Теоремата косинусов свързва трите страни на триъгълник и един негов ъгъл: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Тя е валидна за всеки триъгълник, затова в 9 клас тя замества теоремата на Питагор там, където няма прав ъгъл. По нея се намира трета страна, ако са известни две други и ъгълът между тях, а по следствието \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) — всеки ъгъл по трите страни и вида на триъгълника. На страницата — формулировка и всички три записа на формулата, доказателство, таблица на косинусите, памятка „синуси или косинуси“, разбори на задачи от НВО и тренажор за самопроверка.
Теорема косинусов: формулировка и формула
Теоремата косинусов е валидна за всеки триъгълник — прав ъгъл не е необходим. Тя свързва трите страни и един ъгъл, затова по нея се намира страна, ако са известни две други страни и ъгълът между тях.
Формулировка. Квадратът на страна на триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези страни по косинуса на ъгъла между тях.
Тук \(a\), \(b\), \(c\) са страните на триъгълника, а \(C\) е ъгълът между страните \(a\) и \(b\); страната \(c\) лежи срещу този ъгъл. Буквите могат да бъдат всякакви — формулата е симетрична, затова има три равноправни записа:
Основното правило за заместване: взимаме ъгъла, който е заключен между двете страни от произведението, и намираме страната, която лежи срещу него. Ако вземем „съседен“ ъгъл, всички числа ще бъдат от условието, а отговорът — неверен.
Защо теоремата на Питагор е частен случай на теоремата косинусов
Ако заместим във формулата прав ъгъл, т.е. \(C = 90°\). Косинусът на прав ъгъл е нула, затова третото събираемо се анулира изцяло:
Получи се точно теоремата на Питагор, позната от 8 клас. Затова теоремата косинусов се нарича нейно обобщение: Питагор е „частен случай при 90°“, а теоремата косинусов е валидна за всички ъгли.
Събираемото \(-2ab\cos C\) е удобно да се разбира като корекция за неправоъгълност на ъгъла:
- ъгълът е остър, \(\cos C > 0\) — корекцията се изважда, страната \(c\) се получава по-къса, отколкото би дала теоремата на Питагор;
- ъгълът е прав, \(\cos C = 0\) — няма корекция, остава \(c^2 = a^2 + b^2\);
- ъгълът е тъп, \(\cos C < 0\) — корекцията се прибавя, страната \(c\) се получава по-дълга.
Доказателство на теоремата косинусов
Най-краткото училищно доказателство е координатното. Поставяме върха \(C\) в началото на координатната система, а страната \(b = CA\) насочваме по оста x. Тогава координатите на върховете са:
- \(C(0;\ 0)\) — началото на координатната система;
- \(A(b;\ 0)\) — точка на оста x на разстояние \(b\) от началото;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — връх на разстояние \(a\) от началото под ъгъл \(C\) спрямо оста x.
Страната \(c\) е дължината на отсечката \(AB\). Изчисляваме я по формулата за разстояние между две точки:
Разкриваме скобите:
Групираме събираемите с \(a^2\) и прилагаме основното тригонометрично тъждество \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Каквото трябваше да се докаже. Обърнете внимание: никъде не се изисква ъгъл \(C\) да е остър. Ако е тъп, косинусът е отрицателен, координатата \(a\cos C\) отива наляво от оста y, но всички изчисления остават същите — затова теоремата е вярна за всеки триъгълник.
Следствие: как да намерим ъгъл по три страни
От теоремата косинусов се изразява самият косинус — това е нейното главно следствие. По него се намира ъгъл, когато са известни всичките три страни:
В числителя — сборът от квадратите на двете страни, прилежащи към ъгъла, минус квадратът на страната, която лежи срещу него. В знаменателя — удвоеното произведение на прилежащите страни. За другите ъгли формулите са същите:
Поредност на решаване:
- избира се търсеният ъгъл и се определя коя страна лежи срещу него — нейният квадрат влиза в числителя със знак минус;
- изчислява се дробта (знаменателят винаги е положителен, знакът се определя само от числителя);
- по таблица със стойности или чрез аркускосинус се намира самият ъгъл.
Полезен трик: започва се с най-голямата страна. Срещу нея лежи най-големият ъгъл, и само той може да се окаже прав или тъп — другите два ъгъла в триъгълника винаги са остри.
