Kosinuslar teoremasi uchburchakning uch tomonini va uning bitta burchagini bog'laydi: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). U har qanday uchburchakda ishlaydi, shuning uchun 9-sinfda to'g'ri burchak bo'lmagan hollarda aynan u Pifagor teoremasini almashtiradi. Uning yordamida ikkita tomon va ular orasidagi burchak ma'lum bo'lsa, uchinchi tomon topiladi, xulosasi \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) bo'yicha esa uch tomoni bo'yicha ixtiyoriy burchak va uchburchak turi topiladi. Sahifada — ta'rifi va formulaning uchta yozuvi, isboti, kosinuslar jadvali, «sinuslar yoki kosinuslar» yodnomasi, OGE masalalari tahlili va o'zini tekshirish uchun mashq.
Kosinuslar teoremasi: ta'rifi va formulasi
Kosinuslar teoremasi har qanday uchburchakda ishlaydi — unga to'g'ri burchak shart emas. U uch tomonni va bitta burchakni bog'laydi, shuning uchun boshqa ikki tomoni va ular orasidagi burchak ma'lum bo'lsa, u orqali tomon topiladi.
Ta'rifi. Uchburchak tomonining kvadrati boshqa ikki tomon kvadratlari yig'indisidan, shu ikki tomonning ular orasidagi burchak kosinusiga ko'paytmasining ikkilangan miqdorini ayirganga teng.
Bu yerda \(a\), \(b\), \(c\) — uchburchak tomonlari, \(C\) — \(a\) va \(b\) tomonlari orasidagi burchak; \(c\) tomoni shu burchakka qarshi yotadi. Harflarni istalgancha olish mumkin — formula simmetrik, shuning uchun uning uchta teng huquqli yozuvi bor:
Qo'yishning asosiy qoidasi: ko'paytmadagi ikki tomon orasida joylashgan burchakni olamiz, va unga qarshi yotgan tomonni topamiz. Agar «qo'shni» burchak olinsa, barcha sonlar shartdan bo'ladi-yu, javob esa noto'g'ri chiqadi.
Nega Pifagor teoremasi kosinuslar teoremasining xususiy holi
Formulaga to'g'ri burchakni, ya'ni \(C = 90°\) ni qo'yamiz. To'g'ri burchak kosinusi nolga teng, shuning uchun uchinchi qo'shiluvchi butunlay yo'qoladi:
Aynan 8-sinfdan tanish bo'lgan Pifagor teoremasi hosil bo'ldi. Shuning uchun kosinuslar teoremasi uning umumlashmasi deb ataladi: Pifagor teoremasi — «90° dagi xususiy hol», kosinuslar teoremasi esa barcha burchaklar uchun bir vaqtda ishlaydi.
\(-2ab\cos C\) qo'shiluvchisini burchakning to'g'ri emasligiga tuzatma sifatida tushunish qulay:
- burchak o'tkir, \(\cos C > 0\) — tuzatma ayiriladi, \(c\) tomoni Pifagor teoremasi bergandan qisqaroq chiqadi;
- burchak to'g'ri, \(\cos C = 0\) — tuzatma yo'q, \(c^2 = a^2 + b^2\) qoladi;
- burchak o'tmas, \(\cos C < 0\) — tuzatma qo'shiladi, \(c\) tomoni uzunroq chiqadi.
Kosinuslar teoremasining isboti
Eng qisqa maktab isboti — koordinatali usul. \(C\) uchini koordinatalar boshiga, \(b = CA\) tomonini esa \(x\) o'qi bo'ylab yo'naltiramiz. Unda uchlarning koordinatalari quyidagicha bo'ladi:
- \(C(0;\ 0)\) — koordinatalar boshi;
- \(A(b;\ 0)\) — boshidan \(b\) masofada \(x\) o'qidagi nuqta;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — boshidan \(a\) masofada, \(x\) o'qiga \(C\) burchak ostida joylashgan uch.
\(c\) tomoni — bu \(AB\) kesmasining uzunligi. Uni ikki nuqta orasidagi masofa formulasi bo'yicha hisoblaymiz:
Qavslarni ochamiz:
\(a^2\) li qo'shiluvchilarni guruhlaymiz va asosiy trigonometrik ayniyatni \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\) qo'llaymiz:
Isbotlanishi kerak bo'lgan narsa shu edi. E'tibor bering: hech qaerda \(C\) burchagining o'tkir bo'lishi talab qilinmadi. Agar u o'tmas bo'lsa, kosinus manfiy bo'ladi, \(a\cos C\) koordinatasi \(y\) o'qining chap tomoniga o'tadi, lekin barcha hisob-kitoblar o'zgarishsiz qoladi — shuning uchun teorema har qanday uchburchak uchun to'g'ri.
