餘弦定理連結了三角形的三邊與其中一個角：\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)。它適用於任何三角形，因此在九年級幾何中，當沒有直角時，它便取代了畢氏定理。利用它，若已知兩邊及其夾角，即可求出第三邊；而透過推論 \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)，則可由三邊長求出任意角並判斷三角形類型。本頁面包含定理敘述、三種公式寫法、證明過程、餘弦函數表、「正弦或餘弦」選擇指南、會考習題解析以及自我檢測練習。
餘弦定理：敘述與公式
餘弦定理適用於任何三角形，不需要直角。它連結了三邊與一個角，因此當已知兩邊及其夾角時，可用它來求第三邊。
敘述： 三角形一邊的平方，等於其他兩邊平方和減去這兩邊與其夾角餘弦乘積的兩倍。
其中 \(a\)、\(b\)、\(c\) 為三角形邊長，\(C\) 為邊 \(a\) 與 \(b\) 的夾角；邊 \(c\) 為該角的對邊。字母可以任意替換，公式具有對稱性，因此有三種等價的寫法：
代入的主要規則：角度必須取兩邊乘積之間的夾角，而求出的邊則是該角的對邊。若取了「鄰近」的角度，數值雖然都在題目中，但算出的答案會是錯誤的。
為什麼畢氏定理是餘弦定理的特例
將直角代入公式，即 \(C = 90°\)。直角的餘弦值為零，因此第三項完全歸零：
這正是八年級學過的畢氏定理。因此，餘弦定理被稱為畢氏定理的推廣：畢氏定理是「90°時的特例」，而餘弦定理適用於所有角度。
將項 \(-2ab\cos C\) 理解為 非直角的修正項 很方便：
- 銳角，\(\cos C > 0\) — 修正項被減去，邊 \(c\) 比畢氏定理預測的更 短；
- 直角，\(\cos C = 0\) — 沒有修正，剩下 \(c^2 = a^2 + b^2\)；
- 鈍角，\(\cos C < 0\) — 修正項被加上，邊 \(c\) 比畢氏定理預測的更 長。
餘弦定理證明
最簡短的學校證明是座標法。將頂點 \(C\) 置於原點，邊 \(b = CA\) 沿 \(x\) 軸放置。則頂點座標如下：
- \(C(0;\ 0)\) — 原點；
- \(A(b;\ 0)\) — \(x\) 軸上距離原點 \(b\) 的點；
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — 距離原點 \(a\) 且與 \(x\) 軸夾角為 \(C\) 的頂點。
邊 \(c\) 是線段 \(AB\) 的長度。根據兩點間距離公式計算：
展開括號：
將含 \(a^2\) 的項分組，並應用三角恆等式 \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\)：
得證。請注意：過程中並未要求角 \(C\) 為銳角。若為鈍角，餘弦值為負，座標 \(a\cos C\) 會落在 \(y\) 軸左側，但所有計算步驟依然相同 — 因此該定理適用於任何三角形。
推論：如何利用三邊求角
從餘弦定理中導出餘弦函數本身，這是它最重要的推論。當已知三邊長時，可用它來求角度：
分子為夾該角的兩邊平方和，減去該角的對邊平方。分母為夾該角的兩邊乘積的兩倍。對於其他角度，公式亦同：
計算步驟：
- 選擇目標角，確定其對邊 — 該邊的平方需在分子中帶負號；
- 計算分數（分母恆為正，符號僅由分子決定）；
- 透過函數表或反餘弦函數求出角度。
實用技巧：從 最長邊 開始。其對角為最大角，只有它可能是直角或鈍角 — 三角形中的另外兩個角必為銳角。
鈍角餘弦值：函數表
在學校習題中，角度幾乎都是「特殊角」：30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°。銳角的餘弦值為正，直角為零，而鈍角的餘弦值則為 負。鈍角的值可透過誘導公式 \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\) 從銳角值推導：例如，\(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\)。
這在實務上代表：當角度為鈍角時，表達式 \(-2ab\cos C\) 會變成加法 — 負負得正。對於 120° 的角，公式如下：
這正是最容易失分的地方：將 \(0{,}5\) 代入而非 \(-0{,}5\)，導致算出的邊長比已知兩邊還短。這顯然是不可能的 — 鈍角的對邊必為三角形中最長的邊。
| 角度 | 餘弦值 |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
如何利用三邊判斷三角形類型
