অসমতা হলো দুটি রাশি যা \(<\), \(>\), \(\le\) অথবা \(\ge\) চিহ্ন দ্বারা সংযুক্ত। অসমতা সমাধান করার অর্থ হলো চলকের সমস্ত মান খুঁজে বের করা, যার জন্য এটি একটি সঠিক সাংখ্যিক অসমতায় পরিণত হয়। উত্তর একটি সংখ্যা হবে না, বরং একটি সম্পূর্ণ সেট হবে: সংখ্যারেখায় একটি ব্যবধান বা ব্যবধানের সংযোগ। এই পৃষ্ঠায়, সমস্ত ধরণের অসমতার জন্য একটি ভিত্তি সংকলিত করা হয়েছে: চিহ্নগুলি কীভাবে পড়তে হয়, কোন রূপান্তরগুলি অনুমোদিত, ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করার সময় কেন চিহ্নটি উল্টে যায় এবং কীভাবে উত্তরটি সঠিকভাবে লিখতে হয়। এবং তারপরে — বিস্তারিত বিশ্লেষণ এবং নিজের পরীক্ষা করার জন্য একটি অনুশীলনীর লিঙ্ক সহ সমস্ত ধরণের অসমতার একটি সারসংক্ষেপ।
অসমতা সমাধান করার অর্থ কী
অসমতার সমাধান হলো চলকের যেকোনো মান যা অসমতাকে একটি সঠিক সাংখ্যিক অসমতায় পরিণত করে। আর অসমতা সমাধান করার অর্থ হলো এই সমস্ত মান খুঁজে বের করা এবং সেগুলিকে একটি সেট হিসাবে লেখা।
সমীকরণের সাথে তুলনা করুন। সমীকরণ \(2x = 8\)-এর উত্তর হলো একটি সংখ্যা \(x = 4\)। অসমতা \(2x < 8\)-এর উত্তর হলো অসীম সংখ্যক সংখ্যা: \(3\), \(0\), \(-100\), এবং \(3{,}999\) সবই উপযুক্ত। এগুলিকে একটি একটি করে লেখা অসম্ভব, তাই উত্তরটি একটি ব্যবধান হিসাবে লেখা হয়: \(x < 4\), অর্থাৎ \((-\infty;\ 4)\)।
একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা সমাধানের কিনা তা পরীক্ষা করা সহজ: চলকের পরিবর্তে এটি প্রতিস্থাপন করুন এবং দেখুন এটি একটি সঠিক অসমতা কিনা।
- \(x = 1\) অসমতা \(2x < 8\)-এ: \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) — সঠিক, তাই \(1\) একটি সমাধান।
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) — ভুল, তাই \(5\) সমাধান নয়।
দুটি অসমতাকে সমতুল্য বলা হয় যদি তাদের সমাধানের সেট একই হয়। অসমতার সম্পূর্ণ সমাধান হলো সরলতর সমতুল্য অসমতার দিকে যাওয়ার একটি শৃঙ্খল, যতক্ষণ না বাম দিকে কেবল \(x\) থাকে।
অসমতার চিহ্ন: কঠোর এবং কঠোর নয় এমন
চারটি চিহ্ন আছে, এবং কোনটি ব্যবহার করা হচ্ছে তার উপর নির্ভর করে উত্তর এবং উপস্থাপনা। কঠোর চিহ্ন \(<\) এবং \(>\) প্রান্তিক বিন্দুটিকে উত্তরে অন্তর্ভুক্ত করে না, কঠোর নয় এমন \(\le\) এবং \(\ge\) — অন্তর্ভুক্ত করে।
এই পার্থক্যটি পুরো সমাধান জুড়ে চলে: একটি কঠোর চিহ্ন অক্ষে একটি খালি (ফাঁকা) বিন্দু এবং উত্তরে একটি গোলাকার বন্ধনী দেয়, একটি কঠোর নয় এমন চিহ্ন — একটি ভরা বিন্দু এবং একটি বর্গাকার বন্ধনী দেয়।
| চিহ্ন | কীভাবে পড়া হয় এবং উত্তরে কী দেয় |
|---|---|
| < | কমকঠোরবিন্দুটি খালি, বন্ধনী গোলাকার |
| > | বেশিকঠোরবিন্দুটি খালি, বন্ধনী গোলাকার |
| ≤ | কম বা সমানকঠোর নয়বিন্দুটি ভরা, বন্ধনী বর্গাকার |
