Tam giác đồng dạng là những tam giác có cùng hình dạng nhưng khác kích thước: các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau. Số cho biết tam giác này lớn gấp bao nhiêu lần tam giác kia được gọi là tỉ số đồng dạng \(k\). Ba dấu hiệu giúp chứng minh sự đồng dạng, và tỉ số chu vi cũng như diện tích tuân theo quy tắc đơn giản: chu vi tỉ lệ với \(k\), còn diện tích tỉ lệ với \(k^2\). Trên trang này là định nghĩa và cách ghi ký hiệu đồng dạng với thứ tự đỉnh chính xác, cả ba dấu hiệu, đồng dạng tam giác vuông và đường cao từ góc vuông, giải các bài tập OGE "tìm cạnh" và bài tập tương tác.
Tam giác đồng dạng và tỉ số đồng dạng là gì
Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
- các góc của chúng tương ứng bằng nhau — mỗi góc của tam giác thứ nhất tương ứng với một góc bằng nó ở tam giác thứ hai;
- các cạnh tương ứng tỉ lệ — tất cả ba tỉ số đều cho cùng một kết quả.
Các cạnh tương ứng — là các cạnh nằm đối diện với các góc bằng nhau. Chính chúng tạo thành các cặp mà ta tính tỉ số giữa chúng.
Sự đồng dạng được ghi bằng dấu \(\sim\):
Tỉ số đồng dạng \(k\) — chính là tỉ số bằng nhau của các cạnh tương ứng:
Nếu \(k > 1\), tam giác thứ hai lớn hơn tam giác thứ nhất; nếu \(k < 1\) — nhỏ hơn; khi \(k = 1\) các tam giác bằng nhau, vì bằng nhau là trường hợp đặc biệt của đồng dạng.
Thứ tự đỉnh trong ký hiệu — không phải là hình thức
Ký hiệu \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) được đọc nghiêm ngặt theo vị trí: \(A\) tương ứng với \(A_1\), \(B\) — \(B_1\), \(C\) — \(C_1\). Từ đó suy ra ngay các góc nào bằng nhau (\(\angle A = \angle A_1\)) và các cạnh nào tương ứng (\(AB\) và \(A_1B_1\), \(BC\) và \(B_1C_1\), \(AC\) và \(A_1C_1\)).
Nếu đổi chỗ các chữ cái và viết \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), sẽ thu được một khẳng định khác: bây giờ \(\angle A = \angle B_1\), và cạnh tương ứng với \(AB\) sẽ là cạnh \(B_1A_1\). Không được lập tỉ lệ theo các cạnh "nằm gần nhau" — chỉ theo vị trí trong ký hiệu. Vì vậy, việc đầu tiên là liệt kê các cặp góc bằng nhau và sắp xếp thứ tự chữ cái theo đó.
Ba dấu hiệu đồng dạng của tam giác
Không cần kiểm tra tất cả sáu điều kiện từ định nghĩa: sự đồng dạng được chứng minh theo một trong ba dấu hiệu. Mỗi dấu hiệu là một tập hợp dữ liệu tối thiểu, từ đó tự động suy ra sự bằng nhau của tất cả các góc và sự tỉ lệ của tất cả các cạnh.
Cách chọn dấu hiệu. Hãy xem đề bài cho gì: nếu về góc — dấu hiệu thứ nhất, nếu về hai cạnh và góc xen giữa — dấu hiệu thứ hai, nếu về cả ba cạnh — dấu hiệu thứ ba.
- Dấu hiệu thứ nhất (theo hai góc) — là công cụ chủ lực của chương trình phổ thông: hầu hết các bài tập OGE đều được giải bằng cách này. Không cần kiểm tra góc thứ ba, nó tự động bằng nhau: tổng các góc của tam giác luôn là \(180°\). Hãy tìm các cặp góc bằng nhau có sẵn — góc chung của hai tam giác, các góc đối đỉnh, các góc so le trong và đồng vị khi có các đường thẳng song song, hai góc vuông.
