মূলদ অসমতা হল \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) আকারের অসমতা, যেখানে \(P(x)\) এবং \(Q(x)\) হল বহুপদী, এবং \(>\) চিহ্নের পরিবর্তে \(<\), \(\ge\) বা \(\le\) থাকতে পারে। এই ধরনের অসমতা ব্যবধি পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়: সবকিছু বাম দিকে সরানো হয়, উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা হয়, সংখ্যারেখায় লব ও হরের শূন্য এবং বাদ দেওয়া বিন্দু চিহ্নিত করা হয় এবং চিহ্ন বসানো হয়। নিচে সংজ্ঞা, সম্পূর্ণ অ্যালগরিদম, বাদ দেওয়া বিন্দুর নিয়ম, মূলের গুণিতক, সমাধান করা উদাহরণ এবং একটি অনুশীলন রয়েছে।
মূলদ অসমতা কি?
মূলদ অসমতা হল এমন একটি অসমতা যার উভয় পক্ষ মূলদ রাশি দ্বারা লেখা হয়, অর্থাৎ বহুপদী এবং বহুপদীর ভগ্নাংশ। সবকিছু এক দিকে সরানোর পর এটি সর্বদা এই আকারে আসে
যেখানে \(P(x)\) এবং \(Q(x)\) হল বহুপদী, এবং \(\vee\) চিহ্নের জায়গায় \(<\), \(>\), \(\le\), বা \(\ge\) এর মধ্যে একটি থাকে। ডানদিকে অবশ্যই শূন্য থাকতে হবে - এটি একটি শর্ত, যা ছাড়া ব্যবধি পদ্ধতি কাজ করে না।
মূলদ অসমতা দুই প্রকার। যদি চলক শুধুমাত্র লবে দেখা যায়, তবে অসমতাটিকে পূর্ণ মূলদ বলা হয়: ভাগ করার কিছু নেই, এবং যেকোনো \(x\) মান উপযুক্ত। যদি চলক হরে থাকে, তবে অসমতাটি ভগ্নাংশ মূলদ (একে ভগ্নাংশ অসমতা বা ভগ্নাংশ সহ অসমতাও বলা হয়) - এবং তখন অবিলম্বে একটি সীমাবদ্ধতা দেখা দেয় \(Q(x) \neq 0\)।
কেন উভয় পক্ষকে হর দিয়ে গুণ করা যাবে না
ভগ্নাংশ সহ অসমতা সমাধানের সময় সবচেয়ে বড় প্রলোভন হল উভয় পক্ষকে হর দিয়ে গুণ করে 'হর থেকে মুক্তি পাওয়া'। সমীকরণের ক্ষেত্রে এটি করা যেতে পারে, অসমতার ক্ষেত্রে নয়। কারণটি সহজ: একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ করার সময় অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়, এবং \(Q(x)\) রাশির চিহ্ন আগে থেকে জানা যায় না - এটি \(x\) এর উপর নির্ভর করে।
\(\frac{5}{x-3} < 1\) অসমতাটি দেখি। উভয় পক্ষকে \(x - 3\) দিয়ে গুণ করি, যেন এটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা: \(5 < x - 3\), অর্থাৎ \(x > 8\) হবে। \(x = 0\) বসিয়ে উত্তর পরীক্ষা করি: \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) - অসমতাটি সত্য, তার মানে শূন্যও একটি সমাধান, কিন্তু এটি \(x > 8\) উত্তরে অন্তর্ভুক্ত হয়নি। উত্তর হারিয়ে গেছে।
সঠিক পথ হল সবকিছু বাম দিকে সরানো এবং একটি ভগ্নাংশে আনা:
শেষ ধাপে আমরা উভয় পক্ষকে \(-1\) দিয়ে গুণ করেছি এবং চিহ্ন উল্টে দিয়েছি - এটি বৈধ, কারণ \(-1\) সর্বদা ঋণাত্মক। এরপর ব্যবধি পদ্ধতি কাজ করে, এবং উত্তর পাওয়া যায় \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) - এতে হারিয়ে যাওয়া শূন্যটিও অন্তর্ভুক্ত আছে।