| ≥ | বেশি বা সমানকঠোর নয়বিন্দুটি ভরা, বন্ধনী বর্গাকার |
সমতুল্য রূপান্তর: অসমতার সাথে কী করা যেতে পারে
অসমতার সাথে প্রায় সবকিছুই করা যেতে পারে যা সমীকরণের সাথে করা যায়, তবে একটি গুরুত্বপূর্ণ সংশোধন সহ। যোগ এবং বিয়োগ অবাধে করা যেতে পারে: যদি উভয় অংশে একই জিনিস যোগ বা বিয়োগ করা হয়, তবে সমাধানের সেট পরিবর্তন হবে না। এভাবেই পদগুলি চিহ্নের উপর দিয়ে 'স্থানান্তরিত' হয়, তাদের '+' কে '-' এ পরিবর্তন করে।
কিন্তু গুণ এবং ভাগ গুণকের চিহ্নের উপর নির্ভর করে। ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা উভয় অংশকে গুণ বা ভাগ করার সময় অসমতার চিহ্ন বিপরীত হয়ে যায়: \(<\) হয়ে যায় \(>\), \(\le\) হয়ে যায় \(\ge\) এবং বিপরীতভাবে। সংখ্যাগুলির মাধ্যমে কারণটি দেখা যায়: সঠিক \(3 < 5\) কে \(-1\) দ্বারা গুণ করার পরে \(-3\) এবং \(-5\) হয়, এবং \(-3 > -5\) — সংখ্যার ক্রম উল্টে গেছে।
বাম এবং ডান অংশগুলি অদলবদল করলে একই জিনিস ঘটে: \(7 < y\) থেকে \(y > 7\) হয়।
| কীভাবে উভয় পক্ষকে পরিবর্তন করব | চিহ্নের কী হবে |
|---|---|
| একই সংখ্যা বা রাশি উভয় পক্ষে যোগ বা বিয়োগ করি | চিহ্ন একই থাকে |
| একটি ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করি | চিহ্ন একই থাকে |
| একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করি | চিহ্ন পরিবর্তিত হয় |
| বাম এবং ডান পক্ষ অদলবদল করি | চিহ্ন পরিবর্তিত হয় |
| চলকযুক্ত রাশি দিয়ে গুণ বা ভাগ করি (x − 2) | এমনটা করা যাবে না |
উত্তর লেখার নিয়ম: সংখ্যারেখা এবং ব্যবধান
যখন চলক একা থাকে, তখন সমাধান প্রায় শেষ — কেবল এটি উপস্থাপন করতে হবে। সবচেয়ে সুবিধাজনক হলো প্রথমে উত্তরটি সংখ্যারেখায় চিহ্নিত করা, এবং তারপর সেখান থেকে ব্যবধানটি গণনা করা।
নিয়ম মাত্র তিনটি, এবং অসমতার ধরণ নির্বিশেষে এগুলি পরিবর্তিত হয় না:
- গোলাকার বন্ধনী — বিন্দুটি উত্তরে অন্তর্ভুক্ত নয় (কঠোর চিহ্ন, খালি বিন্দু);
- বর্গাকার বন্ধনী — বিন্দুটি অন্তর্ভুক্ত (কঠোর নয় এমন চিহ্ন, ভরা বিন্দু);
- অসীমের জন্য বন্ধনী সর্বদা গোলাকার: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) — \([-\infty;\ 4]\) এর মতো লেখা সম্ভব নয়, অসীম কোনো সংখ্যা নয় এবং এটি অর্জন করা যায় না।
যদি উত্তরটি অক্ষের দুটি অংশ হয়, তবে সেগুলিকে সংযোগ চিহ্ন \(\cup\) দ্বারা যুক্ত করা হয়: উদাহরণস্বরূপ, \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\)।
অসমতার প্রকারভেদ এবং তাদের সমাধানের পদ্ধতি
অসমতাগুলি তাদের মধ্যে চলক কীভাবে প্রবেশ করে তার উপর নির্ভর করে — এটি প্রথম ডিগ্রীতে আছে, বর্গের নিচে, হরতে বা মডিউলাসের নিচে। এটি সমাধানের পদ্ধতি নির্ধারণ করে, তাই যেকোনো সমাধানের প্রথম ধাপ হলো অসমতার ধরণ জানা। পরবর্তী সাধারণ যুক্তি একই: অসমতাকে 'রাশি শূন্যের সাথে তুলনা করা হয়' এই আকারে আনা, এবং তারপরে এই ধরণের জন্য উপযুক্ত পদ্ধতি প্রয়োগ করা। ধরণের একটি সারসংক্ষেপ এবং পদ্ধতি — নীচের টেবিলে।
