Rationell olikhet är en olikhet av formen \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), där \(P(x)\) och \(Q(x)\) är polynom, och tecknet \(>\) kan ersättas med \(<\), \(\ge\) eller \(\le\). Sådana olikheter löses med intervallmetoden: allt flyttas till vänster sida, faktoriseras, nollställen till täljaren och nämnaren markeras på tallinjen och tecken sätts ut. Nedan följer definition, fullständig algoritm, regel för utelämnade punkter, rotens multiplicitet, lösta exempel och en övningsapp med kontroll.
Vad är en rationell olikhet
Rationell olikhet är en olikhet där båda sidor är skrivna som rationella uttryck, det vill säga polynom och bråk av polynom. Efter att ha flyttat allt till en sida reduceras den alltid till formen
där \(P(x)\) och \(Q(x)\) är polynom, och vid \(\vee\) står ett av tecknen \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Till höger måste det vara noll – detta är ett villkor utan vilket intervallmetoden inte fungerar.
Rationella olikheter delas in i två typer. Om variabeln endast förekommer i täljaren kallas olikheten helt rationell: det finns inget att dividera med, och alla värden på \(x\) är giltiga. Om variabeln finns i nämnaren är olikheten bråk-rationell (den kallas också bråkolikhet eller olikhet med bråk) – och då uppstår omedelbart begränsningen \(Q(x) \neq 0\).
Varför man inte får multiplicera båda sidor med nämnaren
Den största frestelsen vid lösning av en olikhet med bråk är att "bli av med nämnaren" genom att multiplicera båda sidor med den. Med ekvationer kan man göra så, med olikheter – nej. Anledningen är enkel: vid multiplikation med ett negativt tal vänds olikhetstecknet, och tecknet för uttrycket \(Q(x)\) är okänt i förväg – det beror på \(x\).
Låt oss titta på olikheten \(\frac{5}{x-3} < 1\). Multiplicera båda sidor med \(x - 3\), som om det vore ett positivt tal: det blir \(5 < x - 3\), det vill säga \(x > 8\). Kontrollera svaret genom att sätta in \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) – olikheten är sann, så noll är också en lösning, men den kom inte med i svaret \(x > 8\). Svaret har gått förlorat.
Den korrekta vägen är att flytta allt till vänster och reducera till ett enda bråk:
I det sista steget multiplicerade vi båda sidor med \(-1\) och vände tecknet – detta är lagligt eftersom \(-1\) alltid är negativt. Därefter fungerar intervallmetoden, och svaret blir \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) – det innehåller även det förlorade nollstället.
Det enklaste att komma ihåg är: multiplicera inte båda sidor med ett uttryck med variabeln, flytta termer – det kan man alltid. Flyttning ändrar inte olikhetstecknet.
Intervallmetoden: lösningsalgoritm steg för steg
Intervallmetoden bygger på en egenskap: mellan två på varandra följande nollställen till ett rationellt uttryck är dess tecken konstant. Det räcker alltså att hitta alla punkter där täljaren eller nämnaren blir noll, dela tallinjen med dessa punkter och bestämma tecknet på varje del – med en testpunkt eller genom rotens multiplicitet.
Utelämnade och ifyllda punkter: definitionsmängd och olikhetstecken
Ett fel i en parentes gör en korrekt lösning till ett felaktigt svar, så regeln om punkter bör läras ut separat. Endast två resonemang fungerar.
Första – definitionsmängden. Nollstället till nämnaren utelämnas alltid, oavsett olikhetstecken. Vid denna punkt existerar bråket helt enkelt inte: division med noll är inte tillåten, så talet kan inte vara en lösning, även om tecknet är icke-strikt.
Andra – strikt eller icke-strikt tecken. Nollställen till täljaren gör att bråket blir noll. Vid icke-strikt tecken (\(\le\) eller \(\ge\)) är likhet med noll acceptabelt, så punkten fylls i och ingår i svaret med hakparentes. Vid strikt tecken (\(<\) eller \(>\)) duger inte noll, och punkten utelämnas.
Till exempel, för olikheten \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) fylls punkten \(x = 6\) i (nollställe till täljaren, icke-strikt tecken), medan punkten \(x = -1\) utelämnas (nollställe till nämnaren). Svar: \(x \in (-1; 6]\).
| Vilken punkt | Hur markeras den |
|---|---|
| Nollställe till nämnaren, Q(x) = 0 | utelämnad alltid, oavsett tecken – punkten finns inte i definitionsmängden |
| Nollställe till täljaren, strikt tecken < eller > | utelämnad bråket är noll, men ett strikt annat tecken krävs |
| Nollställe till täljaren, icke-strikt tecken ≤ eller ≥ | ifylld likhet med noll är acceptabelt, punkten ingår i svaret |
Rotens multiplicitet: var tecknet ändras och var det inte gör det
Tecknen på intervallen behöver inte bara alternera – det är den vanligaste missuppfattningen i ämnet. Alternering fungerar bara när alla parenteser har grad ett. Regeln är mer exakt formulerad med hjälp av rotens multiplicitet – exponenten för motsvarande parentes.
