Oʻxshash uchburchaklar — bir xil shakldagi, lekin har xil kattalikdagi uchburchaklar: ularning burchaklari mos ravishda teng, mos tomonlari esa proporsionaldir. Bir uchburchakning ikkinchisidan necha marta katta ekanligini koʻrsatuvchi son oʻxshashlik koeffitsienti \(k\) deb ataladi. Oʻxshashlikni isbotlashga uchta belgi yordam beradi, perimetrlar va yuzalar nisbati esa oddiy qoidaga boʻysunadi: perimetrlar \(k\) kabi, yuzalar esa \(k^2\) kabi nisbatda boʻladi. Ushbu sahifada — taʼrif va oʻxshashlikni uchlarining toʻgʻri tartibida yozish, barcha uchta belgi, toʻgʻri burchakli uchburchaklarning oʻxshashligi va toʻgʻri burchakdan tushirilgan balandlik, OGE masalalarini tahlil qilish «tomonini toping» va interaktiv mashq.
Oʻxshash uchburchaklar va oʻxshashlik koeffitsienti nima?
Ikkita uchburchak oʻxshash deyiladi, agar ikkala shart ham bajarilsa:
- ularning burchaklari mos ravishda teng — birinchi uchburchakning har bir burchagiga unga teng boʻlgan ikkinchi uchburchak burchagi toʻgʻri keladi;
- ularning mos tomonlari proporsional — barcha uchta nisbat bir xil sonni beradi.
Mos (tegishli) tomonlar — teng burchaklarga qarama-qarshi yotgan tomonlardir. Aynan ular juftliklarni hosil qiladi, ular orasidagi nisbat hisoblanadi.
Oʻxshashlik \(\sim\) belgisi bilan yoziladi:
Oʻxshashlik koeffitsienti \(k\) — mos tomonlarning aynan shu bir xil nisbati:
Agar \(k > 1\) boʻlsa, ikkinchi uchburchak birinchisidan kattaroq; agar \(k < 1\) boʻlsa — kichikroq; \(k = 1\) boʻlsa, uchburchaklar teng boʻladi, chunki tenglik oʻxshashlikning xususiy holidir.
Yozuvdagi uchlar tartibi — bu formalizm emas
\(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) yozuvi qatʼiy pozitsiyalar boʻyicha oʻqiladi: \(A\) \(A_1\) ga mos keladi, \(B\) — \(B_1\) ga, \(C\) — \(C_1\) ga. Bu yerdan qaysi burchaklar teng ($ \angle A = \angle A_1 \() va qaysi tomonlar mos (\)AB$ va \(A_1B_1\), \(BC\) va \(B_1C_1\), \(AC\) va \(A_1C_1\)) ekanligi darhol kelib chiqadi.
Agar harflarni almashtirib \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\) deb yozsak, boshqa tasdiq hosil boʻladi: endi $ \angle A = \angle B_1 $, va \(AB\) ga mos tomon \(B_1A_1\) boʻladi. «Oʻxshash joylashgan» tomonlar boʻyicha proporsiyani tuzish mumkin emas — faqat yozuvdagi pozitsiyalar boʻyicha. Shu sababli, birinchi navbatda teng burchaklar juftliklari yoziladi va ularga harflar tartibi moslashtiriladi.
Oʻxshash uchburchaklarning uchta belgisi
Taʼrifdagi barcha oltita shartni tekshirish shart emas: oʻxshashlik uchta belgidan biri boʻyicha isbotlanadi. Har biri minimal maʼlumotlar toʻplamidir, undan barcha burchaklarning tengligi va barcha tomonlarning proporsionalligi avtomatik ravishda kelib chiqadi.
Belgini qanday tanlash kerak. Masalada nima berilganligiga qarang: agar burchaklar haqida boʻlsa — birinchi, agar ikkita tomon va burchak haqida boʻlsa — ikkinchi, agar uchta tomon haqida boʻlsa — uchinchi.
- Birinchi belgi (ikkita burchak boʻyicha) — maktab kursining ishchi otidir: OGE masalalarining deyarli hammasi aynan shu bilan yechiladi. Uchinchi burchakni tekshirish shart emas, u avtomatik ravishda teng boʻladi: uchburchak burchaklarining yigʻindisi har doim \(180°\). Teng burchaklarning tayyor juftliklarini qidiring — ikkita uchburchakning umumiy burchagi, vertikal burchaklar, parallel toʻgʻri chiziqlar hosil qilgan bir tomonlama va mos burchaklar, ikkita toʻgʻri burchak.
