Cosinussatsen relaterar de tre sidorna i en triangel och en av dess vinklar: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Den gäller i alla trianglar, därför ersätter den Pythagoras sats i årskurs 9 där det inte finns någon rät vinkel. Med den kan man beräkna den tredje sidan om två andra sidor och vinkeln mellan dem är kända, och med följdsatsen \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) kan man beräkna vilken vinkel som helst givet tre sidor och bestämma triangeltypen. På sidan finns formuleringen och alla tre varianterna av formeln, bevis, en cosinustabell, en minneslapp om "sinus eller cosinus", genomgångar av OGE-uppgifter och en övning för självtest.
Cosinussatsen: formulering och formel
Cosinussatsen gäller i alla trianglar – den behöver ingen rät vinkel. Den relaterar tre sidor och en vinkel, därför kan man med den beräkna en sida om två andra sidor och vinkeln mellan dem är kända.
Formulering. Kvadraten på en sida i en triangel är lika med summan av kvadraterna på de två andra sidorna minus det dubbla produkten av dessa sidor multiplicerat med cosinus för vinkeln mellan dem.
Här är \(a\), \(b\), \(c\) sidorna i triangeln, och \(C\) är vinkeln mellan sidorna \(a\) och \(b\); sidan \(c\) ligger mitt emot denna vinkel. Bokstäverna kan väljas fritt – formeln är symmetrisk, därför har den tre likvärdiga varianter:
Huvudregeln för insättning: välj den vinkel som är inklämd mellan de två sidorna i produkten, och beräkna den sida som ligger mitt emot den. Om man väljer en "grannvinkel" kommer alla siffror från villkoret, och svaret blir fel.
Varför Pythagoras sats är ett specialfall av cosinussatsen
Om vi sätter in en rät vinkel i formeln, det vill säga \(C = 90°\). Cosinus för en rät vinkel är noll, därför blir den tredje termen noll:
Detta är exakt Pythagoras sats, som vi känner till från årskurs 8. Därför kallas cosinussatsen för dess generalisering: Pythagoras sats är ett "specialfall vid 90°", medan cosinussatsen fungerar för alla vinklar.
Termen \(-2ab\cos C\) kan förstås som en korrigering för att vinkeln inte är rät:
- vinkeln är spetsig, \(\cos C > 0\) — korrigeringen subtraheras, sidan \(c\) blir kortare än vad Pythagoras sats skulle ge;
- vinkeln är rät, \(\cos C = 0\) — ingen korrigering, kvar blir \(c^2 = a^2 + b^2\);
- vinkeln är trubbig, \(\cos C < 0\) — korrigeringen adderas, sidan \(c\) blir längre.
Bevis för cosinussatsen
Det kortaste skolbeviset är med koordinater. Vi placerar hörnet \(C\) i origo och sidan \(b = CA\) längs x-axeln. Då blir koordinaterna för hörnen:
- \(C(0;\ 0)\) — origo;
- \(A(b;\ 0)\) — en punkt på x-axeln på avståndet \(b\) från origo;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — ett hörn på avståndet \(a\) från origo under vinkeln \(C\) mot x-axeln.
Sidan \(c\) är längden av sträckan \(AB\). Vi beräknar den med avståndsformeln mellan två punkter:
Vi utvecklar parenteserna:
Vi grupperar termerna med \(a^2\) och använder den trigonometriska ettan \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Vilket skulle bevisas. Observera: det krävdes ingenstans att vinkeln \(C\) skulle vara spetsig. Om den är trubbig är cosinus negativ, koordinaten \(a\cos C\) hamnar till vänster om y-axeln, men alla beräkningar är desamma – därför gäller satsen för alla trianglar.
Följdsats: hur man hittar en vinkel givet tre sidor
Från cosinussatsen kan man lösa ut cosinus – det är dess huvudsakliga följdsats. Med den kan man beräkna vinkeln när alla tre sidorna är kända:
I täljaren finns summan av kvadraterna på de två sidorna som är intilliggande vinkeln, minus kvadraten på sidan som ligger mitt emot den. I nämnaren finns det dubbla produkten av de intilliggande sidorna. För andra vinklar är formlerna desamma:
Lösningssteg:
- välj den sökta vinkeln och bestäm vilken sida som ligger mitt emot den – dess kvadrat sätts in i täljaren med minustecken;
- beräkna bråket (nämnaren är alltid positiv, tecknet bestäms endast av täljaren);
- använd en tabell med värden eller arkuskosinus för att hitta själva vinkeln.
