En cirkel skapar två huvudsakliga typer av vinklar: medelpunktsvinkeln – med spetsen i medelpunkten, och randvinkeln – med spetsen på själva cirkeln. Sambandet mellan dem är enkelt: medelpunktsvinkeln är lika med bågen den spänner över, medan randvinkeln är hälften av den. På den här sidan hittar du definitioner, randvinkelsatsen med alla följdsatser, tydliga figurer, steg-för-steg-lösningar av problem och en interaktiv tränare där du kan testa dig själv direkt.
Typer av vinklar i en cirkel: medelpunktsvinkel och randvinkel
Om vi drar två sträckor från en punkt i en cirkel bildas en vinkel. Beroende på var vinkelspetsen ligger, skiljer man på två huvudtyper av vinklar i en cirkel:
- Medelpunktsvinkel – en vinkel med spetsen i cirkelns medelpunkt \(O\). Dess vinkelben är radier.
- Randvinkel – en vinkel vars spets ligger på cirkeln och vars vinkelben skär cirkeln (dvs. är kordor).
Var och en av dessa vinklar spänner över en båge – en del av cirkeln som ligger inuti vinkeln. Det är just bågen som kopplar samman medelpunktsvinkeln och randvinkeln: bådas storlek uttrycks genom bågens gradtal.
Om vinkelspetsen ligger inuti cirkeln (men inte i medelpunkten) eller utanför den, är det varken en randvinkel eller en medelpunktsvinkel: för sådana vinklar finns det egna formler, som vi tar upp i slutet av sidan.
∠AOC = bågen AC = 120°
∠ABC = ½ bågen AC = 60°
Randvinkelsatsen och storleken på en randvinkel
Medelpunktsvinkeln är lika med bågen den spänner över – så definieras gradtalet för en båge. Om \(\angle AOC = 120°\), så är även bågen \(AC\) lika med \(120°\).
Randvinkelsatsen: en randvinkel är hälften så stor som den cirkelbåge den spänner över:
Ur detta följer det viktigaste sambandet mellan randvinklar och medelpunktsvinklar: randvinkeln är hälften så stor som medelpunktsvinkeln som spänner över samma båge:
Storleken på en randvinkel beror inte på var på cirkeln dess spets är belägen – det enda som spelar roll är bågen den spänner över. Därför är det bra att komma ihåg bilden nedan som en "arbetsbild" för hela ämnet: den gröna bågen och de två vinklarna som "tittar" på den.
Randvinklar och medelpunktsvinklar: egenskaper och följdsatser
Från randvinkelsatsen följer direkt de egenskaper som de flesta skolproblem bygger på:
- Randvinklar som spänner över samma båge är lika stora. Var och en av dem är hälften av samma båge – och därmed är de lika stora, oavsett var deras spetsar är placerade.
- En randvinkel som spänner över en diameter är rät. Diametern delar cirkeln i två halvcirklar på \(180°\) vardera, så en sådan vinkel är \(180° : 2 = 90°\). Det omvända gäller också: om en randvinkel är rät, spänner den över en diameter.
- En randvinkel kan vara trubbig. Om bågen är större än \(180°\), är vinkeln större än \(90°\) – formeln "hälften av bågen" fungerar utan undantag.
Dessa egenskaper fungerar även "baklänges": till exempel, genom att visa att vinklar som spänner över samma sträcka är lika, kan man bevisa att fyra punkter ligger på samma cirkel.
Inskrivna fyrhörningar i en cirkel
Om alla fyra hörn i en fyrhörning ligger på en cirkel, kallas den inskriven (och cirkeln kallas omskriven kring den). Vinklarna i en sådan fyrhörning är randvinklar, och därför gäller samma sats för dem.
- Summan av motstående vinklar i en inskriven fyrhörning är \(180°\). Vinklarna \(A\) och \(C\) spänner över två bågar som tillsammans utgör hela cirkeln (\(360°\)), därför är \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Yttervinkeln till en inskriven fyrhörning är lika med den motstående innervinkeln. Yttervinkeln och dess innervinkel har summan \(180°\) – precis som den motstående vinkeln.
- Egenskapen om vinkelsumman är också ett kriterium: om summan av motstående vinklar i en fyrhörning är \(180°\), kan en cirkel omskrivas kring den. Därför kan alla rektanglar inskrivas i en cirkel, men en romb (förutom en kvadrat) kan det inte.
I problem förekommer ibland även tangentvinklar – vinklar mellan två tangenter dragna från en punkt utanför cirkeln. En tangentvinkel är lika med halva skillnaden mellan de bågar den avgränsar på cirkeln.
Exempel på problemlösning med randvinklar och medelpunktsvinklar
Exempel 1. Randvinkel från båge
Uppgift. Randvinkeln \(ABC\) spänner över bågen \(AC\), som är \(120°\). Beräkna \(\angle ABC\).
Steg 1. Vi minns satsen: en randvinkel är hälften så stor som den båge den spänner över.
Steg 2. Vi sätter in värdena: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Svar: \(60°\).
