Góc nội tiếp trong đường tròn: góc ở tâm và các tính chất

Nếu ta vẽ hai đoạn thẳng từ một điểm trong đường tròn, ta sẽ được một góc. Tùy thuộc vào vị trí đỉnh của nó, có hai loại góc chính trong đường tròn:

• Góc ở tâm — là góc có đỉnh trùng với tâm \(O\) của đường tròn. Hai cạnh của nó là hai bán kính.
• Góc nội tiếp — là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh của nó cắt đường tròn (tức là hai dây cung).

Mỗi góc này đều chắn một cung — một phần của đường tròn nằm bên trong góc. Chính cung tròn này liên kết góc ở tâm và góc nội tiếp: số đo của cả hai góc đều được biểu thị qua số đo của cung này.

Nếu đỉnh của góc nằm bên trong hình tròn (nhưng không phải ở tâm) hoặc bên ngoài nó — thì đó không phải là góc nội tiếp hay góc ở tâm: đối với những góc như vậy có các công thức riêng, chúng ta sẽ tìm hiểu ở cuối trang.

Góc ở tâm bằng số đo cung mà nó chắn — đây là cách xác định số đo của một cung. Nếu \(\angle AOC = 120°\), thì cung \(AC\) cũng bằng \(120°\).

Định lý về góc nội tiếp: số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn:

Từ đó suy ra mối quan hệ chính giữa góc nội tiếp và góc ở tâm: góc nội tiếp bằng một nửa góc ở tâm cùng chắn một cung:

Số đo của góc nội tiếp không phụ thuộc vào vị trí của đỉnh trên đường tròn — chỉ phụ thuộc vào cung mà nó chắn. Vì vậy, hình vẽ dưới đây nên được ghi nhớ như một "hình ảnh làm việc" cho toàn bộ chủ đề: cung màu xanh lá cây và hai góc cùng nhìn về nó.

Từ định lý về góc nội tiếp, ta có thể suy ra trực tiếp các tính chất, là nền tảng cho hầu hết các bài toán ở trường:

1. Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Mỗi góc trong số đó đều bằng một nửa số đo của cùng một cung — do đó chúng bằng nhau, bất kể đỉnh của chúng nằm ở đâu.
2. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. Đường kính chia đường tròn thành hai nửa đường tròn, mỗi nửa có số đo \(180°\), vì vậy góc như vậy bằng \(180° : 2 = 90°\). Điều ngược lại cũng đúng: nếu một góc nội tiếp là góc vuông, thì nó chắn một đường kính.
3. Góc nội tiếp có thể là góc tù. Nếu cung bị chắn lớn hơn \(180°\), thì góc sẽ lớn hơn \(90°\) — công thức "một nửa số đo cung" luôn đúng không có ngoại lệ.

Các tính chất này cũng có thể áp dụng "theo chiều ngược lại": ví dụ, dựa vào sự bằng nhau của các góc cùng chắn một đoạn thẳng, người ta chứng minh được rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.

Nếu tất cả bốn đỉnh của một tứ giác đều nằm trên một đường tròn, nó được gọi là tứ giác nội tiếp (và đường tròn được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó). Các góc của tứ giác như vậy là các góc nội tiếp, do đó định lý về góc nội tiếp cũng áp dụng cho chúng.

• Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng \(180°\). Các góc \(A\) và \(C\) chắn hai cung mà tổng của chúng tạo thành cả đường tròn (\(360°\)), do đó \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
• Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội tiếp bằng góc trong tại đỉnh đối diện. Góc ngoài bù với góc trong kề với nó — cũng giống như góc đối diện.
• Tính chất tổng các góc đối cũng là một dấu hiệu nhận biết: nếu một tứ giác có tổng các góc đối bằng \(180°\), thì có thể vẽ một đường tròn ngoại tiếp nó. Do đó, mọi hình chữ nhật đều nội tiếp được đường tròn, còn hình thoi (trừ hình vuông) thì không.

Bên cạnh các góc nội tiếp, trong các bài toán còn có góc có đỉnh bên ngoài đường tròn — ví dụ như góc tạo bởi hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm bên ngoài đường tròn. Góc này bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.