মডিউলাস কীভাবে খোলে তা আলাদাভাবে মনে রাখা উচিত — টেবিলটি এটি ধারণ করে না। \(a > 0\) এর জন্য, অসমতা \(|f(x)| < a\) দ্বিগুণ অসমতা \(-a < f(x) < a\) (একটি সিস্টেম তৈরি হয়) এর সমতুল্য, এবং \(|f(x)| > a\) — \(f(x) < -a\) বা \(f(x) > a\) (ব্যবধানের সংযোগ তৈরি হয়) এর সমষ্টির সমতুল্য। যদি \(a < 0\) হয়, তবে চিন্তা করার কিছু নেই: মডিউলাস অঋণাত্মক, তাই \(|f(x)| < a\)-এর কোনো সমাধান নেই, এবং \(|f(x)| > a\) সমস্ত অনুমোদিত \(x\)-এর জন্য সত্য।
অমূলদ (বর্গমূল সহ) এবং সূচকীয় অসমতাগুলি উচ্চ বিদ্যালয়ে আলোচনা করা হয়: সাধারণ রূপান্তরগুলির সাথে সেখানে অনুমোদিত মানের ক্ষেত্র নিয়ে কাজ করা যুক্ত হয়।
নির্দিষ্ট ধরণের বিস্তারিত বিশ্লেষণ: রৈখিক অসমতা, মূলদ অসমতা এবং ব্যবধান পদ্ধতি, এবং দ্বিঘাত বহুপদীর মূলগুলি ভিয়েটার উপপাদ্য](/app/materials/detail/524) দ্বারা সুবিধামত নির্বাচন করা যেতে পারে।
| ধরণ | কীভাবে দেখা যায় এবং কী দিয়ে সমাধান করা হয় |
|---|---|
| রৈখিক | ax + b > 0পদগুলি স্থানান্তর করুন এবং x-এর সহগ দ্বারা ভাগ করুন |
| দ্বিঘাত | ax2 + bx + c > 0বহুপদীর মূলগুলি খুঁজুন এবং প্যারাবোলাটি দেখুন |
| ভগ্নাংশ-মূলদ | P(x) / Q(x) ≥ 0ব্যবধান পদ্ধতি, হরগুলির শূন্যগুলি খালি করুন |
| মডিউলাস সহ | | f(x) | < aসংজ্ঞা অনুসারে মডিউলাস খুলুন |
| সিস্টেম | একটি বন্ধনীতে দুটি অসমতাপ্রতিটি সমাধান করুন, ছেদ নিন |
অসমতার সিস্টেম এবং সমষ্টি
প্রায়শই একটি অসমতা দুটি ভাগে বিভক্ত হয়ে যায়, এবং তখন প্রাপ্ত সেটগুলির সাথে কী করতে হবে তা ভুল না করা গুরুত্বপূর্ণ।
সিস্টেম (একটি বন্ধনী) মানে 'এটি এবং উভয়ই'। প্রতিটি অসমতা আলাদাভাবে সমাধান করুন, উভয় উত্তর একই অক্ষে চিহ্নিত করুন এবং ছেদ নিন — সাধারণ অংশ। যদি কোনো সাধারণ অংশ না থাকে, তবে সিস্টেমের কোনো সমাধান নেই।
সমষ্টি (একটি বর্গাকার বন্ধনী) মানে 'হয় এটি, অথবা অন্যটি'। এখানে সংযোগ নেওয়া হয় — যা অন্তত একটি উত্তর দ্বারা আচ্ছাদিত। উদাহরণস্বরূপ, 'বেশি' চিহ্নের সাথে মডিউলাস খোলার সময় একটি সমষ্টি দেখা দেয়।
আলাদাভাবে দ্বিগুণ অসমতা বিবেচনা করা উচিত যেমন \(-3 < 2x + 1 \le 7\): এটি একটি সিস্টেমের সংক্ষিপ্ত রূপ। রূপান্তরগুলি অবিলম্বে তিনটি অংশেই করা হয় — বিয়োগ করা হয়, ভাগ করা হয়, এবং একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করার সময় উভয় চিহ্ন একসাথে উল্টে দেওয়া হয়।
অসমতা সমাধানের উদাহরণ
উদাহরণ ১. একটি সংখ্যা সমাধানের কিনা তা পরীক্ষা করুন
কাজ। অসমতা \(3x + 5 \ge 1\)-এর জন্য \(x = -1\) কি একটি সমাধান?
