অপারেশনের ক্রম হলো এমন কিছু নিয়ম যা আপনাকে বলে দেয় একটি গাণিতিক রাশিতে কোন অংশটি আগে সমাধান করতে হবে। এটি মনে রাখার সবচেয়ে সাধারণ উপায় হলো PEMDAS: Parentheses (বন্ধনী), Exponents (সূচক), Multiplication (গুণ) এবং Division (ভাগ), Addition (যোগ) এবং Subtraction (বিয়োগ)। এই ক্রম অনুসরণ করলে প্রতিটি রাশির একটি মাত্র সঠিক উত্তর পাওয়া যায়। এই পৃষ্ঠায় আপনি PEMDAS নিয়মের ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা, বন্ধনী ও সূচকসহ সমাধান করা উদাহরণ, শিক্ষার্থীদের করা সাধারণ ভুল এবং অনুশীলনের জন্য একটি ইন্টারঅ্যাক্টিভ কুইজ পাবেন।
PEMDAS-এর অর্থ: অপারেশনের ক্রম
PEMDAS হলো অপারেশনের ক্রম মনে রাখার একটি কৌশল। অনেক শিক্ষার্থী এটি "Please Excuse My Dear Aunt Sally" বাক্যটি দিয়ে মনে রাখে। সিঁড়ির ওপর থেকে নিচে কাজ করুন:
- P — Parentheses (বন্ধনী)। সবার আগে বন্ধনীর ভেতরের কাজ করুন: ( ), [ ], { }।
- E — Exponents (সূচক)। এরপর ঘাত ও মূলের কাজ, যেমন 3² বা √9।
- M এবং D — Multiplication (গুণ) এবং Division (ভাগ)। এদের অগ্রাধিকার সমান। এগুলোকে বাম থেকে ডানে ক্রমানুসারে সমাধান করুন।
- A এবং S — Addition (যোগ) এবং Subtraction (বিয়োগ)। এদের অগ্রাধিকারও সমান। এগুলোকে সবার শেষে বাম থেকে ডানে সমাধান করুন।
সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি যা অনেক শিক্ষার্থী এড়িয়ে যায়: PEMDAS ছয়টি আলাদা ধাপ নয়। গুণ সবসময় ভাগের আগে আসে না এবং যোগ সবসময় বিয়োগের আগে আসে না। প্রতিটি জোড়া একটি স্তরের অংশ, এবং সেই স্তরের ভেতরে আপনাকে কেবল বাম থেকে ডানে যেতে হবে।
বাম থেকে ডানে নিয়ম (M/D এবং A/S সমান)
যেহেতু গুণ এবং ভাগ একই স্তরে থাকে, তাই আপনি সেগুলোকে বাম থেকে ডানে পড়ার সময় যে ক্রমে আসে সেভাবেই সমাধান করবেন — "সব গুণ, তারপর সব ভাগ" এমন নয়। যোগ এবং বিয়োগের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য।
একটি সাধারণ ফাঁদ হলো 20 ÷ 4 × 5। যদি আপনি আগে গুণ করতেন (4 × 5 = 20), তবে আপনি পেতেন 20 ÷ 20 = 1 — যা ভুল। যেহেতু ভাগ বাম দিকে আছে, তাই আগে সেটি করুন: 20 ÷ 4 = 5, তারপর 5 × 5 = 25। একই যুক্তি 10 − 6 + 2 এর ক্ষেত্রেও খাটে: বাম থেকে ডানে কাজ করলে পাবেন 4 + 2 = 6, 10 − 8 = 2 নয়।
PEMDAS বনাম BODMAS: একই নিয়ম, ভিন্ন নাম
যুক্তরাজ্য, অস্ট্রেলিয়া এবং আরও অনেক দেশে একই নিয়মকে BODMAS (কখনও BIDMAS বা BEDMAS) হিসেবে শেখানো হয়। অক্ষরগুলো ভিন্ন মনে হলেও ক্রমটি একই — কেবল শব্দভাণ্ডার পরিবর্তিত হয়।
- B — Brackets (বন্ধনী) হলো P — Parentheses এর সমান।
- O — Orders (বা I — Indices, E — Exponents) মানে ঘাত ও মূল।
- DM এবং MD একই সমান অগ্রাধিকারের জোড়া, যা বাম থেকে ডানে সমাধান করা হয়।
- AS হলো যোগ এবং বিয়োগ, যা বাম থেকে ডানে সমাধান করা হয়।
সুতরাং PEMDAS এবং BODMAS সবসময় একই উত্তর দেয়। নিচের তুলনাটি তাদের অক্ষর অনুযায়ী সাজানো হয়েছে।