Xulosa: uch tomoni bo'yicha burchakni qanday topish mumkin
Kosinuslar teoremasidan kosinusning o'zi ifodalanadi — bu uning asosiy xulosasi. Uning yordamida barcha uch tomon ma'lum bo'lganda burchak topiladi:
Sur'atda — burchakka yondosh ikki tomon kvadratlari yig'indisi, undan burchakka qarshi yotgan tomon kvadrati ayirilgan. Maxrajda — yondosh tomonlarning ikkilangan ko'paytmasi. Boshqa burchaklar uchun formulalar ham xuddi shunday:
Yechish tartibi:
- izlanayotgan burchakni tanlab, unga qaysi tomon qarshi yotganini aniqlash — uning kvadrati sur'atga minus belgisi bilan kiradi;
- kasrni hisoblash (maxraj doim musbat, belgini faqat sur'at beradi);
- qiymatlar jadvali bo'yicha yoki arkkosinus orqali burchakning o'zini topish.
Foydali usul: eng katta tomondan boshlash. Unga qarshi eng katta burchak yotadi, va faqat u to'g'ri yoki o'tmas bo'lishi mumkin — uchburchakdagi qolgan ikki burchak doim o'tkir bo'ladi.
O'tmas burchaklar kosinusi manfiy: qiymatlar jadvali
Maktab masalalarida burchaklar deyarli doim «jadvaldagi» bo'ladi: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. O'tkir burchaklarning kosinusi musbat, to'g'ri burchakniki nolga teng, o'tmas burchaklarniki esa — manfiy. O'tmas burchaklar uchun qiymatlar o'tkir burchaklar qiymatlaridan keltirish qoidasi \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\) orqali olinadi: masalan, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Amalda bu nimani anglatadi: o'tmas burchakda \(-2ab\cos C\) ifodasi plyusga aylanadi — minusga minus. \(120°\) burchak uchun formula quyidagicha ko'rinadi:
Aynan shu yerda ko'pincha ball yo'qotiladi: \(-0{,}5\) o'rniga \(0{,}5\) qo'yib, berilgan ikkala tomondan ham qisqaroq tomonni topishadi. Bu aslida mumkin emas — o'tmas burchakka uchburchakning eng uzun tomoni to'g'ri keladi.
| Burchak | Kosinus |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Uch tomoni bo'yicha uchburchak turini qanday aniqlash mumkin
Kosinuslar teoremasi burchaklarni transportir bilan o'lchamasdan turib, uchburchak turini bilish imkonini beradi. \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) kasrining belgisi faqat sur'atga bog'liq: maxraj \(2ab\) doim musbat. Demak, eng katta tomon kvadratini boshqa ikki tomon kvadratlari yig'indisi bilan solishtirish kifoya.
\(c\) — eng katta tomon bo'lsin, unda unga qarshi eng katta \(C\) burchagi yotadi:
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → \(C\) burchagi o'tkir. Qolgan burchaklar undan kichik, demak barcha uch burchak o'tkir — uchburchak o'tkir burchakli;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — uchburchak to'g'ri burchakli (bu Pifagor teoremasining teskarisidir);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → \(C\) burchagi o'tmas — uchburchak o'tmas burchakli.
Qolgan burchaklarni tekshirish shart emas: uchburchakda to'g'ri yoki o'tmas burchak faqat bitta bo'ladi. Va uchburchak tengsizligini unutmang — agar eng katta tomon boshqa ikki tomon yig'indisidan kichik bo'lmasa, bunday tomonli uchburchak umuman mavjud bo'lmaydi.
Sinuslar yoki kosinuslar teoremasi: qaysini tanlash
Ikkala teorema ham bitta vazifani bajaradi — uchburchakning noma'lum tomonlari va burchaklarini topadi, — lekin har xil ma'lumotlar to'plamidan ishga tushadi. Sinuslar teoremasi tomonni va unga qarshi yotgan burchakni bog'laydi:
Shundan tanlov qoidasi kelib chiqadi: agar shartda allaqachon «tomon va unga qarshi burchak» jufti mavjud bo'lsa — sinuslar teoremasi ishlaydi; agar bunday juft bo'lmasa — kosinuslar teoremasidan boshlaymiz. To'rtta maktab ma'lumotlar to'plami bo'yicha yodnoma — jadvalda.
