সংক্ষিপ্ত গুণনের সূত্র (ФСУ) হলো বীজগণিতের কিছু তৈরি সূত্র, যা দীর্ঘ গুণ না করেই ব্র্যাকেট খুলতে বা রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে সাহায্য করে। এই পেজে সাতটি সূত্রের টেবিল দেওয়া হয়েছে: বর্গের সমষ্টি ও অন্তর, বর্গের অন্তরফল, ঘনের সমষ্টি ও অন্তর। প্রতিটি সূত্র প্রমাণসহ উদাহরণ দিয়ে বোঝানো হয়েছে এবং শেষে একটি ইন্টারঅ্যাক্টিভ কুইজ রয়েছে যেখানে আপনি সরাসরি অনুশীলন করতে পারবেন।
সংক্ষিপ্ত গুণনের সূত্র কী
সংক্ষিপ্ত গুণনের সূত্র হলো এমন কিছু অভেদ যা বহুপদী রাশিকে একবার গুণ করে মনে রাখলে বারবার ব্র্যাকেট খোলার প্রয়োজন হয় না: শুধু 'প্যাটার্ন' চিনে সংখ্যা বা অক্ষর বসিয়ে দিলেই হয়।
সপ্তম শ্রেণির বীজগণিতে এই সূত্রগুলো দুইভাবে কাজ করে:
- বাম থেকে ডানে — দ্রুত ব্র্যাকেট খুলতে এবং কোনো রাশিকে বর্গ বা ঘন করতে;
- ডান থেকে বামে — কোনো বহুপদী রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে (ভগ্নাংশ ছোট করতে বা সমীকরণ সমাধানে এটি প্রয়োজন)।
মোট সাতটি সূত্র মনে রাখতে হয়। নিচে টেবিলটি দেওয়া হলো, এরপর প্রতিটি সূত্রের বিস্তারিত আলোচনা রয়েছে।
সংক্ষিপ্ত গুণনের সূত্রের টেবিল
সংক্ষিপ্ত গুণনের সাতটি সূত্র এক টেবিলে দেখে নেওয়া সুবিধাজনক। এখানে \(a\) এবং \(b\) যেকোনো রাশি হতে পারে: সংখ্যা, চলক বা \(2x\)-এর মতো কোনো একপদী রাশি।
| সূত্র | প্রকাশ |
|---|---|
| বর্গের সমষ্টি | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| বর্গের অন্তর | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| বর্গের অন্তরফল | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| ঘনের সমষ্টি | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| ঘনের অন্তর | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| ঘনের সমষ্টি | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| ঘনের অন্তর | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
বর্গের সমষ্টি ও বর্গের অন্তর
বর্গের সমষ্টি পাওয়া যায় \((a+b)\)-কে নিজের সাথে গুণ করলে:
কথায়: বর্গের সমষ্টি সমান প্রথম রাশির বর্গ যোগ প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির গুণফলের দ্বিগুণ যোগ দ্বিতীয় রাশির বর্গ। একইভাবে বর্গের অন্তর বের করা যায় — মাঝের পদের চিহ্নটি বিয়োগ হয়ে যায়:
সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ হলো মাঝের পদ \(2ab\) বাদ না দেওয়া: এর কারণেই \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\) হয়। বর্গের সমষ্টি ও বর্গের অন্তরের মধ্যে শুধু \(2ab\)-এর আগের চিহ্নটি আলাদা, কিন্তু প্রান্তের পদ \(a^2\) এবং \(b^2\) সবসময় যোগ চিহ্নযুক্ত থাকে।
উদাহরণ। \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
বর্গের সমষ্টির একটি জ্যামিতিক অর্থও আছে: এটি \((a+b)\) বাহুবিশিষ্ট একটি বড় বর্গের ক্ষেত্রফল।
বর্গের অন্তরফল
একই রাশির সমষ্টি ও অন্তর গুণ করলে মাঝের পদগুলো কাটাকাটি হয়ে যায়:
এভাবেই পাওয়া যায় বর্গের অন্তরফলের সূত্র: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)। এটি উৎপাদকে বিশ্লেষণের জন্য সবচেয়ে কার্যকর সূত্র: দুটি বর্গের অন্তর দেখলেই সাথে সাথে গুণফল আকারে লিখে ফেলুন।
উদাহরণ (ব্র্যাকেট খোলা)। \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
উদাহরণ (উৎপাদকে বিশ্লেষণ)। \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