| ধাপ | PEMDAS | BODMAS | যা করতে হবে |
|---|---|---|---|
| 1 | Parentheses | Brackets | সবার আগে বন্ধনীর ভেতরের কাজ |
| 2 | Exponents | Orders / Indices | ঘাত ও মূল |
| 3 | Multiplication / Division | Division / Multiplication | সমান অগ্রাধিকার, বাম → ডান |
| 4 | Addition / Subtraction | Addition / Subtraction | সমান অগ্রাধিকার, বাম → ডান |
অপারেশনের ক্রমের উদাহরণ (ধাপে ধাপে)
উদাহরণ ১. যোগের আগে গুণ
রাশি: 3 + 4 × 2
ধাপ ১ — বন্ধনী / সূচক: এখানে নেই, তাই পরের ধাপে যান।
ধাপ ২ — গুণ / ভাগ: 4 × 2 = 8। রাশিটি এখন 3 + 8।
ধাপ ৩ — যোগ / বিয়োগ: 3 + 8 = 11।
একটি সাধারণ ভুল উত্তর হলো 14, যা আগে 3 + 4 যোগ করলে পাওয়া যায়। যোগের আগে অবশ্যই গুণের কাজ করতে হবে।
উদাহরণ ২. বন্ধনী, সূচক, তারপর বাম থেকে ডানে
রাশি: (6 + 2) × 3² ÷ 4 − 5
ধাপ ১ — বন্ধনী: 6 + 2 = 8। এখন: 8 × 3² ÷ 4 − 5।
ধাপ ২ — সূচক: 3² = 9। এখন: 8 × 9 ÷ 4 − 5।
ধাপ ৩ — গুণ / ভাগ (বাম থেকে ডানে): 8 × 9 = 72, তারপর 72 ÷ 4 = 18। এখন: 18 − 5।
ধাপ ৪ — যোগ / বিয়োগ: 18 − 5 = 13।
উদাহরণ ৩. বাম থেকে ডানের ফাঁদ
রাশি: 20 ÷ 4 × 5
এখানে কোনো বন্ধনী বা সূচক নেই, তাই আমরা সরাসরি গুণ এবং ভাগে চলে যাই। এদের অগ্রাধিকার সমান, তাই আমরা বাম থেকে ডানে পড়ি।
ধাপ ১: 20 ÷ 4 = 5 (ভাগ সবার বামে আছে)। এখন: 5 × 5।
ধাপ ২: 5 × 5 = 25।
যদি আপনি আগে গুণ করতেন (4 × 5 = 20), তবে আপনি পেতেন 20 ÷ 20 = 1 — এটি একটি সাধারণ ভুল। M-এর পর D অক্ষর ক্রমের মানে এই নয় যে গুণ আগে করতে হবে; বাম থেকে ডানের নিয়মই আসল।
PEMDAS-এর সাধারণ ভুলসমূহ
-
অক্ষর ক্রম M-D এবং A-S এর কারণে মনে করা যে গুণ সবসময় ভাগের আগে (বা যোগ সবসময় বিয়োগের আগে) করতে হয়।
গুণ এবং ভাগ সমান, এবং যোগ ও বিয়োগও সমান। প্রতিটি জোড়ার ভেতরে বাম থেকে ডানে কাজ করুন। 20 ÷ 4 × 5 এর ক্ষেত্রে আপনি আগে ভাগ করবেন কারণ এটি বামে আছে, যা 25 দেয় — 1 নয়।
-
বিয়োগের ক্ষেত্রে বাম থেকে ডানের নিয়ম উপেক্ষা করা, যার ফলে 10 − 6 + 2 কে 10 − 8 = 2 পড়া হয়।
বাম থেকে ডানে যান: 10 − 6 = 4, তারপর 4 + 2 = 6। যোগ তার বামের বিয়োগের আগে "লাফিয়ে" আসতে পারে না।
-
বন্ধনী এড়িয়ে যাওয়া বা সেগুলোকে সবার শেষে করা কারণ সেগুলো রাশির মাঝখানে থাকে।
বন্ধনী সবসময় সবার আগে, রাশির যেখানেই থাকুক না কেন। 2 × (3 + 4) এর ক্ষেত্রে, গুণ করার আগে 3 + 4 = 7 হিসাব করুন, যা 14 দেয় — 2 × 3 + 4 = 10 নয়।
-
সূচকের পরিধি ভুল বোঝা, −3² এবং (−3)² কে একই মনে করা।
সূচক কেবল তার ঠিক নিচের সংখ্যার ওপর প্রযোজ্য। −3² মানে −(3²) = −9, যেখানে (−3)² মানে (−3)(−3) = 9। চিহ্ন অন্তর্ভুক্ত করতে চাইলে বন্ধনী ব্যবহার করুন।
-
ভেতরের বন্ধনীগুলো বাইরে থেকে ভেতরে সমাধান করা।
সবচেয়ে ভেতরের বন্ধনী থেকে শুরু করে বাইরের দিকে কাজ করুন। 2 × [3 + (4 − 1)] এর ক্ষেত্রে, আগে 4 − 1 = 3 করুন, তারপর 3 + 3 = 6, সবশেষে 2 × 6 = 12।
সচরাচর জিজ্ঞাসিত প্রশ্নাবলী
PEMDAS এর পূর্ণরূপ কী?
