畢氏定理是八年級幾何的核心公式：在直角三角形中，兩股平方和等於斜邊平方，即 \(a^2 + b^2 = c^2\)。由此可推導出求斜邊、求任一股長、矩形對角線長度以及兩點間距離的公式。本頁包含定義與公式、透過面積進行的直觀證明、畢氏逆定理、3-4-5 埃及三角形、步驟詳解與互動式練習題。
什麼是畢氏定理以及公式如何表達
畢氏定理僅適用於直角三角形，即其中一個角為 \(90°\) 的三角形。此類三角形的邊有特定名稱：
- 股 (legs) — 構成直角的兩條邊；
- 斜邊 (hypotenuse) — 直角對面的邊，也是三角形中最長的一邊。
定理敘述： 在直角三角形中，斜邊的平方等於兩股的平方和。
其中 \(a\) 和 \(b\) 為股，\(c\) 為斜邊。有時定理會以「幾何」方式敘述：以斜邊為邊長所作的正方形面積，等於以兩股為邊長所作的正方形面積之和。這與數值敘述是同一回事。
記住字母順序的簡單規則：大寫字母 \(c\) 永遠代表最長的那條邊。如果在解題時將斜邊與股混淆，答案就會出錯。
畢氏定理的證明
畢氏定理的證明方法超過百種。學校課程中會介紹最直觀的 — 面積證明法。取兩個邊長為 \(a + b\) 的相同正方形，並在每個正方形內放入四個相同的直角三角形（股長為 \(a\) 和 \(b\)），但擺放方式不同。
- 在第一個正方形中，將三角形推向角落，使剩餘空間為兩個正方形：邊長分別為 \(a\) 和 \(b\)，面積分別為 \(a^2\) 和 \(b^2\)。
- 在第二個正方形中，將四個三角形以「旋轉」方式擺放。剩餘空間為一個斜放的正方形，邊長為 \(c\)，面積為 \(c^2\)。
- 大正方形面積相等：皆為 \((a+b)^2\)。三角形的總面積也相同：每個三角形面積為 \(\frac{ab}{2}\)，四個總和為 \(2ab\)。
既然整體與扣除的部分皆相同，剩下的部分也必然相等：\(a^2 + b^2 = c^2\)。定理得證 — 兩個正方形的面積平衡已在圖中列出。
如何利用畢氏定理求斜邊與股長
所有相關公式皆源自 \(a^2 + b^2 = c^2\)：將未知邊移項並開平方根即可。兩種情況的差別僅在於運算符號 — 這也是最容易出錯的地方：
- 斜邊：透過兩股平方的和來計算 — 結果必須比任一股長；
- 股長：透過差來計算 — 用斜邊平方減去已知股長的平方，結果必須小於斜邊。
如果根號內出現負數，代表將斜邊與股長搞混了 — 請回到圖形並找出直角。還有一點：最後務必開根號，這是最常丟分的地方。
下方提供所有公式的總整理。
| 求解項目 | 公式與說明 |
|---|---|
| 斜邊 | c = √a2 + b2兩股平方和的平方根 |
| 股 a | a = √c2 − b2斜邊平方減去另一股平方的平方根 |
| 股 b | b = √c2 − a2對稱：減去另一股的平方 |
| 檢測 | a2 + b2 = c2 ?等式成立 → 為直角三角形（畢氏逆定理） |
畢氏逆定理與埃及三角形
畢氏逆定理： 若三角形一邊的平方等於另外兩邊的平方和，則該三角形為直角三角形，且直角位於最長邊的對面。
這是一個實用的工具：透過三邊長即可判斷三角形類型，無需使用量角器。步驟如下：
- 找出最長邊 — 它是斜邊的候選者；
- 將另外兩邊平方並相加；
- 與最長邊的平方進行比較。
若相等，則為直角三角形。例如，邊長為 6、8 和 10：\(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\)，故為直角三角形。
滿足此等式的整數集合稱為畢氏三元數。最著名的是 3, 4, 5：此類三角形稱為埃及三角形，因為古埃及建築師在繩子上標記 12 個等距點，並將其圍成邊長為 3、4、5 的三角形，以在工地獲得精確的直角。此方法至今仍在使用。
畢氏定理的應用：生活與幾何習題
每當圖形中出現直角三角形時，畢氏定理就派得上用場：
- 矩形對角線：對角線將矩形分為兩個直角三角形，故 \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\)。電視螢幕尺寸或房間大小皆以此計算。
- 等腰三角形的高：作底邊的高會將底邊平分，並形成直角三角形 — 接著使用相同公式。
- 正方形對角線：若邊長為 \(a\)，則 \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\)。
- 座標平面上兩點間距離：公式 \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) 即為畢氏定理在座標差上的應用。
- 實務問題：靠牆的梯子、影子的樹高、纜線長度 — 在這些問題中，皆可構建直角三角形並應用公式。
重點在於記住限制：畢氏定理僅適用於直角三角形。若無直角，則需使用九年級學習的餘弦定理。
畢氏定理習題解法範例
範例 1. 求斜邊
題目。 直角三角形兩股分別為 \(9\) 公分和 \(12\) 公分。求斜邊長。
步驟 1. 寫出定理：\(c^2 = a^2 + b^2\)。
步驟 2. 將股長平方並相加：
步驟 3. 開根號：\(c = \sqrt{225} = 15\) 公分。
答案： \(15\) 公分。邏輯檢查：斜邊比任一股長，符合預期。
範例 2. 求股長
題目。 直角三角形斜邊為 \(25\) 公分，一股為 \(7\) 公分。求另一股長。
步驟 1. 從 \(a^2 + b^2 = c^2\) 導出未知股長：\(b^2 = c^2 - a^2\)。這裡用差而非和 — 因為我們求的是股長。
步驟 2. 代入數值：
步驟 3. 開根號：\(b = \sqrt{576} = 24\) 公分。
答案： \(24\) 公分。同時發現了 \(7 - 24 - 25\) 的畢氏三元數。
範例 3. 梯子問題
題目。 長 \(5\) 公尺的梯子靠在牆上。梯子底部距離牆壁 \(3\) 公尺。梯子頂端距離地面多高？
步驟 1. 繪圖：牆壁與地面構成直角，梯子為斜邊。故 \(c = 5\) 公尺，一股 \(a = 3\) 公尺，高度 \(h\) 為另一股。
步驟 2. 透過差計算股長：
步驟 3. \(h = \sqrt{16} = 4\) 公尺。
答案： \(4\) 公尺。這正是埃及三角形 \(3 - 4 - 5\)。
範例 4. 利用逆定理檢測三角形
題目。 三角形邊長為 \(10\)、\(24\) 和 \(26\)。它是直角三角形嗎？
步驟 1. 找出最長邊 — 為 \(26\)。若為直角三角形，這就是斜邊。
步驟 2. 計算兩短邊的平方和：\(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\).