- Dấu hiệu thứ hai (theo hai cạnh và góc xen giữa) yêu cầu góc phải nằm chính giữa hai cạnh đó. Nếu góc bằng nhau nằm đối diện với một trong hai cạnh, dấu hiệu không hoạt động và sự đồng dạng chưa được chứng minh.
- Dấu hiệu thứ ba (theo ba cạnh) — khi đề bài hoàn toàn không có góc, mà chỉ có độ dài. Hãy liệt kê các cạnh của mỗi tam giác theo thứ tự tăng dần và chia cạnh nhỏ nhất cho nhỏ nhất, trung bình cho trung bình, lớn nhất cho lớn nhất: như vậy các cặp sẽ không bị nhầm lẫn. Sự đồng dạng chỉ tồn tại nếu cả ba tỉ số trùng khớp.
Để không nhầm lẫn các dấu hiệu đồng dạng với các dấu hiệu bằng nhau, hãy ghi nhớ sự khác biệt: trong sự bằng nhau, các cạnh phải trùng khớp, trong sự đồng dạng — phải tỉ lệ.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Tỉ số chu vi và diện tích của các tam giác đồng dạng
Sự đồng dạng có hai hệ quả thường được hỏi nhất, và một trong số đó là cái bẫy chính của chủ đề.
Chu vi tỉ lệ với \(k\). Mỗi cạnh của tam giác thứ hai lớn gấp \(k\) lần cạnh tương ứng của tam giác thứ nhất, vì vậy tổng các cạnh cũng tăng lên đúng \(k\) lần:
Các đại lượng tuyến tính khác cũng hành xử tương tự — "gấp \(k\) lần": đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác, bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp, đường trung bình.
Diện tích tỉ lệ với \(k^2\). Diện tích phụ thuộc vào hai chiều cùng một lúc: cả cạnh đáy và chiều cao đều tăng gấp \(k\) lần, còn tích của chúng tăng gấp \(k \cdot k\) lần:
Giả sử \(k = 5\). Khi đó chu vi lớn gấp 5 lần (ví dụ, từ 14 cm thành 70 cm), còn diện tích — gấp 25 lần (từ 6 cm² thành 150 cm²). Sự khác biệt là rất lớn, và việc thay \(k\) vào đây thay vì \(k^2\) là lỗi thường gặp nhất trong kỳ thi.
Chiều ngược lại. Nếu đề bài cho tỉ số diện tích, tỉ số đồng dạng được tìm bằng căn bậc hai: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Ví dụ, diện tích tỉ lệ như \(16 : 1\), nghĩa là các cạnh tỉ lệ như \(4 : 1\).
| k | Chu vi P₂ : P₁ | Diện tích S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| bất kỳ | k : 1 | k² : 1 |
Đồng dạng tam giác vuông và đường cao từ góc vuông
Đối với tam giác vuông, dấu hiệu thứ nhất được đơn giản hóa: các góc vuông của chúng đã bằng nhau từ trước, vì vậy chỉ cần một góc nhọn bằng nhau là đủ để các tam giác đồng dạng. Từ đó cũng suy ra dấu hiệu theo hai cạnh góc vuông: nếu các cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với các cạnh góc vuông của tam giác kia, các tam giác đồng dạng (đây là dấu hiệu thứ hai, vì góc giữa các cạnh góc vuông là góc vuông).
Cấu hình hữu ích nhất của toàn bộ chủ đề là đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông. Nó chia tam giác thành hai tam giác, và cả ba tam giác thu được đều đồng dạng với nhau.
Tại sao lại như vậy: tam giác \(AHC\) có góc vuông tại \(H\) và góc \(A\) chung với tam giác lớn, nghĩa là \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). Tam giác \(CHB\) có góc vuông tại \(H\) và góc \(B\) chung, nghĩa là \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Từ đó, hai tam giác nhỏ cũng đồng dạng với nhau.
