Питагоровата теорема е основната формула в геометрията за 8 клас: в правоъгълен триъгълник сборът на квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата, т.е. \(a^2 + b^2 = c^2\). От нея се извеждат формули, по които се намират хипотенузата и всеки катет, диагоналът на правоъгълник и разстоянието между точки. На тази страница – определение и формула, нагледно доказателство чрез площи, обратна теорема, египетски триъгълник 3-4-5, стъпка по стъпка разбор на задачи и интерактивен тренажор за самопроверка.
Какво е Питагорова теорема и как звучи формулата
Питагоровата теорема работи само в правоъгълен триъгълник – такъв, при който един от ъглите е \(90°\). Страните на такъв триъгълник се наричат по различен начин:
- катети – двете страни, които образуват правия ъгъл;
- хипотенуза – страната срещу правия ъгъл, най-дългата страна на триъгълника.
Формулировка на теоремата: в правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сбора на квадратите на катетите.
Тук \(a\) и \(b\) са катети, \(c\) е хипотенуза. Понякога теоремата се формулира „геометрично“: площта на квадрат, построен върху хипотенузата, е равна на сбора от площите на квадратите, построени върху катетите. Това е една и съща теорема, просто казана чрез площи, а не чрез числа.
Запомнянето на реда на буквите помага просто правило: под голямата буква \(c\) винаги се крие най-дългата страна. Ако в задача объркате хипотенузата с катет, отговорът ще бъде неверен.
Доказателство на Питагоровата теорема
Съществуват повече от сто доказателства на Питагоровата теорема. В училище се разглежда най-нагледното – доказателство чрез площи. Взимаме два еднакви квадрата със страна \(a + b\) и във всеки подреждаме по четири еднакви правоъгълни триъгълника с катети \(a\) и \(b\) – но по различен начин.
- В първия квадрат изместваме триъгълниците към ъглите така, че да останат свободни два квадрата: със страна \(a\) и със страна \(b\). Техните площи са \(a^2\) и \(b^2\).
- Във втория квадрат подреждаме същите четири триъгълника „въртележка“. Свободен остава един наклонен квадрат със страна \(c\), неговата площ е \(c^2\).
- Площите на големите квадрати са равни: всяка е равна на \((a+b)^2\). Еднаква е и общата площ на триъгълниците: всеки заема \(\frac{ab}{2}\), четири заедно – \(2ab\).
След като цялото и изважданата част съвпадат, равни са и остатъците: \(a^2 + b^2 = c^2\). Теоремата е доказана – балансът на площите за двата квадрата е изписан под чертежа.
Как да намерим хипотенуза и катет по Питагоровата теорема
От една формула \(a^2 + b^2 = c^2\) се получават всички работни формули на темата: неизвестната страна се изразява от равенството и се коренува. Разликата между двата случая е само една – и точно в нея най-често се греши:
- хипотенузата се търси чрез сбора на квадратите на катетите – тя задължително трябва да се получи по-дълга от всеки от тях;
- катет – чрез разлика: от квадрата на хипотенузата се изважда квадратът на известния катет и резултатът трябва да се окаже по-малък от хипотенузата.
Ако под корена се получи отрицателно число, значи хипотенузата е объркана с катет – върнете се към чертежа и намерете правия ъгъл. И още една подробност: коренът в края е задължителен, на тази стъпка се губят точки най-често.
Готова памятка с всички формули – по-долу.
| Какво търсим | Формула и пояснение |
|---|---|
| Хипотенуза | c = √a2 + b2корен от сбора на квадратите на катетите |
| Катет a | a = √c2 − b2корен от разликата на квадрата на хипотенузата и квадрата на другия катет |
| Катет b | b = √c2 − a2симетрично: изваждаме квадрата на другия катет |
| Проверка | a2 + b2 = c2 ?равенството е вярно → триъгълникът е правоъгълен (обратна теорема) |
Обратна Питагорова теорема и египетски триъгълник
Обратна теорема на Питагор: ако квадратът на една страна на триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни, то този триъгълник е правоъгълен, а правият ъгъл лежи срещу най-дългата страна.
Това е работен инструмент: по три числа можем да разберем вида на триъгълника, без да измерваме с транспортир. Редът на действията е следният:
- намираме най-дългата страна – тя е кандидат за хипотенуза;
- повдигаме на квадрат другите две страни и ги събираме;
- сравняваме с квадрата на най-дългата страна.