Косинуси на тъпи ъгли: таблица със стойности
В училищните задачи ъглите почти винаги са „таблични“: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. При острите ъгли косинусът е положителен, при правия е нула, а при тъпите — отрицателен. Стойностите за тъпи ъгли се получават от стойностите за остри ъгли по правилото за привеждане \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): например, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Какво означава това на практика: при тъп ъгъл изразът \(-2ab\cos C\) се превръща в плюс — минус по минус. За ъгъл \(120°\) формулата изглежда така:
Именно тук се губят най-много точки: заместват \(0{,}5\) вместо \(-0{,}5\) и получават страна, по-къса от двете дадени. Това е заведомо невъзможно — срещу тъп ъгъл лежи най-дългата страна на триъгълника.
| Ъгъл | Косинус |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Как да определим вида на триъгълник по три страни
Теоремата косинусов позволява да се разбере вида на триъгълника, без да се измерват ъглите с транспортир. Знакът на дробта \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) зависи само от числителя: знаменателят \(2ab\) винаги е положителен. Следователно, достатъчно е да се сравни квадратът на най-голямата страна със сбора от квадратите на другите две.
Нека \(c\) е най-голямата страна, тогава срещу нея лежи най-големият ъгъл \(C\):
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → ъгъл \(C\) е остър. Другите ъгли са по-малки от него, следователно всички три ъгъла са остри — триъгълникът е остроъгълен;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — триъгълникът е правоъгълен (това е обратната теорема на Питагор);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → ъгъл \(C\) е тъп — триъгълникът е тъпоъгълен.
Не е нужно да се проверяват другите ъгли: прав или тъп ъгъл в триъгълник има само един. И не забравяйте неравенството на триъгълника — ако най-голямата страна не е по-малка от сбора на другите две, триъгълник с такива страни изобщо не съществува.
Теорема за синусите или косинусите: как да изберем
И двете теореми решават една задача — намират неизвестни страни и ъгли на триъгълник, — но се прилагат при различни набори от данни. Теоремата за синусите свързва страна и противолежащия ѝ ъгъл:
Оттук и правилото за избор: ако в условието вече има двойка „страна и ъгъл срещу нея“ — работи теоремата за синусите; ако такава двойка няма — започваме с теоремата косинусов. Памятка за четирите училищни набора от данни — в таблицата.
Често задачата се решава в две стъпки: първо теоремата косинусов дава третата страна, а после теоремата за синусите бързо намира останалите ъгли.
| Какво е известно | Какво прилагаме |
|---|---|
| СУСДве страни и ъгъл между тях | Теорема косинусовнамираме трета страна |
| СССВсички три страни | Теорема косинусовнамираме всеки ъгъл и вида на триъгълника |
| УСУСтрана и два ъгъла | Теорема за синуситенамираме двете други страни |
| ССУДве страни и ъгъл срещу една от тях | Теорема за синуситенамираме противолежащия ъгъл |
Теорема косинусов в задачи от НВО
На НВО по математика теоремата косинусов се среща в планиметрични задачи — както в първа част, така и в задачи с разширен отговор. Типични сюжети са:
- Намиране на страна по две страни и ъгъл между тях — пряко приложение на формулата, най-често с ъгли 60° или 120°.
- Намиране на ъгъл или неговия косинус по три страни — следствие \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Ако в задачата е написано „намерете \(\cos\angle A\)“, аркускосинус не се търси: отговорът е самата дроб, която се записва.
- Диагонали на успоредник. Диагоналът отсича триъгълник от две страни и ъгъл между тях. Съседните ъгли на успоредника дават сбор 180°, затова косинусите им са противоположни: срещу острия ъгъл лежи по-малката диагонала, срещу тъпия — по-голямата.
- Вид на триъгълник по три числа — сравнение на \(a^2 + b^2\) с \(c^2\).
- Медиана на триъгълник. Формулата \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) се извежда чрез двойно прилагане на теоремата косинусов към два съседни ъгъла при основата.
Съвет за изпита: преди да смятате, отбележете на чертежа ъгъла, който е „заклещен“ между известните страни. Ако такъв ъгъл няма — теоремата косинусов все още не е приложима, трябва да се търси друг път.