PEMDAS এর পূর্ণরূপ হলো Parentheses (বন্ধনী), Exponents (সূচক), Multiplication (গুণ) এবং Division (ভাগ), Addition (যোগ) এবং Subtraction (বিয়োগ)। এটি সেই ক্রম যা দিয়ে আপনি গাণিতিক রাশির মান নির্ণয় করেন। অনেক শিক্ষার্থী এটি "Please Excuse My Dear Aunt Sally" বাক্যটি দিয়ে মনে রাখে।
PEMDAS এবং BODMAS এর মধ্যে পার্থক্য কী?
গণিতের ক্ষেত্রে কোনো পার্থক্য নেই — কেবল নামে পার্থক্য। BODMAS (Brackets, Orders, Division, Multiplication, Addition, Subtraction) যুক্তরাজ্য এবং অনেক দেশে শেখানো হয়, আর PEMDAS যুক্তরাষ্ট্রে ব্যবহৃত হয়। Brackets হলো Parentheses এর সমান, এবং Orders (বা Indices) হলো Exponents এর সমান। উভয়ই প্রতিটি রাশির জন্য একই উত্তর দেয়।
PEMDAS-এ কি গুণ সবসময় ভাগের আগে আসে?
না। গুণ এবং ভাগের অগ্রাধিকার সমান। বাম থেকে ডানে পড়ার সময় যেটি আগে আসে, সেটিই আগে করতে হয়। উদাহরণস্বরূপ, 20 ÷ 4 × 5 এর ক্ষেত্রে আপনি আগে ভাগ করবেন কারণ এটি বামে আছে, তারপর গুণ করবেন, যা 25 দেয়।
আমাদের কেন অপারেশনের ক্রম প্রয়োজন?
একটি সম্মত ক্রম ছাড়া, একই রাশি বিভিন্ন মানুষের কাছে ভিন্ন ভিন্ন উত্তর দিতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 3 + 4 × 2 এর উত্তর 11 হতে পারে যদি আগে গুণ করেন, অথবা 14 হতে পারে যদি আগে যোগ করেন। PEMDAS নিশ্চিত করে যে প্রতিটি রাশির একটি মাত্র সঠিক ফলাফল থাকে।
সূচক এবং ঋণাত্মক চিহ্ন একসাথে থাকলে কীভাবে কাজ করবেন?
সূচক কেবল তার ঠিক নিচের মানের ওপর প্রযোজ্য। তাই −3² সমান −(3 × 3) = −9, কারণ ঋণাত্মক চিহ্ন প্রয়োগের আগেই সূচক 3 এর সাথে যুক্ত হয়। যদি আপনি ঋণাত্মক চিহ্ন অন্তর্ভুক্ত করতে চান, তবে (−3)² লিখুন, যা 9 দেয়। বন্ধনী নিয়ন্ত্রণ করে সূচক কতটুকু অংশ জুড়ে কাজ করবে।
একাধিক বন্ধনী থাকলে কী করবেন?
সবচেয়ে ভেতরের বন্ধনী থেকে বাইরের দিকে কাজ করুন। 2 × [3 + (4 − 1)] এর ক্ষেত্রে, প্রথমে 4 − 1 = 3 করুন, তারপর 3 + 3 = 6, সবশেষে 2 × 6 = 12। প্রতিটি স্তরের বন্ধনী তার বাইরের স্তরের আগে সমাধান করতে হয়।