Ko'pincha masala ikki bosqichda yechiladi: avval kosinuslar teoremasi uchinchi tomonni beradi, keyin sinuslar teoremasi qolgan burchaklarni tez topadi.
| Nima ma'lum | Nimani qo'llaymiz |
|---|---|
| TBTIkki tomon va ular orasidagi burchak | Kosinuslar teoremasiuchinchi tomonni topamiz |
| TTTUchala tomon | Kosinuslar teoremasiixtiyoriy burchak va uchburchak turini topamiz |
| BTBTomon va ikki burchak | Sinuslar teoremasiboshqa ikki tomonni topamiz |
| TTBIkki tomon va ulardan biriga qarshi burchak | Sinuslar teoremasiqarshi burchakni topamiz |
OGE masalalarida kosinuslar teoremasi
Matematikadan OGE imtihonida kosinuslar teoremasi planimetriya topshiriqlarida uchraydi — ham birinchi qismda, ham batafsil javobli masalalarda. Odatiy syujetlar quyidagicha:
- Ikki tomon va ular orasidagi burchak bo'yicha tomonni topish — formulaning to'g'ridan-to'g'ri qo'llanilishi, ko'pincha 60° yoki 120° burchaklar bilan.
- Uch tomon bo'yicha burchak yoki uning kosinusini topish — \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) xulosasi. Agar topshiriqda «\(\cos\angle A\) ni toping» deb yozilgan bo'lsa, arkkosinus olish shart emas: javob — aynan shu kasr, uni yozamiz.
- Parallelogramm diagonallari. Diagonal ikki tomon va ular orasidagi burchakdan iborat uchburchakni kesib o'tadi. Parallelogrammning qo'shni burchaklari yig'indisi 180° ni tashkil etadi, shuning uchun ularning kosinuslari qarama-qarshi: o'tkir burchakka kichik diagonal, o'tmas burchakka esa katta diagonal to'g'ri keladi.
- Uch son bo'yicha uchburchak turi — \(a^2 + b^2\) ni \(c^2\) bilan solishtirish.
- Uchburchak medianasi. \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) formulasi kosinuslar teoremasini asosdagi ikkita qo'shni burchakka ikki marta qo'llash orqali chiqariladi.
Imtihondagi maslahat: hisoblashdan oldin chizmada ma'lum tomonlar orasida «siqilgan» burchakni belgilab qo'ying. Agar bunday burchak bo'lmasa — kosinuslar teoremasi hozircha qo'llanilmaydi, boshqa yo'l izlash kerak.
Kosinuslar teoremasiga doir masalalar yechimiga misollar
1-misol. Ikki tomon va 60° burchak bo'yicha tomonni topish
Masala. \(ABC\) uchburchagida tomonlar \(a = 7\) va \(b = 15\), ular orasidagi burchak \(C = 60°\). \(c\) tomonini toping.
1-qadam. \(C\) burchagi \(a\) va \(b\) tomonlari orasida joylashgan — bu aynan teorema ishlab chiqilgan holat:
2-qadam. Sonlarni qo'yamiz, \(\cos 60° = 0{,}5\):
3-qadam. Ildiz chiqaramiz: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Javob: \(13\). Mazmuni bo'yicha tekshirish: \(60°\) burchagi o'tkir, shuning uchun unga qarshi tomon eng uzuni emas — haqiqatan ham, \(13 < 15\).
2-misol. O'tmas burchak: minusga minus
Masala. \(ABC\) uchburchagida ma'lum: \(AB = 6\), \(BC = 10\), \(B\) burchagi = \(120°\). \(AC\) tomonini toping.
1-qadam. \(B\) burchagi \(AB\) va \(BC\) tomonlari orasida joylashgan, \(AC\) tomoni esa unga qarshi yotadi:
2-qadam. Burchak o'tmas, shuning uchun \(\cos 120° = -0{,}5\). Ko'paytma oldidagi minus va kosinusdagi minus plyus beradi:
3-qadam. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Javob: \(14\). Tekshirish: o'tmas burchakka eng uzun tomon to'g'ri keladi — \(14\) ham \(6\) dan, ham \(10\) dan katta.
3-misol. Uch tomoni bo'yicha burchakni topish
Masala. Uchburchak tomonlari \(3\), \(5\) va \(7\) ga teng. Uning eng katta burchagini toping.