সবচেয়ে সহজভাবে মনে রাখার উপায়: চলক সহ রাশি দিয়ে উভয় পক্ষকে গুণ করা যাবে না, পদ সরানো যাবে সবসময়। সরানো অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন করে না।
ব্যবধি পদ্ধতি: ধাপে ধাপে সমাধানের অ্যালগরিদম
ব্যবধি পদ্ধতি একটি বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করে: একটি মূলদ রাশির দুটি শূন্যের মধ্যে এর চিহ্ন স্থির থাকে। এর মানে হল যে সমস্ত বিন্দুতে লব বা হর শূন্য হয় তা খুঁজে বের করা, সংখ্যারেখাকে তাদের দ্বারা ভাগ করা এবং প্রতিটি অংশে চিহ্ন নির্ধারণ করা - একটি পরীক্ষামূলক বিন্দু বা মূলের গুণিতক ব্যবহার করে।
বাদ দেওয়া এবং ভরা বিন্দু: ODZ এবং অসমতার চিহ্ন
একটি বন্ধনীতে একটি ভুল আপনার সঠিক সমাধানকে ভুল উত্তরে পরিণত করতে পারে, তাই বিন্দুগুলির নিয়ম আলাদাভাবে শেখা উচিত। কেবল দুটি যুক্তি কাজ করে।
প্রথমটি - অনুমোদিত মানের ক্ষেত্র (ODZ)। হরের শূন্য সর্বদা বাদ দেওয়া হয়, অসমতার চিহ্ন যাই হোক না কেন। এই বিন্দুতে ভগ্নাংশটি কেবল বিদ্যমান নয়: শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না, তাই সংখ্যাটি সমাধান হতে পারে না, এমনকি যদি চিহ্নটি কঠোর না হয়।
দ্বিতীয়টি - কঠোর চিহ্ন নাকি কঠোর নয়। লবের শূন্য ভগ্নাংশকে শূন্য করে তোলে। কঠোর চিহ্ন (\(\le\) বা \(\ge\)) সহ, শূন্যের সমান হওয়া আমাদের জন্য উপযুক্ত, তাই বিন্দুটি ভরা হয় এবং বর্গাকার বন্ধনী দিয়ে উত্তরে অন্তর্ভুক্ত করা হয়। কঠোর চিহ্ন (\(<\) বা \(>\)) সহ, শূন্য উপযুক্ত নয়, এবং বিন্দুটি বাদ দেওয়া হয়।
উদাহরণস্বরূপ, \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) অসমতার জন্য, \(x = 6\) বিন্দুটি ভরা হয় (লবের শূন্য, কঠোর চিহ্ন নয়), এবং \(x = -1\) বিন্দুটি বাদ দেওয়া হয় (হরের শূন্য)। উত্তর: \(x \in (-1; 6]\)।
| কোন বিন্দু | কিভাবে চিহ্নিত করা হয় |
|---|---|
| হরের শূন্য, Q(x) = 0 | বাদ দেওয়া সর্বদা, যেকোনো চিহ্ন সহ - ODZ তে বিন্দু নেই |
| লবের শূন্য, কঠোর চিহ্ন < বা > | বাদ দেওয়া ভগ্নাংশ শূন্য, কিন্তু কঠোরভাবে ভিন্ন চিহ্ন প্রয়োজন |
| লবের শূন্য, কঠোর নয় এমন চিহ্ন ≤ বা ≥ | ভরা শূন্যের সমান হওয়া উপযুক্ত, বিন্দুটি উত্তরে অন্তর্ভুক্ত হয় |
মূলের গুণিতক: চিহ্ন কোথায় পরিবর্তিত হয় এবং কোথায় হয় না
ব্যবধিগুলিতে চিহ্নগুলি কেবল পর্যায়ক্রমে পরিবর্তিত হবে এমন কোন কথা নেই - এটি এই বিষয়ের সবচেয়ে সাধারণ ভুল ধারণা। পর্যায়ক্রম কেবল তখনই কাজ করে যখন সমস্ত বন্ধনী প্রথম ঘাতে থাকে। নিয়মটি মূলের গুণিতক এর মাধ্যমে আরও নির্ভুলভাবে বলা হয় - সংশ্লিষ্ট বন্ধনীর ঘাত।
বিজোড় গুণিতকের মূলের উপর দিয়ে যাওয়ার সময় (ঘাত 1, 3, 5) রাশির চিহ্ন পরিবর্তিত হয়। জোড় গুণিতকের মূলের উপর দিয়ে যাওয়ার সময় (ঘাত 2, 4) চিহ্ন পরিবর্তিত হয় না: জোড় ঘাতের বন্ধনী ঋণাত্মক নয় এবং রাশির চিহ্নকে নষ্ট করে না। লব এবং হর উভয়ের জন্য গুণিতক একই ভাবে গণনা করা হয়।