- Ikkinchi belgi (ikkita tomon va ular orasidagi burchak boʻyicha) burchak aynan shu ikkita tomon orasida boʻlishini talab qiladi. Agar teng burchak ulardan biriga qarama-qarshi yotsa, belgi ishlamaydi va oʻxshashlik isbotlanmagan boʻladi.
- Uchinchi belgi (uchta tomon boʻyicha) — shartda umuman burchaklar boʻlmasa, faqat uzunliklar boʻlsa. Har bir uchburchakning tomonlarini oʻsish tartibida yozing va eng kichigini eng kichigiga, oʻrtachasini oʻrtachasiga, kattasini kattasiga boʻling: shunda juftliklar adashtirilmaydi. Oʻxshashlik faqat uchta nisbat teng boʻlgandagina mavjud.
Oʻxshashlik belgilari bilan tenglik belgilari adashtirmaslik uchun, farqni yodda tuting: tenglikda tomonlar ustma-ust tushishi kerak, oʻxshashlikda — proporsional boʻlishi kerak.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Oʻxshash uchburchaklarning perimetrlari va yuzalari nisbati
Oʻxshashlikning ikkita eng koʻp soʻraladigan natijasi bor va ulardan biri mavzuning asosiy tuzogʻi hisoblanadi.
Perimetrlar \(k\) kabi nisbatda boʻladi. Ikkinchi uchburchakning har bir tomoni birinchi uchburchakning mos tomonidan \(k\) marta katta, shu sababli tomonlar yigʻindisi ham \(k\) marta ortadi:
Shuningdek, barcha chiziqli kattaliklar — balandliklar, medianalar, bissektrisalar, ichki va tashqi chizilgan aylanalarning radiuslari, oʻrta chiziqlar ham «\(k\) marta» kabi oʻzgaradi.
Yuzalar \(k^2\) kabi nisbatda boʻladi. Yuzaning qiymati bir vaqtning oʻzida ikkita oʻlchovga bogʻliq: asos ham, balandlik ham \(k\) marta ortadi, ularning koʻpaytmasi esa \(k \cdot k\) marta ortadi:
Misol uchun, \(k = 5\) boʻlsin. Unda perimetr 5 marta katta boʻladi (masalan, 14 sm edi — 70 sm boʻldi), yuzasi esa allaqachon 25 marta katta boʻladi (6 sm² edi — 150 sm² boʻldi). Farq katta va bu yerga \(k^2\) oʻrniga \(k\) ni qoʻyish — imtihondagi eng keng tarqalgan xato.
Teskari yoʻnalish. Agar masalada yuzalar nisbati berilgan boʻlsa, oʻxshashlik koeffitsienti ildizdan chiqariladi: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Masalan, yuzalar 16 : 1 kabi nisbatda boʻlsa, tomonlar 4 : 1 kabi nisbatda boʻladi.
| k | Perimetrlar P₂ : P₁ | Yuzalar S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| har qanday | k : 1 | k² : 1 |
Toʻgʻri burchakli uchburchaklarning oʻxshashligi va toʻgʻri burchakdan tushirilgan balandlik
Toʻgʻri burchakli uchburchaklar uchun birinchi belgi soddalashadi: ularning toʻgʻri burchaklari oldindan teng, shu sababli bittagina oʻtkir burchakning tengligi kifoya, uchburchaklar oʻxshash boʻlishi uchun. Bundan katetlar boʻyicha belgi ham kelib chiqadi: agar birining katetlari ikkinchisining katetlariga proporsional boʻlsa, uchburchaklar oʻxshash boʻladi (bu ikkinchi belgi, chunki katetlar orasidagi burchak toʻgʻri burchakdir).
Mavzuning eng foydali konfiguratsiyasi — toʻgʻri burchak uchidan tushirilgan balandlik. U uchburchakni ikkita uchburchakka boʻladi va hosil boʻlgan uchta uchburchakning hammasi bir-biriga oʻxshash boʻladi.