Ако се получи равенство – триъгълникът е правоъгълен. Например, страни 6, 8 и 10: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\), следователно триъгълникът е правоъгълен.
Набори от цели числа, за които равенството е изпълнено, се наричат питагорови тройки. Най-известната е 3, 4, 5: такъв триъгълник се нарича египетски, защото строителите в Древен Египет са отмервали на въже 12 равни части и са го сгъвали в триъгълник със страни 3, 4 и 5, за да получат точен прав ъгъл при строеж. Този трик се използва и до днес.
Къде се прилага Питагоровата теорема: задачи от живота и геометрията
Питагоровата теорема е необходима всеки път, когато във фигура можем да видим правоъгълен триъгълник:
- Диагонал на правоъгълник. Диагоналът разделя правоъгълника на два правоъгълни триъгълника, затова \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\). Така се изчислява диагоналът на екран на телевизор или размер на стая.
- Височина на равнобедрен триъгълник. Височината, спусната към основата, я разделя наполовина и образува правоъгълен триъгълник – след това работи същата формула.
- Диагонал на квадрат. Ако страната е \(a\), то \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\).
- Разстояние между точки на координатна плоскост. Формулата \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) е Питагорова теорема за триъгълник, построен върху разликите на координатите.
- Практически задачи. Стълба, опряна на стена; височина на дърво по сянката му; дължина на въже, опъната жица, кабел – във всички тези задачи се допълва правоъгълен триъгълник и се прилага формулата.
Важно е да помним главното ограничение: теоремата на Питагор е вярна само за правоъгълен триъгълник. Ако няма прав ъгъл, страните се свързват вече с косинусова теорема, която се изучава в 9 клас.
Примери за решаване на задачи по Питагоровата теорема
Пример 1. Намиране на хипотенуза
Задача. Катетите на правоъгълен триъгълник са \(9\) см и \(12\) см. Намерете хипотенузата.
Стъпка 1. Записваме теоремата за нашия триъгълник: \(c^2 = a^2 + b^2\).
Стъпка 2. Повдигаме катетите на квадрат и ги събираме:
Стъпка 3. Коренуваме: \(c = \sqrt{225} = 15\) см.
Отговор: \(15\) см. Проверка по смисъл: хипотенузата се получи по-дълга от всеки катет – така трябва да бъде.
Пример 2. Намиране на катет
Задача. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е \(25\) см, единият катет – \(7\) см. Намерете втория катет.
Стъпка 1. Изразяваме неизвестния катет от формулата \(a^2 + b^2 = c^2\): \(b^2 = c^2 - a^2\). Тук е разлика, а не сбор – търсим катет, а не хипотенуза.
Стъпка 2. Заместваме с числата:
Стъпка 3. Коренуваме: \(b = \sqrt{576} = 24\) см.
Отговор: \(24\) см. Между другото, научихме питагоровата тройка \(7 - 24 - 25\).
Пример 3. Задача за стълба
Задача. Стълба с дължина \(5\) м е опряна на стена. Долният ѝ край е на \(3\) м от стената. На каква височина стълбата докосва стената?
Стъпка 1. Правим чертеж: стената и земята образуват прав ъгъл, стълбата е хипотенуза. Следователно \(c = 5\) м, единият катет \(a = 3\) м, височината \(h\) – вторият катет.
Стъпка 2. Търсим катета чрез разлика:
Стъпка 3. \(h = \sqrt{16} = 4\) м.
Отговор: \(4\) м. Пред нас е същият египетски триъгълник \(3 - 4 - 5\).
Пример 4. Проверка на триъгълник по обратна теорема
Задача. Страните на триъгълник са \(10\), \(24\) и \(26\). Правоъгълен ли е?
Стъпка 1. Намираме най-дългата страна – това е \(26\). Ако триъгълникът е правоъгълен, хипотенуза ще бъде именно тя.
Стъпка 2. Изчисляваме сбора от квадратите на двете по-малки страни: \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\).
Стъпка 3. Сравняваме с квадрата на най-дългата страна: \(26^2 = 676\). Числата съвпадат.
Отговор: да, триъгълникът е правоъгълен, правият ъгъл лежи срещу страната \(26\). Това е тройка \(5 - 12 - 13\), умножена по \(2\).
Пример 5. Диагонал на правоъгълник
Задача. Страните на правоъгълник са \(8\) см и \(15\) см. Намерете неговия диагонал.