餘弦定理讓我們無需使用量角器即可判斷三角形類型。分數 \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) 的符號僅取決於分子：分母 \(2ab\) 恆為正。因此，只需比較最長邊的平方與其他兩邊平方和即可。
設 \(c\) 為最長邊，則其對角 \(C\) 為最大角：
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → 角 \(C\) 為銳角。其餘角皆小於它，故三個角皆為銳角 — 三角形為 銳角三角形；
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — 三角形為 直角三角形（這正是畢氏定理的逆定理）；
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → 角 \(C\) 為鈍角 — 三角形為 鈍角三角形。
無需檢查其他角度：三角形中直角或鈍角最多只能有一個。別忘了三角形不等式 — 若最長邊不小於其餘兩邊之和，則該三角形根本不存在。
正弦定理或餘弦定理：如何選擇
這兩個定理都能解決同一個問題 — 求三角形的未知邊與角，但適用於不同的已知條件。正弦定理連結了邊與其 對角：
因此選擇規則如下：若題目中已有「邊與其對角」的組合 — 使用正弦定理；若沒有這樣的組合 — 從餘弦定理開始。四種常見學校題型的指南請見下表。
通常題目分兩步解決：先用餘弦定理求出第三邊，再用正弦定理快速求出剩餘角度。
| 已知條件 | 使用定理 |
|---|---|
| SAS兩邊及其夾角 | 餘弦定理求第三邊 |
| SSS三邊長 | 餘弦定理求任意角與三角形類型 |
| ASA一邊與兩角 | 正弦定理求其他兩邊 |
| SSA兩邊與其中一邊的對角 | 正弦定理求對角 |
會考中的餘弦定理
在數學會考中，餘弦定理出現在平面幾何題中 — 無論是選擇題還是非選擇題。常見題型如下：
- 由兩邊及其夾角求邊長 — 直接應用公式，最常見的是 60° 或 120° 的角。
- 由三邊求角或其餘弦值 — 使用推論 \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)。若題目要求「求 \(\cos\angle A\)」，則無需取反餘弦：答案就是該分數，直接填寫即可。
- 平行四邊形的對角線。 對角線將平行四邊形分割成兩邊及其夾角的三角形。平行四邊形的鄰角互補，因此其餘弦值互為相反數：銳角對較短的對角線，鈍角對較長的對角線。
- 由三邊判斷三角形類型 — 比較 \(a^2 + b^2\) 與 \(c^2\)。
- 三角形中線。 公式 \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) 是透過對兩個鄰角應用兩次餘弦定理導出的。
考試建議：在計算前，先在圖上標出「夾在」已知兩邊之間的角。若沒有這樣的角，則餘弦定理暫時無法使用，需尋找其他途徑。
餘弦定理習題範例
範例 1. 由兩邊與 60° 角求邊長
題目。 在三角形 \(ABC\) 中，邊 \(a = 7\)，\(b = 15\)，夾角 \(C = 60°\)。求邊 \(c\)。
步驟 1. 角 \(C\) 是邊 \(a\) 與 \(b\) 的夾角 — 這正是定理設計的應用場景：
步驟 2. 代入數值，\(\cos 60° = 0{,}5\)：
步驟 3. 開根號：\(c = \sqrt{169} = 13\).
答案： \(13\)。合理性檢查：60° 為銳角，因此對邊不是最長邊 — 事實上，\(13 < 15\)。
範例 2. 鈍角：負負得正
題目。 在三角形 \(ABC\) 中，已知：\(AB = 6\)，\(BC = 10\)，角 \(B = 120°\)。求邊 \(AC\)。
步驟 1. 角 \(B\) 是邊 \(AB\) 與 \(BC\) 的夾角，邊 \(AC\) 是其對邊：
步驟 2. 角為鈍角，故 \(\cos 120° = -0{,}5\)。乘積前的負號與餘弦值的負號相乘得正：
步驟 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
答案： \(14\)。檢查：鈍角對應最長邊 — \(14\) 大於 6 與 10。
範例 3. 由三邊求角
題目。 三角形三邊分別為 \(3\)、\(5\) 與 \(7\)。求其最大角。
步驟 1. 最大角對應最長邊，即邊 \(7\)。設其為 \(C\)，則 \(c = 7\)，鄰邊 \(a = 3\)，\(b = 5\)。
步驟 2. 應用推論：
步驟 3. 餘弦值為負 — 角為鈍角。根據函數表 \(\cos 120° = -0{,}5\)，故 \(C = 120°\).