Exempel 2. Medelpunktsvinkel från randvinkel
Uppgift. Randvinkeln \(ABC\) är \(40°\). Beräkna medelpunktsvinkeln \(AOC\) som spänner över samma båge \(AC\).
Steg 1. Medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som randvinkeln som spänner över samma båge: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Steg 2. Vi beräknar: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Samtidigt fick vi veta bågens storlek: \(AC = 80°\).
Svar: \(80°\).
Exempel 3. Vinkel som spänner över en diameter
Uppgift. \(AC\) är en diameter i cirkeln, punkten \(B\) ligger på cirkeln, \(\angle BAC = 35°\). Beräkna \(\angle BCA\).
Steg 1. Vinkeln \(ABC\) spänner över diametern \(AC\), vilket betyder att \(\angle ABC = 90°\) – triangeln \(ABC\) är rätvinklig.
Steg 2. Vinkelsumman i en triangel är \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Svar: \(55°\).
Exempel 4. Inskriven fyrhörning
Uppgift. Fyrhörningen \(ABCD\) är inskriven i en cirkel, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Beräkna vinklarna \(C\) och \(D\).
Steg 1. Summan av motstående vinklar i en inskriven fyrhörning är \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Steg 2. På samma sätt är \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Kontroll. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) – vinkelsumman i fyrhörningen stämmer.
Svar: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Vanliga misstag i problem om vinklar i en cirkel
-
Man blandar ihop randvinkeln med medelpunktsvinkeln: för en vinkel med spetsen i medelpunkten tar man halva bågen (eller tvärtom).
Titta först på vinkelspetsen. Spetsen i medelpunkten \(O\) – medelpunktsvinkel, den är lika med hela bågen. Spetsen på cirkeln – randvinkel, den är lika med halva bågen.
-
Man använder fel båge: för en randvinkel räknar man med bågen där dess spets ligger.
En randvinkel spänner över den båge som ligger "inuti" vinkeln – spetsen ligger alltid på den andra bågen. I beteckningen \(\angle ABC\) spänner vinkeln över bågen \(AC\) som inte innehåller punkten \(B\).
-
Man multiplicerar och dividerar med 2 "åt fel håll": från randvinkel till medelpunktsvinkel dividerar man istället för att multiplicera.
Kom ihåg: randvinkeln är den "lilla" (halva bågen), medelpunktsvinkeln är den "stora" (hela bågen). Från randvinkel till medelpunktsvinkel – multiplicera med 2, från medelpunktsvinkel till randvinkel – dividera.
-
Man tror att vilken vinkel som helst vars ben skär cirkeln är en randvinkel – till exempel vinkeln mellan kordor som skär varandra inuti cirkeln.
En randvinkels spets måste ligga på själva cirkeln. En vinkel med spetsen inuti cirkeln är lika med halva summan av de avgränsade bågarna, med spetsen utanför cirkeln – halva skillnaden: det är andra formler.
-
I en inskriven fyrhörning sätter man summan av närliggande vinklar till $180°$ istället för motstående.
Egenskapen gäller endast för motstående hörn: \(\angle A + \angle C = 180°\) och \(\angle B + \angle D = 180°\). Närliggande vinklar i en inskriven fyrhörning kan vara vilka som helst.
Frågor och svar
Hur stor är en randvinkel?
En randvinkel är hälften så stor som den båge den spänner över. Till exempel, om bågen är 120°, är randvinkeln 60°. Detta är randvinkelsatsen – den viktigaste formeln i ämnet.
Vad är sambandet mellan en randvinkel och en medelpunktsvinkel som spänner över samma båge?
Medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som randvinkeln: ∠AOC = 2·∠ABC. Medelpunktsvinkeln är lika med själva bågen, medan randvinkeln är hälften av den.
Varför är en randvinkel som spänner över en diameter 90°?
Diametern spänner över en halvcirkel – en båge på 180°. Randvinkeln är hälften av bågen: 180° : 2 = 90°. Därför är varje triangel där en sida är diameter i den omskrivna cirkeln rätvinklig.
Kan en randvinkel vara trubbig?
Ja. Om bågen som vinkeln spänner över är större än 180°, är vinkeln trubbig: till exempel motsvarar en båge på 210° en randvinkel på 105°. En randvinkel är dock alltid mindre än 180°.
Vad är en tangentvinkel och hur skiljer den sig från en randvinkel?
En tangentvinkel bildas av två tangenter dragna till en cirkel från en yttre punkt. Dess spets ligger utanför cirkeln, och den är lika med halva skillnaden mellan de avgränsade bågarna. En randvinkels spets ligger på cirkeln, och den är lika med hälften av en båge.
Vilka andra typer av vinklar i en cirkel finns det?
Förutom medelpunktsvinklar och randvinklar finns det kordavinklar (spetsen inuti cirkeln – halva summan av bågarna), vinklar mellan sekanter från en yttre punkt (halva skillnaden mellan bågarna) och vinklar mellan en tangent och en korda (hälften av den inneslutna bågen). Alla dessa uttrycks med hjälp av cirkelbågar.