Nima uchun shunday: \(AHC\) uchburchagining \(H\) nuqtasida toʻgʻri burchagi bor va katta uchburchak bilan umumiy \(A\) burchagiga ega, demak \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). \(CHB\) uchburchagining \(H\) nuqtasida toʻgʻri burchagi bor va umumiy \(B\) burchagiga ega, demak \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Bundan ikkita kichik uchburchak ham bir-biriga oʻxshash boʻladi.
Bu oʻxshashliklardan oʻrta geometrik formulalari kelib chiqadi (ular toʻgʻri burchakli uchburchakda proporsional kesmalar deb ataladi):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — balandlik uni gipotenuzani boʻlgan kesmalarning oʻrta geometrik qiymatidir;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) va \(BC^2 = HB \cdot AB\) — katet butun gipotenuzaning va unga proektsiyasining oʻrta geometrik qiymatidir.
Asosiysi, qaysi kesma «oʻziga tegishli» ekanligini adashtirmaslik: \(AC\) katetining proektsiyasi \(AH\), \(BC\) katetining proektsiyasi \(HB\). Proektsiya har doim gipotenuzaning shu uchidan boshlanadi, qayerdan katet boshlansa.
OGE masalalarida oʻxshashlik: tomonni qanday topish mumkin
Oʻxshashlikka oid deyarli barcha masalalar bir algoritmni qoʻllash orqali yechiladi:
- Teng burchaklar juftligini toping — umumiy burchak, vertikal burchaklar, parallel toʻgʻri chiziqlar hosil qilgan bir tomonlama yoki ikkita toʻgʻri burchak.
- Oʻxshashlikni uchlarining toʻgʻri tartibida yozing — teng burchaklar bir xil pozitsiyalarda turgʻun boʻlishi uchun.
- Mos tomonlardan proporsiya tuzing (bir xil pozitsiyalarda turgan tomonlarni olamiz).
- Nomaʼlumini ifodalang va hisoblang; oxirida javobni mazmun boʻyicha tekshiring — kichikroq uchburchakning tomoni kichikroq boʻlishi kerak.
OGEda tipik konfiguratsiyalar koʻp emas va ularni bir qarashda tanib olish kerak:
- Tomonga parallel boʻlgan toʻgʻri chiziq. Toʻgʻri chiziq uchburchakdan kichik, asl uchburchakka oʻxshash uchburchakni ajratib oladi. Asosiy noziklik: proporsiyaga umumiy uchdan boshlangan butun tomonlarning nisbati (\(BM : BA\)) kiradi, kesmalarning (\(BM : MA\)) emas.
- «Kapalak». Ikki kesma kesishadi va ularning uchlari parallel toʻgʻri chiziqlar bilan birlashtirilgan — bir-biriga nisbatan aylantirilgan ikkita oʻxshash uchburchak hosil boʻladi.
- Toʻgʻri burchakdan tushirilgan balandlik — avvalgi boʻlimdagi konfiguratsiya; OGEda bu boʻyicha balandlik, katet yoki gipotenuzaning kesmasi topiladi.
- Daraxtning soyasi va balandligi. Quyosh nurlari parallel, shu sababli daraxt va uning soyasi hamda ustun va uning soyasi oʻxshash toʻgʻri burchakli uchburchaklarni hosil qiladi.
- Oʻrta chiziq — \(k = 2\) holati: u tomonga parallel va undan ikki marta qisqa.
B burchagi umumiy, M va A dagi burchaklar mos
O dagi burchaklar vertikal, A va C dagi burchaklar bir tomonlama
Oʻxshash uchburchaklar haqidagi masalalarni yechish misollari
1-misol. Oʻxshashlik koeffitsienti boʻyicha tomonlarni topish
Masala. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) va \(PQ = 21\) ekanligi maʼlum. \(QR\) va \(PR\) ni toping.
1-qadam. Yozuvni pozitsiyalar boʻyicha tahlil qilamiz: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Demak, mos juftliklar quyidagilar: \(MN\) va \(PQ\), \(NK\) va \(QR\), \(MK\) va \(PR\).
2-qadam. Faqat ikkala tomoni maʼlum boʻlgan juftlik boʻyicha koeffitsientni hisoblaymiz:
3-qadam. Ikkinchi uchburchakning qolgan tomonlari mos tomonlaridan 3 marta katta:
Javob: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Tekshirish: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — barcha nisbatlar teng boʻldi.
