Lika trianglar är trianglar med samma form men olika storlek: deras vinklar är lika, och motsvarande sidor är proportionella. Talet som visar hur många gånger en triangel är större än en annan kallas likhetspropotionella tal \(k\). Tre kriterier hjälper till att bevisa likhet, och förhållandet mellan omkretsar och areor följer en enkel regel: omkretsar förhåller sig som \(k\), och areor som \(k²\). På den här sidan finns definitionen och notationen för likhet med korrekt ordning av hörn, alla tre kriterierna, likhet av rätvinkliga trianglar och höjden från räta vinkeln, genomgångar av OGE-uppgifter "hitta sidan" och en interaktiv träningsapparat.
Vad är lika trianglar och likhetspropotionella tal
Två trianglar kallas lika, om två villkor är uppfyllda:
- deras vinklar är motsvarande lika — till varje vinkel i den första triangeln finns en lika stor vinkel i den andra;
- deras motsvarande sidor är proportionella — alla tre kvoterna ger samma tal.
Motsvarande sidor är sidor som ligger mitt emot lika vinklar. Det är de som bildar paren mellan vilka kvoten beräknas.
Likhet skrivs med tecknet \(\sim\):
Likhetspropotionella tal \(k\) är just den lika kvoten av motsvarande sidor:
Om \(k > 1\) är den andra triangeln större än den första; om \(k < 1\) — mindre; vid \(k = 1\) är trianglarna kongruenta, eftersom kongruens är ett specialfall av likhet.
Ordningen på hörnen i notationen är inte en formalitet
Notation \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) läses strikt efter position: \(A\) motsvarar \(A_1\), \(B\) — \(B_1\), \(C\) — \(C_1\). Därför följer direkt vilka vinklar som är lika (\(\angle A = \angle A_1\)) och vilka sidor som är motsvarande (\(AB\) och \(A_1B_1\), \(BC\) och \(B_1C_1\), \(AC\) och \(A_1C_1\)).
Om bokstäverna byts plats och man skriver \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), blir det ett annat påstående: nu är \(\angle A = \angle B_1\), och motsvarande till \(AB\) blir sidan \(B_1A_1\). Man kan inte ställa upp en proportion baserat på "liknande placerade" sidor — bara efter positionerna i notationen. Därför skriver man först upp paren av lika vinklar och anpassar sedan bokstavsordningen efter dem.
Tre kriterier för likhet av trianglar
Man behöver inte kontrollera alla sex villkor från definitionen: likhet bevisas med ett av tre kriterier. Varje kriterium är en minimal uppsättning data som automatiskt leder till att alla vinklar är lika och alla sidor är proportionella.
Hur man väljer kriterium. Titta på vad som ges i uppgiften: om det handlar om vinklar — första kriteriet, om det handlar om två sidor och en vinkel — andra kriteriet, om det handlar om alla tre sidor — tredje kriteriet.
- Första kriteriet (efter två vinklar) är arbetshästen i skolans kurs: nästan alla OGE-uppgifter löses med detta. Den tredje vinkeln behöver inte kontrolleras, den är automatiskt lika: summan av vinklarna i en triangel är alltid \(180°\). Leta efter färdiga par av lika vinklar — gemensam vinkel i två trianglar, vertikala vinklar, alternatvinklar och motsvarande vinklar vid parallella linjer, två räta vinklar.
- Andra kriteriet (efter två sidor och vinkeln mellan dem) kräver att vinkeln ligger precis mellan dessa två sidor. Om den lika vinkeln ligger mitt emot en av dem, fungerar inte kriteriet och likhet är inte bevisad.
- Tredje kriteriet (efter tre sidor) — när det inte finns några vinklar i villkoret alls, bara längder. Skriv upp sidorna i varje triangel i stigande ordning och dela den minsta med den minsta, den mellersta med den mellersta, den största med den största: på så sätt kan paren inte förväxlas. Likhet finns bara om alla tre kvoterna är lika.