\((x-9)^2(x+3) > 0\) নিই। মূলগুলি হল: \(x = 9\) গুণিতক 2 এবং \(x = -3\) গুণিতক 1। নয় এর ডানদিকে রাশিটি ধনাত্মক। 9 এর উপর দিয়ে যাই - গুণিতক জোড়, চিহ্ন একই থাকে, \((-3; 9)\) ব্যবধিতেও যোগ। -3 এর উপর দিয়ে যাই - গুণিতক বিজোড়, চিহ্ন বিয়োগে পরিবর্তিত হয়। কঠোর অসমতার উত্তর: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), বিন্দু 9 বাদ দেওয়া হয়েছে, কারণ সেখানে রাশিটি শূন্য হয়। কিন্তু কঠোর নয় এমন \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) এর উত্তর ভিন্ন: \(x \in [-3; +\infty)\) - নয় বিন্দুটি ভরা হয়েছে এবং দুটি ব্যবধিকে একটিতে 'জুড়ে দিয়েছে'।
| মূলের গুণিতক | চিহ্ন পরিবর্তনের সময় |
|---|---|
| বিজোড়: (x − a), (x − a)3 | পরিবর্তিত হয় |
| জোড়: (x − a)2, (x − a)4 | পরিবর্তিত হয় না |
সংখ্যারেখায় উদাহরণ: চিহ্ন বসানো
সবকিছু একসাথে করি \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\) অসমতার উপর। লবের শূন্য: \(x = -7\)। হরের শূন্য: \(x = 2\) এবং \(x = 5\), যা ODZ নির্ধারণ করে। তিনটি বন্ধনীই প্রথম ঘাতে আছে, তাই চিহ্নগুলি পর্যায়ক্রমে পরিবর্তিত হবে। পরীক্ষামূলক বিন্দু \(x = 10\) সবচেয়ে ডানদিকের ব্যবধিতে \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) দেয় - যোগ দিয়ে শুরু করি এবং প্রতিটি বিন্দুতে চিহ্ন পরিবর্তন করে বাম দিকে যাই।
মূলদ অসমতা সমাধানের উদাহরণ
উদাহরণ ১. সহজ ভগ্নাংশ অসমতা
সমাধান করুন \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\)।
ধাপ ১। ডানদিকে ইতিমধ্যে শূন্য আছে, ভগ্নাংশটি ইতিমধ্যে একটি - সরানোর বা আনার কিছু নেই।
ধাপ ২। ODZ। \(x + 5 \neq 0\), অর্থাৎ \(x \neq -5\)।
ধাপ ৩। শূন্য। লব শূন্য হয় যখন \(x = 3\), হর - যখন \(x = -5\)।
ধাপ ৪। অক্ষরে বিন্দু। \(x = 3\) ভরা হয় (লবের শূন্য, কঠোর নয় এমন চিহ্ন), \(x = -5\) বাদ দেওয়া হয় (হরের শূন্য)।
ধাপ ৫। চিহ্ন। পরীক্ষামূলক বিন্দু \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) - ডানদিকে যোগ। উভয় বন্ধনী প্রথম ঘাতে আছে, তাই চিহ্নগুলি পর্যায়ক্রমে পরিবর্তিত হবে: \((-5; 3)\) এ বিয়োগ, \((-\infty; -5)\) এ যোগ। পরীক্ষা করি: \(x = -6\) এর জন্য আমরা পাই \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) - মিলে যাচ্ছে।
ধাপ ৬। উত্তর। 'যোগ বা শূন্য' চিহ্ন প্রয়োজন: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\)।
উদাহরণ ২. ডানদিকে শূন্য নয় - সরান
সমাধান করুন \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\)।
ধাপ ১। এক বাম দিকে সরান। \(x - 4\) দিয়ে গুণ করা যাবে না, এই রাশির চিহ্ন অজানা:
ধাপ ২। একটি ভগ্নাংশে আনুন।
ধাপ ৩। ODZ। \(x \neq 4\)।
ধাপ ৪। বিন্দু। \(x = -5\) - লবের শূন্য, চিহ্ন কঠোর নয়, ভরা হয়। \(x = 4\) - হরের শূন্য, বাদ দেওয়া হয়।