Ett användbart knep: börja med den största sidan. Mitt emot den ligger den största vinkeln, och endast den kan vara rät eller trubbig – de andra två vinklarna i triangeln är alltid spetsiga.
Cosinus för trubbiga vinklar är negativ: tabell över värden
I skoluppgifter är vinklarna nästan alltid "tabellvärden": 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. För spetsiga vinklar är cosinus positiv, för räta vinklar noll, och för trubbiga vinklar negativ. Värden för trubbiga vinklar erhålls från värden för spetsiga vinklar enligt reduktionsformeln \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): till exempel, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Vad detta betyder i praktiken: för en trubbig vinkel blir uttrycket \(-2ab\cos C\) ett plus – minus gånger minus. För vinkeln \(120°\) ser formeln ut så här:
Det är här man oftast tappar poäng: man sätter in \(0{,}5\) istället för \(-0{,}5\) och får en sida som är kortare än de två givna. Detta är omöjligt – mitt emot en trubbig vinkel ligger den längsta sidan i triangeln.
| Vinkel | Cosinus |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Hur man bestämmer typen av triangel utifrån tre sidor
Cosinussatsen gör det möjligt att bestämma triangeltypen utan att mäta vinklarna med gradskiva. Tecknet på bråket \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) beror endast på täljaren: nämnaren \(2ab\) är alltid positiv. Alltså räcker det att jämföra kvadraten på den längsta sidan med summan av kvadraterna på de två andra.
Låt \(c\) vara den längsta sidan, då ligger den största vinkeln \(C\) mitt emot den:
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → vinkeln \(C\) är spetsig. De andra vinklarna är mindre än den, vilket innebär att alla tre vinklarna är spetsiga – triangeln är spetsvinklig;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — triangeln är rätvinklig (detta är den omvända Pythagoras sats);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → vinkeln \(C\) är trubbig — triangeln är trubbvinklig.
Man behöver inte kontrollera de andra vinklarna: en rät eller trubbig vinkel kan bara finnas en i en triangel. Och glöm inte triangelolikheten – om den längsta sidan inte är mindre än summan av de två andra, existerar ingen triangel med sådana sidor.
Sinus- eller cosinussatsen: hur man väljer
Båda satserna löser samma problem – att beräkna okända sidor och vinklar i en triangel – men de används med olika uppsättningar av givna data. Sinussatsen relaterar en sida till vinkeln mitt emot den:
Därav valet: om villkoret redan innehåller ett par "sida och vinkel mitt emot den" – då används sinussatsen; om ett sådant par saknas – börjar vi med cosinussatsen. En minneslapp för de fyra vanligaste fallen av givna data finns i tabellen.
Ofta löses en uppgift i två steg: först ger cosinussatsen den tredje sidan, och sedan hittar sinussatsen snabbt de återstående vinklarna.
| Vad är givet | Vad använder vi |
|---|---|
| SVSTvå sidor och vinkeln mellan dem | Cosinussatsenberäknar tredje sidan |
| SSSAlla tre sidorna | Cosinussatsenberäknar valfri vinkel och triangeltyp |
| VSVEn sida och två vinklar | Sinussatsenberäknar de två andra sidorna |
| SSVTvå sidor och vinkeln mitt emot en av dem | Sinussatsenberäknar den motstående vinkeln |
Cosinussatsen i OGE-uppgifter
På OGE i matematik förekommer cosinussatsen i planimetriuppgifter – både i den första delen och i uppgifter med utförligt svar. Typiska scenarier är:
- Beräkna en sida givet två sidor och vinkeln mellan dem — direkt tillämpning av formeln, oftast med vinklarna 60° eller 120°.
- Beräkna en vinkel eller dess cosinus givet tre sidor — följdsatsen \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Om uppgiften lyder "beräkna \(\cos\angle A\)", behöver man inte beräkna arkuskosinus: svaret är just det bråket, det är det man skriver.
- Parallellogrammets diagonaler. En diagonal delar upp parallellogrammet i två trianglar med två sidor och vinkeln mellan dem. Närliggande vinklar i en parallellogram summerar till 180°, därför är deras cosinus motsatta: mot den spetsiga vinkeln ligger den kortare diagonalen, mot den trubbiga den längre.
- Triangeltyp givet tre tal — jämförelse av \(a^2 + b^2\) med \(c^2\).
- Triangelns median. Formeln \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) härleds genom dubbel tillämpning av cosinussatsen på de två intilliggande vinklarna vid basen.
