অনুপাত হলো দুটি অনুপাতের সমতা, যেমন \(2:3 = 8:12\)। অনুপাত সমাধানের জন্য কেবল একটি সরঞ্জাম প্রয়োজন — অনুপাতের মূল বৈশিষ্ট্য: প্রান্তিক পদগুলির গুণফল মধ্যপদগুলির গুণফলের সমান। এটি স্কুলে 'ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন' নিয়ম নামে পরিচিত। নিচে দেওয়া হলো - অনুপাত ও সমানুপাত কি, অজানা পদ কিভাবে খুঁজে বের করতে হয়, সরল অনুপাত ব্যস্ত অনুপাত থেকে কিভাবে ভিন্ন, রেসিপি, স্কেল এবং মূল্যের সমস্যাগুলির বিশ্লেষণ, শতাংশের গণনা এবং ১০টি সমস্যা সহ একটি অনুশীলন।
অনুপাত ও সমানুপাত কি
দুটি সংখ্যার অনুপাত হলো তাদের ভাগফল। \(2:3\) অনুপাত (পড়ুন 'দুই অনুপাত তিন') দেখায় যে একটি সংখ্যা অন্যটির চেয়ে কত গুণ বড় বা একটি অন্যটির কত অংশ। এটি দুটি উপায়ে লেখা যেতে পারে: \(2:3\) বা ভগ্নাংশ \(\frac{2}{3}\) — দুটোই একই।
অনুপাত হলো দুটি অনুপাতের সমতা:
অনুপাতে মোট চারটি সংখ্যা থাকে এবং তাদের নাম আছে। লেখার প্রান্তের সংখ্যাগুলি হলো প্রান্তিক পদ, মাঝের সংখ্যাগুলি হলো মধ্যপদ। অনুপাতটি সঠিক হয় যখন উভয় অনুপাত একই সংখ্যার সমান হয়।
অনুপাতের মূল বৈশিষ্ট্য: 'ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন' নিয়ম
অনুপাতের মূল বৈশিষ্ট্য: প্রান্তিক পদগুলির গুণফল মধ্যপদগুলির গুণফলের সমান।
এটা কিভাবে কাজ করে? সমীকরণ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) এর উভয় পক্ষকে \(b \cdot d\) দিয়ে গুণ করি। বাম দিকে \(b\) এবং ডান দিকে \(d\) কেটে যাবে, এবং \(a \cdot d = c \cdot b\) থাকবে। এটা কোনো জাদু নয় - এটি সমতার একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য।
একেই শিক্ষার্থীরা 'ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন' দ্বারা অনুপাত সমাধান করা বলে: সংখ্যাগুলো কোনাকুনি, ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন পদ্ধতিতে গুণ করা হয়। বৈশিষ্ট্যটি বিপরীত দিকেও কাজ করে: যদি চারটি সংখ্যার জন্য (কোনোটিই শূন্য নয়) \(a \cdot d = b \cdot c\) সত্য হয়, তবে তাদের দিয়ে একটি সঠিক অনুপাত গঠন করা যেতে পারে।
এখান থেকে দুটি দক্ষতা পাওয়া যায়: অনুপাতটি সঠিক কিনা তা যাচাই করা এবং এতে অজানা সংখ্যাটি খুঁজে বের করা।
অনুপাতের অজানা পদ কিভাবে খুঁজে বের করতে হয়
মূল বৈশিষ্ট্য থেকে দুটি সংক্ষিপ্ত নিয়ম পাওয়া যায়:
- অজানা প্রান্তিক পদ = মধ্যপদগুলির গুণফল : জানা প্রান্তিক পদ;
- অজানা মধ্যপদ = প্রান্তিক পদগুলির গুণফল : জানা মধ্যপদ।
