Kosinusni izrek povezuje tri stranice trikotnika in en njegov kot: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Velja v katerem koli trikotniku, zato v 9. razredu nadomešča Pitagorov izrek tam, kjer ni pravega kota. Z njim najdemo tretjo stranico, če sta znani drugi dve in kot med njima, s posledico \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) pa najdemo kateri koli kot po treh straneh in vrsto trikotnika. Na strani so — formulacija in vse tri oblike zapisa formule, dokaz, preglednica kosinusov, priročnik «sinusov ali kosinusov», reševanje nalog OGE in trenažer za samopreverjanje.
Kosinusni izrek: formulacija in formula
Kosinusni izrek velja v katerem koli trikotniku — pravega kota ne potrebuje. Povezuje tri stranice in en kot, zato z njim najdemo stranico, če sta znani dve drugi stranici in kot med njima.
Formulacija. Kvadrat stranice trikotnika je enak vsoti kvadratov drugih dveh stranic, zmanjšani za dvakratnik produkta teh stranic s kosinusom kota med njima.
Tu \(a\), \(b\), \(c\) — stranice trikotnika, \(C\) — kot med stranicama \(a\) in \(b\); stranica \(c\) leži nasproti tega kota. Črke lahko poljubno zamenjamo — formula je simetrična, zato ima tri enakovredne zapise:
Glavno pravilo prireditve: kot vzamemo tistega, ki je vključen med dvema stranicama v produktu, in iščemo stranico, ki leži nasproti njega. Če vzamemo »sosednji« kot, bodo vse številke iz pogoja, odgovor pa napačen.
Zakaj je Pitagorov izrek poseben primer kosinusnega izreka
Vstavimo v formulo pravi kot, torej \(C = 90°\). Kosinus pravega kota je enak nič, zato se tretji člen povsem obotavi:
Dobila se je natanko Pitagorov izrek, znan iz 8. razreda. Zato kosinusni izrek imenujejo njegovo posplošitev: Pitagorov je »poseben primer pri 90°«, kosinusni izrek pa velja za vse kote hkrati.
Člen \(-2ab\cos C\) je priročno razumeti kot popravek na ne-pravost kota:
- kot je ostri, \(\cos C > 0\) — popravek se odšteje, stranica \(c\) je krajša, kot bi jo dal Pitagorov izrek;
- kot je pravi, \(\cos C = 0\) — popravka ni, ostane \(c^2 = a^2 + b^2\);
- kot je topi, \(\cos C < 0\) — popravek se prišteje, stranica \(c\) je daljša.
Dokaz kosinusnega izreka
Najkrajši šolski dokaz je koordinatni. Postavimo vrh \(C\) v izhodišče, stranico \(b = CA\) pa usmerimo po osi x. Tako bodo koordinate vrhov:
- \(C(0;\ 0)\) — izhodišče;
- \(A(b;\ 0)\) — točka na osi x na razdalji \(b\) od izhodišča;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — vrh na razdalji \(a\) od izhodišča pod kotom \(C\) glede na os x.
Stranica \(c\) je dolžina odseka \(AB\). Izračunamo jo po formuli za razdaljo med dvema točkama:
Razširimo oklepaje:
Združimo člene z \(a^2\) in uporabimo glavno trigonometrično identiteto \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Kar je bilo treba dokazati. Opomba: nikjer ni bilo zahtevano, da je kot \(C\) ostri. Če je topi, je kosinus negativen, koordinata \(a\cos C\) se pomakne levo od osi y, vendar vsi izračuni ostanejo isti — zato izrek velja za kateri koli trikotnik.
Posledica: kako najti kot po treh straneh
Iz kosinusnega izreka izrazimo sam kosinus — to je njegova glavna posledica. Z njo najdemo kot, ko so znane vse tri stranice:
V številcu je vsota kvadratov dveh stranic, ki priležita kotu, minus kvadrat stranice, ki leži nasproti njega. V imenovalcu je dvakratnik produkta priležnih stranic. Za druge kote so formule enake:
Zaporedje reševanja:
- izberemo iskani kot in določimo, katera stranica leži nasproti njega — njen kvadrat gre v številnik s predznakom minus;
- izračunamo ulomek (imenovalec je vedno pozitiven, predznak določa samo številnik);
- po preglednici vrednosti ali preko arkus kosinusa najdemo sam kot.
Uporaben prijem: začnemo z najdaljšo stranico. Nasproti nje leži največji kot, in samo ta je lahko pravi ali topi — druga dva kota v trikotniku sta vedno ostri.