Vid övergång över en rot med udda multiplicitet (grad 1, 3, 5) ändras uttryckets tecken. Vid övergång över en rot med jämn multiplicitet (grad 2, 4) ändras inte tecknet: en parentes med jämn exponent är icke-negativ och förstör inte uttryckets tecken. Multipliciteten räknas likadant för både täljare och nämnare.
Ta \((x-9)^2(x+3) > 0\). Rötter: \(x = 9\) med multiplicitet 2 och \(x = -3\) med multiplicitet 1. Till höger om nio är uttrycket positivt. Vid övergång över 9 – jämn multiplicitet, tecknet bevaras, på intervallet \((-3; 9)\) också plus. Vid övergång över -3 – udda multiplicitet, tecknet ändras till minus. Svaret för den strikta olikheten: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), punkten 9 är utelämnad eftersom uttrycket är noll där. Men för den icke-strikta \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) är svaret annorlunda: \(x \in [-3; +\infty)\) – nio fylls i och "limmar ihop" två intervall till ett.
| Rotens multiplicitet | Tecken vid övergång |
|---|---|
| Udda: (x − a), (x − a)3 | ändras |
| Jämn: (x − a)2, (x − a)4 | ändras inte |
Tallinjen som exempel: teckenplacering
Sammanfattar allt på olikheten \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Nollställen till täljaren: \(x = -7\). Nollställen till nämnaren: \(x = 2\) och \(x = 5\), vilka också definierar definitionsmängden. Alla tre parenteser har grad ett, så tecknen alternerar. Testpunkt \(x = 10\) i det högra intervallet ger \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) – vi börjar med plus och går åt vänster, ändrar tecken vid varje punkt.
Exempel på lösning av rationella olikheter
Exempel 1. Enkel bråkolikhet
Lös \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Steg 1. Till höger är redan noll, bråket är redan ett – inget att flytta eller reducera.
Steg 2. Definitionsmängd (ODZ). \(x + 5 \neq 0\), det vill säga \(x \neq -5\).
Steg 3. Nollställen. Täljaren blir noll vid \(x = 3\), nämnaren – vid \(x = -5\).
Steg 4. Punkter på axeln. \(x = 3\) fylls i (nollställe till täljaren, icke-strikt tecken), \(x = -5\) utelämnas (nollställe till nämnaren).
Steg 5. Tecken. Testpunkt \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) – plus till höger. Båda parenteserna har grad ett, så tecknen alternerar: på \((-5; 3)\) minus, på \((-\infty; -5)\) plus. Kontroll: vid \(x = -6\) får vi \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) – stämmer.
Steg 6. Svar. Behöver tecknet "plus eller noll": \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Exempel 2. Inte noll till höger – flytta
Lös \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Steg 1. Flytta ettan till vänster. Man får inte multiplicera med \(x - 4\), tecknet för detta uttryck är okänt:
Steg 2. Reducera till ett bråk.
Steg 3. Definitionsmängd (ODZ). \(x \neq 4\).
Steg 4. Punkter. \(x = -5\) – nollställe till täljaren, icke-strikt tecken, fylls i. \(x = 4\) – nollställe till nämnaren, utelämnas.
Steg 5. Tecken. Vid \(x = 5\) är bråket \(\frac{10}{1} > 0\). Alltså på \((4; +\infty)\) plus, på \((-5; 4)\) minus, på \((-\infty; -5)\) plus.
Steg 6. Svar. \(x \in [-5; 4)\). Kontroll av gränspunkter: vid \(x = -5\) är bråket noll – passar för \(\le\); vid \(x = 4\) finns inget bråk – passar inte.
Exempel 3. Rot med jämn multiplicitet och isolerad punkt
Lös \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Steg 1. Definitionsmängd (ODZ). \(x \neq 9\).
Steg 2. Nollställen och multiplicitet. \(x = 2\) – multiplicitet 2 (jämn), \(x = -6\) – multiplicitet 1, \(x = 9\) – multiplicitet 1 i nämnaren.
Steg 3. Punkter. \(x = 2\) och \(x = -6\) fylls i (nollställen till täljaren vid icke-strikt tecken), \(x = 9\) utelämnas.
