Định lý cos: công thức, chứng minh và bài toán

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

Mascot hình học đứng cạnh tam giác lớn, một góc được đánh dấu bằng cung tròn

Định lý cos liên hệ ba cạnh của tam giác và một góc của nó: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. Định lý này đúng với mọi tam giác, vì vậy ở lớp 9, nó thay thế định lý Pi-ta-go khi không có góc vuông. Theo định lý này, ta tìm được cạnh thứ ba nếu biết hai cạnh kia và góc xen giữa chúng, còn theo hệ quả $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ — ta tìm được mọi góc theo ba cạnh và xác định loại tam giác. Trang này trình bày: phát biểu và cả ba dạng công thức, chứng minh, bảng giá trị cos, ghi nhớ «sin hoặc cos», phân tích bài toán OGE và bài tập tự kiểm tra.

Định lý cos: phát biểu và công thức

Định lý cos đúng với mọi tam giác — không cần góc vuông. Nó liên hệ ba cạnh và một góc, vì vậy theo định lý này, ta tìm được cạnh nếu biết hai cạnh kia và góc xen giữa chúng.

Phát biểu. Bình phương một cạnh của tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó với cosin của góc xen giữa chúng.

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

Ở đây $a$, $b$, $c$ là các cạnh của tam giác, còn $C$ là góc giữa hai cạnh $a$ và $b$; cạnh $c$ nằm đối diện với góc này. Có thể dùng bất kỳ chữ cái nào — công thức có tính đối xứng, vì vậy nó có ba dạng tương đương:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\]

Quy tắc chính khi thay số: chọn góc nằm giữa hai cạnh trong tích, và tìm cạnh đối diện với nó. Nếu chọn góc «kề» thì tất cả các số sẽ là dữ kiện đề bài, còn kết quả sẽ sai.

c² = a² + b² − 2ab · cos C a² = b² + c² − 2bc · cos A b² = a² + c² − 2ac · cos B

Góc chọn là góc nằm giữa hai cạnh trong tích, cạnh tìm là cạnh đối diện: góc C — giữa a và b, cạnh c — đối diện.

Tại sao định lý Pi-ta-go là trường hợp riêng của định lý cos

Thay góc vuông vào công thức, tức là $C = 90°$. Cosin của góc vuông bằng 0, nên số hạng thứ ba sẽ triệt tiêu hoàn toàn:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 90° = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0 = a^2 + b^2.\]

Ta nhận được đúng định lý Pi-ta-go quen thuộc từ lớp 8. Do đó, định lý cos được gọi là sự tổng quát hóa của nó: Pi-ta-go là «trường hợp riêng khi 90°», còn định lý cos đúng cho mọi góc.

Số hạng $-2ab\cos C$ có thể hiểu là sự điều chỉnh cho góc không vuông:

góc nhọn, $\cos C > 0$ — số hạng bị trừ đi, cạnh $c$ sẽ ngắn hơn so với định lý Pi-ta-go;
góc vuông, $\cos C = 0$ — không có số hạng điều chỉnh, còn lại $c^2 = a^2 + b^2$;
góc tù, $\cos C < 0$ — số hạng được cộng vào, cạnh $c$ sẽ dài hơn.

Áp dụng định lý cosc² = a² + b² − 2ab · cos C

Làm cho góc vuôngC = 90°, cos 90° = 0 → 2ab · 0 = 0

Còn lại định lý Pi-ta-goc² = a² + b²

Chứng minh định lý cos

Cách chứng minh ngắn gọn nhất trong chương trình phổ thông là dùng tọa độ. Đặt đỉnh $C$ tại gốc tọa độ, và cạnh $b = CA$ trùng với trục $x$. Khi đó tọa độ các đỉnh là:

$C(0;\ 0)$ — gốc tọa độ;
$A(b;\ 0)$ — điểm trên trục $x$ cách gốc một khoảng $b$;
$B(a\cos C;\ a\sin C)$ — đỉnh cách gốc một khoảng $a$ tạo với trục $x$ một góc $C$.

Cạnh $c$ là độ dài đoạn thẳng $AB$. Tính theo công thức khoảng cách giữa hai điểm:

\[c^2 = (a\cos C - b)^2 + (a\sin C)^2\]

Khai triển ngoặc:

\[c^2 = a^2\cos^2 C - 2ab\cos C + b^2 + a^2\sin^2 C\]

Nhóm các số hạng chứa $a^2$ và áp dụng đồng nhất thức lượng giác cơ bản $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$:

\[c^2 = a^2(\cos^2 C + \sin^2 C) + b^2 - 2ab\cos C = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

Điều phải chứng minh. Lưu ý: không hề yêu cầu góc $C$ phải là góc nhọn. Nếu nó là góc tù, cosin sẽ âm, tọa độ $a\cos C$ sẽ lệch về bên trái trục $y$, nhưng mọi phép biến đổi vẫn giữ nguyên — vì vậy định lý đúng cho mọi tam giác.