ধাপ ১। \(x\)-এর পরিবর্তে \(-1\) প্রতিস্থাপন করুন: \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\)।
ধাপ ২। ডান অংশের সাথে তুলনা করুন: \(2 \ge 1\) — একটি সঠিক সাংখ্যিক অসমতা।
উত্তর। হ্যাঁ, \(-1\) একটি সমাধান। কিন্তু অসমতা সমাধান করার অর্থ হলো সমস্ত এই জাতীয় সংখ্যা খুঁজে বের করা, একটি নয়: এখানে উত্তর হলো \(x \ge -\frac{4}{3}\)।
উদাহরণ ২. চিহ্ন পরিবর্তন সহ রৈখিক অসমতা
কাজ। \(7 - 3x < 1\) সমাধান করুন।
ধাপ ১। \(7\) কে ডানদিকে স্থানান্তর করুন (অর্থাৎ উভয় অংশ থেকে \(7\) বিয়োগ করুন — অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয় না): \(-3x < 1 - 7\), অর্থাৎ \(-3x < -6\)।
ধাপ ২। উভয় অংশকে \(-3\) দ্বারা ভাগ করুন। ভাজক ঋণাত্মক, তাই চিহ্নটি উল্টে যায়: \(x > 2\)।
ধাপ ৩। অক্ষে চিহ্নিত করুন: \(2\)-তে একটি খালি বিন্দু, ডানদিকে সবকিছু ভরা।
উত্তর। \(x > 2\), অর্থাৎ \(x \in (2;\ +\infty)\)।
উদাহরণ ৩. দ্বিঘাত অসমতা
কাজ। \(x^2 - 4x - 5 \le 0\) সমাধান করুন।
ধাপ ১। বহুপদীর মূলগুলি খুঁজুন: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), যেখান থেকে \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\)।
ধাপ ২। \(x^2\)-এর সহগ ধনাত্মক, তাই প্যারাবোলার শাখাগুলি উপরের দিকে মুখ করে: মূলগুলির মধ্যে বহুপদীটি ঋণাত্মক, এবং মূলগুলির বাইরে — ধনাত্মক।
ধাপ ৩। আমাদের \(\le 0\) চিহ্ন প্রয়োজন, অর্থাৎ ঋণাত্মক মান এবং মূলগুলি নিজেই (কঠোর নয় এমন চিহ্ন) — মূলগুলির মধ্যেকার অংশটি প্রান্ত সহ নিন।
উত্তর। \(x \in [-1;\ 5]\)।
উদাহরণ ৪. মডিউলাস সহ অসমতা
কাজ। \(|x + 1| > 4\) সমাধান করুন।
ধাপ ১। মডিউলাস একটি ধনাত্মক সংখ্যার চেয়ে বড় — এর অর্থ হলো মডিউলাসের ভিতরের রাশিটি হয় \(4\)-এর চেয়ে বড়, অথবা \(-4\)-এর চেয়ে ছোট। আমরা একটি সমষ্টি পাই: \(x + 1 > 4\) অথবা \(x + 1 < -4\)।
ধাপ ২। প্রতিটি সমাধান করুন: প্রথম থেকে \(x > 3\), দ্বিতীয় থেকে \(x < -5\)।
ধাপ ৩। এটি একটি সমষ্টি, তাই আমরা ছেদ না নিয়ে ব্যবধানগুলির সংযোগ নিই।
উত্তর। \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\)।
উদাহরণ ৫. অসমতার সিস্টেম
কাজ। সিস্টেমটি সমাধান করুন \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
ধাপ ১। প্রথম অসমতা: \(2x > -4\), ধনাত্মক \(2\) দ্বারা ভাগ করুন — চিহ্ন সংরক্ষিত থাকে, \(x > -2\)।
ধাপ ২। দ্বিতীয় অসমতা: \(x \le 4\)।
