Aylanada ikki asosiy turdagi burchak hosil bo'ladi: markaziy — uchi markazda bo'lgan, va ichki chizilgan — uchi aylananing o'zida yotgan. Ular orasidagi bog'liqlik oddiy: markaziy burchak o'zi tiralgan yoyga teng, ichki chizilgan burchak esa uning yarmiga teng. Bu sahifada ta'riflar, ichki chizilgan burchak haqidagi teorema barcha natijalari bilan, ko'rgazmali chizmalar, masalalarning bosqichma-bosqich tahlili va o'zingizni darhol sinab ko'rishingiz mumkin bo'lgan interaktiv trenajyor mavjud.
Aylanadagi burchak turlari: markaziy va ichki chizilgan
Aylanada bitta nuqtadan ikkita kesma o'tkazsak, burchak hosil bo'ladi. Uning uchi qayerda joylashganiga qarab, aylanadagi burchaklarning ikki asosiy turi ajratiladi:
- Markaziy burchak — uchi aylananing \(O\) markazida yotgan burchak. Uning tomonlari — radiuslar.
- Ichki chizilgan burchak — uchi aylanada yotgan, tomonlari esa uni kesib o'tadigan (ya'ni vatarlar bo'lgan) burchak.
Bu burchaklarning har biri tiraladi — bu aylananing burchak ichida yotgan qismi. Aynan yoy markaziy va ichki chizilgan burchaklarni bog'laydi: ikkalasi ham uning gradus o'lchovi orqali ifodalanadi.
Agar burchak uchi doira ichida (lekin markazda emas) yoki undan tashqarida bo'lsa, bu endi ichki chizilgan yoki markaziy burchak emas: bunday burchaklar uchun o'z formulalari bor, ular haqida sahifa oxirida aytib o'tiladi.
∠AOC = AC yoyi = 120°
∠ABC = ½ AC yoyi = 60°
Ichki chizilgan burchak haqidagi teorema va uning kattaligi
Markaziy burchak o'zi tiralgan yoyga teng — yoyning gradus o'lchovi shunday kiritiladi. Agar \(\angle AOC = 120°\) bo'lsa, u holda \(AC\) yoyi ham \(120°\) ga teng.
Ichki chizilgan burchak haqidagi teorema: ichki chizilgan burchak o'zi tiralgan yoyning yarmi bilan o'lchanadi:
Shundan kelib chiqadiki, ichki chizilgan va markaziy burchaklarning asosiy nisbati: ichki chizilgan burchak bir xil yoyga tiralgan markaziy burchakdan ikki baravar kichik:
Ichki chizilgan burchakning kattaligi uning uchi aylananing qaysi nuqtasida joylashganiga bog'liq emas — faqat u tiralgan yoy muhim. Shuning uchun quyidagi chizmani butun mavzuning "ishchi surati" sifatida eslab qolish kerak: yashil yoy va unga qarab turgan ikkita burchak.
Ichki chizilgan va markaziy burchaklar: xossalari va natijalari
Ichki chizilgan burchak haqidagi teoremadan maktabdagi ko'pgina masalalar asoslanadigan xossalar bevosita kelib chiqadi:
- Bir yoyga tiralgan ichki chizilgan burchaklar tengdir. Ularning har biri bir xil yoyning yarmiga teng — demak, uchlari qayerda bo'lishidan qat'i nazar, ular o'zaro teng.
- Diametrga tiralgan ichki chizilgan burchak — to'g'ri burchak. Diametr aylanani har biri \(180°\) bo'lgan ikkita yarim aylanaga bo'ladi, shuning uchun bunday burchak \(180° : 2 = 90°\) ga teng. Teskarisi ham o'rinli: agar ichki chizilgan burchak to'g'ri bo'lsa, u diametrga tiralgan bo'ladi.
- Ichki chizilgan burchak o'tmas bo'lishi mumkin. Agar yoy \(180°\) dan katta bo'lsa, burchak \(90°\) dan katta bo'ladi — "yoyning yarmi" formulasi istisnosiz ishlaydi.
Bu xossalar "teskari tomonga" ham ishlaydi: masalan, bir kesmaga tiralgan burchaklarning tengligiga asoslanib, to'rtta nuqta bir aylanada yotishini isbotlash mumkin.