Примери за решаване на задачи на теоремата косинусов
Пример 1. Намиране на страна по две страни и ъгъл 60°
Задача. В триъгълник \(ABC\) страните \(a = 7\) и \(b = 15\), ъгълът между тях \(C = 60°\). Намерете страната \(c\).
Стъпка 1. Ъгъл \(C\) е заключен между страните \(a\) и \(b\) — това е точно случаят, за който е създадена теоремата:
Стъпка 2. Заместваме числата, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Стъпка 3. Извличаме корен: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Отговор: \(13\). Проверка по смисъл: ъгълът \(60°\) е остър, следователно страната срещу него не е най-дългата — наистина, \(13 < 15\).
Пример 2. Тъп ъгъл: минус по минус
Задача. В триъгълник \(ABC\) е известно: \(AB = 6\), \(BC = 10\), ъгъл \(B = 120°\). Намерете страната \(AC\).
Стъпка 1. Ъгъл \(B\) е заключен между страните \(AB\) и \(BC\), а страната \(AC\) лежи срещу него:
Стъпка 2. Ъгълът е тъп, следователно \(\cos 120° = -0{,}5\). Минусът пред произведението и минусът при косинуса дават плюс:
Стъпка 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Отговор: \(14\). Проверка: срещу тъп ъгъл лежи най-дългата страна — \(14\) е по-голямо и от \(6\), и от \(10\).
Пример 3. Намиране на ъгъл по три страни
Задача. Страните на триъгълник са равни на \(3\), \(5\) и \(7\). Намерете най-големия му ъгъл.
Стъпка 1. Най-големият ъгъл лежи срещу най-голямата страна, т.е. срещу страната \(7\). Нека го означим с \(C\), тогава \(c = 7\), а прилежащите страни са \(a = 3\) и \(b = 5\).
Стъпка 2. Прилагаме следствието:
Стъпка 3. Косинусът е отрицателен — ъгълът е тъп. По таблицата със стойности \(\cos 120° = -0{,}5\), следователно \(C = 120°\).
Отговор: \(120°\). Между другото, установи се, че триъгълникът е тъпоъгълен.
Пример 4. Определяне на вида на триъгълник
Задача. Определете вида на триъгълник със страни \(6\), \(7\) и \(10\).
Стъпка 1. Проверяваме неравенството на триъгълника: \(6 + 7 = 13 > 10\) — триъгълникът съществува. Най-голямата страна е \(10\).
Стъпка 2. Сравняваме сбора от квадратите на двете по-малки страни с квадрата на най-голямата:
Стъпка 3. \(85 < 100\), следователно числителят на дробта е отрицателен и \(\cos C < 0\) — ъгълът срещу страната \(10\) е тъп. Ако желаете, можете да намерите и самия ъгъл:
Отговор: триъгълникът е тъпоъгълен. Обърнете внимание: „на око“ това не се вижда — страните са почти равни, а ъгълът вече е надхвърлил \(90°\).
Пример 5. Задача от ниво НВО: диагонал на успоредник
Задача. Страните на успоредник са равни на \(5\) и \(8\), остър ъгъл е \(60°\). Намерете по-малката диагонала.
Стъпка 1. Диагоналът отсича триъгълник, за който са известни две страни (\(5\) и \(8\)) и ъгълът между тях. По-малката диагонала лежи срещу острия ъгъл \(60°\).
Стъпка 2. Смятаме:
Стъпка 3. Проверка. Втората диагонала лежи срещу ъгъл \(120°\) (съседните ъгли на успоредник са сбор 180°): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), т.е. \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Сборът от квадратите на диагоналите е \(49 + 129 = 178\), а удвоеният сбор от квадратите на страните е \(2(25 + 64) = 178\). Съвпадна, значи смятането е вярно.
Отговор: \(7\).
Чести грешки в задачи на теоремата косинусов
-
Взимат косинуса на тъп ъгъл със знак плюс. За страни $4$ и $9$ с ъгъл $120°$ между тях пишат $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ и получават $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), а минус по минус дава плюс: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), следователно \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Бърза проверка: срещу тъп ъгъл лежи най-дългата страна, затова отговорът трябва да е по-голям от \(9\).
