В окръжността се образуват два основни вида ъгли: централен – с връх в центъра, и вписан – с връх върху самата окръжност. Връзката между тях е проста: централният ъгъл е равен на дъгата, на която се опира, а вписаният – на нейната половина. На тази страница ще намерите определения, теоремата за вписания ъгъл с всички следствия, нагледни чертежи, решения на задачи стъпка по стъпка и интерактивен тренажор, с който можете веднага да се проверите.
Видове ъгли в окръжност: централен и вписан
Ако в окръжност построим два лъча с общо начало, ще получим ъгъл. В зависимост от това къде се намира върхът му, се разграничават два основни вида ъгли в окръжността:
- Централен ъгъл – ъгъл с връх в центъра на окръжността \(O\). Неговите рамене са радиуси.
- Вписан ъгъл – ъгъл, чийто връх лежи на окръжността, а раменете му я пресичат (т.е. са хорди).
Всеки от тези ъгли се опира на дъга – част от окръжността, която се намира вътре в ъгъла. Именно дъгата свързва централния и вписания ъгъл: и двата се изразяват чрез нейната градусна мярка.
Ако върхът на ъгъла се окаже вътре в кръга (но не в центъра) или извън него – това вече не е нито вписан, нито централен ъгъл: за такива ъгли има други формули, за които ще говорим в края на страницата.
∠AOC = дъга AC = 120°
∠ABC = ½ дъга AC = 60°
Теорема за вписания ъгъл и неговата големина
Централният ъгъл е равен на дъгата, на която се опира – така се въвежда градусната мярка на дъга. Ако \(\angle AOC = 120°\), то и дъгата \(AC\) е равна на \(120°\).
Теорема за вписания ъгъл: вписаният ъгъл се измерва с половината от дъгата, на която се опира:
Оттук следва основното съотношение между вписани и централни ъгли: вписаният ъгъл е два пъти по-малък от централния, който се опира на същата дъга:
Големината на вписания ъгъл не зависи от това къде точно върху окръжността се намира върхът му – важна е само дъгата, на която се опира. Затова си струва да запомните чертежа по-долу като „работна схема“ за цялата тема: зелената дъга и двата ъгъла, които „гледат“ към нея.
Вписани и централни ъгли: свойства и следствия
От теоремата за вписания ъгъл директно произтичат свойства, върху които се основават повечето задачи в училище:
- Вписаните ъгли, които се опират на една и съща дъга, са равни. Всеки от тях е равен на половината от една и съща дъга, следователно те са равни помежду си, независимо къде се намират върховете им.
- Вписаният ъгъл, който се опира на диаметър, е прав. Диаметърът разделя окръжността на две полуокръжности по \(180°\), затова такъв ъгъл е равен на \(180° : 2 = 90°\). Вярно е и обратното: ако вписан ъгъл е прав, то той се опира на диаметър.
- Вписаният ъгъл може да бъде тъп. Ако дъгата е по-голяма от \(180°\), ъгълът е по-голям от \(90°\) – формулата „половината от дъгата“ работи без изключения.
Тези свойства важат и в „обратна посока“: например, чрез равенството на ъгли, опиращи се на една отсечка, се доказва, че четири точки лежат на една окръжност.
Вписан четириъгълник в окръжност
Ако и четирите върха на един четириъгълник лежат на окръжност, той се нарича вписан (а окръжността – описана около него). Ъглите на такъв четириъгълник са вписани, затова за тях важи същата теорема.
- Сборът на срещуположните ъгли на вписан четириъгълник е равен на \(180°\). Ъглите \(A\) и \(C\) се опират на две дъги, които заедно образуват цялата окръжност (\(360°\)), затова \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Външният ъгъл на вписан четириъгълник е равен на вътрешния ъгъл при срещуположния връх. Външният ъгъл допълва своя вътрешен до \(180°\) – точно както и срещуположният.
- Свойството за сбора на ъглите е и признак: ако в един четириъгълник сборът на срещуположните ъгли е \(180°\), около него може да се опише окръжност. Затова всеки правоъгълник може да се впише в окръжност, а ромб (освен квадрата) – не.
Наред с вписаните ъгли, в задачите се срещат и ъгли между две допирателни, построени от една точка извън окръжността. Такъв ъгъл е равен на полуразликата на дъгите, които отсича от окръжността.
Примери за решаване на задачи с вписани и централни ъгли
Пример 1. Намиране на вписан ъгъл по дадена дъга
Задача. Вписаният ъгъл \(ABC\) се опира на дъга \(AC\), равна на \(120°\). Намерете \(\angle ABC\).
Стъпка 1. Припомняме си теоремата: вписаният ъгъл е равен на половината от дъгата, на която се опира.
Стъпка 2. Заместваме: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Отговор: \(60°\).
