কোনো সংখ্যা \(a\)-এর বর্গমূল হলো এমন একটি সংখ্যা যার বর্গ \(a\), এবং গাণিতিক বর্গমূল বলতে শুধুমাত্র এর অঋণাত্মক মান বোঝায়: \(\sqrt{25} = 5\)। শুধুমাত্র অঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল বের করা যায়, তবে মূলের বৈশিষ্ট্যগুলি জটিল রাশিকে সংক্ষিপ্ত করে তোলে। এই পৃষ্ঠায় — সংজ্ঞা এবং ডোমেইন, সূত্র সহ বর্গমূলের সমস্ত বৈশিষ্ট্য, ১ থেকে ২০ পর্যন্ত বর্গমূলের সারণী, মূল বের করার এবং গুণনীয়ক বের করার কৌশল, সমাধান করা উদাহরণ, সাধারণ ভুল এবং একটি ইন্টারেক্টিভ প্রশিক্ষক।
কোনো সংখ্যার বর্গমূল কী?
কোনো সংখ্যা \(a\)-এর বর্গমূল হলো এমন একটি সংখ্যা যার বর্গ \(a\)। মূল বের করা এবং বর্গ করা পরস্পর বিপরীত ক্রিয়া: \(7^2 = 49\) থেকে সরাসরি বোঝা যায় যে ৪৯-এর বর্গমূল হলো ৭।
কিন্তু একটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গমূল ঠিক দুটি থাকে এবং তারা কেবল চিহ্ন দ্বারা পৃথক হয়: \(5^2 = 25\) এবং \((-5)^2 = 25\), অর্থাৎ ২৫-এর বর্গমূল হলো ৫ এবং -৫ উভয়ই। \(\sqrt{25}\) প্রতীকটি যেন একটিমাত্র সংখ্যা বোঝায়, তাই একটি চুক্তি করা হয়েছে: \(\sqrt{\phantom{a}}\) প্রতীকটি দ্বারা কেবল অঋণাত্মক মূল বোঝানো হয়। একেই গাণিতিক বর্গমূল বলা হয়।
প্রতীকটির নিজস্ব নাম আছে: \(\sqrt{\phantom{a}}\) প্রতীকটি হলো রেডিক্যাল, এবং এর নিচের সংখ্যা বা রাশি হলো রেডিক্যান্ড।
গাণিতিক বর্গমূল: সংজ্ঞা এবং ডোমেইন
অঋণাত্মক সংখ্যা \(a\)-এর গাণিতিক বর্গমূল হলো সেই অঋণাত্মক সংখ্যা যার বর্গ \(a\)। এটি \(\sqrt{a}\) দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং «a-এর মূল» হিসাবে পড়া হয়।
সংজ্ঞার মধ্যে দুটি শর্ত রয়েছে, এবং উভয়ই সমানভাবে গুরুত্বপূর্ণ:
- রেডিক্যান্ড অঋণাত্মক: \(a \ge 0\);
- মূলের মান অঋণাত্মক: \(\sqrt{a} \ge 0\)।
এখান থেকে আমরা সরাসরি পাই: \(\sqrt{25} = 5\), -৫ নয়; \(\sqrt{0} = 0\); এবং \(\sqrt{-9}\) প্রতীকটি বাস্তব সংখ্যায় অর্থহীন — এমন কোনো সংখ্যা নেই যার বর্গ ঋণাত্মক।
প্রথম শর্তটি মূলযুক্ত রাশির ডোমেইন নির্ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, \(\sqrt{x-7}\) এর অর্থ আছে যখন \(x - 7 \ge 0\), অর্থাৎ যখন \(x \ge 7\): \(x\)-এর যেকোনো ছোট মান মূলের নিচে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা নিয়ে আসবে।
সংজ্ঞা থেকে আমরা আরও পাই \((\sqrt{a})^2 = a\) যখন \(a \ge 0\): মূলের বর্গ করলে মূল সংখ্যাটি ফিরে আসে। এটি তখনও কাজ করে যখন আমরা নিজেরা মূলের মান সঠিকভাবে গণনা করতে পারি না: \((\sqrt{31})^2 = 31\)।
১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যার বর্গের বর্গমূলের সারণী
মূল তখনই পূর্ণসংখ্যা হয় যখন রেডিক্যান্ড পূর্ণবর্গ হয়। তাই সংখ্যার বর্গের সারণী বর্গমূলের সারণী হিসাবেও কাজ করে: এটি উভয় দিকে পড়া হয় — \(14^2 = 196\), সুতরাং \(\sqrt{196} = 14\)।
সারণী কেবল পূর্ণসংখ্যার জন্যই সহায়ক নয়:
- দশমিক ভগ্নাংশ: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), কারণ \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- সাধারণ ভগ্নাংশ: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — লব এবং হর উভয়েরই আলাদাভাবে মূল বের করা হয়;
- গোলাকার সংখ্যা: \(\sqrt{2500} = 50\), কারণ \(2500 = 25 \cdot 100\), এবং প্রতিটি গুণনীয়কের মূল জানা আছে।
বর্গমূলের বৈশিষ্ট্য
বর্গমূলের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রতিটি মূল আলাদাভাবে বের না করে রাশি গণনা করতে এবং উত্তর সরল করতে সাহায্য করে।
গুণফলের মূল মূলগুলির গুণফলের সমান: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) যখন \(a \ge 0\) এবং \(b \ge 0\)। উদাহরণস্বরূপ, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — এটি \(\sqrt{144}\)-এর সমান।