För att inte blanda ihop kriterier för likhet med kriterier för kongruens, tänk på skillnaden: vid kongruens ska sidorna sammanfalla, vid likhet — vara proportionella.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Förhållandet mellan omkretsar och areor av lika trianglar
Likhet har två konsekvenser som ofta efterfrågas, och en av dem är den största fallgropen i ämnet.
Omkretsar förhåller sig som \(k\). Varje sida i den andra triangeln är \(k\) gånger större än motsvarande sida i den första, därför ökar summan av sidorna exakt \(k\) gånger:
På samma sätt — "i \(k\) gånger" — beter sig alla linjära storheter: höjder, medianer, bisektriser, radier för inskrivna och omskrivna cirklar, mittlinjer.
Areor förhåller sig som \(k²\). Arean beror på två dimensioner samtidigt: både basen och höjden ökar \(k\) gånger, och produkten — \(k \cdot k\) gånger:
Låt \(k = 5\). Då är omkretsen 5 gånger större (t.ex. var det 14 cm — blev 70 cm), och arean — redan 25 gånger större (var det 6 cm² — blev 150 cm²). Skillnaden är enorm, och att sätta in \(k\) istället för \(k²\) är det vanligaste felet på provet.
Omvänd beräkning. Om förhållandet mellan areor ges i uppgiften, hittar man likhetspropotionella tal genom att dra roten ur: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Till exempel, om areorna förhåller sig som \(16 : 1\), då förhåller sig sidorna som \(4 : 1\).
| k | Omkretsar P₂ : P₁ | Areor S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| godtyckligt | k : 1 | k² : 1 |
Likhet av rätvinkliga trianglar och höjden från räta vinkeln
För rätvinkliga trianglar förenklas det första kriteriet: de räta vinklarna är lika från början, så en spetsig vinkel räcker för att trianglarna ska vara lika. Detta leder också till kriteriet för två kateter: om kateterna i den ena triangeln är proportionella mot kateterna i den andra, är trianglarna lika (detta är det andra kriteriet, eftersom vinkeln mellan kateterna är rät).
Den mest användbara konfigurationen i hela ämnet är höjden dragen från räta vinkelns hörn. Den delar triangeln i två, och alla tre resulterande trianglar är lika varandra.
Varför så: triangeln \(AHC\) har en rät vinkel vid \(H\) och en gemensam vinkel med den stora triangeln vid \(A\), så \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). Triangeln \(CHB\) har en rät vinkel vid \(H\) och en gemensam vinkel vid \(B\), så \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Därför är även de två små trianglarna lika varandra.
Från dessa likheter härleds formlerna för geometriskt medelvärde (de kallas proportionella sträckor i en rätvinklig triangel):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — höjden är det geometriska medelvärdet av de sträckor den delar hypotenusan i;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) och \(BC^2 = HB \cdot AB\) — en katet är det geometriska medelvärdet av hela hypotenusan och dess projektion på den.
Det viktigaste är att inte blanda ihop vilken sträcka som hör ihop: till kateten \(AC\) hör projektionen \(AH\), till kateten \(BC\) hör projektionen \(HB\). Projektionen ligger alltid vid samma ände av hypotenusan som kateten.
OGE-uppgifter om likhet: hur man hittar en sida
Nästan alla uppgifter om likhet löses med en enda algoritm:
- Hitta ett par lika vinklar — gemensam vinkel, vertikala vinklar, alternatvinklar vid parallella linjer eller två räta vinklar.
- Skriv likheten med korrekt ordning av hörn — så att lika vinklar står på samma position.
- Ställ upp en proportion av motsvarande sidor (ta sidor som står på samma plats i notationen).
- Uttryck det okända och beräkna; i slutet, kontrollera svaret enligt logik — sidan i den mindre triangeln måste bli mindre.
