Подобни триъгълници са триъгълници с еднаква форма, но различен размер: техните ъгли са съответно равни, а сходствените страни са пропорционални. Числото, което показва колко пъти единият триъгълник е по-голям от другия, се нарича коефициент на подобие \(k\). За доказване на подобие помагат три признака, а отношенията на периметрите и площите следват просто правило: периметрите се отнасят като \(k\), а площите — като \(k^2\). На тази страница — определение и запис на подобие с правилен ред на върховете, всички три признака, подобие на правоъгълни триъгълници и височина от прав ъгъл, разбор на задачи от НВО „намерете страна“ и интерактивен тренажор.
Какво са подобни триъгълници и коефициент на подобие
Два триъгълника наричаме подобни, ако са изпълнени две условия:
- техните ъгли съответно са равни — на всеки ъгъл от първия триъгълник отговаря равен на него ъгъл от втория;
- техните сходствени страни са пропорционални — всички три отношения дават едно и също число.
Сходствени (съответствени) страни са страните, които лежат срещу равни ъгли. Именно те образуват двойки, между които се изчислява отношението.
Подобието се записва със знака \(\sim\):
Коефициент на подобие \(k\) — това е същото еднакво отношение на сходствените страни:
Ако \(k > 1\), вторият триъгълник е по-голям от първия; ако \(k < 1\) — по-малък; при \(k = 1\) триъгълниците са просто равни, тъй като равенството е частен случай на подобие.
Редът на върховете в записа — не е формалност
Записът \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) се чете стриктно по позиции: \(A\) съответства на \(A_1\), \(B\) — на \(B_1\), \(C\) — на \(C_1\). Оттук веднага следва кои ъгли са равни (\(\angle A = \angle A_1\)) и кои страни са сходствени (\(AB\) и \(A_1B_1\), \(BC\) и \(B_1C_1\), \(AC\) и \(A_1C_1\)).
Ако разместим буквите и напишем \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), ще получим друго твърдение: сега \(\angle A = \angle B_1\), а сходствена на \(AB\) ще бъде страната \(B_1A_1\). Не може да се съставя пропорция по „подобно разположени“ страни — само по позициите в записа. Затова първо се изписват двойките равни ъгли и вече под тях се наглася редът на буквите.
Три признака на подобие на триъгълници
Не е нужно да се проверяват всички шест условия от определението: подобието се доказва по един от три признака. Всеки от тях е минимален набор от данни, от който автоматично следва както равенството на всички ъгли, така и пропорционалността на всички страни.
Как да изберем признак. Вижте какво е дадено в задачата: ако е за ъгли — първия, ако е за две страни и ъгъл — втория, ако е за трите страни — третия.
- Първи признак (по два ъгъла) — работната кобила на учебния курс: почти всички задачи от НВО се решават именно с него. Третият ъгъл не е нужно да се проверява, той е равен автоматично: сборът на ъглите в триъгълник винаги е \(180°\). Търсете готови двойки равни ъгли — общ ъгъл на два триъгълника, вертикални ъгли, кръстни и съответни при успоредни прави, два прави ъгъла.
- Втори признак (по две страни и ъгъл между тях) изисква ъгълът да е точно между тези две страни. Ако равният ъгъл лежи срещу една от тях, признакът не работи и подобието не е доказано.
- Трети признак (по три страни) — когато в условието изобщо няма ъгли, а има само дължини. Изпишете страните на всеки триъгълник във възходящ ред и разделете най-малката на най-малката, средната на средната, голямата на голямата: така двойките със сигурност няма да се объркат. Подобие има само ако всички три отношения съвпаднат.
За да не бъркате признаците на подобие с признаците за равенство, имайте предвид разликата: при равенство страните трябва да съвпадат, при подобие — да са пропорционални.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Отношение на периметри и площи на подобни триъгълници
Подобието има две следствия, които се питат най-често, и едно от тях е главният капан на темата.
Периметрите се отнасят като \(k\). Всяка страна на втория триъгълник е \(k\) пъти по-голяма от сходствената страна на първия, затова и сборът на страните нараства точно \(k\) пъти:
По същия начин — „в \(k\) пъти“ — се държат всички линейни величини: височини, медиани, ъглополовящи, радиуси на вписани и описани окръжности, средни отсечки.
Площите се отнасят като \(k^2\). Площта зависи от две измерения едновременно: и основата, и височината се увеличават \(k\) пъти, а произведението — \(k \cdot k\) пъти:
Нека \(k = 5\). Тогава периметърът е по-голям 5 пъти (например, беше 14 см — стана 70 см), а площта — вече 25 пъти (беше 6 см² — стана 150 см²). Разликата е огромна и да заместиш \(k\) вместо \(k^2\) е най-честата грешка на изпита.