ধাপ ৫। চিহ্ন। \(x = 5\) এর জন্য ভগ্নাংশটি \(\frac{10}{1} > 0\) হয়। সুতরাং \((4; +\infty)\) এ যোগ, \((-5; 4)\) এ বিয়োগ, \((-\infty; -5)\) এ যোগ।
ধাপ ৬। উত্তর। \(x \in [-5; 4)\)। প্রান্তিক বিন্দু পরীক্ষা: \(x = -5\) এর জন্য ভগ্নাংশ শূন্য হয় - \(\le\) এর জন্য উপযুক্ত; \(x = 4\) এর জন্য ভগ্নাংশ নেই - উপযুক্ত নয়।
উদাহরণ ৩. জোড় গুণিতকের মূল এবং বিচ্ছিন্ন বিন্দু
সমাধান করুন \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\)।
ধাপ ১। ODZ। \(x \neq 9\)।
ধাপ ২। শূন্য এবং গুণিতক। \(x = 2\) - গুণিতক 2 (জোড়), \(x = -6\) - গুণিতক 1, \(x = 9\) - হরে গুণিতক 1।
ধাপ ৩। বিন্দু। \(x = 2\) এবং \(x = -6\) ভরা হয় (লবের শূন্য কঠোর নয় এমন চিহ্নের জন্য), \(x = 9\) বাদ দেওয়া হয়।
ধাপ ৪। চিহ্ন। পরীক্ষামূলক বিন্দু \(x = 10\): লব ধনাত্মক, হর 1 - যোগ। বাম দিকে যাই। 9 এর উপর দিয়ে (বিজোড় গুণিতক) চিহ্ন পরিবর্তিত হয়: \((2; 9)\) এ বিয়োগ। 2 এর উপর দিয়ে ( জোড় গুণিতক) চিহ্ন পরিবর্তিত হয় না: \((-6; 2)\) এও বিয়োগ। -6 এর উপর দিয়ে (বিজোড় গুণিতক) চিহ্ন পরিবর্তিত হয়: \((-\infty; -6)\) এ যোগ।
ধাপ ৫। উত্তর। 'যোগ' চিহ্ন সহ ব্যবধিগুলি নিন এবং যে বিন্দুগুলিতে রাশিটি শূন্য হয় সেগুলি যোগ করুন। বিন্দু \(x = 2\) বিয়োগ ব্যবধির ভিতরে পড়ে, কিন্তু রাশিটি সেখানে শূন্য হয়, তাই এটি আলাদাভাবে উত্তরে অন্তর্ভুক্ত হয়:
উত্তরে এই ধরনের 'একাকী' বিন্দু জোড় গুণিতকের মূলের একটি সঠিক লক্ষণ যখন চিহ্ন কঠোর নয়।
উদাহরণ ৪. ভগ্নাংশ সরলীকরণ: ODZ এর ফাঁদ
সমাধান করুন \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\)।
ধাপ ১। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। লব একটি পূর্ণ বর্গ: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\)। হরের জন্য ডিসক্রিমিন্যান্ট গণনা করি: \(D = 81 + 40 = 121\), মূল \(x_1 = \frac{1}{5}\) এবং \(x_2 = -2\), তাই \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\)।
ধাপ ২। ODZ - যেকোনো সরলীকরণের আগে। \(5x - 1 \neq 0\) এবং \(x + 2 \neq 0\), অর্থাৎ \(x \neq \frac{1}{5}\) এবং \(x \neq -2\)।
ধাপ ৩। সরলীকরণ করুন। \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), কিন্তু শুধুমাত্র \(x \neq \frac{1}{5}\) এর জন্য - সরলীকরণ বাদ দেওয়া বিন্দুটিকে ফিরিয়ে আনে না।
ধাপ ৪। \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\) সমাধান করুন। শূন্যগুলি হল: \(\frac{1}{5}\) এবং \(-2\)। \(x = 1\) এর জন্য ভগ্নাংশটি \(\frac{4}{3} > 0\) হয়। সুতরাং \((\frac{1}{5}; +\infty)\) এ যোগ, \((-2; \frac{1}{5})\) এ বিয়োগ, \((-\infty; -2)\) এ যোগ।
ধাপ ৫। ODZ ফিরিয়ে আনুন। \((-2; \frac{1}{5}]\) ব্যবধিটি চিহ্নের জন্য উপযুক্ত হত, কিন্তু বিন্দু \(\frac{1}{5}\) বাদ দেওয়া হয়েছে: মূল অসমতায় \(x = \frac{1}{5}\) এর জন্য হর \(5x^2+9x-2\) শূন্য হয়, সেখানে ভগ্নাংশ বিদ্যমান নয়।