ভাগফলের মূল মূলগুলির ভাগফলের সমান: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) যখন \(a \ge 0\) এবং \(b > 0\)। উদাহরণস্বরূপ, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\)। শর্ত \(b > 0\) কঠোর: শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না।
সংখ্যার বর্গের মূল তার পরম মানের সমান: \(\sqrt{a^2} = |a|\), এবং এটি যেকোনো সংখ্যা \(a\)-এর জন্য সত্য। এখানে এই বিষয়ের প্রধান সূক্ষ্মতা। যদি \(a \ge 0\), কিছুই পরিবর্তন হয় না: \(\sqrt{7^2} = 7\)। কিন্তু ঋণাত্মক \(a\)-এর জন্য চিহ্নটি «সোজা» হয়ে যায়: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), -৬ নয় — কারণ গাণিতিক মূল ঋণাত্মক হতে পারে না।
মূলের বর্গ মূল সংখ্যাটি ফিরিয়ে দেয়: \((\sqrt{a})^2 = a\) যখন \(a \ge 0\)।
কিন্তু যোগফল এবং বিয়োগফলের জন্য অনুরূপ বৈশিষ্ট্য নেই: যোগফলের মূল যোগফলের মূলের সমান নয়। এটি এই বিষয়ের সবচেয়ে সাধারণ ভুল, আলোচনা — নিচে।
| বৈশিষ্ট্য এবং শর্ত | উদাহরণ |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bযখন a ≥ 0 এবং b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bযখন a ≥ 0 এবং b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|যেকোনো a-এর জন্য | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aযখন a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bযখন b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
কোনো সংখ্যা থেকে বর্গমূল কীভাবে বের করবেন
ক্যালকুলেটর সবসময় হাতে থাকে না, এবং স্কুলের কাজগুলি প্রায় সবসময় এমনভাবে সাজানো হয় যাতে মূল বের করা যায়। ধাপগুলি হল।
- সংখ্যার বর্গের সারণী দেখুন। যদি সংখ্যাটি সারণীতে থাকে, উত্তর প্রস্তুত: \(\sqrt{289} = 17\)।
- গোলাকার গুণনীয়ক আলাদা করুন। শূন্যযুক্ত সংখ্যাগুলির জন্য \(100\), \(10\,000\) ইত্যাদি আলাদা করা সুবিধাজনক: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\)।
- মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। এটি একটি সার্বজনীন পদ্ধতি: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), ঘাতের সূচকগুলি অর্ধেক করে আমরা পাই \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\)।
- দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন। \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\)। এটি অঙ্কের স্থান হারানোর হাত থেকেও বাঁচায়।
- যদি পূর্ণবর্গ না থাকে — মূলটি অমূলদ। তখন এটি প্রতীক হিসাবে উত্তরে রেখে দেওয়া হয় (এভাবেই লেখা হয়: \(\sqrt{30}\)), অথবা দুটি নিকটবর্তী পূর্ণবর্গের মধ্যে অনুমান করা হয়।
যাচাই করতে এক সেকেন্ড সময় লাগে: প্রাপ্ত সংখ্যাটিকে বর্গ করুন এবং দেখুন মূল সংখ্যাটি ফিরে আসে কিনা। \(24^2 = 576\) — সঠিক।
মূল চিহ্নের বাইরে গুণনীয়ক বের করা
মূলকে খুব কমই «কাঁচা» অবস্থায় রাখা হয় — এর বাইরে যা বের করা যায় তা বের করে আনা হয়। \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) বৈশিষ্ট্যটি কাজ করে যখন \(b \ge 0\): আমরা মূল সংখ্যার বৃহত্তম বর্গাকার ভাজক খুঁজি।
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\)।
বিপরীত ক্রিয়া হলো মূলের ভিতরে গুণনীয়ক প্রবেশ করানো: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) যখন \(a \ge 0\)। উদাহরণস্বরূপ, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)।
ঋণাত্মক গুণনীয়কের ক্ষেত্রে সতর্কতা প্রয়োজন: মাইনাস চিহ্নের মূলের ভিতরে যায় না এবং বাইরেই থেকে যায়। সঠিক লেখা হলো — \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), \(\sqrt{12}\) নয়।
এগুলো কেন প্রয়োজন: গুণনীয়ক বের করার পরে, একই রেডিক্যান্ডযুক্ত মূলগুলি সদৃশ পদ হয়ে যায় এবং সেগুলি যোগ করা যেতে পারে। আর মূলের ভিতরে গুণনীয়ক প্রবেশ করানো দুটি মূলযুক্ত রাশি তুলনা করার সবচেয়ে দ্রুত উপায়।
যে বর্গমূল বের করা যায় না তার মান কত?
