবশ্যই \(t \ge 0\) শর্তটি থাকতে হবে — একটি বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না।
প্রতিস্থাপনের পরে, এটি একটি সাধারণ বর্গ সমীকরণ \(at^2 + bt + c = 0\) তে রূপান্তরিত হয়। এটি ডিসক্রিমিন্যান্ট ব্যবহার করে সমাধান করা হয়, এবং তারপর প্রতিটি অঋণাত্মক মূল \(t\) এর জন্য \(x = \pm\sqrt{t}\) তে ফিরে যাওয়া হয়। এখান থেকেই মূলের সংখ্যা পাওয়া যায়: চারটি পর্যন্ত।
উদাহরণস্বরূপ, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) প্রতিস্থাপনের পরে \(t^2 - 5t + 4 = 0\) তে রূপান্তরিত হয় যার মূল \(t = 1\) এবং \(t = 4\)। উভয়ই ধনাত্মক, তাই \(x = \pm 1\) এবং \(x = \pm 2\) — মোট চারটি মূল। যদি \(t\) এর কোনো মান ঋণাত্মক হত, তবে সেটি বাদ দেওয়া হত।
একই পদ্ধতি ব্যবহার করে ভগ্নাংশ-মূলদ সমীকরণ (সাধারণ হর বের করার পর এবং নিষিদ্ধ মানগুলি বাদ দেওয়ার পর) এবং \(t = x^2 + 3x\) আকারের প্রতিস্থাপন সহ সমীকরণগুলি সমাধান করা হয়।
বর্গ সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ
উদাহরণ ১. পূর্ণ সমীকরণ, D > 0
সমাধান করুন \(3x^2 - 7x + 2 = 0\)।
ধাপ ১। সমীকরণটি ইতিমধ্যেই স্ট্যান্ডার্ড রূপে আছে: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\)।
ধাপ ২। \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — দুটি মূল আছে।
ধাপ ৩। \(\sqrt{D} = 5\), সুতরাং \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)।
ধাপ ৪। প্রতিস্থাপন দ্বারা যাচাইকরণ। \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\)।
উত্তর: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\)।
উদাহরণ ২. ডিসক্রিমিন্যান্ট শূন্য
সমাধান করুন \(4x^2 - 12x + 9 = 0\)।
ধাপ ১। \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\)।
ধাপ ২। \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — একটি মূল আছে।
ধাপ ৩। \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\)।
ধাপ ৪। যাচাইকরণ। \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\)।
উত্তর: \(x = 1{,}5\)। লক্ষ্য করুন: বাম দিকটি একটি পূর্ণ বর্গ \((2x - 3)^2\), তাই মূলটি একটিই পাওয়া গেছে।
উদাহরণ ৩. ডিসক্রিমিন্যান্ট ঋণাত্মক
সমাধান করুন \(2x^2 + 3x + 5 = 0\)।
ধাপ ১। \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\)।
ধাপ ২। \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\)।
ধাপ ৩। ডিসক্রিমিন্যান্ট ঋণাত্মক, তাই \(\sqrt{D}\) বাস্তব সংখ্যার মধ্যে নেওয়া সম্ভব নয়। মূলের সূত্র প্রয়োগ করার প্রয়োজন নেই — সমাধান এখানেই শেষ।
উত্তর: কোনো বাস্তব মূল নেই। এটি একটি সম্পূর্ণ উত্তর, ভুলের লক্ষণ নয়: ফাংশন \(y = 2x^2 + 3x + 5\) এর গ্রাফটি \(x\)-অক্ষকে ছেদ করে না।
উদাহরণ ৪. অসম্পূর্ণ সমীকরণ ax² + c = 0 আকারের
সমাধান করুন \(3x^2 - 27 = 0\)।
ধাপ ১। ধ্রুবক পদটি ডানদিকে সরান: \(3x^2 = 27\)।
ধাপ ২। 3 দিয়ে ভাগ করুন: \(x^2 = 9\)।
ধাপ ৩। বর্গ 9 হয় দুটি সংখ্যার জন্য: \(x = 3\) এবং \(x = -3\)। দ্বিতীয় চিহ্নটি প্রায়শই হারিয়ে যায়।
ধাপ ৪। যাচাইকরণ। \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\)।
উত্তর: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\)। \(2x^2 + 8 = 0\) সমীকরণের সাথে তুলনা করুন: সেখানে \(x^2 = -4\), এবং কোনো বাস্তব মূল নেই।
