সূত্রের ধর্ম হল আটটি নিয়ম যা অনুসারে সূচকগুলি গুণ করা হয়, ভাগ করা হয়, সূচকে উন্নীত করা হয় এবং সরল করা হয়। এই পৃষ্ঠায় সমস্ত সূত্র একটি সারণীতে সংগ্রহ করা হয়েছে: একই ভিত্তির সূচকগুলির গুণফল এবং ভাগফল, সূচকের সূচক, গুণফল এবং ভাগফলের সূচক, শূন্য, ঋণাত্মক এবং ভগ্নাংশ সূচক। প্রতিটি ধর্ম কেন কাজ করে তার ব্যাখ্যা সহ আলোচনা করা হয়েছে, তারপরে ধাপে ধাপে উদাহরণ, চিহ্ন সহ সাধারণ ভুলগুলির বিশ্লেষণ এবং একটি ইন্টারেক্টিভ প্রশিক্ষক রয়েছে যেখানে আপনি অবিলম্বে নিজেকে পরীক্ষা করতে পারেন।
সূচক কি: ভিত্তি এবং সূচক
সূচক হল একই গুণনীয়কগুলির গুণের একটি সংক্ষিপ্ত রূপ। \(a^n\) লেখা মানে হল যে সংখ্যা \(a\) নিজেকে \(n\) বার গুণ করা হয়:
এখানে \(a\) হল সূত্রের ভিত্তি (যা গুণ করা হচ্ছে), এবং \(n\) হল সূচকের সূচক (কতবার গুণ করা হচ্ছে)। উদাহরণস্বরূপ, \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\): ভিত্তি হল 3, সূচক হল 4।
দুটি লেখা যা অবিলম্বে মনে রাখা উচিত: \(a^1 = a\) (সংখ্যার একটি 'অনুলিপি') এবং \(a^2\) — 'বর্গ', \(a^3\) — 'ঘন'। নীচের সমস্ত নিয়ম ভিত্তি এবং সূচকগুলির সাথে কাজ করে: কিছু ধর্ম একই ভিত্তি প্রয়োজন, অন্যগুলি একই সূচক প্রয়োজন। এই দুটি পার্থক্য মনে রাখার চেয়ে এই দুটি পরিস্থিতি আলাদা করা বেশি গুরুত্বপূর্ণ।
সূত্রের সমস্ত ধর্ম: সূত্র সারণী
সূত্রের আটটি মূল ধর্ম একটি সারণীতে রাখা সুবিধাজনক। প্রথম পাঁচটি যেকোনো সূচকের জন্য কাজ করে, এবং শেষ তিনটি শূন্য, ঋণাত্মক এবং ভগ্নাংশ সূচকের জন্য সূত্রের ধারণা প্রসারিত করে।
| ধর্ম | সূত্র |
|---|---|
| গুণফল একই ভিত্তি — সূচকগুলি যোগ করুন | am · an = am+n |
| ভাগফল একই ভিত্তি — সূচকগুলি বিয়োগ করুন | am : an = am−n |
| সূচকের সূচক সূচকগুলি গুণ করুন | (am)n = amn |
| গুণফলের সূচক প্রতিটি গুণনীয়ককে সূচকে উন্নীত করুন | (ab)n = anbn |
| ভাগফলের সূচক লব এবং হরকে সূচকে উন্নীত করুন | (a/b)n = an/bn |
| শূন্য সূচক শূন্য ছাড়া যেকোনো সংখ্যা এক হয় | a0 = 1 |
| ঋণাত্মক সূচক ভগ্নাংশে উল্টে দিন | a−n = 1/an |
| ভগ্নাংশ সূচক এটি n-তম মূল | am/n = ⁿ√(am) |
একই ভিত্তির সূচকগুলির গুণ ও ভাগ
সূচকগুলির সাথে ক্রিয়াকলাপের দুটি সবচেয়ে সাধারণ কাজ।
গুণের সময় সূচকগুলি যোগ হয়, ভিত্তি অপরিবর্তিত থাকে:
কেন এমন হয়: প্রথম গুণনীয়কে \(m\) টি একই সংখ্যা, দ্বিতীয়টিতে — \(n\) টি, মোট \(m+n\) টি। উদাহরণস্বরূপ, \(2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 = 256\)।