যদি রেডিক্যান্ড পূর্ণবর্গ না হয়, তবে মূলটি একটি অমূলদ সংখ্যা: এর দশমিক বিস্তার অসীম এবং পর্যায়হীন। উদাহরণস্বরূপ, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), এবং সঠিক মান কেবল \(\sqrt{2}\) প্রতীক দ্বারা লেখা হয়। কেবল তখনই আনুমানিক উত্তর লেখা হয় যখন এটি প্রশ্নে চাওয়া হয়।
ক্যালকুলেটর ছাড়াই এই মূলের অনুমান করা যেতে পারে: দুটি নিকটবর্তী পূর্ণবর্গ খুঁজুন যার মধ্যে রেডিক্যান্ডটি অবস্থিত। তুলনার নিয়ম কাজ করে: \(a \ge 0\) এবং \(b \ge 0\)-এর জন্য \(a < b\) হলে \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) হয় — বৃহত্তর রেডিক্যান্ডের জন্য বৃহত্তর মূল থাকে।
বর্গমূল সহ গণনার উদাহরণ
উদাহরণ ১. মূলযুক্ত রাশির মান
গণনা করুন \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\)।
ধাপ ১। \(\sqrt{121} = 11\), কারণ \(11^2 = 121\)।
ধাপ ২। \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), কারণ \(0{,}6^2 = 0{,}36\)।
ধাপ ৩। ভগ্নাংশের মূল লব এবং হর উভয়ের জন্য বের করা হয়: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)।
ধাপ ৪। যোগ করি: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\)।
উত্তর: ১১।
উদাহরণ ২. গুণফলের মূল
গণনা করুন \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\)।
ধাপ ১। আলাদাভাবে এই মূলগুলি বের করা যায় না, তাই আমরা সেগুলিকে একটিতে একত্রিত করি: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\)।
ধাপ ২। মূলের ভিতরের গুণফল গণনা করি: \(8 \cdot 18 = 144\)।
ধাপ ৩। \(\sqrt{144} = 12\)।
অন্য পথ — আগে গুণনীয়ক বের করা: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) এবং \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), তখন \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\)। উত্তর মিলে গেছে।
উত্তর: ১২।
উদাহরণ ৩. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে মূল বের করা
গণনা করুন \(\sqrt{576}\) এবং \(\sqrt{6400}\)।
ধাপ ১। সংখ্যা ৫৭৬ সংখ্যার বর্গের সারণীতে নেই, তাই আমরা এটিকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\)।
ধাপ ২। ঘাতের সূচকগুলি অর্ধেক করি: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\)।
ধাপ ৩। যাচাই। \(24^2 = 576\) — সঠিক।
ধাপ ৪। সংখ্যা ৬৪০০-এর জন্য একটি গোলাকার গুণনীয়ক আলাদা করা সুবিধাজনক: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\)। যাচাই: \(80^2 = 6400\)।
উত্তর: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\)।
উদাহরণ ৪. গুণনীয়ক বের করা এবং সদৃশ পদ আনা
সরল করুন \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\)।
ধাপ ১। প্রতিটি মূলের বাইরে গুণনীয়ক বের করি: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), সুতরাং \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\)।
ধাপ ২। \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\)।
ধাপ ৩। \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)।
ধাপ ৪। কেবল একই রেডিক্যান্ডযুক্ত মূলগুলি যোগ করা যেতে পারে: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), এবং \(\sqrt{3}\) যুক্ত পদটি আলাদাভাবে থেকে যায়।
উত্তর: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\)।
উদাহরণ ৫. চলক সহ সংখ্যার বর্গের মূল
সরল করুন \(\sqrt{(x-4)^2}\) যখন \(x < 4\)।
ধাপ ১। সংখ্যার বর্গের মূলের বৈশিষ্ট্য অনুসারে \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — অবিলম্বে পরম মান লিখুন, \(x - 4\) নয়।