উদাহরণ ৫. অসম্পূর্ণ সমীকরণ ax² + bx = 0 আকারের
সমাধান করুন \(5x^2 - 15x = 0\)।
ধাপ ১। সাধারণ উৎপাদক বের করুন: \(5x(x - 3) = 0\)।
ধাপ ২। গুণফল শূন্য হবে যখন একটি উৎপাদক শূন্য হয়: \(5x = 0\) অথবা \(x - 3 = 0\)।
ধাপ ৩। এখান থেকে \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\)।
ধাপ ৪। যাচাইকরণ। \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\)।
উত্তর: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\)। যদি মূল সমীকরণটিকে \(x\) দিয়ে ভাগ করা হয়, তবে কেবল \(x = 3\) অবশিষ্ট থাকবে — \(x = 0\) মূলটি হারিয়ে যাবে। অজানা চলক যুক্ত রাশি দিয়ে ভাগ করা উচিত নয়।
উদাহরণ ৬. জোড় দ্বিতীয় সহগ
সমাধান করুন \(5x^2 - 22x + 8 = 0\)।
ধাপ ১। \(b = -22\) একটি জোড় সংখ্যা, তাই \(k = -11\), এবং \(a = 5\), \(c = 8\)।
ধাপ ২। \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\)।
ধাপ ৩। \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\)।
ধাপ ৪। যাচাইকরণ। \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\)।
উত্তর: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\)। সাধারণ ডিসক্রিমিন্যান্ট \(D = 324\) দিত — ফলাফল একই, কিন্তু গণনা দীর্ঘ হত।
উদাহরণ ৭. প্রথমে স্ট্যান্ডার্ড রূপে আনুন
সমাধান করুন \((x - 3)(x + 5) = 9\)।
ধাপ ১। বন্ধনী খুলুন: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), অর্থাৎ \(x^2 + 2x - 15 = 9\)।
ধাপ ২। নয় কে বাম দিকে সরান: \(x^2 + 2x - 24 = 0\)। শুধুমাত্র এখন সহগগুলি লেখা যেতে পারে: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\)।
ধাপ ৩। \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\)।
ধাপ ৪। মূল সমীকরণে যাচাইকরণ। \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\)।
উত্তর: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\)। এখানে একটি সাধারণ ভুল হল প্রতিটি বন্ধনীকে 9 এর সমান ধরা: 'গুণফল শূন্য' নিয়মটি কেবল শূন্যের জন্য কাজ করে।
উদাহরণ ৮. ত্রিপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন \(2x^2 - 5x - 3\)।
ধাপ ১। ত্রিপদীকে শূন্যের সমান ধরুন এবং মূলগুলি খুঁজুন: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\)।
ধাপ ২। \(a(x - x_1)(x - x_2)\) সূত্রে বসান: \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\)।
ধাপ ৩। 2 কে দ্বিতীয় বন্ধনীতে নিয়ে যাওয়া সুবিধাজনক: \((x - 3)(2x + 1)\)।
ধাপ ৪। বন্ধনী খুলে যাচাইকরণ। \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\)।
উত্তর: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\)।
উদাহরণ ৯. দ্বিঘাত সমীকরণ
সমাধান করুন \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\)।
ধাপ ১। প্রতিস্থাপন \(t = x^2\), যেখানে \(t \ge 0\)। সমীকরণটি \(t^2 - 13t + 36 = 0\) তে রূপান্তরিত হয়।
ধাপ ২। \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\)।
ধাপ ৩। উভয় মান অঋণাত্মক, তাই \(x\) এ ফিরে যাই: \(x^2 = 9\) থেকে পাই \(x = \pm 3\), \(x^2 = 4\) থেকে — \(x = \pm 2\)।
ধাপ ৪। যাচাইকরণ। \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\)। জোড় ঘাতের জন্য ঋণাত্মক মানগুলিও একই ফলাফল দেয়।