Råd inför provet: innan du börjar räkna, markera vinkeln på ritningen som är "inklämd" mellan de kända sidorna. Om en sådan vinkel saknas – är cosinussatsen ännu inte tillämplig, du måste hitta en annan väg.
Exempel på lösning av uppgifter med cosinussatsen
Exempel 1. Beräkna en sida givet två sidor och vinkeln 60°
Uppgift. I triangeln \(ABC\) är sidorna \(a = 7\) och \(b = 15\), vinkeln mellan dem \(C = 60°\). Beräkna sidan \(c\).
Steg 1. Vinkeln \(C\) är inklämd mellan sidorna \(a\) och \(b\) – detta är precis det fall som satsen är avsedd för:
Steg 2. Vi sätter in siffrorna, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Steg 3. Vi drar roten ur: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Svar: \(13\). Kontroll: vinkeln \(60°\) är spetsig, så sidan mitt emot den är inte den längsta – och mycket riktigt, \(13 < 15\).
Exempel 2. Trubbig vinkel: minus gånger minus
Uppgift. I triangeln \(ABC\) är \(AB = 6\), \(BC = 10\), vinkel \(B = 120°\). Beräkna sidan \(AC\).
Steg 1. Vinkeln \(B\) är inklämd mellan sidorna \(AB\) och \(BC\), och sidan \(AC\) ligger mitt emot den:
Steg 2. Vinkeln är trubbig, därför är \(\cos 120° = -0{,}5\). Minustecknet framför produkten och minustecknet i cosinus ger ett plus:
Steg 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Svar: \(14\). Kontroll: mitt emot den trubbiga vinkeln ligger den längsta sidan – \(14\) är större än både \(6\) och \(10\).
Exempel 3. Beräkna en vinkel givet tre sidor
Uppgift. Sidorna i en triangel är \(3\), \(5\) och \(7\). Beräkna dess största vinkel.
Steg 1. Den största vinkeln ligger mitt emot den längsta sidan, det vill säga mitt emot sidan \(7\). Vi betecknar den \(C\), då är \(c = 7\), och de intilliggande sidorna \(a = 3\) och \(b = 5\).
Steg 2. Vi tillämpar följdsatsen:
Steg 3. Cosinus är negativ – vinkeln är trubbig. Enligt tabellen över värden är \(\cos 120° = -0{,}5\), alltså är \(C = 120°\).
Svar: \(120°\). Samtidigt framkom att triangeln är trubbvinklig.
Exempel 4. Bestäm triangeltyp
Uppgift. Bestäm typen av triangel med sidorna \(6\), \(7\) och \(10\).
Steg 1. Vi kontrollerar triangelolikheten: \(6 + 7 = 13 > 10\) – triangeln existerar. Den längsta sidan är \(10\).
Steg 2. Vi jämför summan av kvadraterna på de två kortare sidorna med kvadraten på den längsta:
Steg 3. \(85 < 100\), alltså är täljaren i bråket negativ och \(\cos C < 0\) – vinkeln mitt emot sidan \(10\) är trubbig. Om så önskas kan man även beräkna själva vinkeln:
Svar: triangeln är trubbvinklig. Observera: detta syns inte "med blotta ögat" – sidorna är nästan lika långa, men vinkeln har redan passerat \(90°\).
Exempel 5. OGE-nivå uppgift: parallellogramdiagonal
Uppgift. Sidorna i en parallellogram är \(5\) och \(8\), den spetsiga vinkeln är \(60°\). Beräkna den kortare diagonalen.
Steg 1. Diagonalen delar parallellogrammet i en triangel där två sidor (\(5\) och \(8\)) och vinkeln mellan dem är kända. Den kortare diagonalen ligger mitt emot den spetsiga vinkeln \(60°\).
Steg 2. Vi beräknar:
Steg 3. Kontroll. Den andra diagonalen ligger mitt emot vinkeln \(120°\) (närliggande vinklar i en parallellogram summerar till \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), alltså \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Summan av kvadraterna på diagonalerna är \(49 + 129 = 178\), och den dubbla summan av kvadraterna på sidorna är \(2(25 + 64) = 178\). Det stämmer, så beräkningen är korrekt.
Svar: \(7\).
Vanliga fel i uppgifter om cosinussatsen
-
Man tar cosinus för en trubbig vinkel med plus istället för minus. För sidorna $4$ och $9$ med vinkeln $120°$ mellan dem skriver man $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ och får $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), och minus gånger minus blir plus: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), alltså \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Snabb kontroll: mitt emot en trubbig vinkel ligger den längsta sidan, så svaret måste vara större än \(9\).