Обратно действие. Ако в условието е дадено отношение на площи, коефициентът на подобие се намира чрез корен: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Например, площите се отнасят като \(16 : 1\), следователно страните — като \(4 : 1\).
| k | Периметри P₂ : P₁ | Площи S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| всяко | k : 1 | k² : 1 |
Подобие на правоъгълни триъгълници и височина от прав ъгъл
За правоъгълни триъгълници първият признак се опростява: правите ъгли при тях са равни предварително, затова е достатъчно равенството на един остър ъгъл, за да бъдат триъгълниците подобни. От това следва и признакът по два катета: ако катетите на единия са пропорционални на катетите на другия, триъгълниците са подобни (това е вторият признак, тъй като ъгълът между катетите е прав).
Най-полезната конфигурация на цялата тема е височината, спусната от върха на правия ъгъл. Тя разделя триъгълника на два и всичките три получени триъгълника са подобни помежду си.
Защо така: триъгълник \(AHC\) има прав ъгъл при \(H\) и общ с големия триъгълник ъгъл \(A\), следователно \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). Триъгълник \(CHB\) има прав ъгъл при \(H\) и общ ъгъл \(B\), следователно \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Оттук са подобни и двата малки триъгълника помежду си.
От тези подобия се получават формулите за средно геометрично (наричат се пропорционални отсечки в правоъгълен триъгълник):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — височината е средно геометрично на отсечките, на които тя дели хипотенузата;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) и \(BC^2 = HB \cdot AB\) — катетът е средно геометрично на цялата хипотенуза и нейната проекция върху нея.
Основното е да не се обърка коя отсечка е „своя“: при катета \(AC\) проекцията е \(AH\), при катета \(BC\) проекцията е \(HB\). Проекцията винаги приляга към същия край на хипотенузата, към който е и катетът. Това е.
Задачи от НВО за подобие: как да намерим страна
Почти всички задачи за подобие се решават по един алгоритъм:
- Намерете двойка равни ъгли — общ ъгъл, вертикални, кръстни при успоредни прави или два прави.
- Запишете подобието в правилен ред на върховете — така, че равните ъгли да стоят на еднакви позиции.
- Съставете пропорция от сходствените страни (вземаме страни, които стоят на еднакви места в записа).
- Изразете неизвестната и пресметнете; накрая проверете отговора по смисъл — страната на по-малкия триъгълник трябва да се получи по-малка.
Типичните конфигурации в НВО са малко и си струва да ги разпознавате от пръв поглед:
- Права, успоредна на страна. Права отсича от триъгълника малък триъгълник, подобен на изходния. Ключова тънкост: в пропорцията влиза отношението на целите страни от общия връх (\(BM : BA\)), а не на отсечките (\(BM : MA\)).
- „Пеперуда“. Две отсечки се пресичат, а краищата им са свързани с успоредни прави — получават се два подобни триъгълника, разположени един срещу друг.
- Височина от прав ъгъл — конфигурация от предишния раздел; в НВО по нея търсят височина, катет или отсечка от хипотенузата.
- Сянка и височина на предмет. Слънчевите лъчи са успоредни, затова предмет със своята сянка и дърво със своята сянка дават подобни правоъгълни триъгълници.
- Средна линия — частен случай с \(k = 2\): тя е успоредна на страна и два пъти по-къса от нея.
ъгъл B общ, ъгли при M и A съответни
ъгли при O вертикални, ъгли A и C кръстни
Примери за решаване на задачи за подобие на триъгълници
Пример 1. Намиране на страни по коефициент на подобие
Задача. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Известно е, че \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) и \(PQ = 21\). Намерете \(QR\) и \(PR\).
Стъпка 1. Разглеждаме записа по позиции: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Следователно сходствените двойки са: \(MN\) и \(PQ\), \(NK\) и \(QR\), \(MK\) и \(PR\).
Стъпка 2. Изчисляваме коефициента по единствената двойка, където и двете страни са известни:
Стъпка 3. Останалите страни на втория триъгълник са 3 пъти по-големи от сходствените:
Отговор: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Проверка: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — всички отношения съвпаднаха.
Пример 2. Доказване на подобие по втори признак
Задача. В триъгълници \(ABC\) и \(DEF\) е известно: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), а ъгли \(A\) и \(D\) са равни. Докажете, че триъгълниците са подобни.