Từ các sự đồng dạng này, ta có các công thức trung bình nhân (được gọi là các đoạn thẳng tỉ lệ trong tam giác vuông):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — đường cao là trung bình nhân của các đoạn mà nó chia cạnh huyền;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) và \(BC^2 = HB \cdot AB\) — cạnh góc vuông là trung bình nhân của toàn bộ cạnh huyền và hình chiếu của nó trên đó.
Điều quan trọng là không nhầm lẫn đoạn nào là "của mình": cạnh góc vuông \(AC\) có hình chiếu \(AH\), cạnh góc vuông \(BC\) có hình chiếu \(HB\). Hình chiếu luôn nằm cùng phía với cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Các bài tập OGE về đồng dạng: cách tìm cạnh
Hầu hết các bài tập về đồng dạng đều được giải theo một thuật toán:
- Tìm cặp góc bằng nhau — góc chung, góc đối đỉnh, góc so le trong khi có các đường thẳng song song hoặc hai góc vuông.
- Ghi ký hiệu đồng dạng theo đúng thứ tự đỉnh — sao cho các góc bằng nhau nằm ở cùng vị trí.
- Lập tỉ lệ từ các cạnh tương ứng (lấy các cạnh nằm ở cùng vị trí trong ký hiệu).
- Biểu diễn ẩn số và tính toán; cuối cùng kiểm tra lại câu trả lời theo logic — cạnh của tam giác nhỏ hơn phải nhỏ hơn.
Các cấu hình điển hình trong OGE không nhiều, và bạn nên nhận ra chúng ngay từ cái nhìn đầu tiên:
- Đường thẳng song song với cạnh. Đường thẳng cắt tam giác tạo ra một tam giác nhỏ đồng dạng với tam giác ban đầu. Điểm tinh tế quan trọng: tỉ lệ phải là tỉ số của các cạnh toàn phần từ đỉnh chung (\(BM : BA\)), chứ không phải các đoạn (\(BM : MA\)).
- "Cánh bướm". Hai đoạn thẳng cắt nhau, và các đầu mút của chúng được nối bằng các đường thẳng song song — tạo ra hai tam giác đồng dạng, xoay ngược so với nhau.
- Đường cao từ góc vuông — cấu hình từ phần trước; trong OGE, nó được dùng để tìm đường cao, cạnh góc vuông hoặc đoạn của cạnh huyền.
- Bóng và chiều cao của vật. Các tia nắng song song, vì vậy vật cùng với bóng của nó và cái cây cùng với bóng của nó tạo thành các tam giác vuông đồng dạng.
- Đường trung bình — trường hợp đặc biệt với \(k = 2\): nó song song với cạnh và ngắn bằng một nửa cạnh đó.
góc B chung, các góc tại M và A đồng vị
các góc tại O đối đỉnh, các góc A và C so le trong
Ví dụ giải các bài tập về đồng dạng tam giác
Ví dụ 1. Tìm các cạnh theo tỉ số đồng dạng
Bài tập. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Biết rằng \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) và \(PQ = 21\). Hãy tìm \(QR\) và \(PR\).
Bước 1. Phân tích ký hiệu theo vị trí: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Nghĩa là các cặp tương ứng là: \(MN\) và \(PQ\), \(NK\) và \(QR\), \(MK\) và \(PR\).
Bước 2. Tính tỉ số theo cặp duy nhất đã biết cả hai cạnh:
Bước 3. Các cạnh còn lại của tam giác thứ hai lớn gấp 3 lần các cạnh tương ứng:
Đáp án: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Kiểm tra: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — tất cả các tỉ số đều trùng khớp.