1-qadam. Eng katta burchak eng katta tomonga, ya'ni \(7\) tomoniga qarshi yotadi. Uni \(C\) deb belgilaymiz, unda \(c = 7\), yondosh tomonlar esa \(a = 3\) va \(b = 5\).
2-qadam. Xulosani qo'llaymiz:
3-qadam. Kosinus manfiy — burchak o'tmas. Qiymatlar jadvali bo'yicha \(\cos 120° = -0{,}5\), demak \(C = 120°\).
Javob: \(120°\). Shu bilan birga, uchburchak o'tmas burchakli ekanligi ham aniqlandi.
4-misol. Uchburchak turini aniqlash
Masala. Tomonlari \(6\), \(7\) va \(10\) bo'lgan uchburchak turini aniqlang.
1-qadam. Uchburchak tengsizligini tekshiramiz: \(6 + 7 = 13 > 10\) — uchburchak mavjud. Eng katta tomon — \(10\).
2-qadam. Ikki kichik tomon kvadratlari yig'indisini eng katta tomon kvadrati bilan solishtiramiz:
3-qadam. \(85 < 100\), demak kasr sur'ati manfiy va \(\cos C < 0\) — \(10\) tomoniga qarshi burchak o'tmas. Istasangiz, burchakning o'zini ham topish mumkin:
Javob: uchburchak o'tmas burchaklidir. E'tibor bering: buni «ko'z bilan» ilg'ab bo'lmaydi — tomonlar deyarli teng, burchak esa allaqachon \(90°\) dan oshib ketgan.
5-misol. OGE darajasidagi masala: parallelogramm diagonali
Masala. Parallelogramm tomonlari \(5\) va \(8\) ga, o'tkir burchagi \(60°\) ga teng. Kichik diagonalni toping.
1-qadam. Diagonal ikki tomoni (\(5\) va \(8\)) va ular orasidagi burchagi ma'lum bo'lgan uchburchakni kesib o'tadi. Kichik diagonal o'tkir \(60°\) burchakka qarshi yotadi.
2-qadam. Hisoblaymiz:
3-qadam. Tekshirish. Ikkinchi diagonal \(120°\) burchakka qarshi yotadi (parallelogrammning qo'shni burchaklari yig'indisi \(180°\) ni tashkil etadi): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), ya'ni \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Diagonallar kvadratlari yig'indisi \(49 + 129 = 178\) ga, tomonlar kvadratlari yig'indisining ikkilangan miqdori esa \(2(25 + 64) = 178\) ga teng. Mos keldi, demak hisob to'g'ri.
Javob: \(7\).
Kosinuslar teoremasiga doir masalalarda tez-tez uchraydigan xatolar
-
O'tmas burchak kosinusini plyus belgisi bilan olish. $4$ va $9$ tomonlar va ular orasidagi $120°$ burchak uchun $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ deb yozib, $c \approx 7{,}8$ ni topishadi.
\(\cos 120° = -0{,}5\), minusga minus esa plyus beradi: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), ya'ni \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Tezkor tekshirish: o'tmas burchakka eng uzun tomon to'g'ri keladi, shuning uchun javob \(9\) dan katta bo'lishi shart.
-
Berilgan tomonlar orasida bo'lmagan burchakni qo'yish: shartda bitta burchak berilgan, va uni chizmaga qaramasdan «bor-yo'g'icha» olish.
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) yozuvida \(a\) va \(b\) tomonlari \(C\) burchagini hosil qiladi, \(c\) tomoni esa unga qarshi yotadi. Agar ma'lum burchak izlanayotgan tomonga yondosh bo'lsa, bu yozuv to'g'ri kelmaydi — uchtadan boshqasi yoki sinuslar teoremasi kerak.
-
Ildiz chiqarishni unutib, javobga tomon kvadratini yozish: $c^2 = 225$ ni topib, «tomon 225 ga teng» deb yozish.
Formula doim tomonning aynan kvadratini beradi. Oxirgi qadam majburiy: \(c = \sqrt{225} = 15\). Javobni yozishdan oldin masala savolini qayta o'qing.
-
Xulosadagi qo'shiluvchilar tartibini adashtirib, $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$ deb yozish.
To'g'ri sur'at — \(a^2 + b^2 - c^2\): yondosh tomonlar kvadratlari yig'indisidan qarshi tomon kvadrati ayirilgani. O'rinlarini almashtirganda kasr belgisi teskarisiga o'zgaradi, va o'tmas \(120°\) burchak o'rniga o'tkir \(60°\) chiqadi.