Стъпка 1. Проверяваме главното условие на втория признак: ъгъл \(A\) е между страните \(AB\) и \(AC\), ъгъл \(D\) — между \(DE\) и \(DF\). Ъглите между дадените страни — признакът е приложим.
Стъпка 2. Изчисляваме отношенията на сходствените страни:
Стъпка 3. Две двойки страни са пропорционални с един коефициент \(k = 3\), ъглите между тях са равни — по втория признак \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Отговор: триъгълниците са подобни, \(k = 3\). Забележете: ако равни бяха ъгли \(B\) и \(D\), признакът нямаше да работи — ъгъл \(B\) не лежи между \(AB\) и \(AC\).
Пример 3. Права, успоредна на страна (задача от НВО)
Задача. В триъгълник \(ABC\) точка \(M\) лежи на страна \(AB\), точка \(N\) — на страна \(BC\), като \(MN \parallel AC\). Известно е, че \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Намерете \(AC\).
Стъпка 1. Тъй като \(MN \parallel AC\), ъгли \(BMN\) и \(BAC\) са равни като съответни, а ъгъл \(B\) е общ. По първия признак \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (ред на върховете: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Стъпка 2. Намираме цялата страна от общия връх: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Това е главната тънкост — в пропорцията влиза \(BA\), а не \(MA\).
Стъпка 3. Съставяме пропорция по сходствените страни:
Стъпка 4. Оттук \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Отговор: \(AC = 20\). Коефициентът на подобие тук е 4: големият триъгълник е четири пъти по-голям от отсечения.
Пример 4. Периметри и площи
Задача. Периметрите на подобни триъгълници са 18 см и 45 см. Площта на по-малкия триъгълник е 16 см². Намерете площта на по-големия.
Стъпка 1. Периметрите се отнасят като коефициента на подобие:
Стъпка 2. Площите се отнасят като квадрата на коефициента: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Стъпка 3. Умножаваме площта на по-малкия триъгълник по \(k^2\):
Отговор: 100 см². Ако бяхме умножили по \(k = 2{,}5\), щяхме да получим 40 см² — типична грешка, заради която се губи цял бал.
Пример 5. Височина от върха на прав ъгъл
Задача. В правоъгълен триъгълник \(ABC\) с прав ъгъл при върха \(C\) е спусната височина \(CH\) към хипотенузата. Известно е, че \(AH = 4\) см, \(HB = 9\) см. Намерете височината \(CH\) и площта на триъгълника.
Стъпка 1. Височината от правия ъгъл е средно геометрично на отсечките от хипотенузата, защото \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Стъпка 2. Извличаме корен: \(CH = 6\) см.
Стъпка 3. Хипотенузата \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) см. Площта се изчислява чрез хипотенузата и спуснатата към нея височина:
Отговор: \(CH = 6\) см, \(S = 39\) см².
Пример 6. Височина на дърво по сянка
Задача. Вертикален кол с височина 2 м хвърля сянка с дължина 1,5 м. В същия момент сянката на дърво е 9 м. Каква е височината на дървото?
Стъпка 1. Слънчевите лъчи са успоредни, затова ъгълът на падане на лъча за кола и за дървото е еднакъв. Колът със сянката и дървото със сянката образуват правоъгълни триъгълници с равен остър ъгъл — следователно са подобни.
Стъпка 2. Съставяме пропорция „височина към собствената ѝ сянка“:
Стъпка 3. Изразяваме неизвестната височина:
Отговор: 12 м. Проверка по смисъл: сянката на дървото е 6 пъти по-дълга от сянката на кола, следователно и дървото е 6 пъти по-високо: \(2 \cdot 6 = 12\) м.
Чести грешки в задачите за подобие на триъгълници
-
Считат, че площите на подобни триъгълници се отнасят като $k$: при $k = 3$ увеличават площта три пъти.
Площите се отнасят като квадрата на коефициента: при \(k = 3\) площта е по-голяма \(3^2 = 9\) пъти. Като \(k\) се отнасят само линейните величини — страни, периметър, височини, медиани. Правило-подсказка: площта се измерва в квадратни единици, следователно и коефициентът в нея влиза на квадрат.
-
Игнорират реда на върховете: от записа $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ съставят пропорция $AB : LM$.
Съответствието на върховете се задава от позициите в записа: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). Сходствена на \(AB\) ще бъде \(KL\), а на \(BC\) — \(LM\). Преди да напишете пропорция, изпишете двойките върхове една под друга — това отнема пет секунди и елиминира повечето грешки.
