圓會產生兩種主要的角：圓心角——頂點在圓心，以及圓周角——頂點在圓周上。它們之間的關係很簡單：圓心角等於它所對的弧，而圓周角等於該弧的一半。本頁內容包含定義、圓周角定理及其所有推論、清晰的圖解、逐步解題範例，以及一個可以立即自我檢測的互動式練習器。
圓中的角類型：圓心角與圓周角
在圓上從一個點畫出兩條線段，就會形成一個角。根據頂點的位置，圓中的角主要分為兩種類型：
- 圓心角 — 頂點在圓心 \(O\) 的角。它的兩邊是半徑。
- 圓周角 — 頂點在圓周上，且兩邊與圓相交的角（即兩邊為弦）。
這兩種角都對應一個弧——位於角內部的一部分圓周。正是這個弧將圓心角和圓周角聯繫起來：兩者的大小都通過弧的度數來表示。
如果角的頂點在圓內（但非圓心）或圓外，那它就既不是圓周角也不是圓心角：對於這類角有它們自己的公式，我們將在本頁末尾討論。
∠AOC = AC弧 = 120°
∠ABC = ½ AC弧 = 60°
圓周角定理與圓周角的大小
圓心角等於它所對的弧——弧的度數就是這樣定義的。如果 \(\angle AOC = 120°\)，那麼 AC 弧也等於 \(120°\)。
圓周角定理： 圓周角的大小等於它所對的弧的一半：
由此可得圓周角與圓心角的主要關係：對應同一段弧的圓周角是圓心角的一半：
圓周角的大小與其頂點在圓周上的具體位置無關——重要的是它所對的弧。因此，下圖可以作為整個主題的「核心示意圖」來記憶：綠色的弧和兩個對著它的角。
圓周角與圓心角：性質與推論
從圓周角定理可以直接推導出一些性質，大多數學校的習題都建立在這些性質之上：
- 對應同一段弧的圓周角相等。 它們每一個都等於同一段弧的一半，因此無論頂點在哪裡，它們都彼此相等。
- 對應直徑的圓周角是直角。 直徑將圓分成兩個 \(180°\) 的半圓，所以這樣的角等於 \(180° : 2 = 90°\)。反之亦然：如果一個圓周角是直角，那麼它所對的弦就是直徑。
- 圓周角可以是鈍角。 如果所對的弧大於 \(180°\)，那麼角就大於 \(90°\)——「弧的一半」這個公式沒有例外。
這些性質也可以「反向」應用：例如，通過證明對應同一線段的角相等，可以證明四個點共圓。
內接角與外切角：圓內接四邊形
如果一個四邊形的所有四個頂點都在一個圓上，它就被稱為圓內接四邊形（而這個圓被稱為它的外接圓）。這種四邊形的角都是圓周角，因此同樣的定理也適用於它們。
- 圓內接四邊形的對角和等於 \(180°\)。 角 \(A\) 和角 \(C\) 所對的兩個弧加起來正好是整個圓（\(360°\)），所以 \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\)。
- 圓內接四邊形的外角等於其內對角。 外角與其相鄰的內角互補（和為 \(180°\)），而其內對角也與該內角互補。
- 對角和的性質也是一個判別方法：如果一個四邊形的對角和為 \(180°\)，那麼它就有一個外接圓。因此，任何矩形都可以內接於一個圓，而菱形（正方形除外）則不能。
在題目中，除了圓周角，有時也會遇到外切角——由圓外一點向圓所作的兩條切線所夾的角。外切角等於它所夾的兩段弧度數差的一半。
圓周角與圓心角解題範例
範例 1. 根據弧長求圓周角
題目： 圓周角 \(ABC\) 對應的 \(AC\) 弧等於 \(120°\)。求 \(\angle ABC\)。
步驟 1. 回憶定理：圓周角等於它所對的弧的一半。
步驟 2. 代入計算：\(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\)。
答案： \(60°\)。
範例 2. 根據圓周角求圓心角
題目： 圓周角 \(ABC\) 等於 \(40°\)。求對應同一段 \(AC\) 弧的圓心角 \(AOC\)。
步驟 1. 對應同一段弧的圓心角是圓周角的兩倍：\(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\)。
步驟 2. 計算：\(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\)。同時我們也知道了弧長：\(AC\) 弧 \(= 80°\)。
答案： \(80°\)。
範例 3. 對應直徑的角
題目： \(AC\) 是圓的直徑，點 \(B\) 在圓周上，\(\angle BAC = 35°\)。求 \(\angle BCA\)。