উত্তর: \(x = \pm 2\) এবং \(x = \pm 3\) — চারটি মূল।
বর্গ সমীকরণ সমাধানের সাধারণ ভুল
-
সমীকরণটিকে স্ট্যান্ডার্ড রূপে না এনে ডিসক্রিমিন্যান্ট গণনা করা: $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ এর জন্য $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$ নেওয়া হয়।
প্রথমে সবকিছু বাম দিকে সরিয়ে সদৃশ পদগুলি একত্রিত করুন: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), অর্থাৎ \(x^2 + 3x - 5 = 0\)। শুধুমাত্র এখান থেকে \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\)। মূলের সূত্র শুধুমাত্র স্ট্যান্ডার্ড রূপের জন্য প্রযোজ্য।
-
$b$ কে বর্গ করার সময় চিহ্ন হারিয়ে ফেলা: $x^2 - 9x + 14 = 0$ এর জন্য $D = -81 - 56$ লেখা হয়।
যেকোনো সংখ্যার বর্গ অঋণাত্মক: \((-9)^2 = 81\), \(-81\) নয়। সঠিক হল \(D = 81 - 56 = 25\), মূলগুলি \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), অর্থাৎ 7 এবং 2। যাচাইকরণ: \(49 - 63 + 14 = 0\) এবং \(4 - 18 + 14 = 0\)।
-
লবে $b$ এর পরিবর্তে $-b$ রাখা: $x^2 + 5x - 6 = 0$ এর জন্য $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$ গণনা করা হয়।
সূত্রে \(-b\) থাকে, তাই \(b = 5\) হলে লবে \(-5\) হবে: \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), যেখান থেকে \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\)। প্রতিস্থাপন নিশ্চিত করে: \(1 + 5 - 6 = 0\) এবং \(36 - 30 - 6 = 0\)।
-
$D = 0$ হলে 'কোনো মূল নেই' লেখা: $x^2 + 14x + 49 = 0$ এর ডিসক্রিমিন্যান্ট শূন্য, এবং সমাধান সেখানেই থামিয়ে দেওয়া হয়।
কেবলমাত্র \(D < 0\) হলে মূল থাকে না। \(D = 0\) হলে মূল ঠিক একটি থাকে: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\)। যাচাইকরণ: \(49 - 98 + 49 = 0\)।
-
$4x^2 - 9x = 0$ সমীকরণটিকে $x$ দিয়ে ভাগ করে কেবল একটি মূল $x = 2{,}25$ পাওয়া।
অজানা চলক যুক্ত রাশি দিয়ে ভাগ করা উচিত নয়: \(x\) শূন্য হতে পারে, এবং \(x = 0\) মূলটি হারিয়ে যেতে পারে। সঠিক হল উৎপাদক বের করা: \(x(4x - 9) = 0\), যেখান থেকে \(x_1 = 0\) এবং \(x_2 = 2{,}25\)। যাচাইকরণ: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\)।
-
$x^2 = 16$ সমীকরণে কেবল $x = 4$ লেখা।
বর্গ 16 হয় \(-4\) সংখ্যারও। উভয় মূল লেখা উচিত: \(x = \pm 4\)। স্ট্যান্ডার্ড রূপে সমাধান করা বেশি নির্ভরযোগ্য \(x^2 - 16 = 0\), অর্থাৎ \((x - 4)(x + 4) = 0\) — তাহলে উভয় উৎপাদক অবিলম্বে দেখা যায়।
-
প্যারামিটারযুক্ত সমীকরণে $a \neq 0$ শর্তটি পরীক্ষা না করা: $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ এর জন্য অবিলম্বে ডিসক্রিমিন্যান্ট গণনা করা হয়।
যখন \(m = 2\), সর্বোচ্চ সহগ শূন্য হয়ে যায় এবং সমীকরণটি রৈখিক \(3x - 1 = 0\) তে রূপান্তরিত হয় যার একটি মূল \(x = \dfrac{1}{3}\)। \(m = 2\) কেসটি আলাদাভাবে বিবেচনা করা হয়, এবং মূলের সূত্র কেবল \(m \neq 2\) এর জন্য প্রয়োগ করা হয়।
প্রশ্ন এবং উত্তর
বর্গ সমীকরণ কি?
এটি \(ax^2 + bx + c = 0\) আকারের একটি সমীকরণ, যেখানে \(a\), \(b\), \(c\) হল সংখ্যা এবং \(a \neq 0\)। অজানা চলক এতে দ্বিতীয় ঘাতে প্রবেশ করে, তাই দুটি, একটি বা কোনো মূল নাও থাকতে পারে।
বর্গ সমীকরণের স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম কেমন দেখতে?