মনে রাখবেন: বর্গের সমষ্টি \(a^2 + b^2\) এই সূত্র দিয়ে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় না — শুধু অন্তরফলের ক্ষেত্রেই এটি কাজ করে।
ঘনের সমষ্টি, ঘনের অন্তর, ঘনের সমষ্টি ও অন্তর
ঘনের সমষ্টি ও ঘনের অন্তরে চারটি পদ থাকে:
ঘনের অন্তরে চিহ্নগুলো পর্যায়ক্রমে বদলায়: \(+\,-\,+\,-\)। আরেকটি সাধারণ ভুল: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — শুধু পাওয়ার বসিয়ে দিলেই হবে না, মাঝের পদ \(3a^2b\) ও \(3ab^2\) বাদ দেওয়া যাবে না।
উদাহরণ। \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
ঘনের সমষ্টি ও অন্তর আলাদাভাবে কাজ করে — এগুলো রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে:
দ্বিতীয় গুণকটিকে সমষ্টি বা অন্তরের অসম্পূর্ণ বর্গ বলা হয়। এর মাঝের পদের চিহ্নটি প্রথম ব্র্যাকেটের চিহ্নের বিপরীত হয়: ঘনের সমষ্টির ক্ষেত্রে \(-ab\), ঘনের অন্তরের ক্ষেত্রে \(+ab\)।
উদাহরণ। \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
সংক্ষিপ্ত গুণনের সূত্রের প্রয়োগের উদাহরণ
উদাহরণ ১. ব্র্যাকেট খোলা: বর্গের সমষ্টি
প্রশ্ন। \((2x+5)^2\)-এর বর্গ নির্ণয় করুন।
ধাপ ১। বর্গের সমষ্টির সূত্রটি মনে করি: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), যেখানে \(a = 2x\), \(b = 5\)।
ধাপ ২। প্রতিটি পদের মান বের করি:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
উত্তর। \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
উদাহরণ ২. বর্গের অন্তরফলের সূত্রে রূপান্তর
প্রশ্ন। \((3x-4)(3x+4)\)-এর গুণফল নির্ণয় করুন।
ধাপ ১। এখানে একই রাশির অন্তর ও সমষ্টির গুণফল দেওয়া আছে — এটি বর্গের অন্তরফলের সূত্র \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), যেখানে \(a = 3x\), \(b = 4\)।
ধাপ ২। প্রতিটি রাশির বর্গ করি: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
উত্তর। \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
উদাহরণ ৩. উৎপাদকে বিশ্লেষণ
প্রশ্ন। \(x^2 - 36\) এবং \(x^3 + 27\)-কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।
বর্গের অন্তরফল। \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
ঘনের সমষ্টি। লক্ষ্য করি যে \(27 = 3^3\), তাই \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\)। সূত্র \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) প্রয়োগ করি, যেখানে \(a = x\), \(b = 3\):
অসম্পূর্ণ বর্গের \(-3x\) চিহ্নের দিকে খেয়াল রাখুন — ঘনের সমষ্টির ক্ষেত্রে মাঝের পদের চিহ্ন বিয়োগ হয়।
উদাহরণ ৪. ঘনের সমষ্টি
প্রশ্ন। \((x+2)^3\)-এর ব্র্যাকেট খুলুন।
ধাপ ১। ঘনের সমষ্টির সূত্র: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), যেখানে \(a = x\), \(b = 2\)।
ধাপ ২। পর্যায়ক্রমে পদগুলো হিসাব করি:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
উত্তর। \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
সংক্ষিপ্ত গুণনের সূত্র প্রয়োগে সাধারণ ভুল
-
দ্বিগুণ গুণফল ভুলে যাওয়া: অনেকে $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ লিখে ফেলে।
বর্গের সমষ্টি ও অন্তরে সবসময় একটি মাঝের পদ \(2ab\) থাকে: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)। এটি যাচাই করা সহজ — \((a+b)(a+b)\) গুণ করে দেখুন, মাঝের পদটি এমনিতেই চলে আসবে।