Ví dụ 2. Chứng minh đồng dạng theo dấu hiệu thứ hai
Bài tập. Trong các tam giác \(ABC\) và \(DEF\) biết: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), và các góc \(A\) và \(D\) bằng nhau. Chứng minh rằng các tam giác đồng dạng.
Bước 1. Kiểm tra điều kiện chính của dấu hiệu thứ hai: góc \(A\) nằm giữa các cạnh \(AB\) và \(AC\), góc \(D\) — giữa \(DE\) và \(DF\). Các góc nằm giữa các cạnh đã cho — dấu hiệu có thể áp dụng.
Bước 2. Tính tỉ số của các cạnh tương ứng:
Bước 3. Hai cặp cạnh tỉ lệ với cùng một tỉ số \(k = 3\), các góc xen giữa bằng nhau — theo dấu hiệu thứ hai \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Đáp án: các tam giác đồng dạng, \(k = 3\). Lưu ý: nếu các góc \(B\) và \(D\) bằng nhau, dấu hiệu sẽ không hoạt động — góc \(B\) không nằm giữa \(AB\) và \(AC\).
Ví dụ 3. Đường thẳng song song với cạnh (bài tập OGE)
Bài tập. Trong tam giác \(ABC\), điểm \(M\) nằm trên cạnh \(AB\), điểm \(N\) — trên cạnh \(BC\), và \(MN \parallel AC\). Biết rằng \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Hãy tìm \(AC\).
Bước 1. Vì \(MN \parallel AC\), các góc \(BMN\) và \(BAC\) bằng nhau vì đồng vị, và góc \(B\) — chung. Theo dấu hiệu thứ nhất \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (thứ tự đỉnh: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Bước 2. Tìm cạnh đầy đủ từ đỉnh chung: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Đây chính là điểm tinh tế quan trọng — tỉ lệ phải là \(BA\), chứ không phải \(MA\).
Bước 3. Lập tỉ lệ theo các cạnh tương ứng:
Bước 4. Từ đó \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Đáp án: \(AC = 20\). Tỉ số đồng dạng ở đây bằng 4: tam giác lớn lớn gấp bốn lần tam giác bị cắt ra.
Ví dụ 4. Chu vi và diện tích
Bài tập. Chu vi của các tam giác đồng dạng bằng 18 cm và 45 cm. Diện tích của tam giác nhỏ bằng 16 cm². Hãy tìm diện tích của tam giác lớn.
Bước 1. Chu vi tỉ lệ với tỉ số đồng dạng:
Bước 2. Diện tích tỉ lệ với bình phương tỉ số đồng dạng: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Bước 3. Nhân diện tích của tam giác nhỏ với \(k^2\):
Đáp án: 100 cm². Nếu chúng ta nhân với \(k = 2{,}5\), sẽ thu được 40 cm² — lỗi điển hình khiến mất toàn bộ điểm.
Ví dụ 5. Đường cao từ đỉnh góc vuông
Bài tập. Trong tam giác vuông \(ABC\) với góc vuông tại đỉnh \(C\), kẻ đường cao \(CH\) xuống cạnh huyền. Biết rằng \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Hãy tìm đường cao \(CH\) và diện tích tam giác.
Bước 1. Đường cao từ góc vuông là trung bình nhân của các đoạn cạnh huyền, vì \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Bước 2. Lấy căn bậc hai: \(CH = 6\) cm.
Bước 3. Cạnh huyền \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. Tính diện tích qua cạnh huyền và đường cao kẻ xuống nó:
Đáp án: \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
Ví dụ 6. Chiều cao của cây theo bóng
Bài tập. Một cái cọc thẳng đứng cao 2 m đổ bóng dài 1,5 m. Cùng lúc đó, bóng của cái cây dài 9 m. Chiều cao của cây là bao nhiêu?
Bước 1. Các tia nắng song song, vì vậy góc chiếu của tia nắng đối với cọc và đối với cây là như nhau. Cọc cùng với bóng và cây cùng với bóng tạo thành các tam giác vuông với góc nhọn bằng nhau — nghĩa là chúng đồng dạng.