Det finns få typiska konfigurationer i OGE, och de bör kännas igen vid första anblicken:
- En linje parallell med en sida. En linje skär av en liten triangel från den ursprungliga triangeln, lik den ursprungliga. Viktig detalj: i proportionen används kvoten av hela sidor från den gemensamma toppen (\(BM : BA\)), inte av sträckorna (\(BM : MA\)).
- "Fjäril". Två sträckor korsar varandra, och deras ändpunkter är förbundna med parallella linjer — det bildas två lika trianglar, vända mot varandra.
- Höjden från räta vinkeln — en konfiguration från föregående avsnitt; i OGE används den för att hitta höjden, en katet eller en del av hypotenusan.
- Skugga och höjd på ett föremål. Solstrålarna är parallella, därför bildar föremålet med sin skugga och trädet med sin skugga lika rätvinkliga trianglar.
- Mittlinje — ett specialfall med \(k = 2\): den är parallell med sidan och hälften så lång som den.
vinkel B gemensam, vinklar vid M och A motsvarande
vinklar vid O vertikala, vinklar A och C alternatvinklar
Exempel på lösningar av uppgifter om likhet av trianglar
Exempel 1. Hitta sidor med likhetspropotionella tal
Uppgift. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Det är känt att \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) och \(PQ = 21\). Hitta \(QR\) och \(PR\).
Steg 1. Vi tolkar notationen efter positioner: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Därför är de motsvarande paren: \(MN\) och \(PQ\), \(NK\) och \(QR\), \(MK\) och \(PR\).
Steg 2. Vi beräknar likhetspropotionella tal med det enda paret där båda sidorna är kända:
Steg 3. De övriga sidorna i den andra triangeln är 3 gånger större än de motsvarande:
Svar: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Kontroll: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — alla kvoter är lika.
Exempel 2. Bevisa likhet enligt andra kriteriet
Uppgift. I trianglarna \(ABC\) och \(DEF\) är det känt: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), och vinklarna \(A\) och \(D\) är lika. Bevisa att trianglarna är lika.
Steg 1. Vi kontrollerar huvudvillkoret för det andra kriteriet: vinkel \(A\) ligger mellan sidorna \(AB\) och \(AC\), vinkel \(D\) — mellan \(DE\) och \(DF\). Vinklarna mellan de givna sidorna — kriteriet är tillämpligt.
Steg 2. Vi beräknar kvoterna av motsvarande sidor:
Steg 3. Två par sidor är proportionella med samma likhetspropotionella tal \(k = 3\), vinklarna mellan dem är lika — enligt andra kriteriet är \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Svar: trianglarna är lika, \(k = 3\). Lägg märke till: om vinklarna \(B\) och \(D\) hade varit lika, hade kriteriet inte varit tillämpligt — vinkel \(B\) ligger inte mellan \(AB\) och \(AC\).
Exempel 3. Linje parallell med en sida (OGE-uppgift)
Uppgift. I triangeln \(ABC\) ligger punkten \(M\) på sidan \(AB\), punkten \(N\) — på sidan \(BC\), därvid \(MN \parallel AC\). Det är känt att \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Hitta \(AC\).
Steg 1. Eftersom \(MN \parallel AC\), är vinklarna \(BMN\) och \(BAC\) lika som motsvarande vinklar, och vinkeln \(B\) är gemensam. Enligt första kriteriet är \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (ordning på hörn: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Steg 2. Vi hittar hela sidan från den gemensamma toppen: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Detta är den viktigaste detaljen — i proportionen används \(BA\), inte \(MA\).
Steg 3. Vi ställer upp en proportion av motsvarande sidor:
Steg 4. Därför är \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Svar: \(AC = 20\). Likhetspropotionella tal här är 4: den stora triangeln är fyra gånger större än den avskurna.
Exempel 4. Omkretsar och areor
Uppgift. Omkretsarna av lika trianglar är 18 cm och 45 cm. Arean av den mindre triangeln är 16 cm². Hitta arean av den större.