-
বর্গের অন্তর ও বর্গের অন্তরফলের চিহ্নে বিভ্রান্তি।
বর্গের অন্তরে শুধু মাঝের পদের আগে বিয়োগ চিহ্ন থাকে: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (প্রান্তের পদগুলো যোগ চিহ্নযুক্ত)। আর বর্গের অন্তরফলে বিয়োগ চিহ্নটি থাকে দুটি বর্গের মাঝখানে: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)। এগুলো আলাদা সূত্র।
-
ঘনের পাওয়ার 'বন্টন' করে দেওয়া: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$।
এটি করা যাবে না। ঘনের সমষ্টিতে চারটি পদ থাকে: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)। সূত্র \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) সম্পূর্ণ আলাদা (ঘনের সমষ্টি), এটি উৎপাদকে বিশ্লেষণের জন্য।
-
অসম্পূর্ণ বর্গে দ্বিগুণ গুণফল $2ab$ বসিয়ে দেওয়া।
অসম্পূর্ণ বর্গ হলো \(a^2 \pm ab + b^2\), এখানে \(ab\)-এর আগে কোনো ২ থাকে না। চিহ্নটি প্রথম ব্র্যাকেটের চিহ্নের বিপরীত হয়: ঘনের সমষ্টি \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), ঘনের অন্তর \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\)।
-
বর্গের সমষ্টি $a^2 + b^2$-কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার চেষ্টা করা।
শুধু বর্গের অন্তরফল \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়। স্কুলের পাঠ্যক্রমে বর্গের সমষ্টি \(a^2 + b^2\) উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা হয় না।
প্রশ্ন ও উত্তর
মোট কয়টি সংক্ষিপ্ত গুণনের সূত্র আছে?
সাতটি: বর্গের সমষ্টি, বর্গের অন্তর, বর্গের অন্তরফল, ঘনের সমষ্টি, ঘনের অন্তর, ঘনের সমষ্টি ও ঘনের অন্তর। উপরের টেবিলে সবগুলো দেওয়া আছে।
বর্গের সমষ্টির মান কত?
প্রথম রাশির বর্গ যোগ প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির গুণফলের দ্বিগুণ যোগ দ্বিতীয় রাশির বর্গ: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)। বর্গের অন্তরের ক্ষেত্রে মাঝের পদের চিহ্ন বিয়োগ হয়: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)।
বর্গের অন্তরফল কীভাবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব?
সূত্র \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) ব্যবহার করে। যেমন, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\)। শুধু খেয়াল করুন যে দুটি পদই পূর্ণবর্গ কি না এবং তাদের মাঝে বিয়োগ চিহ্ন আছে কি না।
কেন $(a+b)^2$ এবং $a^2 + b^2$ সমান নয়?
কারণ \((a+b)(a+b)\) গুণ করলে আরও দুটি সমান পদ \(ab\) পাওয়া যায়, যা মাঝের পদ \(2ab\) তৈরি করে। এটি বাদ দেওয়া যাবে না: সঠিক সূত্র \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)।
ঘনের সমষ্টি এবং ঘনের সমষ্টির সূত্রের মধ্যে পার্থক্য কী?
ঘনের সমষ্টি \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) হলো ব্র্যাকেট খোলার নিয়ম। ঘনের সমষ্টির সূত্র \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) হলো উল্টোটা, অর্থাৎ উৎপাদকে বিশ্লেষণের নিয়ম। এগুলো আলাদা সূত্র, গুলিয়ে ফেলবেন না।
কোন ক্লাসে সংক্ষিপ্ত গুণনের সূত্র শেখানো হয়?
সাধারণত সপ্তম শ্রেণির বীজগণিতে: প্রথমে বর্গের সমষ্টি ও অন্তর, বর্গের অন্তরফল, তারপর ঘনের সূত্রগুলো। পরবর্তীতে রাশি সরলীকরণ, ভগ্নাংশ ছোট করা এবং সমীকরণ সমাধানে এগুলো ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।
