V krožnici ločimo dve glavni vrsti kotov: središčni kot – z vrhom v središču, in včrtani kot – z vrhom na krožnici. Povezava med njima je preprosta: središčni kot je enak loku, na katerega se opira, včrtani kot pa je enak polovici tega loka. Na tej strani boste našli definicije, izrek o včrtanem kotu z vsemi posledicami, nazorne skice, postopne rešitve nalog in interaktivni trenažer, na katerem se lahko takoj preizkusite.
Vrste kotov v krožnici: središčni in včrtani
Če v krožnici narišemo dva poltraka iz iste točke, dobimo kot. Glede na to, kje leži njegov vrh, ločimo dve osnovni vrsti kotov v krožnici:
- Središčni kot – kot z vrhom v središču krožnice \(O\). Njegova kraka sta polmera.
- Včrtani kot – kot, katerega vrh leži na krožnici, kraka pa jo sekata (torej sta tetivi).
Vsak od teh kotov se opira na lok – del krožnice, ki leži znotraj kota. Prav lok povezuje središčni in včrtani kot: preko njegove kotne mere sta izražena oba.
Če se vrh kota nahaja znotraj kroga (vendar ne v središču) ali zunaj njega, to ni več včrtani ali središčni kot: za takšne kote obstajajo posebne formule, o katerih bomo govorili na koncu strani.
∠AOC = lok AC = 120°
∠ABC = ½ loka AC = 60°
Izrek o včrtanem kotu in velikost včrtanega kota
Središčni kot je enak loku, na katerega se opira – tako se določi kotna mera loka. Če je \(\angle AOC = 120°\), je tudi lok \(AC\) enak \(120°\).
Izrek o včrtanem kotu: včrtani kot je enak polovici loka, na katerega se opira:
Od tod izhaja glavno razmerje med včrtanimi in središčnimi koti: včrtani kot je dvakrat manjši od središčnega kota, ki se opira na isti lok:
Velikost včrtanega kota ni odvisna od tega, kje na krožnici se nahaja vrh – pomemben je le lok, na katerega se opira. Zato si spodnjo skico velja zapomniti kot »delovno sliko« celotne teme: zeleni lok in dva kota, ki gledata nanj.
Včrtani in središčni koti: lastnosti in posledice
Iz izreka o včrtanem kotu neposredno izhajajo lastnosti, na katerih temelji večina šolskih nalog:
- Včrtani koti nad istim lokom so enaki. Vsak od njih je enak polovici istega loka, kar pomeni, da so enaki med seboj, ne glede na to, kje se nahajajo njihovi vrhovi.
- Včrtani kot nad premerom je pravi kot. Premer deli krožnico na dva polkroga po \(180°\), zato je tak kot enak \(180° : 2 = 90°\). Velja tudi obratno: če je včrtani kot pravi, se opira na premer.
- Včrtani kot je lahko top. Če je lok večji od \(180°\), je kot večji od \(90°\) – formula »polovica loka« deluje brez izjem.
Te lastnosti delujejo tudi »v obratno smer«: na primer, z enakostjo kotov, ki se opirajo na isto daljico, dokazujemo, da štiri točke ležijo na isti krožnici.
Včrtani koti in tetivni štirikotnik
Če vsa štiri oglišča štirikotnika ležijo na krožnici, se ta imenuje tetivni štirikotnik (krožnica pa je njemu očrtana). Koti takega štirikotnika so včrtani koti, zato zanje velja isti izrek.
- Vsota nasprotnih kotov tetivnega štirikotnika je \(180°\). Kota \(A\) in \(C\) se opirata na dva loka, ki skupaj tvorita celotno krožnico (\(360°\)), zato je \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Zunanji kot tetivnega štirikotnika je enak notranjemu kotu pri nasprotnem oglišču. Zunanji kot dopolnjuje svoj notranji kot do \(180°\) – enako kot nasprotni kot.
- Lastnost vsote kotov je tudi pogoj: če je v štirikotniku vsota nasprotnih kotov \(180°\), mu lahko očrtamo krožnico. Zato lahko vsakemu pravokotniku očrtamo krožnico, rombu (razen kvadratu) pa ne.
V nalogah se poleg včrtanih kotov pojavljajo tudi koti med tangentama – koti med dvema tangentama, potegnjenima iz iste točke zunaj krožnice. Kot med tangentama je enak polovični razliki lokov, ki ju tangenti odrežeta na krožnici.
Primeri reševanja nalog z včrtanimi in središčnimi koti
Primer 1. Včrtani kot iz loka
Naloga. Včrtani kot \(ABC\) se opira na lok \(AC\), ki meri \(120°\). Izračunaj \(\angle ABC\).
1. korak. Spomnimo se izreka: včrtani kot je enak polovici loka, na katerega se opira.
