সংখ্যার বিভাজ্যতার নিয়ম: সারণী ও উদাহরণ

বিভাজ্যতার নিয়ম হলো এমন একটি নিয়ম যা দেখে কোনো সংখ্যাকে অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যাবে কিনা তা বোঝা যায়, ভাগ না করেই। শেষ অঙ্কগুলো দেখলেই বা সংখ্যার সকল অঙ্ক যোগ করলেই তা বোঝা যায়।

বিভাজ্যতার নিয়মগুলো সংখ্যাকে দ্রুত বোঝার জন্য সব জায়গায় কাজে লাগে:

• ভগ্নাংশ সরল করার সময় — লব ও হরকে কী দিয়ে ভাগ করা যাবে তা সহজেই বোঝা যায়;
• সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার সময়;
• সাধারণ ভাজক ও সাধারণ গুণিতক খোঁজার সময়;
• উদাহরণ ও সমস্যা সমাধানের উত্তর দ্রুত পরীক্ষা করার সময়।

দুটি ভিন্ন প্রশ্নকে গুলিয়ে ফেলা উচিত নয়। '৩৭২৬ কি ৯ দ্বারা বিভাজ্য?' — এই প্রশ্নের উত্তর দেয় বিভাজ্যতার নিয়ম: অঙ্কসমূহের যোগফল ৩ + ৭ + ২ + ৬ = ১৮, যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য, সুতরাং হ্যাঁ। আর 'কত হবে?' — এটি হলো প্রকৃত ভাগ: ৩৭২৬ : ৯ = ৪১৪। বিভাজ্যতার নিয়ম কেবল 'হ্যাঁ' বা 'না' উত্তর দেয়, কিন্তু তা তাৎক্ষণিকভাবে এবং মনে মনেই।

সকল বিভাজ্যতার নিয়মাবলী একটি সারণীতে চোখের সামনে রাখা সুবিধাজনক। রং নির্দেশ করে কোথায় দেখতে হবে: শেষ অঙ্কে, অঙ্কসমূহের যোগফলে, শেষ দুই-তিনটি অঙ্কের 'লেজে' অথবা সরাসরি দুটি নিয়মে।

সবচেয়ে সহজ গ্রুপ: কেবল শেষ অঙ্কটি দেখি, বাকিগুলো গুরুত্বপূর্ণ নয়।

• ২ দ্বারা সকল জোড় সংখ্যা বিভাজ্য — যেগুলোর শেষ অঙ্ক ০, ২, ৪, ৬ বা ৮;
• ৫ দ্বারা — যেগুলোর শেষ অঙ্ক ০ বা ৫;
• ১০ দ্বারা — যেগুলোর শেষ অঙ্ক ০।

সংখ্যার দৈর্ঘ্য গুরুত্বপূর্ণ নয়: ৯৮৭,৬৫৪,৩২০ সংখ্যাটি ২, ৫ এবং ১০ দ্বারা বিভাজ্য, কারণ এর শেষ অঙ্ক শূন্য। আর ১৪৩৫ সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য (শেষ অঙ্ক ৫), কিন্তু ২ বা ১০ দ্বারা বিভাজ্য নয় — এটি একটি বিজোড় সংখ্যা।

এখান থেকে একটি দরকারী সিদ্ধান্ত নেওয়া যায়: ১০ দ্বারা ঠিক সেই সংখ্যাগুলোই বিভাজ্য হয় যা একই সাথে ২ এবং ৫ উভয় দ্বারা বিভাজ্য।

এখানে শেষ অঙ্কটি কোনো সিদ্ধান্ত নেয় না — কাজ করে সংখ্যার সকল অঙ্কের যোগফল:

• একটি সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি তার অঙ্কসমূহের যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়;
• একটি সংখ্যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি তার অঙ্কসমূহের যোগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

যদি যোগফল বড় হয়, তবে নিয়মটি আবার প্রয়োগ করা যেতে পারে: ৮৯৯,৯৯১ সংখ্যাটির অঙ্কসমূহের যোগফল ৮ + ৯ + ৯ + ৯ + ৯ + ১ = ৪৫, এবং ৪৫ এর যোগফল ৪ + ৫ = ৯ — এর মানে হলো মূল সংখ্যাটি ৯ এবং ৩ উভয় দ্বারা বিভাজ্য।