Aylanaga ichki chizilgan to'rtburchak
Agar to'rtburchakning barcha to'rtta uchi aylanada yotsa, u ichki chizilgan (aylana esa unga tashqi chizilgan) deyiladi. Bunday to'rtburchakning burchaklari ichki chizilgan burchaklar bo'ladi, shuning uchun ular uchun ham o'sha teorema o'rinli.
- Ichki chizilgan to'rtburchakning qarama-qarshi burchaklari yig'indisi \(180°\) ga teng. \(A\) va \(C\) burchaklari birgalikda butun aylanani (\(360°\)) tashkil etuvchi ikkita yoyga tiraladi, shuning uchun \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Ichki chizilgan to'rtburchakning tashqi burchagi uning qarshisidagi ichki burchagiga teng. Tashqi burchak o'zining ichki burchagini \(180°\) gacha to'ldiradi — xuddi qarama-qarshi burchak kabi.
- Burchaklar yig'indisi xossasi — bu ayni paytda alomat hamdir: agar to'rtburchakning qarama-qarshi burchaklari yig'indisi \(180°\) bo'lsa, uning atrofida aylana chizish mumkin. Shuning uchun har qanday to'g'ri to'rtburchakni aylanaga ichki chizish mumkin, ammo rombni (kvadratdan tashqari) esa yo'q.
Masalalarda ichki chizilgan burchaklar bilan bir qatorda aylanadan tashqaridagi bir nuqtadan o'tkazilgan ikkita urinma orasidagi burchaklar ham uchraydi. Bunday burchak u aylanadan ajratgan yoylar ayirmasining yarmiga teng.
Ichki chizilgan va markaziy burchaklarga oid masalalarni yechish namunalari
1-misol. Yoy bo'yicha ichki chizilgan burchakni topish
Masala. Ichki chizilgan \(ABC\) burchak \(120°\) ga teng bo'lgan \(AC\) yoyiga tiralgan. \(\angle ABC\) ni toping.
1-qadam. Teoremani eslaymiz: ichki chizilgan burchak o'zi tiralgan yoyning yarmiga teng.
2-qadam. O'rniga qo'yamiz: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Javob: \(60°\).
2-misol. Ichki chizilgan burchak bo'yicha markaziy burchakni topish
Masala. Ichki chizilgan \(ABC\) burchak \(40°\) ga teng. Xuddi shu \(AC\) yoyiga tiralgan markaziy \(AOC\) burchakni toping.
1-qadam. Markaziy burchak bir xil yoyga tiralgan ichki chizilgan burchakdan ikki baravar katta: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
2-qadam. Hisoblaymiz: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Shu bilan birga yoyni ham bilib oldik: \(AC = 80°\).
Javob: \(80°\).
3-misol. Diametrga tiralgan burchak
Masala. \(AC\) — aylananing diametri, \(B\) nuqta aylanada yotadi, \(\angle BAC = 35°\). \(\angle BCA\) ni toping.
1-qadam. \(ABC\) burchak \(AC\) diametriga tiralgan, demak \(\angle ABC = 90°\) — \(ABC\) uchburchak to'g'ri burchakli.
2-qadam. Uchburchak burchaklari yig'indisi \(180°\) ga teng: \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Javob: \(55°\).
4-misol. Ichki chizilgan to'rtburchak
Masala. \(ABCD\) to'rtburchak aylanaga ichki chizilgan, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). \(C\) va \(D\) burchaklarni toping.
1-qadam. Ichki chizilgan to'rtburchakning qarama-qarshi burchaklari yig'indisi \(180°\) ga teng: \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
2-qadam. Xuddi shunday \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Tekshirish. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — to'rtburchak burchaklari yig'indisi to'g'ri chiqdi.
Javob: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Aylanadagi burchaklarga oid masalalarda uchraydigan keng tarqalgan xatolar
-
Ichki chizilgan burchakni markaziy burchak bilan adashtirishadi: uchi markazda bo'lgan burchak uchun yoyning yarmini olishadi (yoki aksincha).
Avval burchak uchiga qarang. Uchi \(O\) markazda bo'lsa — bu markaziy burchak, u yoyning o'ziga teng. Uchi aylanada bo'lsa — bu ichki chizilgan burchak, u yoyning yarmiga teng.
-
Noto'g'ri yoyni olishadi: ichki chizilgan burchak uchun uning uchi yotgan yoyni hisoblashadi.