Đỉnh C là gốc tọa độ, cạnh b nằm trên trục x. Khi đó tọa độ đỉnh B được biểu diễn qua cạnh a và góc C.

Hệ quả: cách tìm góc theo ba cạnh

Từ định lý cos, ta rút ra biểu thức cho cosin — đây là hệ quả chính của nó. Theo đó, ta tìm được góc khi biết cả ba cạnh:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

Ở tử số là tổng bình phương hai cạnh kề với góc, trừ đi bình phương cạnh đối diện với nó. Ở mẫu số là hai lần tích của hai cạnh kề. Đối với các góc khác, công thức tương tự:

\[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \qquad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\]

Các bước thực hiện:

chọn góc cần tìm và xác định cạnh đối diện với nó — bình phương của cạnh này sẽ ở tử số với dấu trừ;
tính giá trị của phân số (mẫu số luôn dương, dấu của phân số chỉ phụ thuộc vào tử số);
tra bảng giá trị hoặc dùng hàm arccos để tìm góc.

Mẹo hữu ích: bắt đầu với cạnh lớn nhất. Cạnh này đối diện với góc lớn nhất, và chỉ góc này mới có thể là góc vuông hoặc tù — hai góc còn lại trong tam giác luôn là góc nhọn.

Cosin của góc tù là số âm: bảng giá trị

Trong các bài toán phổ thông, góc thường là «góc đặc biệt»: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Góc nhọn có cosin dương, góc vuông có cosin bằng 0, còn góc tù có cosin âm. Giá trị cho góc tù được suy ra từ giá trị cho góc nhọn theo quy tắc phụ chéo $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$: ví dụ, $\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5$.

Ý nghĩa thực tế: với góc tù, biểu thức $-2ab\cos C$ sẽ trở thành dấu cộng — âm nhân âm. Đối với góc $120°$, công thức có dạng:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot (-0{,}5) = a^2 + b^2 + ab.\]

Đây là lỗi sai phổ biến nhất: thay $0{,}5$ thay vì $-0{,}5$ và tính ra cạnh ngắn hơn cả hai cạnh đã cho. Điều này rõ ràng là không thể — cạnh đối diện với góc tù là cạnh dài nhất của tam giác.

Góc	Cosin
30°	√3/2 ≈ 0,87
45°	√2/2 ≈ 0,71
60°	1/2 = 0,5
90°	0
120°	−1/2 = −0,5
135°	−√2/2 ≈ −0,71
150°	−√3/2 ≈ −0,87

Quy tắc chuyển đổi: cos(180° − α) = −cos α. Các giá trị màu xanh lá cây cho góc nhọn, màu hồng — cho góc tù.

Cách xác định loại tam giác theo ba cạnh

Định lý cos cho phép xác định loại tam giác mà không cần đo góc bằng thước đo độ. Dấu của phân số $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ chỉ phụ thuộc vào tử số: mẫu số $2ab$ luôn dương. Do đó, chỉ cần so sánh bình phương cạnh lớn nhất với tổng bình phương hai cạnh còn lại.

Giả sử $c$ là cạnh lớn nhất, thì góc $C$ đối diện với nó là góc lớn nhất:

$a^2 + b^2 > c^2$ → $\cos C > 0$ → góc $C$ nhọn. Các góc còn lại nhỏ hơn nó, nghĩa là cả ba góc đều nhọn — tam giác nhọn;
$a^2 + b^2 = c^2$ → $\cos C = 0$ → $C = 90°$ — tam giác vuông (đây chính là định lý Pi-ta-go đảo);
$a^2 + b^2 < c^2$ → $\cos C < 0$ → góc $C$ tù — tam giác tù.

Không cần kiểm tra các góc còn lại: trong một tam giác chỉ có tối đa một góc vuông hoặc tù. Và đừng quên bất đẳng thức tam giác — nếu cạnh lớn nhất không nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại, thì tam giác với các cạnh đó không tồn tại.

a² + b² > c²cos C > 0, góc C nhọnNhọnví dụ: 5, 6, 7

a² + b² = c²cos C = 0, góc C vuôngVuôngví dụ: 8, 15, 17

a² + b² < c²cos C < 0, góc C tùTùví dụ: 4, 7, 9

Trong cả ba trường hợp, c là cạnh lớn nhất của tam giác: chỉ cạnh này mới có thể đối diện với góc vuông hoặc tù.