答案： \(120°\)。同時得知該三角形為鈍角三角形。
範例 4. 判斷三角形類型
題目。 判斷三邊為 \(6\)、\(7\) 與 \(10\) 的三角形類型。
步驟 1. 檢查三角形不等式：\(6 + 7 = 13 > 10\) — 三角形存在。最長邊為 \(10\)。
步驟 2. 比較兩較短邊平方和與最長邊平方：
步驟 3. \(85 < 100\)，故分數分子為負，\(\cos C < 0\) — 邊 \(10\) 的對角為鈍角。若有需要，亦可求出角度：
答案： 鈍角三角形。注意：「目測」看不出來 — 邊長相差不大，但角度已超過 90°。
範例 5. 會考題：平行四邊形對角線
題目。 平行四邊形兩邊為 \(5\) 與 \(8\)，銳角為 \(60°\)。求較短對角線。
步驟 1. 對角線將平行四邊形分割成兩邊 (\(5\) 與 \(8\)) 及其夾角的三角形。較短對角線對應銳角 \(60°\)。
步驟 2. 計算：
步驟 3. 檢查。 第二條對角線對應角 \(120°\) (平行四邊形鄰角互補)：\(D^2 = 89 + 40 = 129\)，即 \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\)。對角線平方和為 \(49 + 129 = 178\)，邊長平方和的兩倍為 \(2(25 + 64) = 178\)。吻合，計算正確。
答案： \(7\)。
餘弦定理習題中的常見錯誤
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將鈍角的餘弦值取正號。對於邊 $4$ 與 $9$ 且夾角為 $120°$ 的情況，寫成 $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ 並得到 $c \approx 7{,}8$。
\(\cos 120° = -0{,}5\)，負負得正：\(c^2 = 97 + 36 = 133\)，即 \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\)。快速檢查：鈍角對應最長邊，故答案必大於 9。
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代入非已知兩邊夾角的角度：題目給定一個角，就直接代入，未觀察圖形。
在公式 \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) 中，邊 \(a\) 與 \(b\) 夾角 \(C\)，邊 \(c\) 為對邊。若已知角鄰接於目標邊，則此公式不適用 — 需使用其他三種寫法或正弦定理。
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忘記開根號，將邊長的平方當作答案：得到 $c^2 = 225$ 就寫「邊長為 225」。
公式永遠算出的是邊長的平方。最後一步必不可少：\(c = \sqrt{225} = 15\)。填寫答案前請重讀題目。
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混淆推論中各項的順序，寫成 $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$。
正確分子為 \(a^2 + b^2 - c^2\)：鄰邊平方和減去對邊平方。順序顛倒會導致符號相反，將鈍角 \(120°\) 誤算為銳角 \(60°\)。
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由餘弦值的絕對值求角：得到 −0,25，卻寫成銳角，彷彿餘弦值為 +0,25。
餘弦值為負必為鈍角。符號不可丟失：cos 60° = 0,5，cos 120° = −0,5；負數的反餘弦值大於 90°。
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嘗試用正弦定理處理「兩邊及其夾角」的題目，結果卡在第一步。
正弦定理需要「邊與其對角」的現成組合。兩邊及其夾角沒有這種組合 — 必須先用餘弦定理求出第三邊，之後才能使用正弦定理。
問與答
餘弦定理如何敘述？
三角形一邊的平方等於其他兩邊平方和減去這兩邊與其夾角餘弦乘積的兩倍：c² = a² + b² − 2ab·cos C。該定理適用於任何三角形，不僅限於直角三角形。
如何由兩邊及其夾角求三角形邊長？
代入公式 c² = a² + b² − 2ab·cos C 並開根號。例如，邊長 4 與 6 夾角 60°：c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28，故 c = √28 ≈ 5,3。
已知三邊長，如何求三角形角度？
使用餘弦定理的推論：cos C = (a² + b² − c²) / (2ab)，其中 c 為目標角的對邊。例如，邊長 2、3 與 4，最大角的餘弦值為 (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25，即為鈍角，約 104°。
為什麼畢氏定理是餘弦定理的特例？
因為直角時 cos 90° = 0，項 −2ab·cos C 歸零。公式剩下 c² = a² + b² — 這正是直角三角形的畢氏定理。
餘弦定理適用於鈍角三角形嗎？
適用，且無需修改。鈍角的餘弦值為負，因此項 −2ab·cos C 變為正數並加到平方和中。正因如此，鈍角的對邊會成為最長邊。
何時使用正弦定理，何時使用餘弦定理？
題目中已有「邊與其對角」組合時使用正弦定理 — 例如已知一邊與兩角。沒有該組合時使用餘弦定理：已知兩邊及其夾角或三邊長。通常分兩步：先餘弦，後正弦。
如何由三邊判斷三角形類型？
比較最長邊平方 c² 與其他兩邊平方和。若 a² + b² > c² — 銳角三角形，若 a² + b² = c² — 直角三角形，若 a² + b² < c² — 鈍角三角形。此差值的符號與最大角的餘弦值符號一致。
幾年級學習餘弦定理？
九年級幾何課程，在「三角形邊角關係」單元 — 與正弦定理一同學習。之後會持續用於會考與學測的平面幾何與立體幾何題中。