ধাপ ২। শর্ত অনুসারে পরম মান খুলুন। যদি \(x < 4\), তাহলে \(x - 4\) বিয়োগফলটি ঋণাত্মক, এবং ঋণাত্মক সংখ্যার পরম মান হলো এর বিপরীত সংখ্যা: \(|x-4| = 4 - x\)।
ধাপ ৩। যাচাই। \(x = 1\) নিন: বাম দিকে \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), ডান দিকে \(4 - 1 = 3\) — মিলে গেছে।
উত্তর: \(4 - x\)। তুলনার জন্য, যখন \(x \ge 4\) তখন উত্তর হতো \(x - 4\)।
উদাহরণ ৬. মূলযুক্ত রাশি তুলনা
তুলনা করুন \(3\sqrt{5}\) এবং \(5\sqrt{2}\)।
ধাপ ১। উভয় সংখ্যাই ধনাত্মক, তাই গুণনীয়কগুলি মূলের ভিতরে প্রবেশ করাই: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)।
ধাপ ২। \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\)।
ধাপ ৩। রেডিক্যান্ড সংখ্যাগুলি তুলনা করি: \(45 < 50\), এবং বৃহত্তর রেডিক্যান্ডের জন্য বৃহত্তর মূল থাকে।
উত্তর: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\)।
বর্গমূল নিয়ে সাধারণ ভুল
-
$\sqrt{a^2} = a$ লেখেন, পরম মান ভুলে যান।
সঠিক সমতা হলো — \(\sqrt{a^2} = |a|\)। ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য এটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), -১৩ নয়। গাণিতিক মূল ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই মূলের ভিতরের চিহ্নটি «সোজা» হয়ে যায়।
-
মনে করেন যোগফলের মূল যোগফলের মূলের সমান: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$।
এমন কোনো বৈশিষ্ট্য নেই। প্রথমে মূলের ভিতরের ক্রিয়াটি সম্পাদন করুন: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), ৭ নয়। বৈশিষ্ট্য কেবল গুণফল এবং ভাগফলের জন্য আছে: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) এবং \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\)।
-
উত্তর দেন যে $\sqrt{49} = \pm 7$।
\(\sqrt{49} = 7\) — গাণিতিক মূল সর্বদা একটি এবং এটি অঋণাত্মক। দুটি মান অন্য একটি প্রশ্নে আসে: সমীকরণ \(x^2 = 49\)-এর মূল হলো \(x = 7\) এবং \(x = -7\)। মূলের প্রতীক এবং সমীকরণের সমাধানকে গুলিয়ে ফেলা উচিত নয়।
-
লেখেন $\sqrt{-16} = -4$, «মাইনাসে মাইনাসে» ভেবে।
মূলের নিচে ঋণাত্মক সংখ্যা থাকতে পারে না: \((-4)^2 = 16\), -১৬ নয়, তাই \(\sqrt{-16}\) বাস্তব সংখ্যায় অর্থহীন। কিন্তু \(-\sqrt{16} = -4\) রাশিটি সম্পূর্ণ সঠিক — মাইনাস চিহ্নটি মূলের সামনে আছে, নিচে নয়।
-
মূলের ভিতরে ঋণাত্মক গুণনীয়ক প্রবেশ করান: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$।
\(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) নিয়মটি কেবল \(a \ge 0\)-এর জন্য কাজ করে। মাইনাস চিহ্নটি বাইরে থেকে যায়: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\)। চিহ্ন দ্বারা যাচাই: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), এবং \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — সংখ্যা দুটি বিপরীত।
-
দশমিক ভগ্নাংশের স্থান হারান: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$।
বিপরীতভাবে বর্গ করে যাচাই করুন: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), মেলে না। সঠিক হলো \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), কারণ \(0{,}2^2 = 0{,}04\)। নির্ভরযোগ্য উপায় হলো সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করা: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\)।
-
মনে করেন মূল সর্বদা সংখ্যার চেয়ে ছোট হয়।
এটি কেবল একের চেয়ে বড় সংখ্যার জন্য সত্য। ০ থেকে ১ পর্যন্ত ব্যবধানে সবকিছু বিপরীত: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), এবং \(0{,}5\) ০.২৫-এর চেয়ে বড়। আর ০ এবং ১-এর জন্য মূল সংখ্যাটির সমান হয়।
প্রশ্ন এবং উত্তর
সহজ ভাষায় গাণিতিক বর্গমূল কী?