Định lý sin hay cos: chọn thế nào

Cả hai định lý đều giải quyết một bài toán — tìm các cạnh và góc chưa biết của tam giác — nhưng được áp dụng dựa trên các bộ dữ kiện khác nhau. Định lý sin liên hệ cạnh và góc đối diện với nó:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

Từ đó có quy tắc lựa chọn: nếu đề bài đã cho sẵn cặp «cạnh và góc đối diện» — áp dụng định lý sin; nếu không có cặp nào như vậy — bắt đầu với định lý cos. Bảng ghi nhớ bốn bộ dữ kiện phổ biến — trong bảng dưới đây.

Thường thì bài toán được giải trong hai bước: trước tiên định lý cos cho ra cạnh thứ ba, sau đó định lý sin nhanh chóng tìm các góc còn lại.

Đã biết	Áp dụng
CGCHai cạnh và góc xen giữa	Định lý costìm cạnh thứ ba
CCCBa cạnh	Định lý costìm góc và loại tam giác
GGCMột cạnh và hai góc	Định lý sintìm hai cạnh còn lại
CCGHai cạnh và góc đối diện một trong hai cạnh	Định lý sintìm góc đối diện

Trong trường hợp CCG có thể có hai nghiệm: sin không phân biệt góc nhọn và tù, vì vậy cần kiểm tra cả hai trường hợp theo đề bài.

Định lý cos trong bài toán OGE

Trong kỳ thi OGE Toán học, định lý cos xuất hiện trong các bài toán hình học phẳng — cả phần một và phần bài toán yêu cầu trình bày lời giải chi tiết. Các dạng bài điển hình như sau:

Tìm cạnh theo hai cạnh và góc xen giữa — áp dụng trực tiếp công thức, thường gặp với các góc 60° hoặc 120°.
Tìm góc hoặc cosin của góc theo ba cạnh — hệ quả $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$. Nếu đề bài ghi «tìm $\cos\angle A$», không cần tính arccos: kết quả là chính phân số đó, ghi nó vào.
Đường chéo hình bình hành. Đường chéo chia hình bình hành thành hai tam giác, mỗi tam giác có hai cạnh và góc xen giữa. Các góc kề của hình bình hành có tổng bằng 180°, do đó cosin của chúng đối nhau: đường chéo ngắn hơn nằm đối diện góc nhọn, đường chéo dài hơn nằm đối diện góc tù.
Xác định loại tam giác theo ba số — so sánh $a^2 + b^2$ với $c^2$.
Trung tuyến của tam giác. Công thức $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$ được suy ra bằng cách áp dụng định lý cos hai lần cho hai góc kề nhau ở đáy.

Lời khuyên khi thi: trước khi tính toán, hãy đánh dấu trên hình vẽ góc «bị kẹp» giữa hai cạnh đã biết. Nếu không có góc nào như vậy — định lý cos chưa áp dụng được, cần tìm cách khác.

Ví dụ giải bài toán về định lý cos

Ví dụ 1. Tìm cạnh theo hai cạnh và góc 60°

Bài toán. Trong tam giác $ABC$, các cạnh $a = 7$ và $b = 15$, góc xen giữa là $C = 60°$. Tìm cạnh $c$.

Bước 1. Góc $C$ nằm giữa hai cạnh $a$ và $b$ — đây chính là trường hợp mà định lý được tạo ra:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

Bước 2. Thay số, $\cos 60° = 0{,}5$:

\[c^2 = 7^2 + 15^2 - 2 \cdot 7 \cdot 15 \cdot 0{,}5 = 49 + 225 - 105 = 169.\]

Bước 3. Lấy căn bậc hai: $c = \sqrt{169} = 13$.

Đáp án: $13$. Kiểm tra theo ý nghĩa: góc $60°$ là góc nhọn, do đó cạnh đối diện với nó không phải là cạnh dài nhất — đúng là $13 < 15$.

Ví dụ 2. Góc tù: âm nhân âm

Bài toán. Trong tam giác $ABC$, biết: $AB = 6$, $BC = 10$, góc $B = 120°$. Tìm cạnh $AC$.

Bước 1. Góc $B$ nằm giữa hai cạnh $AB$ và $BC$, còn cạnh $AC$ nằm đối diện với nó:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B.\]

Bước 2. Góc là góc tù, do đó $\cos 120° = -0{,}5$. Dấu trừ trước tích và dấu trừ của cosin cho ra dấu cộng:

\[AC^2 = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (-0{,}5) = 136 + 60 = 196.\]

Bước 3. $AC = \sqrt{196} = 14$.