এগুলো মুখস্থ করার প্রয়োজন নেই। একটি সার্বজনীন পদ্ধতিই যথেষ্ট: কোনাকুনি গুণ করুন, 'সংখ্যা \(\cdot\, x\) = সংখ্যা' এই ধরনের একটি সমীকরণ পান এবং ভাগ করুন। আমরা \(x : 7 = 12 : 21\) অনুপাতের উপর ভিত্তি করে এটি ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ করব।
শেষ ধাপ - যাচাইকরণ - পাঁচ সেকেন্ড সময় নেয় এবং প্রায় যেকোনো গাণিতিক ভুল ধরতে পারে, তাই এটি বাদ দেওয়া উচিত নয়।
সরল ও ব্যস্তানুপাত
দুটি রাশিকে সরল সমানুপাতিক বলা হয় যদি একটি রাশি নির্দিষ্ট অনুপাতে বাড়লে অন্যটিও একই অনুপাতে বাড়ে। দ্বিগুণ সংখ্যক খাতা কিনলে দ্বিগুণ দাম দিতে হবে। এই ধরনের রাশিগুলির অনুপাত স্থির থাকে।
রাশিগুলি ব্যস্ত সমানুপাতিক হয় যদি একটি রাশি নির্দিষ্ট অনুপাতে বাড়লে অন্যটি একই অনুপাতে কমে। দ্বিগুণ সংখ্যক শ্রমিক হলে একই কাজ করতে অর্ধেক সময় লাগবে। এই ধরনের রাশিগুলির গুণফল স্থির থাকে।
মূল পার্থক্যটি অনুপাত গঠনের সময় দেখা যায়। সরল সম্পর্কের জন্য এটি 'যেমন আছে' তেমনভাবে গঠিত হয়: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\)। ব্যস্ত সম্পর্কের জন্য দ্বিতীয় অনুপাতটি উল্টে যায়: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\)।
কেন? ব্যস্ত সম্পর্কের জন্য গুণফল স্থির থাকে: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\)। উভয় পক্ষকে \(a_2 \cdot b_1\) দিয়ে ভাগ করলে আমরা ঠিক \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\) পাই। সুতরাং 'উল্টে দেওয়া' কোনো মন্ত্র নয় যা মনে রাখতে হবে, বরং এটি একটি ফলাফল যা গুণফল স্থির থাকে, অনুপাত নয়।
| বৈশিষ্ট্য | সরল | ব্যস্ত |
|---|---|---|
| সম্পর্ক | বেশি → বেশি | বেশি → কম |
| স্থির থাকে | অনুপাত a : b | গুণফল a × b |
| লেখা | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| উদাহরণ | ৩টি কলম — ৯০৳, ৫টি কলম — ১৫০৳ | ৪ জন চিত্রকর — ৯ দিন, ৬ জন চিত্রকর — ৬ দিন |
রেসিপি, স্কেল, মূল্যের সমস্যার জন্য অনুপাত কিভাবে গঠন করতে হয়
অনুপাত সম্পর্কিত টেক্সট সমস্যাগুলি একটি সাধারণ পদ্ধতিতে সমাধান করা হয়:
- শর্তাবলী দুটি কলামে লিখুন যাতে একই ধরনের রাশিগুলি একে অপরের নীচে থাকে (পরিমাণ পরিমাণের নীচে, গ্রাম গ্রামের নীচে)।
- অজানা রাশিকে \(x\) দিয়ে চিহ্নিত করুন।
- নির্ভরতার ধরণ নির্ধারণ করুন: প্রথম রাশিটি মনে মনে বাড়ান এবং দেখুন দ্বিতীয়টি বাড়ে না কমে।
- অনুপাত গঠন করুন - ব্যস্ত সম্পর্কের জন্য দ্বিতীয় অনুপাতটি উল্টে দিন।
- ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন দ্বারা সমাধান করুন এবং উত্তরটি যুক্তিসঙ্গত কিনা তা যাচাই করুন।