ধাপ ৩। একই অক্ষে উভয় উত্তর চিহ্নিত করুন এবং ছেদ নিন — যে অংশটি দুবার ভরা হয়েছে। বাম সীমা অন্তর্ভুক্ত নয় (কঠোর চিহ্ন), ডান সীমা অন্তর্ভুক্ত (কঠোর নয় এমন)।
উত্তর। \(x \in (-2;\ 4]\)।
অসমতা সমাধানের সাধারণ ভুল
-
একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয়েছে এবং আগের চিহ্নটি রাখা হয়েছে।
একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা উভয় অংশকে গুণ বা ভাগ করার সময় চিহ্নটি অবশ্যই বিপরীত চিহ্নে পরিবর্তিত হতে হবে। \(-5x \ge 10\) থেকে \(x \le -2\) হয়, \(x \ge -2\) নয়। আপনি প্রতিস্থাপন করে নিজেকে পরীক্ষা করতে পারেন: \(x = -3\) দিলে \(15 \ge 10\) হয় — সঠিক, তাই সঠিক উত্তরটি সত্যিই 'কম বা সমান'।
-
অসীমের জন্য বর্গাকার বন্ধনী লেখা: $[-\infty;\ 7]$।
অসীম কোনো সংখ্যা নয়, এটি 'অর্জন' করা যায় না, তাই \(\infty\)-এর কাছে বন্ধনী সর্বদা গোলাকার: \((-\infty;\ 7]\)। বর্গাকার বন্ধনী কেবল একটি সসীম সীমার জন্য ব্যবহৃত হয় যা উত্তরে অন্তর্ভুক্ত।
-
বন্ধনী এবং বিন্দুর ধরণ গুলিয়ে ফেলা: কঠোর চিহ্ন বর্গাকার বন্ধনী দিয়ে লেখা।
কঠোর চিহ্ন (\(<\), \(>\)) — সীমা উত্তরে অন্তর্ভুক্ত নয়: অক্ষে খালি বিন্দু এবং গোলাকার বন্ধনী। কঠোর নয় এমন (\(\le\), \(\ge\)) — সীমা অন্তর্ভুক্ত: ভরা বিন্দু এবং বর্গাকার বন্ধনী। পরীক্ষা সহজ: মূল অসমতায় প্রান্তিক বিন্দুটি প্রতিস্থাপন করুন এবং দেখুন এটি সঠিক হয়েছে কিনা।
-
চলক সহ রাশি দ্বারা উভয় অংশকে গুণ করা, 'ভগ্নাংশ থেকে মুক্তি পেতে'।
এই জাতীয় রাশির চিহ্ন অজানা, তাই অসমতার চিহ্ন উল্টে দিতে হবে কিনা তা স্পষ্ট নয় — রূপান্তরটি সমতুল্য নয়। পরিবর্তে, সবকিছু এক অংশে স্থানান্তর করুন, একটি ভগ্নাংশে আনুন এবং ব্যবধান পদ্ধতি প্রয়োগ করুন।
-
উত্তরে একটি সংখ্যা লেখা: 'x = 3' একটি সেটের পরিবর্তে।
অসমতার সমাধান হলো মানগুলির একটি সেট। এটি একটি ব্যবধান হিসাবে লিখুন: \(x > 3\), অর্থাৎ \((3;\ +\infty)\)। একটি সংখ্যা উত্তরের একটি উপাদান হতে পারে, কিন্তু উত্তর নিজেই নয়।
-
সিস্টেমের জন্য সংযোগ নেওয়া, এবং সমষ্টির জন্য ছেদ।
সিস্টেমের জন্য (বন্ধনী, 'এবং') — ছেদ, ব্যবধানগুলির সাধারণ অংশ। সমষ্টির জন্য (বর্গাকার বন্ধনী, 'অথবা') — \(\cup\) চিহ্ন দ্বারা সংযোগ। এবং আরও: '\(-2 < x > 5\)' লেখার কোনো মানে নেই — এই ধরণের উত্তর দুটি ব্যবধানের সংযোগ হিসাবে উপস্থাপন করা হয়।
প্রশ্ন এবং উত্তর
অসমতা সমাধান করার অর্থ কী?