Đáp án: $14$. Kiểm tra: cạnh đối diện với góc tù là cạnh dài nhất — $14$ lớn hơn cả $6$ và $10$.

Ví dụ 3. Tìm góc theo ba cạnh

Bài toán. Các cạnh của tam giác bằng $3$, $5$ và $7$. Tìm góc lớn nhất của nó.

Bước 1. Góc lớn nhất nằm đối diện với cạnh lớn nhất, tức là đối diện với cạnh $7$. Gọi góc đó là $C$, khi đó $c = 7$, còn các cạnh kề là $a = 3$ và $b = 5$.

Bước 2. Áp dụng hệ quả:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{-15}{30} = -0{,}5.\]

Bước 3. Cosin là số âm — góc là góc tù. Theo bảng giá trị $\cos 120° = -0{,}5$, vậy $C = 120°$.

Đáp án: $120°$. Đồng thời cũng xác định được tam giác là tam giác tù.

Ví dụ 4. Xác định loại tam giác

Bài toán. Xác định loại tam giác có các cạnh $6$, $7$ và $10$.

Bước 1. Kiểm tra bất đẳng thức tam giác: $6 + 7 = 13 > 10$ — tam giác tồn tại. Cạnh lớn nhất là $10$.

Bước 2. So sánh tổng bình phương hai cạnh nhỏ hơn với bình phương cạnh lớn nhất:

\[6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85, \qquad 10^2 = 100.\]

Bước 3. $85 < 100$, nghĩa là tử số của phân số là số âm và $\cos C < 0$ — góc đối diện với cạnh $10$ là góc tù. Nếu muốn, có thể tìm cả góc:

\[\cos C = \frac{85 - 100}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{-15}{84} \approx -0{,}18 \Rightarrow C \approx 100°.\]

Đáp án: tam giác tù. Lưu ý: nhìn bằng mắt thường không thể thấy rõ — các cạnh gần bằng nhau, nhưng góc đã vượt quá $90°$.

Ví dụ 5. Bài toán OGE: đường chéo hình bình hành

Bài toán. Các cạnh của hình bình hành bằng $5$ và $8$, góc nhọn bằng $60°$. Tìm đường chéo ngắn hơn.

Bước 1. Đường chéo chia hình bình hành thành hai tam giác, mỗi tam giác có hai cạnh đã biết ($5$ và $8$) và góc xen giữa. Đường chéo ngắn hơn nằm đối diện với góc nhọn $60°$.

Bước 2. Tính toán:

\[d^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 25 + 64 - 40 = 49 \Rightarrow d = 7.\]

Bước 3. Kiểm tra. Đường chéo còn lại nằm đối diện với góc $120°$ (hai góc kề của hình bình hành có tổng bằng $180°$): $D^2 = 89 + 40 = 129$, tức là $D = \sqrt{129} \approx 11{,}4$. Tổng bình phương hai đường chéo bằng $49 + 129 = 178$, còn hai lần tổng bình phương các cạnh là $2(25 + 64) = 178$. Trùng khớp, nghĩa là tính toán chính xác.

Đáp án: $7$.

Những lỗi thường gặp trong bài toán về định lý cos

Lấy cosin của góc tù với dấu cộng. Với các cạnh $4$ và $9$ và góc $120°$ xen giữa, ta viết $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ và nhận được $c \approx 7{,}8$.

$\cos 120° = -0{,}5$, mà âm nhân âm thành dương: $c^2 = 97 + 36 = 133$, tức là $c = \sqrt{133} \approx 11{,}5$. Kiểm tra nhanh: cạnh đối diện với góc tù phải là cạnh dài nhất, do đó kết quả phải lớn hơn $9$.
Thay nhầm góc không nằm giữa hai cạnh đã cho: đề bài cho một góc và sử dụng nó «như vậy», không xem xét hình vẽ.

Trong biểu thức $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$, các cạnh $a$ và $b$ tạo thành góc $C$, còn cạnh $c$ nằm đối diện với nó. Nếu góc đã biết kề với cạnh cần tìm, biểu thức này không phù hợp — cần dùng một trong ba dạng khác hoặc định lý sin.
Quên lấy căn bậc hai và ghi bình phương cạnh vào đáp án: nhận được $c^2 = 225$ và ghi «cạnh bằng 225».

Công thức luôn cho ra bình phương của cạnh. Bước cuối cùng là bắt buộc: $c = \sqrt{225} = 15$. Đọc kỹ câu hỏi bài toán trước khi ghi đáp án.
Nhầm lẫn thứ tự các số hạng trong hệ quả và viết $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.