রেসিপির উদাহরণ দেখা যাক। ৪ জনের জন্য প্যানকেক বানাতে ৩০০ গ্রাম ময়দা লাগে - ৬ জনের জন্য কত ময়দা লাগবে? জনের সংখ্যা বেশি, তাই ময়দাও বেশি লাগবে: সম্পর্কটি সরল, অনুপাতটি 'যেমন আছে' তেমনভাবে গঠিত হবে:
৬ জনের জন্য ৪৫০ গ্রাম ময়দা লাগবে। উত্তরটি যুক্তিসঙ্গত: জনের সংখ্যা দেড় গুণ বেড়েছে, তাই ময়দার পরিমাণও দেড় গুণ বেড়েছে।
একইভাবে স্কেল (মানচিত্রে দূরত্ব এবং বাস্তব দূরত্ব একই অনুপাতে থাকে, ১ এর সাথে স্কেলের সংখ্যা) এবং মূল্যের (পণ্যের পরিমাণ এবং মূল্যের অনুপাত একই) সমস্যাগুলি সমাধান করা হয়। সম্পূর্ণ বিশ্লেষণ নিচে উদাহরণগুলিতে দেওয়া হলো।
অনুপাতের মাধ্যমে শতাংশ
শতাংশ হলো একশ ভাগের এক ভাগ, তাই শতাংশের যেকোনো সহজ সমস্যা একটি অনুপাতে রূপান্তরিত হয়:
এখানে চারটি সংখ্যার মধ্যে একটি অজানা - সেটিই আমরা ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন দ্বারা খুঁজে বের করব।
অংশ খুঁজুন। ২৪০ এর ১৬% কত? \(x : 240 = 15 : 100\) অনুপাত গঠন করি, সুতরাং \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) এবং \(x = 36\)।
মোট খুঁজুন। ২১ সংখ্যাটি কোনো সংখ্যার ৩৫%। \(21 : x = 35 : 100\) অনুপাত গঠন করি, সুতরাং \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) এবং \(x = 60\)।
শতাংশ খুঁজুন। ১৮ সংখ্যাটি ৪৫ এর কত শতাংশ? \(18 : 45 = p : 100\) অনুপাত গঠন করি, সুতরাং \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) এবং \(p = 40\), অর্থাৎ ৪০%।
একটি পদ্ধতি - তিনটি ভিন্ন ধরনের সমস্যা, অতিরিক্ত কিছু মনে রাখার দরকার নেই। 'কত শতাংশ বেড়েছে বা কমেছে' প্রশ্নটি আলাদা, কারণ সেখানে প্রথমে পরিবর্তনটি খুঁজে বের করতে হয়, তারপর সেটি প্রাথমিক মান দিয়ে ভাগ করতে হয় - এটি শতাংশ পরিবর্তনের সূত্র, সাধারণ অনুপাত নয়।
অনুপাত সমাধানের ধাপে ধাপে উদাহরণ
উদাহরণ ১. অজানা মধ্যপদ
সমস্যা। \(15 : x = 45 : 24\) অনুপাতের অজানা পদটি খুঁজুন।
ধাপ ১। কোন পদ কোনটি তা নির্ধারণ করি। প্রান্তিক পদ - ১৫ এবং ২৪, মধ্যপদ - \(x\) এবং ৪৫।
ধাপ ২। মূল বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করি: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), অর্থাৎ \(360 = 45x\)।
ধাপ ৩। ভাগ করি: \(x = 360 : 45 = 8\)।
যাচাইকরণ। \(15 : 8 = 1.875\) এবং \(45 : 24 = 1.875\) — অনুপাতগুলি সমান।
উত্তর: \(x = 8\)।
উদাহরণ ২. সরল অনুপাত: দাম এবং পরিমাণ
সমস্যা। ছয়টি খাতার দাম ২১০ টাকা। একই রকম ১০টি খাতার দাম কত?