-
Заместват ъгъл, който не е заключен между дадените страни: в условието е даден един ъгъл и той се взима „както е“, без да се гледа чертежът.
В записа \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) страните \(a\) и \(b\) образуват ъгъл \(C\), а страната \(c\) лежи срещу него. Ако даденият ъгъл е прилежащ към търсената страна, този запис не е подходящ — нужен е друг от трите или теоремата за синусите.
-
Забравят да извлекат корен и записват в отговор квадрата на страната: получили са $c^2 = 225$ и пишат „страната е равна на 225“.
Формулата винаги дава точно квадрата на страната. Последната стъпка е задължителна: \(c = \sqrt{225} = 15\). Прочетете отново въпроса на задачата преди да запишете отговора.
-
Объркват реда на събираемите в следствието и пишат $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Правилният числител е \(a^2 + b^2 - c^2\): сбор от квадратите на прилежащите страни минус квадратът на противолежащата. При разместване знакът на дробта се променя на противоположен и вместо тъп ъгъл \(120°\) се получава остър \(60°\).
-
Намират ъгъл по модула на косинуса: получили са −0,25, а в отговор пишат остър ъгъл, сякаш косинусът е бил +0,25.
Отрицателният косинус винаги означава тъп ъгъл. Знакът не бива да се пропуска: cos 60° = 0,5, а cos 120° = −0,5; аркускосинус на отрицателно число е по-голям от 90°.
-
Опитват се да решат задача „две страни и ъгъл между тях“ с теорема за синусите и се затрудняват на първия ред.
Теоремата за синусите изисква готова двойка „страна и противолежащ ъгъл“. При две страни и ъгъл между тях такава двойка няма — първо теоремата косинусов дава третата страна, и едва след това се включва теоремата за синусите.
Въпроси и отговори
Как звучи теоремата косинусов?
Квадратът на страна на триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези страни по косинуса на ъгъла между тях: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Теоремата е валидна за всеки триъгълник, а не само за правоъгълен.
Как да намерим страна на триъгълник по две страни и ъгъл между тях?
Заместваме данните във формулата c² = a² + b² − 2ab·cos C и извличаме корен. Например, при страни 4 и 6 и ъгъл 60° между тях: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, следователно c = √28 ≈ 5,3.
Как да намерим ъгъл на триъгълник, ако са известни трите страни?
По следствието от теоремата косинусов: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), където c е страната срещу търсения ъгъл. Например, за страни 2, 3 и 4 косинусът на най-големия ъгъл е (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, т.е. ъгълът е тъп, приблизително 104°.
Защо теоремата на Питагор е частен случай на теоремата косинусов?
Защото при прав ъгъл cos 90° = 0, и събираемото −2ab·cos C се анулира. От формулата остава c² = a² + b² — това е теоремата на Питагор за правоъгълен триъгълник.
Работи ли теоремата косинусов в тъпоъгълен триъгълник?
Да, и работи без промени. При тъп ъгъл косинусът е отрицателен, затова събираемото −2ab·cos C става положително и се прибавя към сбора от квадратите. Именно заради това страната срещу тъп ъгъл се оказва най-дълга.
Кога да прилагаме теорема за синусите, а кога теорема косинусов?
Теоремата за синусите е нужна, когато в условието вече има двойка „страна и противолежащ ѝ ъгъл“ — например, дадена е страна и два ъгъла. Теоремата косинусов — когато такава двойка няма: дадени са две страни и ъгъл между тях или всичките три страни. Често задачата се решава в две стъпки: първо косинуси, после синуси.
Как да определим вида на триъгълник по три страни?
Сравняваме квадрата на най-голямата страна c² със сбора от квадратите на другите две. Ако a² + b² > c² — триъгълникът е остроъгълен, ако a² + b² = c² — правоъгълен, ако a² + b² < c² — тъпоъгълен. Знакът на тази разлика съвпада със знака на косинуса на най-големия ъгъл.
В кой клас се изучава теоремата косинусов?
В 9 клас по геометрия, в темата „Съотношения между страни и ъгли на триъгълник“ — заедно с теоремата за синусите. По-нататък тя постоянно се използва в задачи от НВО и ДЗИ по планиметрия и в стереометрия.