2-misol. Ikkinchi belgi boʻyicha oʻxshashlikni isbotlash
Masala. \(ABC\) va \(DEF\) uchburchaklarida: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\) va \(A\) va \(D\) burchaklari teng ekanligi maʼlum. Uchburchaklarning oʻxshashligini isbotlang.
1-qadam. Ikkinchi belgi asosiy shartini tekshiramiz: \(A\) burchagi \(AB\) va \(AC\) tomonlari orasida, \(D\) burchagi — \(DE\) va \(DF\) orasida joylashgan. Burchaklar berilgan tomonlar orasida — belgi qoʻllanilishi mumkin.
2-qadam. Mos tomonlarning nisbatlarini hisoblaymiz:
3-qadam. Ikkita tomon juftligi bir xil koeffitsient \(k = 3\) bilan proporsional, ular orasidagi burchaklar teng — ikkinchi belgi boʻyicha \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Javob: uchburchaklar oʻxshash, \(k = 3\). Eʼtibor bering: agar \(B\) va \(D\) burchaklari teng boʻlganida, belgi ishlamagan boʻlardi — \(B\) burchagi \(AB\) va \(AC\) orasida yotmaydi.
3-misol. Tomonga parallel boʻlgan toʻgʻri chiziq (OGE masalasi)
Masala. \(ABC\) uchburchagida \(M\) nuqtasi \(AB\) tomonida, \(N\) nuqtasi esa \(BC\) tomonida yotadi, bunda \(MN \parallel AC\). \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\) ekanligi maʼlum. \(AC\) ni toping.
1-qadam. \(MN \parallel AC\) boʻlgani uchun, \(BMN\) va \(BAC\) burchaklari mos burchaklar sifatida teng, \(B\) burchagi esa umumiy. Birinchi belgi boʻyicha \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (uchlar tartibi: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
2-qadam. Umumiy uchdan boshlangan butun tomonni topamiz: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Bu asosiy noziklik — proporsiyaga \(BA\) kiradi, \(MA\) emas.
3-qadam. Mos tomonlardan proporsiya tuzamiz:
4-qadam. Bundan \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Javob: \(AC = 20\). Bu yerda oʻxshashlik koeffitsienti 4 ga teng: katta uchburchak ajratilgan uchburchakdan toʻrt marta katta.
4-misol. Perimetrlar va yuzalar
Masala. Oʻxshash uchburchaklarning perimetrlari 18 sm va 45 sm ga teng. Kichik uchburchakning yuzasi 16 sm² ga teng. Katta uchburchakning yuzasini toping.
1-qadam. Perimetrlar oʻxshashlik koeffitsientiga nisbatda boʻladi:
2-qadam. Yuzalar oʻxshashlik koeffitsientining kvadratiga nisbatda boʻladi: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
3-qadam. Kichik uchburchak yuzasini \(k^2\) ga koʻpaytiramiz:
Javob: 100 sm². Agar biz \(k = 2{,}5\) ga koʻpaytirganimizda, 40 sm² hosil boʻlardi — bu butun ballni yoʻqotishga olib keladigan odatiy xato.
5-misol. Toʻgʻri burchak uchidan tushirilgan balandlik
Masala. \(ABC\) toʻgʻri burchakli uchburchagida toʻgʻri burchak \(C\) uchida, \(CH\) balandligi gipotenuzaga tushirilgan. \(AH = 4\) sm, \(HB = 9\) sm ekanligi maʼlum. \(CH\) balandligini va uchburchak yuzasini toping.
1-qadam. Toʻgʻri burchakdan tushirilgan balandlik — gipotenuzaning kesmalari oʻrta geometrik qiymatidir, chunki \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
2-qadam. Ildizni chiqaramiz: \(CH = 6\) sm.
3-qadam. Gipotenuzaning uzunligi \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) sm. Yuzani gipotenuza va unga tushirilgan balandlik orqali hisoblaymiz:
Javob: \(CH = 6\) sm, \(S = 39\) sm².
6-misol. Daraxtning soyasi boʻyicha balandligi
Masala. Vertikal 2 m balandlikdagi ustun 1,5 m soyani hosil qiladi. Shu paytda daraxtning soyasi 9 m ga teng. Daraxtning balandligi qancha?