ভাগের সময় সূচকগুলি বিয়োগ হয় (ভাজ্যের সূচক থেকে ভাজকের সূচক বিয়োগ করা হয়):
উদাহরণস্বরূপ, \(11^9 : 11^6 = 11^{9-6} = 11^3 = 1331\)।
গুরুত্বপূর্ণ: সূচকগুলির যোগ এবং বিয়োগের সময় সূচকগুলি যোগ বা বিয়োগ হয় না। \(2^3 + 2^4\) লেখাটিকে কোনোভাবেই একটি সূচকে পরিণত করা যায় না: \(2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24\), যেখানে \(2^7 = 128\)। ধর্মগুলি কেবল গুণ এবং ভাগের জন্য কাজ করে।
গুণের সময় ভিত্তিও পরিবর্তিত হয় না। \(2^3 \cdot 2^4\) হল \(2^7\), \(4^7\) নয়: আমরা সূচকগুলি যোগ করি, এবং ভিত্তিটি যেমন আছে তেমনই রাখি।
সূচকের সূচক, গুণফলের সূচক এবং ভাগফলের সূচক
সূচকের সূচক — সূচকগুলি গুণ করা হয়:
উদাহরণস্বরূপ, \((4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = 4096\)।
গুণফলের সূচক — প্রতিটি গুণনীয়ককে সূচকে উন্নীত করা হয়:
উদাহরণস্বরূপ, \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\)।
ভাগফলের সূচক — লব এবং হর উভয়কেই সূচকে উন্নীত করা হয়:
উদাহরণস্বরূপ, \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\)।
শেষ দুটি সূত্র প্রায়শই ডান থেকে বামে ব্যবহার করা হয় — তখন তারা ভিন্ন ভিত্তি কিন্তু একই সূচক সহ সূচকগুলিকে গুণ করতে দেয়: \(4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000\)।
আর যদি ভিত্তি এবং সূচক উভয়ই ভিন্ন হয়, তবে রাশিটিকে সাধারণত একই ভিত্তিতে আনা হয়: লক্ষ্য করা যায় যে সংখ্যাগুলি একই সংখ্যার সূচক। উদাহরণস্বরূপ, \(9^4 = (3^2)^4 = 3^8\), এবং \(4^3 \cdot 8^2\) গুণফল \((2^2)^3 \cdot (2^3)^2 = 2^6 \cdot 2^6 = 2^{12}\) তে রূপান্তরিত হয়।
শূন্য এবং ঋণাত্মক সূচক
শূন্য ছাড়া যেকোনো সংখ্যা শূন্য সূচকে এক হয়:
এটি কোনো কল্পনা নয়, বরং ভাগের নিয়মের ফল: \(6^3 : 6^3 = 6^{3-3} = 6^0\), কিন্তু একই ভাগফল \(216 : 216 = 1\) হয়। সুতরাং, \(6^0 = 1\)। \(0^0\) রাশিটি সংজ্ঞায়িত নয়।
ঋণাত্মক সূচক মানে হল এক, যা সূচক দ্বারা বিভক্ত:
উদাহরণস্বরূপ, \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\), এবং \(10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01\)।
একটি সুবিধাজনক ফল: ঋণাত্মক সূচকের ভগ্নাংশ উল্টে যায়, এবং সূচক ধনাত্মক হয়:
সূচকে মাইনাস চিহ্ন সংখ্যাটিকে ঋণাত্মক করে না। \(2^{-3}\) লেখাটি একটি ধনাত্মক ভগ্নাংশ \(\frac{1}{8}\) এর সমান, \(-8\) নয়। সূচকের চিহ্ন 'উল্টে যাওয়ার' জন্য দায়ী, ফলাফলের চিহ্নের জন্য নয়।
মূল বিষয়: সারণীর সমস্ত আটটি ধর্ম শূন্য এবং ঋণাত্মক সূচকের জন্যও কাজ করে — উদাহরণস্বরূপ, \(x^{-2} \cdot x^{-5} = x^{-7}\)।
ভগ্নাংশ সূচক এবং মূল
ভগ্নাংশ সূচক হল মূল লেখার আরেকটি উপায়:
ভগ্নাংশের হর হল মূলের সূচক, লব হল মূলের ভিতরের রাশির সূচক। উদাহরণ: \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\), \(32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2\), \(27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9\)।
সীমাবদ্ধতা: জোড় সূচক \(n\) এর জন্য ভিত্তি অঋণাত্মক হতে হবে (\(a \geqslant 0\)) — ঋণাত্মক সংখ্যার জোড় মূলের মান স্কুল কোর্সে গণনা করা হয় না।
কেন এটি প্রয়োজন: ভগ্নাংশ সূচকগুলির সাথে একই ধর্ম কাজ করে, তাই মূলগুলিকে সূচকে রূপান্তর করে গুণ ও ভাগ করা সুবিধাজনক। উদাহরণস্বরূপ, \(\sqrt{7} \cdot \sqrt[4]{7} = 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} = 7^{\frac{3}{4}}\)।
ঋণাত্মক সংখ্যার সূচক: চিহ্ন কোথায় হারিয়ে যায়
যদি ভিত্তি ঋণাত্মক হয়, তবে ফলাফলের চিহ্ন সূচকের জোড় বা বিজোড় হওয়ার উপর নির্ভর করে:
- জোড় সূচক — ফলাফল ধনাত্মক: \((-3)^2 = 9\);
- বিজোড় সূচক — ফলাফল ঋণাত্মক: \((-3)^3 = -27\)।
বিশেষ করে বন্ধনী সহ এবং বন্ধনী ছাড়া লেখার মধ্যে পার্থক্য করা গুরুত্বপূর্ণ: \((-3)^2 = 9\), কিন্তু \(-3^2 = -9\)। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, কেবল তিনকেই বর্গ করা হয়, এবং মাইনাস চিহ্নটি সামনে থেকে যায়। এটি পরীক্ষায় চিহ্নের সবচেয়ে সাধারণ ভুল।
আলাদাভাবে, মাইনাস এক এর সূচকগুলি মনে রাখা উপকারী: \((-1)^{100} = 1\), এবং \((-1)^{101} = -1\) — জোড় সূচক \(+1\) দেয়, বিজোড় সূচক \(-1\) দেয়।
সূচক সহ রাশিমালার ক্রিয়াকলাপের ক্রম
যখন একটি রাশিমালার মধ্যে সূচক এবং সাধারণ ক্রিয়াকলাপ উভয়ই থাকে, তখন ক্রমটি হল: প্রথমে বন্ধনী, তারপরে সূচক এবং মূল, তারপর গুণ এবং ভাগ, এবং শেষে যোগ এবং বিয়োগ।
উদাহরণস্বরূপ, \(5 + 2 \cdot 3^2 = 5 + 2 \cdot 9 = 5 + 18 = 23\): প্রথমে বর্গ করা হয়, এবং তারপরে গুণ ও যোগ করা হয়।
উদাহরণ: কিভাবে সূত্রের ধর্ম প্রয়োগ করতে হয়
উদাহরণ ১. একই রাশিমালার মধ্যে গুণ ও ভাগ
কাজ। \(x^7 \cdot x^4 : x^9\) রাশিটিকে সরল করুন।