নিয়মগুলো দেখতে একই রকম হলেও একে অপরের বিকল্প নয়। যে কোনো সংখ্যা যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য, তা ৩ দ্বারাও বিভাজ্য হবে — কারণ ৯ নিজেই ৩ দ্বারা বিভাজ্য। এর বিপরীতটি সত্য নয়: অঙ্কসমূহের যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হতে পারে কিন্তু ৯ দ্বারা নয়, এবং সেক্ষেত্রে সংখ্যাটি কেবল একটি নিয়ম পূরণ করবে। নিচে উভয় পরিস্থিতিই ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

এখানে কেবল শেষ অঙ্কটি যথেষ্ট নয় — কয়েকটি শেষ অঙ্কের 'লেজ' প্রয়োজন:

• ৪ দ্বারা একটি সংখ্যা বিভাজ্য হবে যদি তার শেষ দুটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হয়;
• ৮ দ্বারা — যদি শেষ তিনটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি ৮ দ্বারা বিভাজ্য হয়;
• ২৫ দ্বারা — যদি শেষ দুটি অঙ্ক ০০, ২৫, ৫০ বা ৭৫ হয়।

কেন লেজ যথেষ্ট: ১০০ সংখ্যাটি ৪ এবং ২৫ উভয় দ্বারা বিভাজ্য, এবং ১০০০ সংখ্যাটি ৮ দ্বারা বিভাজ্য। তাই এর বাম পাশে যা আছে তা নিজেই প্রয়োজনীয় সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য এবং ফলাফলে প্রভাব ফেলে না।

এখান থেকে একটি গুরুত্বপূর্ণ সিদ্ধান্ত নেওয়া যায়: চার এবং আটের জন্য জোড় হওয়া যথেষ্ট নয়। একটি সংখ্যা জোড় হতে পারে, কিন্তু যদি তার শেষ দুটি বা তিনটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি নিঃশেষে বিভাজ্য না হয়, তবে পুরো সংখ্যাটিও বিভাজ্য হবে না। নিচে লেজগুলোর বিশ্লেষণ দেওয়া হলো।

ছয় এর নিজস্ব কোনো আলাদা নিয়ম নেই: ৬ = ২ · ৩, এবং গুণনীয়কগুলো পরস্পর মৌলিক। তাই নিয়মটি যৌগিক — একটি সংখ্যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি এটি একই সাথে ২ এবং ৩ উভয় দ্বারা বিভাজ্য হয়।

৫১২৪ পরীক্ষা করি: শেষ অঙ্ক ৪ — সংখ্যাটি জোড়, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য; অঙ্কসমূহের যোগফল ৫ + ১ + ২ + ৪ = ১২, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। উভয় শর্ত পূরণ হয়েছে → ৫১২৪ : ৬ = ৮৫৪।

কেবল জোড় হওয়া যথেষ্ট নয়: ১০০০ একটি জোড় সংখ্যা, কিন্তু এর অঙ্কসমূহের যোগফল ১ এবং তা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাই সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়। বিপরীতটিও কাজ করে না: ৪৫২১ এর অঙ্কসমূহের যোগফল ১২, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য, কিন্তু সংখ্যাটি বিজোড় — তাই এটিও ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

একইভাবে অন্যান্য যৌগিক নিয়মগুলো তৈরি হয়: ১২ দ্বারা — ৩ এবং ৪ দ্বারা বিভাজ্য, ১৫ দ্বারা — ৩ এবং ৫ দ্বারা বিভাজ্য, ১৮ দ্বারা — ২ এবং ৯ দ্বারা বিভাজ্য, ৪৫ দ্বারা — ৫ এবং ৯ দ্বারা বিভাজ্য।

১১ দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়মে চিহ্ন পরিবর্তনকারী অঙ্কসমূহের যোগফল ব্যবহার করা হয়। অঙ্কগুলো শেষ থেকে শুরু করে পর্যায়ক্রমে চিহ্ন পরিবর্তন করে যোগ করা হয়: যোগ, বিয়োগ, যোগ, বিয়োগ। যদি ফলাফল ১১ দ্বারা বিভাজ্য হয় (শূন্য সহ), তবে পুরো সংখ্যাটিও ১১ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

একই নিয়মকে প্রায়শই ভিন্নভাবে বলা হয়: বিজোড় স্থানে থাকা অঙ্কসমূহের যোগফল এবং জোড় স্থানে থাকা অঙ্কসমূহের যোগফলের পার্থক্য ১১ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। এটি একই নিয়ম।