Steg 4. Tecken. Testpunkt \(x = 10\): täljaren är positiv, nämnaren är 1 – plus. Gå åt vänster. Över 9 (udda multiplicitet) ändras tecknet: på \((2; 9)\) minus. Över 2 (jämn multiplicitet) ändras tecknet inte: på \((-6; 2)\) också minus. Över -6 (udda multiplicitet) ändras tecknet: på \((-\infty; -6)\) plus.
Steg 5. Svar. Välj intervallen med tecknet "plus" plus alla punkter där uttrycket är noll. Punkten \(x = 2\) ligger inom ett intervall med minus, men uttrycket är noll där, så den ingår i svaret separat:
En sådan "ensam" punkt i svaret är ett säkert tecken på en rot med jämn multiplicitet vid icke-strikt tecken.
Exempel 4. Förkortning av bråk: fälla med ODZ
Lös \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Steg 1. Faktorisera. Täljaren är en perfekt kvadrat: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). För nämnaren beräkna diskriminanten: \(D = 81 + 40 = 121\), rötter \(x_1 = \frac{1}{5}\) och \(x_2 = -2\), därför \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Steg 2. ODZ – före all förkortning. \(5x - 1 \neq 0\) och \(x + 2 \neq 0\), det vill säga \(x \neq \frac{1}{5}\) och \(x \neq -2\).
Steg 3. Förkorta. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), men endast vid \(x \neq \frac{1}{5}\) – förkortningen återför inte den utelämnade punkten.
Steg 4. Lös \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Nollställen: \(\frac{1}{5}\) och \(-2\). Vid \(x = 1\) är bråket \(\frac{4}{3} > 0\). Alltså på \((\frac{1}{5}; +\infty)\) plus, på \((-2; \frac{1}{5})\) minus, på \((-\infty; -2)\) plus.
Steg 5. Återför ODZ. Intervallet \((-2; \frac{1}{5}]\) skulle passa tecknet, men punkten \(\frac{1}{5}\) är utelämnad: i den ursprungliga olikheten blir nämnaren \(5x^2+9x-2\) vid \(x = \frac{1}{5}\) noll, bråket existerar inte där.
Svar: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) – båda parenteserna är runda.
Exempel 5. Kvadratisk trinom i täljaren
Lös \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Steg 1. Faktorisera täljaren. Enligt Viètes formel är summan av rötterna 7, produkten 10, alltså \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Olikheten blir \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Steg 2. Definitionsmängd (ODZ). \(x \neq -4\).
Steg 3. Punkter. Alla tre punkter är utelämnade: \(-4\) – nollställe till nämnaren, \(2\) och \(5\) – nollställen till täljaren vid strikt tecken.
Steg 4. Tecken. Testpunkt \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Alla parenteser har grad ett, så tecknen alternerar: på \((5; +\infty)\) plus, på \((2; 5)\) minus, på \((-4; 2)\) plus, på \((-\infty; -4)\) minus.
Steg 5. Svar. Behöver strikt minus: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Kontroll med insättning: vid \(x = -5\) får vi \(\frac{70}{-1} < 0\), vid \(x = 3\) får vi \(\frac{-2}{7} < 0\) – båda intervallen passar.
Vanliga fel vid lösning av rationella olikheter
-
Multiplicerar båda sidor med nämnaren: från $\frac{3}{x-8} > 1$ gör de $3 > x - 8$ och skriver $x < 11$.
Uttrycket \(x - 8\) har okänt tecken, och vid multiplikation med ett negativt tal vänds olikheten. Kontroll: \(x = 0\) ger \(\frac{3}{-8} < 1\) – noll är inte en lösning, trots att det hamnade i svaret \(x < 11\). Korrekt: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), det vill säga \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), varifrån \(x \in (8; 11)\).
-
Fyller i nollstället till nämnaren eftersom tecknet är icke-strikt: för $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ skriver de svaret med hakparentes vid sjuan.
Nollstället till nämnaren utelämnas alltid, oavsett tecken: vid den punkten existerar bråket helt enkelt inte. Korrekt svar: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) – vid ettan är parentesen hakformad, vid sjuan rund.
-
Förkortar bråket och tappar ODZ: från $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ får de $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ och inkluderar punkten $x = -3$ i svaret.
ODZ skrivs ut före förkortning, enligt den ursprungliga nämnaren: \(x \neq -3\) och \(x \neq 5\). Det förkortade bråket \(\frac{x+3}{x-5}\) är icke-positivt på \([-3; 5)\) – vid \(x = 0\) är det \(-0{,}6\), vilket krävs för tecknet \(\le\). Men punkten \(-3\) är utelämnad enligt ODZ, så svaret är \((-3; 5)\), inte \([-3; 5)\).
-
Anser att tecknen på intervallen alltid alternerar, och för $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ sätter de minus till höger om ettan.