স্ট্যান্ডার্ড (সাধারণ) ফর্ম হল \(ax^2 + bx + c = 0\): সমস্ত পদ বাম দিকে ঘাতের অবরোহী ক্রমে সাজানো থাকে, ডান দিকে শূন্য থাকে। ডিসক্রিমিন্যান্ট গণনা করার আগে যেকোনো বর্গ সমীকরণকে এই রূপে আনা হয়।
কিভাবে ডিসক্রিমিন্যান্ট বের করতে হয়?
\(D = b^2 - 4ac\) সূত্র ব্যবহার করে, সহগগুলি তাদের চিহ্ন সহ বসিয়ে। উদাহরণস্বরূপ, \(x^2 + 3x - 10 = 0\) এর জন্য আমরা পাই \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), এবং মূলগুলি হল \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), অর্থাৎ 2 এবং \(-5\)।
বর্গ সমীকরণের মূলের সূত্র কি?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), অথবা সংক্ষেপে \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)। এটি \(D \ge 0\) হলে প্রযোজ্য; হরে \(2a\) থাকে, শুধু \(2\) নয়।
একটি বর্গ সমীকরণের কয়টি মূল থাকতে পারে?
সর্বোচ্চ দুটি। \(D > 0\) হলে দুটি মূল, \(D = 0\) হলে — একটি (দ্বিগুণ), \(D < 0\) হলে কোনো বাস্তব মূল নেই।
অসম্পূর্ণ বর্গ সমীকরণ কি?
এটি এমন একটি সমীকরণ যেখানে \(b = 0\), \(c = 0\) বা উভয়ই: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\)। তিনটিই ডিসক্রিমিন্যান্ট ছাড়াই সমাধান করা যায় — পদ স্থানান্তর করে বা \(x\) কে সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বের করে।
ডিসক্রিমিন্যান্ট ছাড়া বর্গ সমীকরণ কিভাবে সমাধান করবেন?
তিনটি উপায় আছে: প্রমিত সমীকরণের জন্য ভিয়েতার উপপাদ্য অনুসারে মূল বাছাই করা, উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা এবং পূর্ণ বর্গ তৈরি করা। যখন মূলগুলি ছোট পূর্ণসংখ্যা হয় তখন বাছাই পদ্ধতি সবচেয়ে দ্রুত কাজ করে।
ডিসক্রিমিন্যান্ট ঋণাত্মক হলে কি করবেন?
লিখুন যে কোনো বাস্তব মূল নেই, এবং সমাধান শেষ করুন। ঋণাত্মক ডিসক্রিমিন্যান্ট একটি স্বাভাবিক উত্তর: সংশ্লিষ্ট প্যারাবোলার গ্রাফ \(x\)-অক্ষকে ছেদ করে না। এই ক্ষেত্রে মূলগুলি কেবল জটিল সংখ্যার মধ্যে বিদ্যমান থাকে, যা পরে শেখানো হয়।
প্রাপ্ত মূলগুলি কিভাবে যাচাই করবেন?
প্রতিটি মূলকে মূল সমীকরণে বসান — একটি সঠিক সমতা পাওয়া উচিত। প্রমিত সমীকরণের জন্য ভিয়েতার উপপাদ্য অনুসারে একটি দ্রুত যাচাইকরণও রয়েছে: মূলগুলির যোগফল \(-p\) এবং গুণফল \(q\) এর সমান।
বর্গ সমীকরণ এবং দ্বিঘাত সমীকরণ কি একই জিনিস?
হ্যাঁ, এগুলি একই বস্তুর দুটি নাম \(ax^2 + bx + c = 0\)। এটিকে দ্বিঘাত ফাংশন \(y = ax^2 + bx + c\) এর সাথে গুলিয়ে ফেলবেন না: সমীকরণের মূলগুলি হল ফাংশনের গ্রাফ যেখানে \(x\)-অক্ষকে ছেদ করে সেই বিন্দুগুলির অ্যাবসিসা।
কোন শ্রেণীতে বর্গ সমীকরণ পড়ানো হয়?
৮ম শ্রেণীতে বীজগণিতে: প্রথমে অসম্পূর্ণ সমীকরণ, তারপর ডিসক্রিমিন্যান্ট, মূলের সূত্র এবং ভিয়েতার উপপাদ্য। পরে এই বিষয়টি দ্বিঘাত ফাংশন, অসমতা, OGE এবং ЕГЭ সমস্যাগুলিতে আবার আসে।