ধাপ ১। গুণ: ভিত্তি একই, সূচকগুলি যোগ করুন — \(x^7 \cdot x^4 = x^{7+4} = x^{11}\)।
ধাপ ২। ভাগ: সূচকগুলি বিয়োগ করুন — \(x^{11} : x^9 = x^{11-9} = x^2\)।
উত্তর। \(x^2\) (যখন \(x \neq 0\))।
উদাহরণ ২. সহগ সহ গুণফলের সূচক
কাজ। \((3a^4)^3\) কে সূচকে উন্নীত করুন।
ধাপ ১। প্রতিটি গুণনীয়ককে সূচকে উন্নীত করা হয়: \((3a^4)^3 = 3^3 \cdot (a^4)^3\)।
ধাপ ২। আলাদাভাবে গণনা করুন: \(3^3 = 27\), এবং সূচকের সূচকের সূচকগুলি গুণ করা হয় — \((a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}\)।
উত্তর। \(27a^{12}\)। এখানে সাধারণ ভুল হল 3 কে ঘন করতে ভুলে যাওয়া এবং \(3a^{12}\) লেখা।
উদাহরণ ৩. গুণফলে ঋণাত্মক সূচক
কাজ। \(8^{-2} \cdot 8^{5}\) গণনা করুন।
ধাপ ১। ভিত্তি একই — সাধারণ নিয়ম অনুসারে সূচকগুলি যোগ করুন, মাইনাস চিহ্নটি কেবল যোগে অংশ নেয়: \(8^{-2+5} = 8^{3}\)।
ধাপ ২। \(8^3 = 512\)।
উত্তর। \(512\)। লক্ষ্য করুন: \(8^{-2}\) কে ভগ্নাংশে রূপান্তর করার প্রয়োজন ছিল না — সূত্রের ধর্মগুলি সরাসরি ঋণাত্মক সূচকগুলির সাথে কাজ করে।
উদাহরণ ৪. ঋণাত্মক সূচকে ভগ্নাংশ
কাজ। \(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\) গণনা করুন।
ধাপ ১। ঋণাত্মক সূচক ভগ্নাংশটিকে উল্টে দেয়: \(\left(\frac{2}{5} ight)^{-2} = \left(\frac{5}{2} ight)^{2}\)।
ধাপ ২। লব এবং হরকে বর্গ করুন: \(\left(\frac{5}{2} ight)^{2} = \frac{25}{4}\)।
উত্তর। \(\frac{25}{4} = 6{,}25\)।
উদাহরণ ৫. ভগ্নাংশ সূচক
কাজ। \(81^{\frac{3}{4}}\) গণনা করুন।
ধাপ ১। সূচকের হর হল মূলের সূচক: \(81^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{81}\right)^{3}\)।
ধাপ ২। \(\sqrt[4]{81} = 3\), কারণ \(3^4 = 81\)।
ধাপ ৩। এখন ঘন করতে হবে: \(3^3 = 27\)।
উত্তর। \(27\)। মূল বের করা প্রথমে সুবিধাজনক — সংখ্যাগুলি \(81^3\) গণনা করার চেয়ে ছোট হয়।
উদাহরণ ৬. সম্মিলিত রাশি
কাজ। \(\dfrac{(3^2)^3}{3^4}\) গণনা করুন।
ধাপ ১। লবের সূচকের সূচক: \((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6\)।
ধাপ ২। একই ভিত্তির সূচকগুলির ভাগ: \(3^6 : 3^4 = 3^{6-4} = 3^2\)।
ধাপ ৩। \(3^2 = 9\)।
উত্তর। \(9\)। সাধারণ নিয়ম: প্রথমে বন্ধনী এবং সূচকের সূচকগুলি সরল করুন, তারপরে গুণ এবং ভাগের কাজ করুন।
সূচকগুলির সাথে ক্রিয়াকলাপের সময় সাধারণ ভুল
-
সূচকগুলির যোগফলের সময় সূচকগুলি যোগ করা: $2^2 + 2^2 = 2^4$ লেখা।