Alternering är korrekt endast vid parenteser med grad ett. Roten \(x = 1\) har multiplicitet 2, så tecknet ändras inte vid övergången. Uttrycket är positivt på hela \((-4; +\infty)\), förutom själva ettan, där det är noll. Svar: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Ändrar olikhetstecknet vid flyttning av term: från $\frac{x}{x-2} \le 3$ gör de $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Flyttning av en term från en sida till en annan ändrar inte olikhetstecknet – endast tecknet för själva termen ändras. Tecknet vänds endast vid multiplikation eller division av båda sidor med ett negativt tal. Korrekt: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), vidare \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), det vill säga \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Markerar på axeln endast nollställen till täljaren, och kontrollerar nämnaren "senare": för $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ sätter de en punkt -11.
På axeln markeras alla nollställen direkt – både täljarens och nämnarens, annars blir intervallen felaktiga. Här är \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), så det finns tre punkter: \(-11\), \(-4\) och \(4\), inte en. Alla är utelämnade (strikt tecken), svar: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Frågor och svar
Vad är en rationell olikhet?
Det är en olikhet där båda sidor är rationella uttryck (polynom och bråk av polynom). Efter att ha flyttat allt till vänster sida reduceras den till formen \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), där \(P(x)\) och \(Q(x)\) är polynom, och istället för \(>\) kan det stå \(<\), \(\le\) eller \(\ge\).
Hur löser man rationella olikheter?
Med intervallmetoden i sex steg: flytta allt till vänster, så att noll återstår till höger; reducera till ett bråk och faktorisera täljare och nämnare; skriv ut definitionsmängden (\(Q(x) \neq 0\)); markera nollställen till täljare och nämnare på tallinjen; sätt ut tecken på intervallen med en testpunkt och rotens multiplicitet; skriv ut intervallen med önskat tecken som svar.
Vad skiljer en bråk-rationell olikhet från en helt rationell?
I en helt rationell olikhet finns variabeln endast i täljaren, till exempel \((x-1)(x+4) > 0\), och definitionsmängden är alla reella tal. I en bråk-rationell olikhet finns variabeln i nämnaren, till exempel \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), och begränsningen \(x \neq -4\) tillkommer. Algoritmen är densamma – endast de utelämnade punkterna skiljer sig.
Hur löser man olikheter med bråk?
På samma sätt som vilken rationell olikhet som helst: först flytta allt till vänster sida och reducera till ett bråk, istället för att bli av med nämnaren. Till exempel, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) blir \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), det vill säga \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Täljaren är konstant och negativ, så bråket är icke-negativt endast när nämnaren är negativ: \(x + 2 < 0\). Svar: \(x \in (-\infty; -2)\).
Varför får man inte multiplicera båda sidor av en olikhet med nämnaren?
Eftersom nämnarens tecken beror på \(x\): vid multiplikation med ett positivt uttryck bevaras olikhetstecknet, medan vid multiplikation med ett negativt vänds det. Man vet inte i förväg vilket fall som gäller, därför går en del lösningar förlorade och en del läggs till felaktigt. Man kan alltid flytta termer – flyttning ändrar inte olikhetstecknet.
Hur hittar man definitionsmängden (ODZ) i en olikhet?
För en rationell olikhet är ODZ alla värden på \(x\) för vilka nämnaren inte blir noll. Sätt nämnaren lika med noll, lös ekvationen och uteslut de funna talen. ODZ ska skrivas ut enligt den ursprungliga nämnaren, före förkortning av bråket – annars går de utelämnade punkterna förlorade.
Vilka punkter är utelämnade och vilka är ifyllda?
Nollställen till nämnaren utelämnas alltid, oavsett olikhetstecken. Nollställen till täljaren fylls i vid icke-strikt tecken (\(\le\) eller \(\ge\)) och utelämnas vid strikt (\(<\) eller \(>\)). I svaret motsvaras en utelämnad punkt av en rund parentes, en ifylld – av en hakparentes.
Vad är rotens multiplicitet och varför behövs den i intervallmetoden?
Multiplicitet är den exponent som parentesen har i faktoriseringen. Vid övergång över en rot med udda multiplicitet ändras uttryckets tecken, vid övergång över en rot med jämn multiplicitet – det bevaras. Det är därför tecknen inte alltid bara alternerar: för \((x-9)^2(x+3)\) vid punkten 9 förblir tecknet detsamma.
I vilken årskurs behandlas rationella olikheter?
I årskurs 9 på mattelektionerna, efter kvadratiska olikheter och faktorisering av polynom. Intervallmetoden används därefter för exponentiella, logaritmiska och irrationella olikheter, samt i uppgifter för nationella prov (t.ex. OGE och profil-EGE).