步驟 3. 與最長邊的平方比較：\(26^2 = 676\)。數值相等。
答案： 是，為直角三角形，直角位於 \(26\) 的對面。這是 \(5 - 12 - 13\) 的兩倍。
範例 5. 矩形對角線
題目。 矩形邊長為 \(8\) 公分和 \(15\) 公分。求對角線長。
步驟 1. 對角線將矩形分為兩個直角三角形：矩形邊長為股，對角線為斜邊。
步驟 2. 應用公式：\(d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}\).
步驟 3. \(d = 17\) 公分。
答案： \(17\) 公分。這裡運用了 \(8 - 15 - 17\) 的畢氏三元數。
畢氏定理習題常見錯誤
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將股長與斜邊混淆：將最長邊當作股長代入，導致根號內出現負數。
斜邊永遠是直角對面的邊，且最長。解題前先繪圖：標出直角，就能看出哪條邊是斜邊。
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將邊長直接相加而非平方：寫成 $a + b = c$，導致 6 和 8 的股長算出 14。
定理連結的是平方：\(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)，故 \(c = 10\)。兩股之和永遠大於斜邊 — 這不是答案，而是錯誤的徵兆。
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忘記開根號，將 $c^2$ 當作答案：寫成「斜邊為 225」。
計算後得到的是邊長的平方。最後一步務必開根號：\(c = \sqrt{225} = 15\)。養成在寫答案前重讀題目的習慣。
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透過和來求股長：$b = \sqrt{c^2 + a^2}$。
透過和只能求斜邊。股長要用差：\(b = \sqrt{c^2 - a^2}\)。檢查很簡單：股長必須小於斜邊。
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將定理應用於非直角三角形 — 例如等腰三角形或邊長為 5、6、7 的任意三角形。
畢氏定理僅適用於直角三角形。若無直角，需先「創造」直角 — 作高 — 或使用九年級的餘弦定理。
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逆定理中比較對象錯誤：隨意將兩邊平方相加。
必須是最長邊的平方等於另外兩邊的平方和。對於 6、8、11，比較 \(6^2 + 8^2 = 100\) 與 \(11^2 = 121\)：不等，故非直角三角形。
問與答
畢氏定理公式如何表達？
a² + b² = c²，其中 a 和 b 為直角三角形的股，c 為斜邊。文字敘述：斜邊平方等於兩股平方和。
已知兩股，如何求斜邊？
將兩股平方、相加並開根號：c = √(a² + b²)。例如，股長為 6 和 8，c = √(36 + 64) = √100 = 10。
已知斜邊與一股，如何求另一股？
透過平方差：a = √(c² − b²)。例如，斜邊為 13，一股為 5，另一股為 √(169 − 25) = √144 = 12。
畢氏定理在幾年級教？
八年級幾何課程的「直角三角形」單元。同時會學習畢氏逆定理與畢氏三元數，後續在九年級及會考中會持續使用。
什麼是畢氏逆定理？
這是定理的反向敘述：若三角形一邊的平方等於另外兩邊的平方和，則該三角形為直角三角形。它允許我們在不測量角度的情況下，透過三邊長判斷三角形類型。
什麼是埃及三角形？
邊長為 3、4、5 的三角形：3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²。古埃及人利用標記 12 等份的繩子，以此獲得精確的直角來進行建築測量。
畢氏定理適用於非直角三角形嗎？
不適用。a² + b² = c² 僅在直角時成立。對於任意三角形，需使用餘弦定理 c² = a² + b² − 2ab·cos C，當角度為 90° 時，該公式即簡化為畢氏定理。
如何簡單證明畢氏定理？
最直觀的學校證明法是面積法。取兩個邊長為 a + b 的相同正方形，每個放入四個相同的直角三角形。第一個正方形剩餘空間為 a² 和 b²，第二個為 c²。既然大正方形與三角形皆相同，則 a² + b² = c²。