Ichki chizilgan burchak uning "ichida" yotgan yoyga tiraladi — burchak uchi esa har doim boshqa yoyda bo'ladi. \(\angle ABC\) yozuvida burchak \(B\) nuqtasini o'z ichiga olmaydigan \(AC\) yoyiga tiraladi.
-
2 ga ko'paytirish va bo'lishni "noto'g'ri tomonga" bajarishadi: ichki chizilgan burchakdan markaziy burchakka o'tishda ko'paytirish o'rniga bo'lishadi.
Esda tuting: ichki chizilgan — "kichik" (yoyning yarmi), markaziy — "katta" (butun yoy). Ichki chizilgandan markaziyga o'tish uchun — 2 ga ko'paytirish, markaziydan ichki chizilganga o'tish uchun — bo'lish kerak.
-
Tomonlari aylanani kesib o'tadigan har qanday burchakni ichki chizilgan deb hisoblashadi — masalan, doira ichida kesishuvchi vatarlar orasidagi burchakni.
Ichki chizilgan burchakning uchi aylananing o'zida yotishi shart. Uchi doira ichida bo'lgan burchak u ajratgan yoylar yig'indisining yarmiga, uchi doiradan tashqarida bo'lgan burchak esa — ayirmasining yarmiga teng: bular boshqa formulalar.
-
Ichki chizilgan to'rtburchakda qarama-qarshi burchaklar yig'indisi o'rniga qo'shni burchaklar yig'indisini $180°$ ga tenglashtirishadi.
Bu xossa faqat qarama-qarshi uchlar uchun ishlaydi: \(\angle A + \angle C = 180°\) va \(\angle B + \angle D = 180°\). Ichki chizilgan to'rtburchakning qo'shni burchaklari ixtiyoriy bo'lishi mumkin.
Savollar va javoblar
Ichki chizilgan burchak nimaga teng?
Ichki chizilgan burchak o'zi tiralgan yoyning yarmiga teng. Masalan, agar yoy 120° ga teng bo'lsa, ichki chizilgan burchak 60° ga teng bo'ladi. Bu ichki chizilgan burchak haqidagi teorema — mavzuning asosiy formulasi.
Bir yoyga tiralgan ichki chizilgan va markaziy burchaklar qanday bog'langan?
Markaziy burchak ichki chizilgan burchakdan ikki baravar katta: ∠AOC = 2·∠ABC. Markaziy burchak yoyning o'ziga, ichki chizilgan burchak esa uning yarmiga teng.
Nima uchun diametrga tiralgan ichki chizilgan burchak 90° ga teng?
Diametr yarim aylanani — 180° li yoyni tortib turadi. Ichki chizilgan burchak yoyning yarmiga teng: 180° : 2 = 90°. Shuning uchun bir tomoni tashqi chizilgan aylananing diametri bo'lgan har qanday uchburchak to'g'ri burchakli bo'ladi.
Ichki chizilgan burchak o'tmas bo'lishi mumkinmi?
Ha. Agar burchak tiralgan yoy 180° dan katta bo'lsa, burchak o'tmas bo'ladi: masalan, 210° li yoyga 105° li ichki chizilgan burchak mos keladi. Shu bilan birga, ichki chizilgan burchak har doim 180° dan kichik bo'ladi.
Urinmalar orasidagi burchak nima va u ichki chizilgan burchakdan nima bilan farq qiladi?
Urinmalar orasidagi burchak aylanaga bitta tashqi nuqtadan o'tkazilgan ikkita urinma hosil qiladi. Uning uchi aylanadan tashqarida yotadi va u ajratgan yoylar ayirmasining yarmiga teng. Ichki chizilgan burchakning uchi esa aylanada yotadi va u bitta yoyning yarmiga teng.
Aylanada yana qanday burchak turlari mavjud?
Markaziy va ichki chizilgan burchaklardan tashqari, vatarlar orasidagi burchak (uchi doira ichida — yoylar yig'indisining yarmi), tashqi nuqtadan o'tkazilgan kesuvchilar orasidagi burchak (yoylar ayirmasining yarmi) va urinma bilan vatar orasidagi burchak (ichidagi yoyning yarmi) ham ko'rib chiqiladi. Ularning barchasi aylana yoylari orqali ifodalanadi.