2. korak. Vstavimo: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Odgovor: \(60°\).
Primer 2. Središčni kot iz včrtanega
Naloga. Včrtani kot \(ABC\) meri \(40°\). Izračunaj središčni kot \(AOC\), ki se opira na isti lok \(AC\).
1. korak. Središčni kot je dvakrat večji od včrtanega kota, ki se opira na isti lok: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
2. korak. Izračunamo: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Mimogrede smo izvedeli tudi velikost loka: \(AC = 80°\).
Odgovor: \(80°\).
Primer 3. Kot nad premerom
Naloga. \(AC\) je premer krožnice, točka \(B\) leži na krožnici, \(\angle BAC = 35°\). Izračunaj \(\angle BCA\).
1. korak. Kot \(ABC\) se opira na premer \(AC\), torej je \(\angle ABC = 90°\) – trikotnik \(ABC\) je pravokoten.
2. korak. Vsota kotov v trikotniku je \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Odgovor: \(55°\).
Primer 4. Tetivni štirikotnik
Naloga. Štirikotnik \(ABCD\) je tetivni, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Izračunaj kota \(C\) in \(D\).
1. korak. Vsota nasprotnih kotov v tetivnem štirikotniku je \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
2. korak. Podobno je \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Preizkus. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) – vsota kotov v štirikotniku se ujema.
Odgovor: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Pogoste napake pri nalogah s koti v krožnici
-
Zamenjujejo včrtani kot s središčnim: za kot z vrhom v središču vzamejo polovico loka (ali obratno).
Najprej poglejte vrh. Vrh v središču \(O\) – središčni kot, ki je enak celotnemu loku. Vrh na krožnici – včrtani kot, ki je enak polovici loka.
-
Uporabijo napačen lok: za včrtani kot upoštevajo lok, na katerem leži njegov vrh.
Včrtani kot se opira na lok, ki leži »znotraj« kota – vrh je vedno na drugem loku. V zapisu \(\angle ABC\) se kot opira na lok \(AC\), ki ne vsebuje točke \(B\).
-
Množijo in delijo z 2 »v napačno smer«: pri prehodu od včrtanega kota k središčnemu delijo, namesto da bi množili.
Zapomnite si: včrtani je »majhen« (polovica loka), središčni je »velik« (celoten lok). Od včrtanega k središčnemu – pomnožimo z 2, od središčnega k včrtanemu – delimo.
-
Za včrtani kot štejejo vsak kot, katerega kraka sekata krožnico – na primer kot med tetivama, ki se sekata znotraj kroga.
Vrh včrtanega kota mora ležati na krožnici. Kot z vrhom znotraj kroga je enak polovični vsoti odrezanih lokov, z vrhom zunaj kroga pa polovični razliki: to so druge formule.
-
V tetivnem štirikotniku seštevajo sosednje kote do $180°$ namesto nasprotnih.
Lastnost velja samo za nasprotna oglišča: \(\angle A + \angle C = 180°\) in \(\angle B + \angle D = 180°\). Sosednji koti tetivnega štirikotnika so lahko poljubni.
Vprašanja in odgovori
Koliko meri včrtani kot?
Včrtani kot je enak polovici loka, na katerega se opira. Na primer, če lok meri 120°, včrtani kot meri 60°. To je izrek o včrtanem kotu – glavna formula te teme.
Kako sta povezana včrtani in središčni kot nad istim lokom?
Središčni kot je dvakrat večji od včrtanega: ∠AOC = 2·∠ABC. Središčni kot je enak samemu loku, včrtani pa njegovi polovici.
Zakaj je včrtani kot nad premerom enak 90°?
Premer določa polkrožnico – lok velikosti 180°. Včrtani kot je enak polovici loka: 180° : 2 = 90°. Zato je vsak trikotnik, katerega ena stranica je premer očrtane krožnice, pravokoten.
Ali je včrtani kot lahko top?
Da. Če je lok, na katerega se opira kot, večji od 180°, je kot top: na primer, loku 210° ustreza včrtani kot 105°. Včrtani kot je vedno manjši od 180°.
Kaj je kot med tangentama in kako se razlikuje od včrtanega kota?
Kot med tangentama tvorita dve tangenti, potegnjeni na krožnico iz iste zunanje točke. Njegov vrh leži zunaj krožnice in je enak polovični razliki odrezanih lokov. Vrh včrtanega kota leži na krožnici in je enak polovici enega loka.
Katere druge vrste kotov v krožnici poznamo?
Poleg središčnega in včrtanega kota obravnavamo še kot med tetivama (vrh znotraj kroga – polovična vsota lokov), kot med sekantama iz zunanje točke (polovična razlika lokov) in kot med tangento in tetivo (polovica vmesnega loka). Vsi se izražajo z loki krožnice.