উত্তর: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) - উভয় বন্ধনী গোলাকার।
উদাহরণ ৫. লবে দ্বিঘাত বহুপদী
সমাধান করুন \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\)।
ধাপ ১। লবকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন। ভিয়েটার উপপাদ্য অনুসারে মূলগুলির যোগফল 7, গুণফল 10, তাই \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\)। অসমতাটি \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\) আকারে আসে।
ধাপ ২। ODZ। \(x \neq -4\)।
ধাপ ৩। বিন্দু। তিনটি বিন্দুই বাদ দেওয়া হয়েছে: \(-4\) - হরের শূন্য, \(2\) এবং \(5\) - কঠোর চিহ্নের জন্য লবের শূন্য।
ধাপ ৪। চিহ্ন। পরীক্ষামূলক বিন্দু \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\)। সমস্ত বন্ধনী প্রথম ঘাতে আছে, তাই চিহ্নগুলি পর্যায়ক্রমে পরিবর্তিত হবে: \((5; +\infty)\) এ যোগ, \((2; 5)\) এ বিয়োগ, \((-4; 2)\) এ যোগ, \((-\infty; -4)\) এ বিয়োগ।
ধাপ ৫। উত্তর। কঠোর বিয়োগ প্রয়োজন: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\)। প্রতিস্থাপন দ্বারা নিয়ন্ত্রণ: \(x = -5\) এর জন্য আমরা পাই \(\frac{70}{-1} < 0\), \(x = 3\) এর জন্য \(\frac{-2}{7} < 0\) - উভয় ব্যবধি উপযুক্ত।
মূলদ অসমতা সমাধানের সাধারণ ভুল
-
উভয় পক্ষকে হর দিয়ে গুণ করা: $\frac{3}{x-8} > 1$ থেকে $3 > x - 8$ এবং $x < 11$ লেখা।
\(x - 8\) রাশির চিহ্ন আগে থেকে জানা যায় না, এবং ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ করার সময় অসমতা উল্টে যায়। পরীক্ষা: \(x = 0\) দিলে \(\frac{3}{-8} < 1\) - শূন্য \(x < 11\) উত্তরে পড়েছে, যদিও এটি সমাধান নয়। সঠিক: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), অর্থাৎ \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), যেখান থেকে \(x \in (8; 11)\)।
-
হরকে শূন্য ধরা, কারণ চিহ্ন কঠোর নয়: $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ এর জন্য সাতের কাছে বর্গাকার বন্ধনী দিয়ে উত্তর লেখা।
হরের শূন্য সর্বদা বাদ দেওয়া হয়, যেকোনো চিহ্ন সহ: সেই বিন্দুতে ভগ্নাংশটি কেবল বিদ্যমান নয়। সঠিক উত্তর: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) - একের কাছে বন্ধনী বর্গাকার, সাতের কাছে গোলাকার।
-
ভগ্নাংশ সরলীকরণ এবং ODZ হারানো: $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ থেকে $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ পাওয়া এবং উত্তরে $x = -3$ বিন্দু অন্তর্ভুক্ত করা।
ODZ সরলীকরণের আগে মূল হর অনুসারে লেখা হয়: \(x \neq -3\) এবং \(x \neq 5\)। সরলীকৃত ভগ্নাংশ \(\frac{x+3}{x-5}\) ঋণাত্মক নয় \([-3; 5)\) এ - \(x = 0\) এর জন্য এটি \(-0{,}6\) হয়, যা \(\le\) চিহ্নের জন্য প্রয়োজন। কিন্তু বিন্দু \(-3\) ODZ অনুসারে বাদ দেওয়া হয়েছে, তাই উত্তর হল \((-3; 5)\), \([-3; 5)\) নয়।