ধাপ ১। খাতার সংখ্যা বেশি - দামও বেশি হবে, তাই সম্পর্কটি সরল।
ধাপ ২। একই ধরনের রাশিগুলি পাশাপাশি রেখে শর্তটি লিখি এবং 'যেমন আছে' তেমনভাবে অনুপাত গঠন করি:
ধাপ ৩। ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), সুতরাং \(x = 2100 : 6 = 350\)।
যাচাইকরণ। একটি খাতার দাম \(210 : 6 = 35\) টাকা, আর দশটি খাতার দাম \(35 \cdot 10 = 350\) টাকা। মিলে গেছে।
উত্তর: ৩৫০ টাকা।
উদাহরণ ৩. ব্যস্তানুপাত: শ্রমিক এবং দিন
সমস্যা। আটজন শ্রমিক একটি কাজ ১৫ দিনে শেষ করে। একই কাজ ১২ জন শ্রমিক কত দিনে শেষ করবে, যদি তারা একই গতিতে কাজ করে?
ধাপ ১। শ্রমিক সংখ্যা বেশি - তাই দিন কম লাগবে। সম্পর্কটি ব্যস্ত।
ধাপ ২। দ্বিতীয় অনুপাতটি উল্টে দিয়ে অনুপাত গঠন করি:
এখানে \(x\) হলো ১২ জন শ্রমিকের জন্য প্রয়োজনীয় দিন, এবং ১৫ হলো ৮ জন শ্রমিকের জন্য প্রয়োজনীয় দিন: তারা স্থান পরিবর্তন করেছে কারণ সম্পর্কটি ব্যস্ত।
ধাপ ৩। ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন: \(8 \cdot 15 = 12x\), অর্থাৎ \(120 = 12x\) এবং \(x = 10\)।
যাচাইকরণ। গুণফল স্থির থাকে: \(8 \cdot 15 = 120\) এবং \(12 \cdot 10 = 120\) । মিলে গেছে, এবং উত্তরটি যুক্তিসঙ্গত - দিন সংখ্যা কমেছে।
উত্তর: ১০ দিন।
উদাহরণ ৪. মানচিত্রের স্কেল
সমস্যা। মানচিত্রের স্কেল \(1 : 200,000\)। মানচিত্রে দুটি গ্রামের মধ্যে দূরত্ব ৭ সেমি। বাস্তবে তাদের মধ্যে দূরত্ব কত?
ধাপ ১। স্কেল \(1 : 200,000\) মানে: মানচিত্রে ১ সেমি বাস্তবে ২০০,০০০ সেমি এর সমান। এটি একটি প্রস্তুত অনুপাত।
ধাপ ২। অনুপাত গঠন করি:
ধাপ ৩। ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন: \(1 \cdot x = 200,000 \cdot 7\), অর্থাৎ \(x = 1,400,000\) সেমি।
ধাপ ৪। সুবিধাজনক এককে রূপান্তর করি: এক কিলোমিটারে ১০০,০০০ সেমি, তাই \(1,400,000 : 100,000 = 14\) কিমি।
উত্তর: ১৪ কিমি।
উদাহরণ ৫. অনুপাতের মাধ্যমে শতাংশ
সমস্যা। একটি ক্লাসে ২৫ জন ছাত্রছাত্রী আছে, তাদের মধ্যে ৬০% একটি সফরে গেছে। কতজন সফরে গেছে?