-
Man sätter in en vinkel som inte är inklämd mellan de givna sidorna: i villkoret ges en vinkel, och man använder den "som den är", utan att titta på ritningen.
I formeln \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) bildar sidorna \(a\) och \(b\) vinkeln \(C\), och sidan \(c\) ligger mitt emot den. Om den givna vinkeln är intill den sökta sidan, passar inte denna formel – man behöver en annan av de tre eller sinussatsen.
-
Man glömmer att dra roten ur och skriver kvadraten på sidan som svar: man fick $c^2 = 225$ och skriver "sidan är 225".
Formeln ger alltid just kvadraten på sidan. Sista steget är obligatoriskt: \(c = \sqrt{225} = 15\). Läs frågan noggrant innan du skriver svaret.
-
Man blandar ihop ordningen på termerna i följdsatsen och skriver $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Den korrekta täljaren är \(a^2 + b^2 - c^2\): summan av kvadraterna på de intilliggande sidorna minus kvadraten på den motstående. Om man byter ordning ändras bråkets tecken till motsatt, och istället för den trubbiga vinkeln \(120°\) får man den spetsiga \(60°\).
-
Man hittar vinkeln utifrån cosinus absolutbelopp: man fick −0,25, och skriver som svar en spetsig vinkel, som om cosinus vore +0,25.
En negativ cosinus innebär alltid en trubbig vinkel. Tecknet får inte tappas bort: cos 60° = 0,5, medan cos 120° = −0,5; arkuskosinus för ett negativt tal är större än 90°.
-
Man försöker lösa uppgiften "två sidor och vinkeln mellan dem" med sinussatsen och fastnar på första raden.
Sinussatsen kräver ett färdigt par "sida och motstående vinkel". Med två sidor och vinkeln mellan dem finns inget sådant par – först ger cosinussatsen den tredje sidan, och först därefter kopplas sinussatsen in.
Frågor och svar
Hur lyder cosinussatsen?
Kvadraten på en sida i en triangel är lika med summan av kvadraterna på de två andra sidorna minus det dubbla produkten av dessa sidor multiplicerat med cosinus för vinkeln mellan dem: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Satsen gäller för alla trianglar, inte bara rätvinkliga.
Hur beräknar man en sida i en triangel givet två sidor och vinkeln mellan dem?
Sätt in de givna värdena i formeln c² = a² + b² − 2ab·cos C och dra roten ur. Till exempel, med sidorna 4 och 6 och vinkeln 60° mellan dem: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, så c = √28 ≈ 5,3.
Hur beräknar man en vinkel i en triangel om alla tre sidorna är kända?
Med följdsatsen till cosinussatsen: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), där c är sidan mitt emot den sökta vinkeln. Till exempel, för sidorna 2, 3 och 4 är cosinus för den största vinkeln (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, vilket innebär att vinkeln är trubbig, cirka 104°.
Varför är Pythagoras sats ett specialfall av cosinussatsen?
Eftersom för en rät vinkel är cos 90° = 0, och termen −2ab·cos C blir noll. Kvar från formeln blir c² = a² + b² – detta är Pythagoras sats för en rätvinklig triangel.
Gäller cosinussatsen i en trubbvinklig triangel?
Ja, och den gäller utan ändringar. För en trubbig vinkel är cosinus negativ, därför blir termen −2ab·cos C positiv och adderas till summan av kvadraterna. Det är just därför sidan mitt emot den trubbiga vinkeln blir den längsta.
När ska man använda sinussatsen och när cosinussatsen?
Sinussatsen behövs när villkoret redan innehåller ett par "sida och motstående vinkel" – till exempel, en sida och två vinklar är givna. Cosinussatsen används när ett sådant par saknas: två sidor och vinkeln mellan dem är givna, eller alla tre sidorna. Ofta löses uppgiften i två steg: först cosinussatsen, sedan sinussatsen.
Hur bestämmer man typen av triangel utifrån tre sidor?
Jämför kvadraten på den längsta sidan c² med summan av kvadraterna på de två andra. Om a² + b² > c² – triangeln är spetsvinklig, om a² + b² = c² – rätvinklig, om a² + b² < c² – trubbvinklig. Tecknet på denna differens sammanfaller med tecknet för cosinus för den största vinkeln.
I vilken årskurs behandlas cosinussatsen?
I årskurs 9 på geometrilektionerna, i ämnet "Samband mellan sidor och vinklar i en triangel" – tillsammans med sinussatsen. Därefter används den ständigt i OGE- och ЕГЭ-uppgifter i planimetri och stereometri.