Bước 2. Lập tỉ lệ "chiều cao trên bóng của nó":
Bước 3. Biểu diễn chiều cao chưa biết:
Đáp án: 12 m. Kiểm tra theo logic: bóng của cây dài gấp 6 lần bóng của cọc, nghĩa là cây cũng cao gấp 6 lần: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Các lỗi thường gặp trong bài tập về đồng dạng tam giác
-
Cho rằng diện tích của các tam giác đồng dạng tỉ lệ với $k$: khi $k = 3$ thì tăng diện tích lên gấp ba.
Diện tích tỉ lệ với bình phương tỉ số đồng dạng: khi \(k = 3\) thì diện tích lớn gấp \(3^2 = 9\) lần. Chỉ các đại lượng tuyến tính mới tỉ lệ với \(k\) — các cạnh, chu vi, đường cao, đường trung tuyến. Quy tắc gợi ý: diện tích được đo bằng đơn vị vuông, nghĩa là tỉ số cũng phải nằm trong bình phương.
-
Bỏ qua thứ tự đỉnh: từ ký hiệu $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ lập tỉ lệ $AB : LM$.
Sự tương ứng của các đỉnh được xác định bởi vị trí trong ký hiệu: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). Cạnh tương ứng với \(AB\) sẽ là \(KL\), còn với \(BC\) — là \(LM\). Trước khi viết tỉ lệ, hãy liệt kê các cặp đỉnh theo cột — việc này chỉ mất năm giây và loại bỏ hầu hết các lỗi.
-
Chứng minh đồng dạng theo một góc bằng nhau hoặc theo hai cạnh tỉ lệ mà không có góc.
Một góc bằng nhau là không đủ: hai tam giác có thể trùng nhau một góc nhưng có hình dạng hoàn toàn khác nhau. Cần một dấu hiệu đầy đủ — hai góc, hoặc hai cạnh và góc xen giữa, hoặc cả ba cạnh.
-
Trong dấu hiệu thứ hai, lấy góc không nằm giữa các cạnh đã cho.
Dấu hiệu thứ hai chỉ hoạt động với góc nằm giữa hai cạnh đã cho. Nếu biết \(AB\), \(AC\) và góc \(B\) bằng nhau, dấu hiệu không áp dụng được — hãy tìm cách khác: cặp góc bằng nhau hoặc cạnh thứ ba.
-
Đảo ngược tỉ số: tìm $k$ là "cạnh nhỏ trên cạnh lớn", rồi nhân với nó để có cạnh của tam giác lớn hơn.
Hãy tự thống nhất về hướng: nếu \(k\) là tỉ số các cạnh của tam giác thứ hai trên tam giác thứ nhất, thì các cạnh của tam giác thứ nhất được nhân với \(k\), còn các cạnh của tam giác thứ hai được chia cho \(k\). Kiểm tra cuối cùng theo logic: cạnh của tam giác nhỏ hơn phải nhỏ hơn.
-
Trong bài tập với đường thẳng song song với cạnh, lập tỉ lệ từ các đoạn: $BM : MA = MN : AC$.
Các tam giác đồng dạng là \(BMN\) và \(BAC\), và các cạnh tương ứng của chúng là \(BM\) và \(BA\) (cạnh toàn phần từ đỉnh chung), chứ không phải đoạn \(MA\). Trước tiên hãy tìm \(BA = BM + MA\), rồi mới lập tỉ lệ.
-
Nhầm lẫn đồng dạng với bằng nhau và trong đáp án viết rằng các cạnh chỉ đơn giản là bằng nhau.
Bằng nhau là trường hợp đặc biệt của đồng dạng khi \(k = 1\). Nếu \(k \ne 1\), các tam giác chỉ có các góc bằng nhau, còn các cạnh khác nhau theo tỉ số \(k\). Các dấu hiệu cũng khác nhau: đối với sự bằng nhau đó là C-G-C, G-C-G, C-C-C với các cạnh trùng khớp, đối với đồng dạng — các cạnh tỉ lệ.