-
মনে করা যে ব্যবধিগুলিতে চিহ্নগুলি সর্বদা পর্যায়ক্রমে পরিবর্তিত হয়, এবং $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ এর জন্য একের পরে বিয়োগ চিহ্ন বসানো।
প্রথম ঘাতে বন্ধনী থাকলে পর্যায়ক্রম সঠিক হয়। \(x = 1\) মূলের গুণিতক 2, তাই এর উপর দিয়ে যাওয়ার সময় চিহ্ন পরিবর্তিত হয় না। রাশিটি \((-4; +\infty)\) এ ধনাত্মক, কেবল এক ছাড়া, যেখানে এটি শূন্য হয়। উত্তর: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\)।
-
পদ সরানোর সময় অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন করা: $\frac{x}{x-2} \le 3$ থেকে $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$ করা।
এক অংশ থেকে অন্য অংশে একটি পদ সরানো অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন করে না - কেবল পদের চিহ্ন পরিবর্তিত হয়। চিহ্ন কেবল তখনই উল্টে যায় যখন উভয় পক্ষকে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করা হয়। সঠিক: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), তারপর \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), অর্থাৎ \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\)।
-
শুধুমাত্র লবের শূন্য চিহ্নিত করা, এবং হরকে 'পরে' পরীক্ষা করা: $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ এর জন্য একটি বিন্দু -11 বসানো।
অক্ষরে সমস্ত শূন্য একসাথে চিহ্নিত করা হয় - লব এবং হর উভয়েরই, অন্যথায় ব্যবধিগুলি ভুল হবে। এখানে \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), তাই তিনটি বিন্দু রয়েছে: \(-11\), \(-4\) এবং \(4\), একটি নয়। সবগুলো বাদ দেওয়া হয়েছে (কঠোর চিহ্ন), উত্তর: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\)।
প্রশ্ন এবং উত্তর
মূলদ অসমতা কি?
এটি এমন একটি অসমতা যার উভয় পক্ষ মূলদ রাশি (বহুপদী এবং বহুপদীর ভগ্নাংশ)। সবকিছু বাম দিকে সরানোর পর এটি \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\) আকারে আসে, যেখানে \(P(x)\) এবং \(Q(x)\) হল বহুপদী, এবং \(>\) চিহ্নের পরিবর্তে \(<\), \(\le\) বা \(\ge\) থাকতে পারে।
কিভাবে মূলদ অসমতা সমাধান করতে হয়?
ছয় ধাপে ব্যবধি পদ্ধতি ব্যবহার করে: সবকিছু বাম দিকে সরান যাতে ডানদিকে শূন্য থাকে; একটি ভগ্নাংশে আনুন এবং লব ও হরকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন; ODZ লিখুন (\(Q(x) \neq 0\)); সংখ্যারেখায় লব ও হরের শূন্য চিহ্নিত করুন; পরীক্ষামূলক বিন্দু এবং মূলের গুণিতক ব্যবহার করে ব্যবধিগুলিতে চিহ্ন বসান; প্রয়োজনীয় চিহ্ন সহ ব্যবধিগুলি উত্তরে লিখুন।
ভগ্নাংশ মূলদ অসমতা পূর্ণ মূলদ অসমতা থেকে কিভাবে ভিন্ন?