-
Burchakni kosinus moduli bo'yicha topish: −0,25 ni topib, xuddi kosinus +0,25 bo'lgandek javobga o'tkir burchak yozish.
Manfiy kosinus — bu doim o'tmas burchak. Belgini yo'qotib bo'lmaydi: cos 60° = 0,5, cos 120° = −0,5; manfiy sonning arkkosinusi 90° dan katta.
-
«Ikki tomon va ular orasidagi burchak» masalasini sinuslar teoremasi bilan yechishga urinib, birinchi qatorda tiqilib qolish.
Sinuslar teoremasiga «tomon va unga qarshi burchak» tayyor jufti kerak. Ikki tomon va ular orasidagi burchak berilganda bunday juft yo'q — avval kosinuslar teoremasi uchinchi tomonni beradi, va faqat shundan keyin sinuslar teoremasi ishga tushadi.
Savol va javoblar
Kosinuslar teoremasi qanday ta'riflanadi?
Uchburchak tomonining kvadrati boshqa ikki tomon kvadratlari yig'indisidan, shu ikki tomonning ular orasidagi burchak kosinusiga ko'paytmasining ikkilangan miqdorini ayirganga teng: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Teorema faqat to'g'ri burchakli uchun emas, har qanday uchburchak uchun to'g'ri.
Ikki tomon va ular orasidagi burchak bo'yicha uchburchak tomonini qanday topish mumkin?
Ma'lumotlarni c² = a² + b² − 2ab·cos C formulasiga qo'yib, ildiz chiqarish kerak. Masalan, tomonlari 4 va 6, ular orasidagi burchagi 60° bo'lsa: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, demak c = √28 ≈ 5,3.
Agar uch tomon ma'lum bo'lsa, uchburchak burchagini qanday topish mumkin?
Kosinuslar teoremasidan xulosa bo'yicha: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), bu yerda c — izlanayotgan burchakka qarshi yotgan tomon. Masalan, tomonlari 2, 3 va 4 bo'lgan uchburchakning eng katta burchagi kosinusi (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25 ga teng, ya'ni burchak o'tmas, taxminan 104°.
Nega Pifagor teoremasi kosinuslar teoremasining xususiy holi?
Chunki to'g'ri burchakda cos 90° = 0 bo'ladi, va −2ab·cos C qo'shiluvchisi nolga teng bo'ladi. Formuladan c² = a² + b² qoladi — bu to'g'ri burchakli uchburchak uchun Pifagor teoremasidir.
Kosinuslar teoremasi o'tmas burchakli uchburchakda ham ishlaydimi?
Ha, va o'zgarishlarsiz ishlaydi. O'tmas burchakning kosinusi manfiy bo'lgani uchun, −2ab·cos C qo'shiluvchisi musbat bo'ladi va kvadratlar yig'indisiga qo'shiladi. Aynan shu sababdan o'tmas burchakka qarshi tomon eng uzuni bo'lib chiqadi.
Sinuslar teoremasini qachon, kosinuslar teoremasini qachon qo'llash kerak?
Sinuslar teoremasi shartda allaqachon «tomon va unga qarshi burchak» jufti mavjud bo'lganda kerak bo'ladi — masalan, tomon va ikki burchak berilgan bo'lsa. Kosinuslar teoremasi — bunday juft bo'lmaganda: ikki tomon va ular orasidagi burchak yoki uchala tomon berilgan bo'lsa. Ko'pincha masala ikki bosqichda yechiladi: avval kosinuslar, keyin sinuslar.
Uch tomoni bo'yicha uchburchak turini qanday aniqlash mumkin?
Eng katta tomon kvadrati c² ni boshqa ikki tomon kvadratlari yig'indisi bilan solishtirish kerak. Agar a² + b² > c² bo'lsa — uchburchak o'tkir burchakli, agar a² + b² = c² bo'lsa — to'g'ri burchakli, agar a² + b² < c² bo'lsa — o'tmas burchaklidir. Bu ayirmaning belgisi eng katta burchak kosinusining belgisi bilan bir xil.
Kosinuslar teoremasi qaysi sinfda o'tiladi?
9-sinfda geometriya darslarida, «Uchburchak tomonlari va burchaklari orasidagi munosabatlar» mavzusida — sinuslar teoremasi bilan birga. Keyinchalik u OGE va YEGE (yakuniy davlat imtihoni) planimetriya va stereometriya masalalarida doimiy qo'llaniladi.