Steg 1. Omkretsarna förhåller sig som likhetspropotionella tal:
Steg 2. Areorna förhåller sig som kvadraten på likhetspropotionella tal: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Steg 3. Vi multiplicerar arean av den mindre triangeln med \(k^2\):
Svar: 100 cm². Om vi hade multiplicerat med \(k = 2{,}5\), hade vi fått 40 cm² — ett typiskt fel som leder till att man förlorar hela poängen.
Exempel 5. Höjd från räta vinkelns hörn
Uppgift. I den rätvinkliga triangeln \(ABC\) med rät vinkel vid hörnet \(C\) dras höjden \(CH\) till hypotenusan. Det är känt att \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Hitta höjden \(CH\) och arean av triangeln.
Steg 1. Höjden från räta vinkeln är det geometriska medelvärdet av hypotenusans sträckor, eftersom \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Steg 2. Vi drar roten ur: \(CH = 6\) cm.
Steg 3. Hypotenusan \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. Vi beräknar arean med hjälp av hypotenusan och den dragna höjden till den:
Svar: \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
Exempel 6. Trädets höjd efter skugga
Uppgift. En vertikal påle med höjden 2 m kastar en skugga på 1,5 m. Samtidigt är trädets skugga 9 m. Vad är trädets höjd?
Steg 1. Solstrålarna är parallella, därför är infallsvinkeln för strålen densamma för pålen och för trädet. Pålen med sin skugga och trädet med sin skugga bildar rätvinkliga trianglar med en lika spetsig vinkel — alltså är de lika.
Steg 2. Vi ställer upp en proportion "höjd till dess skugga":
Steg 3. Vi uttrycker den okända höjden:
Svar: 12 m. Kontroll enligt logik: trädets skugga är 6 gånger längre än pålens skugga, alltså är trädet 6 gånger högre: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Vanliga fel i uppgifter om likhet av trianglar
-
Man antar att areorna av lika trianglar förhåller sig som $k$: vid $k = 3$ ökar arean tre gånger.
Areorna förhåller sig som kvadraten på likhetspropotionella tal: vid \(k = 3\) är arean större \(3^2 = 9\) gånger. Endast linjära storheter — sidor, omkrets, höjder, medianer — förhåller sig som \(k\). Regel-tips: arean mäts i kvadratenheter, därför ingår likhetspropotionella tal i kvadrat i den.
-
Man ignorerar ordningen på hörnen: från notationen $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ ställer man upp proportionen $AB : LM$.
Motsvarigheten av hörn bestäms av positionerna i notationen: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). Motsvarande till \(AB\) är \(KL\), och till \(BC\) — \(LM\). Innan du skriver proportionen, skriv upp paren av hörn i en kolumn — det tar fem sekunder och eliminerar de flesta fel.
-
Man bevisar likhet med en lika vinkel eller med två proportionella sidor utan vinkel.
En lika vinkel räcker inte: två trianglar kan ha en lika vinkel men helt olika former. Ett fullständigt kriterium behövs — två vinklar, eller två sidor och vinkeln mellan dem, eller alla tre sidor.
-
I det andra kriteriet använder man en vinkel som inte ligger mellan de givna sidorna.
Det andra kriteriet fungerar bara med vinkeln mellan de två givna sidorna. Om \(AB\), \(AC\) är kända och vinkel \(B\) är lika, är kriteriet inte tillämpligt — leta efter ett annat sätt: ett par lika vinklar eller den tredje sidan.
-
Man vänder på likhetspropotionella tal: man hittar $k$ som "mindre sida till större", och multiplicerar sedan med det för att få sidan i den större triangeln.
Man har kommit överens med sig själv om riktningen: om \(k\) är kvoten av sidorna i den andra triangeln till den första, då multiplicerar man sidorna i den första med \(k\), och dividerar sidorna i den andra med \(k\). Slutlig kontroll enligt logik: sidan i den mindre triangeln måste bli mindre.