1-qadam. Quyosh nurlari parallel, shu sababli nur tushish burchagi ustun va daraxt uchun bir xil. Ustun va uning soyasi hamda daraxt va uning soyasi oʻxshash oʻtkir burchakka ega boʻlgan toʻgʻri burchakli uchburchaklarni hosil qiladi — demak, ular oʻxshash.
2-qadam. «Balandlikni oʻz soyasiga nisbati» proporsiyasini tuzamiz:
3-qadam. Nomaʼlum balandlikni ifodalaymiz:
Javob: 12 m. Mazmun boʻyicha tekshirish: daraxt soyasi ustun soyasidan 6 marta uzun, demak daraxt ham 6 marta baland: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Oʻxshash uchburchaklar haqidagi masalalarda keng tarqalgan xatolar
-
Oʻxshash uchburchaklarning yuzalari $k$ kabi nisbatda deb hisoblash: $k = 3$ boʻlganda yuzani uch marta oshirish.
Yuzalar oʻxshashlik koeffitsientining kvadratiga nisbatda boʻladi: \(k = 3\) boʻlganda yuzasi \(3^2 = 9\) marta katta boʻladi. Faqat chiziqli kattaliklar — tomonlar, perimetr, balandliklar, medianalar \(k\) kabi nisbatda boʻladi. Yordamchi qoida: yuzaning oʻlchov birligi kvadratda, demak koeffitsient ham kvadratda kiradi.
-
Uchlar tartibini eʼtiborsiz qoldirish: $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ yozuvidan $AB : LM$ proporsiyasini tuzish.
Uchlar mosligi yozuvdagi pozitsiyalar bilan belgilanadi: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). \(AB\) ga \(KL\) mos keladi, \(BC\) ga esa — \(LM\). Proporsiyani yozishdan oldin, juftliklarni ustun shaklida yozib chiqing — bu besh soniya vaqt oladi va koʻpgina xatolarni bartaraf etadi.
-
Oʻxshashlikni bitta teng burchak yoki burchaksiz ikkita proporsional tomon boʻyicha isbotlash.
Bitta teng burchak yetarli emas: ikkita uchburchakning burchagi mutlaqo har xil shaklga ega boʻlishi mumkin. Toʻliq belgi kerak — ikkita burchak, yoki ikkita tomon va ular orasidagi burchak, yoki uchta tomon.
-
Ikkinchi belgida berilgan tomonlar orasida boʻlmagan burchakni olish.
Ikkinchi belgi faqat ikkita berilgan tomon orasidagi burchak bilan ishlaydi. Agar \(AB\), \(AC\) maʼlum boʻlsa va \(B\) burchagi teng boʻlsa, belgi qoʻllanilmaydi — boshqa yoʻlni qidiring: teng burchaklar juftligi yoki uchinchi tomon.
-
Koeffitsientni teskari hisoblash: $k$ ni «kichik tomonning kattaga nisbati» deb topish, keyin esa katta uchburchak tomonini olish uchun unga koʻpaytirish.
Oʻzingiz uchun yoʻnalishni belgilab oling: agar \(k\) ikkinchi uchburchak tomonlarining birinchisiga nisbati boʻlsa, unda birinchi uchburchak tomonlari \(k\) ga koʻpaytiriladi, ikkinchi uchburchak tomonlari esa \(k\) ga boʻlinadi. Yakuniy tekshirish mazmun boʻyicha: kichik uchburchak tomoni kichikroq boʻlishi kerak.
-
Tomonga parallel boʻlgan toʻgʻri chiziq masalasida kesmalar proporsiyasini tuzish: $BM : MA = MN : AC$.
BMN va BAC uchburchaklari oʻxshash, va ularning mos tomonlari — \(BM\) va \(BA\) (umumiy uchdan boshlangan butun tomon), \(MA\) kesmasi emas. Avval \(BA = BM + MA\) ni toping, keyin proporsiyani tuzing.
-
Oʻxshashlikni tenglik bilan adashtirish va javobda tomonlar shunchaki teng deb yozish.
Tenglik — bu \(k = 1\) holatdagi oʻxshashlikning xususiy holi. Agar \(k \ne 1\) boʻlsa, uchburchaklarda faqat burchaklar teng boʻladi, tomonlar esa \(k\) marta farq qiladi. Belgilari ham har xil: tenglikda bu tomonlar ustma-ust tushadigan SUS, USU, SSS, oʻxshashlikda esa — proporsional tomonlar.