ধাপ ১। মোট সংখ্যা হলো ২৫ জন ছাত্রছাত্রী, যা ১০০% এর সমান। অজানা অংশ হলো \(x\) জন, যা ৬০% এর সমান।
ধাপ ২। 'অংশ : মোট = শতাংশ : ১০০' এই অনুপাতে গঠন করি:
ধাপ ৩। ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), সুতরাং \(x = 15\)।
যাচাইকরণ। ২৫ জনের মধ্যে ১৫ জন হলো \(15 : 25 = 0.6\), অর্থাৎ ঠিক ৬০%।
উত্তর: ১৫ জন।
অনুপাত সমাধানে সাধারণ ভুল
-
সংখ্যাগুলো 'পাশাপাশি' গুণ করা হয়, ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন পদ্ধতিতে নয়: ৫ : ২ = ২০ : ৮ অনুপাতের জন্য ৫ · ২ এবং ২০ · ৮ গণনা করা হয়।
মূল বৈশিষ্ট্য প্রান্তিক পদগুলিকে মধ্যপদগুলির সাথে সংযুক্ত করে, অর্থাৎ কোনাকুনি সংখ্যাগুলি: ৫ · ৮ = ৪০ এবং ২ · ২০ = ৪০। গুণফল মিলে গেছে - অনুপাতটি সঠিক। কিন্তু ৫ · ২ এবং ২০ · ৮ সমান নয় এবং কোনো তথ্য দেয় না।
-
ব্যস্ত সম্পর্কের সমস্যায় 'সরল' অনুপাত গঠন করা হয়। ছয়টি পাম্প একটি জলাধার ১০ ঘন্টায় ভর্তি করে; ৬ : ১৫ = ১০ : x সমীকরণটি ১৫টি পাম্পের জন্য ২৫ ঘন্টা দেখায়।
পাম্পের সংখ্যা বেড়েছে - সময় কম লাগা উচিত, কিন্তু বেশি সময় লেগেছে: অর্থাৎ, অনুপাতটি ভুলভাবে গঠন করা হয়েছে। দ্বিতীয় অনুপাতটি উল্টে দিতে হবে: ৬ : ১৫ = x : ১০, তাহলে ১৫x = ৬০ এবং x = ৪ ঘন্টা। সবসময় উত্তরটি যুক্তিসঙ্গত কিনা তা যাচাই করুন।
-
ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশনের পরে উল্টো করে ভাগ করা হয়: ৮x = ৯৬ সমীকরণ থেকে x = ৮ : ৯৬ পাওয়া যায়।
x খুঁজে বের করার জন্য, গুণফলকে x এর পাশের সহগ দিয়ে ভাগ করতে হয়: x = ৯৬ : ৮ = ১২। একটি ভালো অভ্যাস হলো পাওয়া সংখ্যাটি আবার বসিয়ে দেখা: ৮ · ১২ = ৯৬, সব ঠিক আছে।
-
এককগুলির সামঞ্জস্য না করা। স্কেল ১ : ৫০,০০০ এর সমস্যায় মানচিত্রে ৩ সেমি এর জন্য উত্তরে '১.৫' লেখা হয় একক ছাড়া বা মিটার হিসাবে বলা হয়।
প্রথমে স্কেলে দেওয়া এককগুলিতে গণনা করুন: ৩ · ৫০,০০০ = ১৫০,০০০ সেমি। এবং তারপরে রূপান্তর করুন: ১৫০,০০০ সেমি = ১৫০০ মিটার = ১.৫ কিমি। উত্তরে এককগুলি সংখ্যার মতোই গুরুত্বপূর্ণ।
-
অনুপাত এবং সমানুপাত গুলিয়ে ফেলা: অনুপাত গঠনের অনুরোধে কেবল একটি অনুপাত '১২ : ৪' লেখা হয়।
অনুপাত হলো দুটি সংখ্যার ভাগফল: ১২ : ৪ = ৩। সমানুপাত হলো দুটি অনুপাতের সমতা, এতে অবশ্যই চারটি সংখ্যা এবং একটি সমান চিহ্ন থাকে: ১২ : ৪ = ৩০ : ১০ (যাচাই করি: ১২ · ১০ = ১২০ এবং ৪ · ৩০ = ১২০)।
প্রশ্ন এবং উত্তর
অনুপাত এবং সমানুপাতের মধ্যে পার্থক্য কি?
অনুপাত হলো দুটি সংখ্যার ভাগফল, যেমন ১২ : ৪। সমানুপাত হলো দুটি অনুপাতের সমতা, এতে চারটি সংখ্যা থাকে: ১২ : ৪ = ৩০ : ১০। অনুপাত 'কত গুণ' এই প্রশ্নের উত্তর দেয়, আর সমানুপাত নিশ্চিত করে যে দুটি তুলনা একই ফলাফল দেয়।
অনুপাতের প্রান্তিক ও মধ্যপদ কি?
a : b = c : d লেখায় প্রান্তিক পদগুলি হলো যা প্রান্তে থাকে, অর্থাৎ a এবং d। মধ্যপদগুলি হলো যা মাঝখানে থাকে, অর্থাৎ b এবং c। যদি অনুপাত ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা হয়, তবে প্রান্তিক পদগুলি হলো প্রথম ভগ্নাংশের লব এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর, আর মধ্যপদগুলি হলো প্রথম ভগ্নাংশের হর এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব।
কিভাবে একটি অনুপাত সঠিক কিনা তা যাচাই করা যায়?
ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন করে গুণফলগুলি তুলনা করুন। উদাহরণস্বরূপ, ৯ : ১২ = ১৫ : ২০ এর জন্য ৯ · ২০ = ১৮০ এবং ১২ · ১৫ = ১৮০ গণনা করুন - সংখ্যাগুলি মিলে গেছে, তাই অনুপাতটি সঠিক। যদি গুণফল ভিন্ন হয়, অনুপাতটি ভুল।
অনুপাতের পদগুলি কি স্থান পরিবর্তন করা যায়?
হ্যাঁ, যদি নিয়ম মেনে করা হয়। একটি সঠিক অনুপাতে প্রান্তিক পদগুলি স্থান পরিবর্তন করা যেতে পারে, মধ্যপদগুলি স্থান পরিবর্তন করা যেতে পারে, অথবা উভয় অংশই উল্টে দেওয়া যেতে পারে - অনুপাতটি সঠিক থাকবে। ৪ : ৬ = ১০ : ১৫ থেকে আমরা পাই ৪ : ১০ = ৬ : ১৫ অথবা ৬ : ৪ = ১৫ : ১০ - উভয় ক্ষেত্রে কোনাকুনি গুণফল ৬০। কিন্তু কেবল একটি সংখ্যা সরানো যায় না।
'ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন দ্বারা অনুপাত সমাধান' এর অর্থ কি?
এটি অনুপাতের মূল বৈশিষ্ট্যের একটি কথ্য নাম। সংখ্যাগুলি কোনাকুনি, ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন পদ্ধতিতে গুণ করা হয়: প্রান্তিক গুণ প্রান্তিক এবং মধ্য গুণ মধ্য। এটি একটি অজানা সহ সমীকরণ তৈরি করে, যা একটি ভাগ দ্বারা সমাধান করা হয়। মূল বৈশিষ্ট্য ছাড়াও 'ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন পদ্ধতি' নামে আলাদা কোনো পদ্ধতি নেই।
সমস্যায় কিভাবে বুঝব সম্পর্কটি সরল না ব্যস্ত?
প্রথম রাশিটি মনে মনে দ্বিগুণ করুন এবং দ্বিতীয়টি দেখুন। যদি এটিও দ্বিগুণ হয় - সম্পর্কটি সরল, অনুপাত 'যেমন আছে' তেমনভাবে গঠন করা হয়। যদি এটি অর্ধেক হয়ে যায় - সম্পর্কটি ব্যস্ত, দ্বিতীয় অনুপাতটি উল্টে দিতে হবে। আরেকটি লক্ষণ: সরল সম্পর্কের ক্ষেত্রে রাশিগুলির অনুপাত স্থির থাকে, ব্যস্ত সম্পর্কের ক্ষেত্রে তাদের গুণফল স্থির থাকে।
অনুপাতের মাধ্যমে শতাংশের সমস্যা কিভাবে সমাধান করতে হয়?
'অংশ : মোট = শতাংশ : ১০০' অনুপাত গঠন করুন এবং ক্রস-মাল্টিপ্লিকেশন দ্বারা অজানাটি খুঁজুন। উদাহরণস্বরূপ, ৩৫০ এর ১২%: আমরা পাই x : ৩৫০ = ১২ : ১০০, সুতরাং ১০০x = ৪২০০ এবং x = ৪২। একই পদ্ধতিতে মোট সংখ্যাও খোঁজা হয় যখন অংশ জানা থাকে, এবং শতাংশও খোঁজা হয়।