-
I uppgiften med en linje parallell med en sida ställer man upp en proportion av sträckor: $BM : MA = MN : AC$.
Trianglarna \(BMN\) och \(BAC\) är lika, och deras motsvarande sidor är \(BM\) och \(BA\) (hela sidan från den gemensamma toppen), inte sträckan \(MA\). Hitta först \(BA = BM + MA\), och först därefter ställ upp proportionen.
-
Man blandar ihop likhet med kongruens och skriver i svaret att sidorna helt enkelt är lika.
Kongruens är ett specialfall av likhet vid \(k = 1\). Om \(k \ne 1\), sammanfaller bara vinklarna i trianglarna, medan sidorna skiljer sig med \(k\) gånger. Kriterierna är också olika: för kongruens är det SVS, VSV, SSS med sammanfallande sidor, för likhet — proportionella sidor.
Frågor och svar
Vilka trianglar kallas lika?
Lika kallas trianglar där vinklarna är motsvarande lika, och motsvarande sidor är proportionella. Enklare uttryckt, det är trianglar med samma form men olika storlek. Likhet skrivs med tecknet ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Vad är likhetspropotionella tal för trianglar?
Likhetspropotionella tal \(k\) är ett tal som är lika med kvoten av motsvarande sidor i lika trianglar: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Det visar hur många gånger en triangel är större än en annan. Vid k = 1 är trianglarna kongruenta.
Hur många kriterier för likhet av trianglar finns det och vilka är de?
Det finns tre kriterier. Första — efter två vinklar: två vinklar i den ena triangeln är lika med två vinklar i den andra. Andra — efter två sidor och vinkeln mellan dem: två sidor är proportionella och vinklarna mellan dem är lika. Tredje — efter tre sidor: alla tre paren av motsvarande sidor är proportionella.
Hur förhåller sig areorna av lika trianglar?
Areorna av lika trianglar förhåller sig som kvadraten på likhetspropotionella tal: S₂ : S₁ = k². Till exempel, vid k = 4 är arean 16 gånger större. Omvänt: om areorna förhåller sig som 25 : 1, då förhåller sig sidorna som 5 : 1.
Hur förhåller sig omkretsarna av lika trianglar?
Omkretsarna förhåller sig som likhetspropotionella tal: P₂ : P₁ = k. På samma sätt beter sig alla linjära element — höjder, medianer, bisektriser, mittlinjer, radier för inskrivna och omskrivna cirklar.
Vad skiljer likhet av trianglar från kongruens?
Hos kongruenta trianglar sammanfaller både vinklar och sidor, därför kan figurerna läggas ovanpå varandra. Hos lika trianglar sammanfaller bara vinklar, medan sidorna är proportionella med likhetspropotionella tal \(k\). Kongruens är ett specialfall av likhet vid \(k = 1\).
Hur bevisar man likhet av rätvinkliga trianglar?
En lika spetsig vinkel räcker: de räta vinklarna är redan lika, så det första kriteriet fungerar. Andra sättet — proportionella kateter: vinkeln mellan kateterna är rät, därför är det andra kriteriet för likhet tillämpligt.
Varför ger höjden från räta vinkeln tre lika trianglar?
Höjden CH från räta vinkelns hörn C delar triangeln ABC i trianglarna AHC och CHB. AHC har en rät vinkel vid H och en gemensam vinkel med ABC vid A, CHB har en rät vinkel vid H och en gemensam vinkel vid B, därför är båda lika den ursprungliga, och därmed också varandra. Därför härleds formlerna CH² = AH · HB, AC² = AH · AB och BC² = HB · AB.
I vilken årskurs studerar man likhet av trianglar?
I åk 8 på geometrilektionerna — direkt efter ämnet om proportionella sträckor. Där studeras också de tre kriterierna för likhet, förhållandet mellan areor och tillämpningen av likhet på rätvinkliga trianglar. Ämnet används vidare i åk 9 och i OGE-uppgifter.