অসমতা সমাধান করার অর্থ হলো চলকের সমস্ত মান খুঁজে বের করা যা এটিকে একটি সঠিক সাংখ্যিক অসমতায় পরিণত করে এবং সেগুলিকে একটি সেট হিসাবে লেখা। উত্তরটি একটি ব্যবধান বা ব্যবধানের সংযোগ হবে, একটি পৃথক সংখ্যা নয়।
কী কী ধরণের অসমতা আছে?
চলকের রাশির ধরণ অনুসারে, রৈখিক (\(ax + b > 0\)), দ্বিঘাত (\(ax^2 + bx + c > 0\)), ভগ্নাংশ-মূলদ (চলক হরে), মডিউলাস সহ, অমূলদ এবং সূচকীয় অসমতাগুলি আলাদা করা হয়। আলাদাভাবে অসমতার সিস্টেম এবং সমষ্টিগুলিও বিবেচনা করা হয়। অসমতার চিহ্ন অনুসারে, সেগুলিকে কঠোর (\(<\), \(>\)) এবং কঠোর নয় এমন (\(\le\), \(\ge\)) হিসাবে ভাগ করা হয়।
কখন অসমতার চিহ্ন বিপরীত হয়ে যায়?
দুটি ক্ষেত্রে: যখন উভয় অংশকে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করা হয় এবং যখন বাম এবং ডান অংশগুলি অদলবদল করা হয়। যোগ, বিয়োগ এবং ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করার সময় চিহ্নটি একই থাকে।
কখন বন্ধনী গোলাকার হয়, আর কখন বর্গাকার?
গোলাকার — যদি প্রান্তিক বিন্দুটি উত্তরে অন্তর্ভুক্ত না হয় (কঠোর চিহ্ন, অক্ষে খালি বিন্দু)। বর্গাকার — যদি এটি অন্তর্ভুক্ত হয় (কঠোর নয় এমন চিহ্ন, অক্ষে ভরা বিন্দু)। \(+\infty\) এবং \(-\infty\)-এর কাছে বন্ধনী সর্বদা গোলাকার।
অসমতার সমাধান সমীকরণের সমাধান থেকে কীভাবে আলাদা?
রূপান্তরগুলি প্রায় একই, তবে সমীকরণের উত্তর সাধারণত পৃথক সংখ্যা নিয়ে গঠিত হয়, যখন অসমতার উত্তর সম্পূর্ণ ব্যবধান নিয়ে গঠিত হয়। এছাড়াও, অসমতার ক্ষেত্রে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ এবং ভাগ করার সময় চিহ্ন পরিবর্তনের একটি নিয়ম রয়েছে, যা সমীকরণে নেই।
কোন অসমতাকে ভগ্নাংশ বলা হয় এবং এটি কোথায় আলোচনা করা হয়?
ভগ্নাংশ (ভগ্নাংশ-মূলদ) অসমতা হলো যেখানে চলক হরে থাকে, যেমন \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); হরের কারণে এর একটি অনুমোদিত মানের ক্ষেত্র থাকে এবং এটি সাধারণ ভাগ দ্বারা সমাধান করা যায় না। উদাহরণ সহ ধাপে ধাপে অ্যালগরিদম — একটি পৃথক উপাদানে মূলদ অসমতা এবং ব্যবধান পদ্ধতি।
অসমতা সমাধানের বিষয়টি কোন শ্রেণীতে পড়ানো হয়?
রৈখিক অসমতা এবং সাংখ্যিক ব্যবধানগুলি ৮ম শ্রেণীতে (মার্জলিয়াকের মতে — ৯ম শ্রেণীতে) পড়ানো হয়, দ্বিঘাত এবং ব্যবধান পদ্ধতি সহ ভগ্নাংশ-মূলদ অসমতাগুলি ৮ম-৯ম শ্রেণীতে, এবং অমূলদ ও সূচকীয় অসমতাগুলি উচ্চ বিদ্যালয়ে পড়ানো হয়।