Câu hỏi và câu trả lời
Những tam giác nào được gọi là đồng dạng?
Đồng dạng là các tam giác có các góc tương ứng bằng nhau, và các cạnh tương ứng tỉ lệ. Nói đơn giản, đây là các tam giác cùng hình dạng nhưng khác kích thước. Ký hiệu đồng dạng bằng dấu ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Tỉ số đồng dạng của tam giác là gì?
Tỉ số đồng dạng k là số bằng tỉ số của các cạnh tương ứng của các tam giác đồng dạng: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Nó cho biết tam giác này lớn gấp bao nhiêu lần tam giác kia. Khi k = 1 các tam giác bằng nhau.
Có bao nhiêu dấu hiệu đồng dạng của tam giác và đó là những dấu hiệu nào?
Có ba dấu hiệu. Thứ nhất — theo hai góc: hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia. Thứ hai — theo hai cạnh và góc xen giữa: hai cạnh tỉ lệ và các góc xen giữa bằng nhau. Thứ ba — theo ba cạnh: cả ba cặp cạnh tương ứng đều tỉ lệ.
Diện tích của các tam giác đồng dạng tỉ lệ như thế nào?
Diện tích của các tam giác đồng dạng tỉ lệ với bình phương tỉ số đồng dạng: S₂ : S₁ = k². Ví dụ, khi k = 4 diện tích lớn gấp 16 lần. Ngược lại: nếu diện tích tỉ lệ như 25 : 1, thì các cạnh tỉ lệ như 5 : 1.
Chu vi của các tam giác đồng dạng tỉ lệ như thế nào?
Chu vi tỉ lệ với tỉ số đồng dạng: P₂ : P₁ = k. Tất cả các yếu tố tuyến tính khác cũng hành xử tương tự — đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung bình, bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.
Sự đồng dạng của tam giác khác với sự bằng nhau như thế nào?
Ở các tam giác bằng nhau, cả góc và cạnh đều trùng khớp, vì vậy các hình có thể chồng khít lên nhau. Ở các tam giác đồng dạng, chỉ có các góc bằng nhau, còn các cạnh tỉ lệ với tỉ số k. Bằng nhau là trường hợp đặc biệt của đồng dạng khi k = 1.
Làm thế nào để chứng minh sự đồng dạng của các tam giác vuông?
Chỉ cần một góc nhọn bằng nhau: các góc vuông của chúng đã bằng nhau, nghĩa là dấu hiệu thứ nhất hoạt động. Cách thứ hai — sự tỉ lệ của các cạnh góc vuông: góc giữa các cạnh góc vuông là góc vuông, vì vậy dấu hiệu thứ hai về sự đồng dạng được áp dụng.
Tại sao đường cao từ góc vuông tạo ra ba tam giác đồng dạng?
Đường cao CH từ đỉnh góc vuông C chia tam giác ABC thành các tam giác AHC và CHB. Tam giác AHC có góc vuông tại H và góc A chung với ABC, tam giác CHB — có góc vuông tại H và góc B chung, vì vậy cả hai đều đồng dạng với tam giác ban đầu, và do đó đồng dạng với nhau. Từ đó có các công thức CH² = AH · HB, AC² = AH · AB và BC² = HB · AB.
Lớp mấy thì học về đồng dạng tam giác?
Ở lớp 8 trong các tiết hình học — ngay sau chủ đề về các đoạn thẳng tỉ lệ. Ở đó cũng học ba dấu hiệu đồng dạng, tỉ số diện tích và ứng dụng của sự đồng dạng vào tam giác vuông. Sau đó chủ đề này được sử dụng ở lớp 9 và trong các bài tập OGE.