Стъпка 1. Диагоналът разделя правоъгълника на два еднакви правоъгълни триъгълника: страните на правоъгълника стават катети, диагоналът – хипотенуза.
Стъпка 2. Прилагаме формулата: \(d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}\).
Стъпка 3. \(d = 17\) см.
Отговор: \(17\) см. Тук работи питагоровата тройка \(8 - 15 - 17\).
Чести грешки в задачите за Питагоровата теорема
-
Объркване на катет с хипотенуза: заместване на най-дългата страна като катет и получаване на отрицателно число под корена.
Хипотенузата е винаги страната срещу правия ъгъл и винаги най-дългата. Започнете решението с чертеж: отбележете правия ъгъл и ще видите коя страна лежи срещу него.
-
Събиране на самите страни, а не на техните квадрати: писане на $a + b = c$ и за катети 6 и 8 получаване на 14.
Теоремата свързва именно квадратите: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), следователно \(c = 10\). Сборът на самите катети винаги е по-голям от хипотенузата – това не е отговор, а признак за грешка.
-
Забравяне на коренуването и записване на $c^2$ вместо $c$ в отговора: „хипотенузата е равна на 225“.
След изчисленията винаги остава квадратът на страната. Последната стъпка е корен: \(c = \sqrt{225} = 15\). Приемете за правило да препрочитате въпроса на задачата преди да запишете отговора.
-
Търсене на катет чрез събиране: $b = \sqrt{c^2 + a^2}$.
Чрез сбор се търси само хипотенузата. Катет – чрез разлика: \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\). Проверката е проста: катетът трябва да се получи по-малък от хипотенузата.
-
Прилагане на теоремата към триъгълник без прав ъгъл – например, към равнобедрен или към произволен със страни 5, 6, 7.
Питагоровата теорема работи само в правоъгълен триъгълник. Ако няма прав ъгъл, той първо се „създава“ – чертае се височина – или се използва косинусова теорема от курс за 9 клас.
-
При обратната теорема сравняване с грешната страна: повдигане на квадрат на две произволни страни и събирането им.
Квадратът на най-дългата страна трябва да е равен на сбора от квадратите на другите две. За страни 6, 8, 11 сравняваме \(6^2 + 8^2 = 100\) и \(11^2 = 121\): няма равенство, триъгълникът не е правоъгълен.
Въпроси и отговори
Как звучи формулата на Питагоровата теорема?
a² + b² = c², където a и b са катети на правоъгълен триъгълник, а c е хипотенуза. С думи: квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на катетите.
Как да намерим хипотенузата, ако са известни катетите?
Повдигаме катетите на квадрат, събираме ги и коренуваме: c = √(a² + b²). Например, при катети 6 и 8 получаваме c = √(36 + 64) = √100 = 10.
Как да намерим катет, ако са известни хипотенузата и другият катет?
Чрез разликата на квадратите: a = √(c² − b²). Например, при хипотенуза 13 и катет 5, другият катет е √(169 − 25) = √144 = 12.
В кой клас се изучава Питагоровата теорема?
В 8 клас по геометрия, в темата „Правоъгълен триъгълник“. Там се изучават и обратната теорема на Питагор и питагоровите тройки, а по-нататък теоремата се използва в 9 клас и в задачи от НВО и ДЗИ.
Какво е обратната теорема на Питагор?
Това е твърдение в обратна посока: ако квадратът на една страна на триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни, то триъгълникът е правоъгълен. Тя позволява да се определи видът на триъгълника по три числа, без измерване на ъгли.
Кой триъгълник се нарича египетски?
Триъгълник със страни 3, 4 и 5: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². В Древен Египет с помощта на въже, разделено на 12 равни части, от него се получавал точен прав ъгъл при разчертаване на постройки.
Работи ли Питагоровата теорема в неправоъгълен триъгълник?
Не. Равенството a² + b² = c² е изпълнено само при прав ъгъл. За произволен триъгълник се използва косинусова теорема c² = a² + b² − 2ab·cos C, която при ъгъл 90° се превръща точно в Питагорова теорема.
Как да докажем Питагоровата теорема по прост начин?
Най-нагледното училищно доказателство е чрез площи. Взимат се два еднакви квадрата със страна a + b и във всеки се подреждат по четири еднакви правоъгълни триъгълника с катети a и b. В първия свободни остават квадрати a² и b², във втория – квадрат c². Тъй като големите квадрати и триъгълниците са еднакви, то a² + b² = c².