পূর্ণ মূলদ অসমতায় চলক শুধুমাত্র লবে থাকে, যেমন \((x-1)(x+4) > 0\), এবং ODZ হল সমস্ত বাস্তব সংখ্যা। ভগ্নাংশ মূলদ অসমতায় চলক হরে থাকে, যেমন \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), এবং একটি সীমাবদ্ধতা দেখা দেয় \(x \neq -4\)। অ্যালগরিদম একই - কেবল বাদ দেওয়া বিন্দুগুলি পরিবর্তিত হয়।
কিভাবে ভগ্নাংশ সহ অসমতা সমাধান করতে হয়?
যেকোনো মূলদ অসমতার মতোই: প্রথমে সবকিছু বাম দিকে সরান এবং একটি ভগ্নাংশে আনুন, হর থেকে মুক্তি পাওয়ার চেষ্টা করবেন না। উদাহরণস্বরূপ, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) পরিবর্তিত হয় \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\) এ, অর্থাৎ \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\)। লব ধ্রুবক এবং ঋণাত্মক, তাই ভগ্নাংশটি কেবল তখনই অঋণাত্মক হবে যখন হর ঋণাত্মক হয়: \(x + 2 < 0\)। উত্তর: \(x \in (-\infty; -2)\)।
কেন অসমতার উভয় পক্ষকে হর দিয়ে গুণ করা যায় না?
কারণ হরের চিহ্ন \(x\) এর উপর নির্ভর করে: একটি ধনাত্মক রাশি দিয়ে গুণ করার সময় অসমতার চিহ্ন একই থাকে, কিন্তু একটি ঋণাত্মক রাশি দিয়ে গুণ করার সময় এটি উল্টে যায়। আগে থেকে জানা যায় না কোন ক্ষেত্রে আপনি আছেন, তাই কিছু সমাধান হারিয়ে যায় এবং কিছু অতিরিক্ত যোগ হয়। পদ সরানো সবসময় সম্ভব - এটি অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন করে না।
অসমতায় ODZ কিভাবে খুঁজে বের করবেন?
মূলদ অসমতার জন্য ODZ হল সমস্ত \(x\) মান, যার জন্য হর শূন্য হয় না। হরকে শূন্যের সমান করুন, সমীকরণটি সমাধান করুন এবং প্রাপ্ত সংখ্যাগুলি বাদ দিন। ODZ অবশ্যই মূল হর অনুসারে লিখতে হবে, ভগ্নাংশ সরলীকরণের আগে - অন্যথায় বাদ দেওয়া বিন্দুগুলি হারিয়ে যাবে।
কোন বিন্দুগুলি বাদ দেওয়া হয়, আর কোনগুলি ভরা হয়?
হরের শূন্য সর্বদা বাদ দেওয়া হয়, যেকোনো অসমতার চিহ্নের জন্য। লবের শূন্য কঠোর চিহ্নের (\(\le\) বা \(\ge\)) জন্য ভরা হয় এবং কঠোর চিহ্নের (\(<\) বা \(>\)) জন্য বাদ দেওয়া হয়। উত্তরে বাদ দেওয়া বিন্দুর জন্য একটি গোলাকার বন্ধনী, ভরা বিন্দুর জন্য একটি বর্গাকার বন্ধনী থাকে।
মূলের গুণিতক কি এবং ব্যবধি পদ্ধতিতে এটি কেন প্রয়োজন?
গুণিতক হল সেই ঘাত, যে ঘাতে বন্ধনীটি উৎপাদকে প্রবেশ করে। বিজোড় গুণিতকের মূলের উপর দিয়ে যাওয়ার সময় রাশির চিহ্ন পরিবর্তিত হয়, জোড় গুণিতকের মূলের উপর দিয়ে যাওয়ার সময় - একই থাকে। এই কারণেই চিহ্নগুলি সবসময় পর্যায়ক্রমে পরিবর্তিত হয় না: \((x-9)^2(x+3)\) এ 9 বিন্দুতে চিহ্ন একই থাকে।
কোন শ্রেণীতে মূলদ অসমতা পড়ানো হয়?
নবম শ্রেণীতে বীজগণিতের ক্লাসে, দ্বিঘাত অসমতা এবং বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণের পরে। ব্যবধি পদ্ধতি পরে সূচকীয়, লগারিদমিক এবং অমূলদ অসমতার জন্য, সেইসাথে OGE এবং প্রোফাইল ЕГЭ এর কাজগুলিতে ব্যবহৃত হয়।