步驟 1. 角 \(ABC\) 對應直徑 \(AC\)，因此 \(\angle ABC = 90°\)——三角形 \(ABC\) 是直角三角形。
步驟 2. 三角形內角和為 \(180°\)：\(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\)。
答案： \(55°\)。
範例 4. 圓內接四邊形
題目： 四邊形 \(ABCD\) 內接於一個圓，\(\angle A = 70°\)，\(\angle B = 80°\)。求角 \(C\) 和角 \(D\)。
步驟 1. 圓內接四邊形的對角和為 \(180°\)：\(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\)。
步驟 2. 同理，\(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\)。
驗算： \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\)——四邊形內角和正確。
答案： \(\angle C = 110°\)，\(\angle D = 100°\)。
關於圓中角的常見錯誤
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混淆圓周角和圓心角：把頂點在圓心的角當成弧的一半（或反過來）。
首先看頂點。頂點在圓心 \(O\)——這是圓心角，它等於整個弧。頂點在圓周上——這是圓周角，它等於弧的一半。
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選錯弧：計算圓周角時，用了頂點所在的弧。
圓周角對應的是位於角「內部」的弧——頂點總是在另一段弧上。在 \(\angle ABC\) 的表示中，角對應的是不包含點 \(B\) 的 \(AC\) 弧。
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乘 2 和除以 2 的方向搞錯：從圓周角換算到圓心角時，用了除法而不是乘法。
記住：圓周角是「小」的（弧的一半），圓心角是「大」的（整個弧）。從圓周角到圓心角——乘以 2；從圓心角到圓周角——除以 2。
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把任何兩邊與圓相交的角都當成圓周角——例如，圓內兩弦相交所成的角。
圓周角的頂點必須在圓周上。頂點在圓內的角等於所夾兩弧和的一半，頂點在圓外的角等於所夾兩弧差的一半：這些是不同的公式。
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在圓內接四邊形中，把相鄰角的和當成 $180°$，而不是對角。
這個性質只適用於對角：\(\angle A + \angle C = 180°\) 以及 \(\angle B + \angle D = 180°\)。圓內接四邊形的相鄰角可以是任意度數。
問與答
圓周角等於多少？
圓周角等於它所對的弧的一半。例如，如果弧等於 120°，圓周角就等於 60°。這就是圓周角定理——這個主題的核心公式。
對應同一段弧的圓周角和圓心角有什麼關係？
圓心角是圓周角的兩倍：∠AOC = 2·∠ABC。圓心角等於整個弧，而圓周角等於弧的一半。
為什麼對應直徑的圓周角等於 90°？
直徑所對的是一個 180° 的半圓弧。圓周角等於該弧的一半：180° : 2 = 90°。因此，任何以其外接圓直徑為一邊的三角形都是直角三角形。
圓周角可以是鈍角嗎？
可以。如果角所對的弧大於 180°，那麼這個角就是鈍角：例如，210° 的弧對應的圓周角是 105°。不過，圓周角永遠小於 180°。
什麼是外切角？它和圓周角有什麼不同？
外切角是由圓外一點向圓所作的兩條切線形成的角。它的頂點在圓外，其大小等於所夾兩弧度數差的一半。而圓周角的頂點在圓周上，其大小等於所對弧的一半。
圓中還有哪些其他類型的角？
除了圓心角和圓周角，還有弦切角（切線與弦的夾角，等於所夾弧的一半）、圓內角（兩弦交於圓內，等於所對兩弧和的一半）和圓外角（兩割線或切線交於圓外，等於所夾兩弧差的一半）。它們的大小都可以用圓弧來表示。