এটি একটি অঋণাত্মক সংখ্যা, যা বর্গ করলে মূল সংখ্যাটি পাওয়া যায়। প্রতীক হলো \(\sqrt{a}\), যেখানে রেডিক্যান্ড অবশ্যই অঋণাত্মক হতে হবে: \(a \ge 0\)। উদাহরণস্বরূপ, \(\sqrt{64} = 8\), কারণ \(8 \ge 0\) এবং \(8^2 = 64\)।
বর্গমূল এবং গাণিতিক বর্গমূলের মধ্যে পার্থক্য কী?
একটি ধনাত্মক সংখ্যার দুটি বর্গমূল থাকে — চিহ্নে বিপরীত। গাণিতিক বর্গমূল কেবল তাদের অঋণাত্মকটিকে বোঝায়, এবং \(\sqrt{\phantom{a}}\) প্রতীকটি এটিই বোঝায়। তাই \(\sqrt{25} = 5\), যদিও \(x^2 = 25\) সমীকরণের দুটি মূল রয়েছে: ৫ এবং -৫।
ক্যালকুলেটর ছাড়া কোনো সংখ্যা থেকে বর্গমূল কীভাবে বের করবেন?
প্রথমে সংখ্যার বর্গের সারণী দেখুন। যদি সেখানে না থাকে — উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন এবং পূর্ণবর্গ আলাদা করুন: \(784 = 16 \cdot 49\), সুতরাং \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\)। সর্বদা বিপরীত ক্রিয়া দ্বারা উত্তর যাচাই করুন: \(28^2 = 784\)।
ঋণাত্মক সংখ্যা থেকে কি বর্গমূল বের করা যায়?
বাস্তব সংখ্যায় — না: যেকোনো সংখ্যার বর্গ অঋণাত্মক, তাই \(\sqrt{-9}\) রাশিটি অর্থহীন। এই শর্ত থেকেই ডোমেইন খোঁজা হয়: উদাহরণস্বরূপ, \(\sqrt{x-7}\) কেবল \(x \ge 7\) হলেই বিদ্যমান।
কোনো সংখ্যার বর্গের মূল কত?
সেই সংখ্যার পরম মানের সমান: \(\sqrt{a^2} = |a|\)। অঋণাত্মক \(a\)-এর জন্য সংখ্যাটি নিজেই পাওয়া যাবে, ঋণাত্মক \(a\)-এর জন্য — এর বিপরীত সংখ্যা: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\)।
মূল চিহ্নের বাইরে গুণনীয়ক কীভাবে বের করবেন?
রেডিক্যান্ডের বৃহত্তম বর্গাকার ভাজক খুঁজুন এবং \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\) বৈশিষ্ট্যটি প্রয়োগ করুন। উদাহরণস্বরূপ, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\)। বিপরীত ক্রিয়া — মূলের ভিতরে গুণনীয়ক প্রবেশ করানো: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\)।
২ এর বর্গমূল কত?
\(\sqrt{2}\) সংখ্যাটি অমূলদ: এর দশমিক বিস্তার অসীম এবং পর্যায়হীন, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\)। ভগ্নাংশ হিসাবে কোনো সঠিক মান নেই, তাই উত্তরে এটি \(\sqrt{2}\) প্রতীক হিসাবেই রাখা হয়, এবং কেবল তখনই আনুমানিক মান লেখা হয় যদি শর্তে চাওয়া হয়।
মূল সহ দুটি সংখ্যা কীভাবে তুলনা করবেন, তাদের গণনা না করে?
গুণনীয়কগুলি মূলের ভিতরে প্রবেশ করান এবং রেডিক্যান্ডগুলি তুলনা করুন: বৃহত্তর রেডিক্যান্ডের জন্য বৃহত্তর মূল থাকে। উদাহরণস্বরূপ, \(\sqrt{17}\) এবং ৪: যেহেতু \(4 = \sqrt{16}\) এবং \(17 > 16\), তাই \(\sqrt{17} > 4\)।
কোন শ্রেণিতে বর্গমূল শেখানো হয়?
৮ম শ্রেণিতে বীজগণিতের ক্লাসে: প্রথমে গাণিতিক বর্গমূলের সংজ্ঞা এবং এর বৈশিষ্ট্য, তারপর মূলযুক্ত রাশিগুলির রূপান্তর এবং \(x^2 = a\) আকারের সমীকরণ সমাধান। এরপর মূলগুলি ডিসক্রিমিন্যান্টের সূত্রে এবং OGE ও ЕГЭ-এর প্রশ্নে আসে।