Savollar va javoblar
Qanday uchburchaklar oʻxshash deyiladi?
Oʻxshash uchburchaklar deb ataladi, ularning burchaklari mos ravishda teng boʻlib, mos tomonlari proporsional boʻladi. Oddiy qilib aytganda, ular bir xil shakldagi, lekin har xil kattalikdagi uchburchaklardir. Oʻxshashlik ∼ belgisi bilan yoziladi: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Oʻxshash uchburchaklarning oʻxshashlik koeffitsienti nima?
Oʻxshashlik koeffitsienti k — bu oʻxshash uchburchaklarning mos tomonlari nisbatiga teng son: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. U bir uchburchakning ikkinchisidan necha marta katta ekanligini koʻrsatadi. k = 1 boʻlganda uchburchaklar teng boʻladi.
Oʻxshash uchburchaklarning nechta belgisi bor va ular qanday?
Uchta belgi bor. Birinchi — ikkita burchak boʻyicha: bir uchburchakning ikkita burchagi ikkinchi uchburchakning ikkita burchagiga teng. Ikkinchi — ikkita tomon va ular orasidagi burchak boʻyicha: ikkita tomon proporsional va ular orasidagi burchaklar teng. Uchinchi — uchta tomon boʻyicha: mos tomonlarning barcha uch juftligi proporsional.
Oʻxshash uchburchaklarning yuzalari qanday nisbatda boʻladi?
Oʻxshash uchburchaklarning yuzalari oʻxshashlik koeffitsientining kvadratiga nisbatda boʻladi: S₂ : S₁ = k². Masalan, k = 4 boʻlganda yuzasi 16 marta katta boʻladi. Aksincha: agar yuzalar 25 : 1 kabi nisbatda boʻlsa, tomonlar 5 : 1 kabi nisbatda boʻladi.
Oʻxshash uchburchaklarning perimetrlari qanday nisbatda boʻladi?
Perimetrlar oʻxshashlik koeffitsientiga nisbatda boʻladi: P₂ : P₁ = k. Shuningdek, barcha chiziqli elementlar — balandliklar, medianalar, bissektrisalar, oʻrta chiziqlar, ichki va tashqi chizilgan aylanalarning radiuslari ham shunday oʻzgaradi.
Oʻxshashlik tenglikdan nimasi bilan farq qiladi?
Teng uchburchaklarda ham burchaklar, ham tomonlar ustma-ust tushadi, shu sababli figuralarni bir-biriga qoʻyish mumkin. Oʻxshash uchburchaklarda faqat burchaklar teng boʻladi, tomonlar esa k koeffitsienti bilan proporsional boʻladi. Tenglik — bu k = 1 holatdagi oʻxshashlikning xususiy holidir.
Toʻgʻri burchakli uchburchaklarning oʻxshashligini qanday isbotlash mumkin?
Bittagina oʻtkir burchakning tengligi kifoya: ularning toʻgʻri burchaklari allaqachon teng, demak birinchi belgi ishlaydi. Ikkinchi usul — katetlar proporsionalligi: katetlar orasidagi burchak toʻgʻri, shu sababli oʻxshashlikning ikkinchi belgisi qoʻllaniladi.
Nima uchun toʻgʻri burchakdan tushirilgan balandlik uchta oʻxshash uchburchak hosil qiladi?
Toʻgʻri burchakli C uchidan tushirilgan CH balandligi ABC uchburchagini AHC va CHB uchburchaklariga boʻladi. AHC uchburchagining H nuqtasida toʻgʻri burchagi bor va ABC bilan umumiy A burchagiga ega, CHB uchburchagining esa — H nuqtasida toʻgʻri burchagi va umumiy B burchagi bor, shu sababli ikkalasi ham asl uchburchakka, demak bir-biriga oʻxshash boʻladi. Bundan CH² = AH · HB, AC² = AH · AB va BC² = HB · AB formulalari kelib chiqadi.
Oʻxshash uchburchaklar qaysi sinfda oʻtiladi?
8-sinfda geometriya darslarida — proporsional kesmalar mavzusidan keyin. Shu yerda oʻxshashlikning uchta belgisi, yuzalar nisbati va oʻxshashlikning toʻgʻri burchakli uchburchakka tatbiqi oʻrganiladi. Keyinroq bu mavzu 9-sinfda va OGE masalalarida qoʻllaniladi.