-
Доказват подобие по един равен ъгъл или по две пропорционални страни без ъгъл.
Един равен ъгъл е малко: два триъгълника могат да имат равен ъгъл при съвсем различна форма. Нужен е пълен признак — два ъгъла, или две страни и ъгъл между тях, или трите страни.
-
При втория признак вземат ъгъл, който не лежи между дадените страни.
Вторият признак работи само с ъгъл между двете дадени страни. Ако са известни \(AB\), \(AC\) и е равен ъгъл \(B\), признакът е неприложим — търсете друг път: двойка равни ъгли или трета страна.
-
Обръщат коефициента: намират $k$ като „по-малка страна към по-голяма“, а след това умножават по него, за да получат страна на по-големия триъгълник.
Уговорете се сами за посоката: ако \(k\) е отношението на страните на втория триъгълник към първия, то страните на първия умножават по \(k\), а страните на втория на \(k\) делят. Финална проверка по смисъл: страната на по-малкия триъгълник трябва да се получи по-малка.
-
В задача с права, успоредна на страна, съставят пропорция от отсечки: $BM : MA = MN : AC$.
Подобни са триъгълниците \(BMN\) и \(BAC\), а техните сходствени страни са \(BM\) и \(BA\) (цялата страна от общия връх), а не отсечката \(MA\). Първо намерете \(BA = BM + MA\), и едва след това съставете пропорцията.
-
Бъркат подобие с равенство и в отговора пишат, че страните просто са равни.
Равенството е частен случай на подобие при \(k = 1\). Ако \(k \ne 1\), триъгълниците имат еднакви само ъглите, а страните са пропорционални с коефициент \(k\). Признаците също са различни: при равенство това са СУС, УСУ, ССС с съвпадащи страни, при подобие — пропорционални страни.
Въпроси и отговори
Кои триъгълници се наричат подобни?
Подобни се наричат триъгълници, чиито ъгли са съответно равни, а сходствените страни са пропорционални. По-просто казано, това са триъгълници с еднаква форма, но различен размер. Подобието се записва със знак ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Какво е коефициент на подобие на триъгълници?
Коефициентът на подобие k е число, равно на отношението на сходствените страни на подобни триъгълници: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Той показва колко пъти единият триъгълник е по-голям от другия. При k = 1 триъгълниците са равни.
Колко признака за подобие на триъгълници има и какви са те?
Признаците са три. Първият — по два ъгъла: два ъгъла на единия триъгълник са равни на два ъгъла на другия. Вторият — по две страни и ъгъл между тях: две страни са пропорционални и ъглите между тях са равни. Третият — по три страни: всички три двойки сходствени страни са пропорционални.
Как се отнасят площите на подобни триъгълници?
Площите на подобни триъгълници се отнасят като квадрата на коефициента на подобие: S₂ : S₁ = k². Например, при k = 4 площта е по-голяма 16 пъти. Обратно: ако площите се отнасят като 25 : 1, то страните се отнасят като 5 : 1.
Как се отнасят периметрите на подобни триъгълници?
Периметрите се отнасят като коефициента на подобие: P₂ : P₁ = k. По същия начин се държат всички линейни елементи — височини, медиани, ъглополовящи, средни линии, радиуси на вписани и описани окръжности.
С какво подобието на триъгълници се различава от равенството?
При равни триъгълници съвпадат и ъглите, и страните, затова фигурите могат да се наложат една върху друга. При подобни съвпадат само ъглите, а страните са пропорционални с коефициент k. Равенството е частен случай на подобие при k = 1.
Как да докажем подобие на правоъгълни триъгълници?
Достатъчно е равенството на един остър ъгъл: правите ъгли при тях вече са равни, следователно работи първият признак. Втори начин — пропорционалност на катетите: ъгълът между катетите е прав, затова е приложим вторият признак на подобие.
Защо височината от правия ъгъл дава три подобни триъгълника?
Височината CH от правия ъгъл C разделя триъгълник ABC на триъгълници AHC и CHB. У AHC правият ъгъл е при H и общ с ABC е ъгъл A, у CHB — прав ъгъл при H и общ ъгъл B, затова и двата са подобни на изходния, а оттам и помежду си. Оттук се получават формулите CH² = AH · HB, AC² = AH · AB и BC² = HB · AB.
В кой клас се изучава подобие на триъгълници?
В 8. клас по геометрия — веднага след темата за пропорционални отсечки. Там се изучават и трите признака на подобие, отношението на площите и приложението на подобието към правоъгълен триъгълник. По-нататък темата се използва в 9. клас и в задачи от НВО.