সূচকগুলি কেবল গুণের সময় যোগ হয়। এখানে \(2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\), এবং \(2^4 = 16\) — সমীকরণটি ভুল। সূচকগুলির যোগফলকে কোনোভাবেই একটি সূচকে পরিণত করা যায় না, এটিকে কেবল বন্ধনীর বাইরে নেওয়া যেতে পারে: \(2^2 + 2^2 = 2 \cdot 2^2 = 2^3\)।
-
ভিত্তিগুলিও গুণ করা: $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$।
সূচকগুলির গুণ করার সময় ভিত্তি অপরিবর্তিত থাকে, কেবল সূচক পরিবর্তিত হয়: \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\)।
-
ধরে নেওয়া যে $(a+b)^n = a^n + b^n$, যোগকে গুণফলের সাথে গুলিয়ে ফেলা।
সূচক কেবল গুণফলের জন্য 'বিতরণ' করা যায়: \((2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\) — সঠিক। কিন্তু \((2+3)^2 = 5^2 = 25\), যেখানে \(2^2 + 3^2 = 13\)। যোগের জন্য সংক্ষিপ্ত গুণনের সূত্র প্রয়োজন, সূত্রের ধর্ম নয়।
-
ধরে নেওয়া যে $a^0 = 0$।
বিপরীতভাবে: শূন্য ছাড়া যেকোনো সংখ্যা শূন্য সূচকে এক হয় — \(9^0 = 1\)। শূন্য কেবল শূন্য ভিত্তির ফলাফল দেয় (\(0^n = 0\) যখন \(n > 0\)), এবং \(0^0\) রাশিটি সংজ্ঞায়িত নয়।
-
বিপরীত ক্রমে সূচকগুলি বিয়োগ করা: $3^7 : 3^2 = 3^{-5}$।
ভাজ্যের সূচক থেকে ভাজকের সূচক বিয়োগ করতে হবে, উল্টোটা নয়: \(3^7 : 3^2 = 3^{7-2} = 3^5 = 243\)। এখানে ক্রম সাধারণ বিয়োগের মতোই গুরুত্বপূর্ণ।
-
ধরে নেওয়া যে ঋণাত্মক সূচক সংখ্যাটিকে ঋণাত্মক করে তোলে: $2^{-2} = -4$।
ঋণাত্মক সূচক মানে ভগ্নাংশ, মাইনাস নয়: \(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\)। ফলাফল ধনাত্মক থাকে।
-
ঋণাত্মক ভিত্তির চিহ্ন হারিয়ে ফেলা: $(-4)^2 = -16$ লেখা।
জোড় সূচকের সময় মাইনাস 'চলে যায়': \((-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16\)। আর বন্ধনী ছাড়া লেখা অন্য কিছু বোঝায়: \(-4^2 = -(4^2) = -16\)। বন্ধনী সবকিছু ঠিক করে দেয়।
সূত্রের ধর্ম সম্পর্কে প্রশ্ন ও উত্তর
গুণের সময় সূচকগুলি কি যোগ হয় নাকি গুণ হয়?
একই ভিত্তির সূচকগুলির গুণের সময় সূচকগুলি যোগ হয়, এবং ভিত্তি অপরিবর্তিত থাকে: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)। উদাহরণস্বরূপ, \(6^2 \cdot 6^5 = 6^{7}\)। সূচকগুলি অন্য ক্ষেত্রে গুণ করা হয় — যখন সূচকের সূচকে উন্নীত করা হয়: \((a^m)^n = a^{mn}\)।
ভাগের সময় সূচকগুলি কি যোগ হয় নাকি বিয়োগ হয়?