Tử số đúng là $a^2 + b^2 - c^2$: tổng bình phương các cạnh kề trừ đi bình phương cạnh đối diện. Nếu đổi thứ tự, dấu của phân số sẽ đổi ngược lại, và thay vì góc tù $120°$ lại ra góc nhọn $60°$.
Tìm góc theo giá trị tuyệt đối của cosin: nhận được −0,25, nhưng ghi góc nhọn vào đáp án, như thể cosin là +0,25.

Cosin âm luôn tương ứng với góc tù. Không được bỏ qua dấu: cos 60° = 0,5, còn cos 120° = −0,5; hàm arccos của số âm cho kết quả lớn hơn 90°.
Cố gắng giải bài toán «hai cạnh và góc xen giữa» bằng định lý sin và bị mắc kẹt ở dòng đầu tiên.

Định lý sin cần có sẵn cặp «cạnh và góc đối diện». Với hai cạnh và góc xen giữa, không có cặp nào như vậy — trước tiên định lý cos cho ra cạnh thứ ba, sau đó mới áp dụng định lý sin.

Câu hỏi và trả lời

Định lý cos phát biểu như thế nào?

Bình phương một cạnh của tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó với cosin của góc xen giữa chúng: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Định lý đúng với mọi tam giác, không chỉ tam giác vuông.

Làm thế nào để tìm cạnh của tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa?

Thay dữ kiện vào công thức c² = a² + b² − 2ab·cos C và lấy căn bậc hai. Ví dụ, với các cạnh 4 và 6 và góc 60° xen giữa: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, vậy c = √28 ≈ 5,3.

Làm thế nào để tìm góc của tam giác nếu biết ba cạnh?

Theo hệ quả của định lý cos: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), trong đó c là cạnh đối diện với góc cần tìm. Ví dụ, với các cạnh 2, 3 và 4, cosin của góc lớn nhất bằng (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, nghĩa là góc tù, khoảng 104°.

Tại sao định lý Pi-ta-go là trường hợp riêng của định lý cos?

Bởi vì với góc vuông cos 90° = 0, số hạng −2ab·cos C sẽ bằng 0. Từ công thức còn lại c² = a² + b² — đây chính là định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông.

Định lý cos có áp dụng được cho tam giác tù không?

Có, và áp dụng không thay đổi. Góc tù có cosin âm, do đó số hạng −2ab·cos C trở thành dương và được cộng vào tổng bình phương. Chính vì vậy, cạnh đối diện với góc tù là cạnh dài nhất.

Khi nào áp dụng định lý sin, khi nào áp dụng định lý cos?

Định lý sin cần khi đề bài đã cho sẵn cặp «cạnh và góc đối diện» — ví dụ, cho một cạnh và hai góc. Định lý cos áp dụng khi không có cặp nào như vậy: cho hai cạnh và góc xen giữa hoặc cả ba cạnh. Thường bài toán được giải trong hai bước: trước tiên dùng cos, sau đó dùng sin.

Làm thế nào để xác định loại tam giác theo ba cạnh?

So sánh bình phương cạnh lớn nhất c² với tổng bình phương hai cạnh còn lại. Nếu a² + b² > c² — tam giác nhọn, nếu a² + b² = c² — tam giác vuông, nếu a² + b² < c² — tam giác tù. Dấu của hiệu này trùng với dấu của cosin góc lớn nhất.

Định lý cos được học ở lớp mấy?

Ở lớp 9 trong các tiết hình học, chủ đề «Tỉ số giữa các cạnh và góc của tam giác» — cùng với định lý sin. Sau này nó được sử dụng liên tục trong các bài toán OGE và EGE về hình học phẳng và hình học không gian.

Còn câu hỏi nào không? Tiếp tục trong phần chat

Giải bài toán của tôi Kiểm tra lời giải của tôi Tìm cạnh tam giác Tìm góc theo ba cạnh Sin hay cos? Cho bài tập để luyện tập

User #4365351

Tôi thực sự thích trình chỉnh sửa văn bản trên ảnh — kết quả là một kiệt tác tuyệt đối.

Web · Tháng 5 2026

User #4383661

Cảm ơn bạn, công việc của mạng nơ-ron thực sự gây ấn tượng với tôi. Hoàn hảo!

User #4279467

Tôi thực sự thích nó — sẽ rất tuyệt nếu có thêm một vài lượt thử miễn phí.

Google Play · Tháng 5 2026

User #4160129

Một ứng dụng tuyệt vời với giá cả phải chăng.

Định lý cos: công thức và bài toán