Пример 2. Намиране на централен ъгъл по даден вписан
Задача. Вписаният ъгъл \(ABC\) е равен на \(40°\). Намерете централния ъгъл \(AOC\), който се опира на същата дъга \(AC\).
Стъпка 1. Централният ъгъл е два пъти по-голям от вписания, който се опира на същата дъга: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Стъпка 2. Изчисляваме: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Междувременно научихме и дъгата: \(AC = 80°\).
Отговор: \(80°\).
Пример 3. Ъгъл, който се опира на диаметър
Задача. \(AC\) е диаметър на окръжност, точка \(B\) лежи на окръжността, \(\angle BAC = 35°\). Намерете \(\angle BCA\).
Стъпка 1. Ъгъл \(ABC\) се опира на диаметъра \(AC\), следователно \(\angle ABC = 90°\) – триъгълник \(ABC\) е правоъгълен.
Стъпка 2. Сборът на ъглите в триъгълник е \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Отговор: \(55°\).
Пример 4. Вписан четириъгълник
Задача. Четириъгълник \(ABCD\) е вписан в окръжност, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Намерете ъглите \(C\) и \(D\).
Стъпка 1. Сборът на срещуположните ъгли на вписан четириъгълник е \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Стъпка 2. Аналогично \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Проверка. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) – сборът на ъглите на четириъгълника е верен.
Отговор: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Често срещани грешки в задачи за ъгли в окръжност
-
Бъркат вписан ъгъл с централен: за ъгъл с връх в центъра вземат половината от дъгата (или обратното).
Първо гледайте върха. Връх в центъра \(O\) – това е централен ъгъл, той е равен на цялата дъга. Връх на окръжността – това е вписан ъгъл, той е равен на половината от дъгата.
-
Вземат грешната дъга: за вписания ъгъл смятат дъгата, на която лежи върхът му.
Вписаният ъгъл се опира на дъгата, която лежи „вътре“ в ъгъла – върхът винаги е на другата дъга. В записа \(\angle ABC\) ъгълът се опира на дъгата \(AC\), която не съдържа точка \(B\).
-
Умножават и делят на 2 „в грешната посока“: от вписан към централен ъгъл делят, вместо да умножават.
Запомнете: вписаният е „малкият“ (половината от дъгата), централният е „големият“ (цялата дъга). От вписан към централен – умножете по 2, от централен към вписан – разделете.
-
Смятат за вписан всеки ъгъл, чиито рамене пресичат окръжността – например ъгъл между хорди, пресичащи се вътре в кръга.
При вписания ъгъл върхът задължително трябва да лежи на самата окръжност. Ъгъл с връх вътре в кръга е равен на полусбора на отсечените дъги, а с връх извън кръга – на полуразликата: това са други формули.
-
При вписан четириъгълник приравняват на $180°$ сбора на съседни ъгли вместо на срещуположни.
Свойството важи само за срещуположни върхове: \(\angle A + \angle C = 180°\) и \(\angle B + \angle D = 180°\). Съседните ъгли на вписан четириъгълник могат да бъдат всякакви.
Въпроси и отговори
На колко е равен вписаният ъгъл?
Вписаният ъгъл е равен на половината от дъгата, на която се опира. Например, ако дъгата е 120°, вписаният ъгъл е 60°. Това е теоремата за вписания ъгъл – основната формула в темата.
Как са свързани вписаният и централният ъгъл, които се опират на една и съща дъга?
Централният ъгъл е два пъти по-голям от вписания: ∠AOC = 2·∠ABC. Централният ъгъл е равен на самата дъга, а вписаният – на нейната половина.
Защо вписаният ъгъл, който се опира на диаметър, е равен на 90°?
Диаметърът отсича полуокръжност – дъга от 180°. Вписаният ъгъл е равен на половината от дъгата: 180° : 2 = 90°. Затова всеки триъгълник, на който едната страна е диаметър на описаната окръжност, е правоъгълен.
Може ли вписаният ъгъл да бъде тъп?
Да. Ако дъгата, на която се опира ъгълът, е по-голяма от 180°, ъгълът е тъп: например на дъга от 210° съответства вписан ъгъл от 105°. При това вписаният ъгъл винаги е по-малък от 180°.
Какво е ъгъл между две допирателни и с какво се различава от вписания ъгъл?
Ъгълът между две допирателни се образува от две допирателни към окръжността, построени от една външна точка. Върхът му лежи извън окръжността и той е равен на полуразликата на отсечените дъги. При вписания ъгъл върхът лежи на окръжността и той е равен на половината от една дъга.
Какви други видове ъгли, свързани с окръжност, има?
Освен централен и вписан, се разглеждат ъгъл между хорди (връх вътре в кръга – полусбор на дъгите), ъгъл между секущи от външна точка (полуразлика на дъгите) и ъгъл между допирателна и хорда (половината от заключената вътре дъга). Всички те се изразяват чрез дъги от окръжността.