বিয়োগ হয়: ভাজ্যের সূচক থেকে ভাজকের সূচক বিয়োগ করা হয়, \(a^m : a^n = a^{m-n}\) যখন \(a \neq 0\)। উদাহরণস্বরূপ, \(10^9 : 10^4 = 10^{5}\)।
শূন্য সূচকে সংখ্যার মান কত?
এক হয়, যদি ভিত্তি শূন্য না হয়: \(a^0 = 1\)। এটি ভাগের নিয়ম থেকে আসে — \(a^n : a^n\) ভাগফল \(a^0\) এবং এক উভয়ই হয়। \(0^0\) রাশিটি স্কুল কোর্সে সংজ্ঞায়িত নয়।
কিভাবে সূচক থেকে ঋণাত্মক চিহ্ন সরানো যায়?
রাশিটিকে ভগ্নাংশে উল্টে দিন: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)। উদাহরণস্বরূপ, \(x^{-5} = \frac{1}{x^5}\)। যদি ভিত্তি নিজেই একটি ভগ্নাংশ হয়, তবে এটি কেবল উল্টে যায়, এবং সূচক ধনাত্মক হয়ে যায়।
সূত্রের ভিত্তি এবং সূচক কি?
\(a^n\) লেখায়, \(a\) সংখ্যাটি হল সূত্রের ভিত্তি, অর্থাৎ যে গুণনীয়কটি পুনরাবৃত্তি হয়; \(n\) হল সূচকের সূচক, এটি বলে দেয় কতগুলি এমন গুণনীয়ক আছে। \(5^4\) লেখায়, ভিত্তি হল 5, সূচক হল 4, এবং মান হল 625।
ভিন্ন ভিত্তি সহ সূচকগুলি কি গুণ করা যায়?
একটি সূচকে পরিণত করা যায় যদি সূচকগুলি মিলে যায়: \(a^n \cdot b^n = (ab)^n\)। উদাহরণস্বরূপ, \(2^4 \cdot 5^4 = 10^4 = 10\,000\)। যদি ভিত্তি এবং সূচক উভয়ই ভিন্ন হয়, তবে রাশিটিকে প্রথমে একটি সাধারণ ভিত্তিতে আনা হয় (যখন সম্ভব), অন্যথায় এটি যেমন আছে তেমনই রাখা হয়।
মোট কয়টি সূত্রের ধর্ম আছে?
মূল আটটি: একই ভিত্তির সূচকগুলির গুণফল এবং ভাগফল, সূচকের সূচক, গুণফলের সূচক, ভাগফলের সূচক, শূন্য সূচক, ঋণাত্মক সূচক এবং ভগ্নাংশ সূচক। বিভিন্ন পাঠ্যপুস্তকে এগুলি বিভিন্নভাবে গোষ্ঠীভুক্ত করা হয়, তাই 'পাঁচটি ধর্ম' বা 'দশটি ধর্ম' এর মতো সূত্র পাওয়া যায়, তবে বিষয়বস্তু একই — সম্পূর্ণ সারসংক্ষেপ উপরের সারণীতে রয়েছে।
সূচকের ভগ্নাংশ সূচক কি বোঝায়?
মূল। ভগ্নাংশের হর হল মূলের সূচক, লব হল মূলের ভিতরের রাশির সূচক: \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\)। উদাহরণস্বরূপ, \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\)। জোড় হর এর জন্য ভিত্তি অঋণাত্মক হতে হবে।
কোন শ্রেণীতে সূত্রের ধর্ম শেখানো হয়?
স্বাভাবিক সূচক সহ সূত্র এবং এর মূল ধর্মগুলি 7ম শ্রেণীর বীজগণিতে শেখানো হয়, ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সূচক সহ সূত্র — 8ম শ্রেণীতে, এবং মূলদ (ভগ্নাংশ) সূচক সহ সূত্র এবং মূলগুলি — 9ম-11ম শ্রেণীতে। এই ধর্মগুলি OGE এবং ЕГЭ তে রাশি সরল করার সময় প্রয়োজন হয়।