Kosinusi topih kotov so negativni: preglednica vrednosti
V šolskih nalogah so koti skoraj vedno »iz preglednice«: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Pri ostrih kotih je kosinus pozitiven, pri pravem je enak nič, pri topih pa negativen. Vrednosti za tope kote dobimo iz vrednosti za ostre kote po pravilu pretvorbe \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): na primer, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Kaj to pomeni v praksi: pri topem kotu se izraz \(-2ab\cos C\) spremeni v plus — minus krat minus. Za kot \(120°\) je formula takšna:
Prav tu največkrat izgubijo točke: namesto \(-0{,}5\) vstavijo \(0{,}5\) in dobijo stranico krajšo od obeh podanih. To je očitno nemogoče — nasproti topokotnega kota leži najdaljša stranica trikotnika.
| Kot | Kosinus |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Kako določiti vrsto trikotnika po treh straneh
Kosinusni izrek omogoča spoznati vrsto trikotnika, ne da bi merili kote s kotomerom. Predznak ulomka \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) je odvisen samo od številnika: imenovalec \(2ab\) je vedno pozitiven. Torej je dovolj primerjati kvadrat najdaljše stranice s vsoto kvadratov drugih dveh.
Naj bo \(c\) najdaljša stranica, tedaj nasproti nje leži največji kot \(C\):
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → kot \(C\) je ostri. Ostali koti so manjši od njega, torej so vsi trije koti ostri — trikotnik je ostrikotni;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — trikotnik je pravokotni (to je obratni Pitagorov izrek);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → kot \(C\) je topi — trikotnik je topokotni.
Preverjati ostalih kotov ni treba: pravi ali topi kot je v trikotniku lahko samo eden. In ne pozabite na trikotniško neenakost — če največja stranica ni manjša od vsote dveh drugih, trikotnik s takšnimi stranicami sploh ne obstaja.
Sinusni ali kosinusni izrek: kako izbrati
Oba izreka rešujeta isto nalogo — najdeta neznane stranice in kote trikotnika — vendar se uporabljata pri različnih naborih podatkov. Sinusni izrek povezuje stranico in nasproti ležeči kot:
Od tod pravilo izbire: če je v pogoju že podan par «stranica in nasproti ležeči kot» — velja sinusni izrek; če takšnega para ni — začnemo s kosinusnim izrekom. Priročnik za štiri šolske nabore podatkov — v preglednici.
Pogosto se naloga reši v dveh korakih: najprej kosinusni izrek da tretjo stranico, nato pa sinusni izrek hitro najde preostale kote.
| Kaj je znano | Kaj uporabimo |
|---|---|
| SUSDve stranici in kot med njima | Kosinusni izrekiščemo tretjo stranico |
| SSSVse tri stranice | Kosinusni izrekiščemo kateri koli kot in vrsto trikotnika |
| USUStranica in dva kota | Sinusni izrekiščemo dve drugi stranici |
| SSUDve stranici in kot proti eni izmed njih | Sinusni izrekiščemo nasproti ležeči kot |
Kosinusni izrek v nalogah OGE
Na izpitu OGE iz matematike se kosinusni izrek pojavlja v nalogah iz geometrije — tako v prvem delu kot v nalogah z razširjenim odgovorom. Tipični scenariji so:
- Najdi stranico po dveh stranicah in kotu med njima — neposredna uporaba formule, najpogosteje s koti 60° ali 120°.
- Najdi kot ali njegov kosinus po treh straneh — posledica \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Če je v nalogi zapisano »najdi \(\cos\angle A\)«, arkus kosinusa ni treba računati: odgovor je ta ulomek, ki ga je treba zapisati.
- Diagonali paralelograma. Diagonala odseka trikotnik iz dveh stranic in kota med njima. Sosednji koti paralelograma v vsoti dajo 180°, zato so njihovi kosinusi nasprotni: proti ostremu kotu leži manjša diagonala, proti topemu — večja.
- Vrsta trikotnika po treh številih — primerjava \(a^2 + b^2\) s \(c^2\).
- Težiščnica trikotnika. Formula \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) se izpelje z dvakratno uporabo kosinusnega izreka na dva sosednja kota ob osnovnici.
Nasvet za izpit: preden začnete računati, na skici označite kot, ki je »zajet« med znanima stranicama. Če takšnega kota ni — kosinusni izrek še ni uporaben, je treba poiskati drugo pot.
Primeri reševanja nalog na kosinusni izrek
Primer 1. Najdi stranico po dveh stranicah in kotu 60°
Naloga. V trikotniku \(ABC\) sta stranici \(a = 7\) in \(b = 15\), kot med njima \(C = 60°\). Poišči stranico \(c\).
Korak 1. Kot \(C\) je vključen med stranicama \(a\) in \(b\) — to je natanko primer, za katerega je izrek namenjen:
Korak 2. Vstavimo števila, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Korak 3. Izračunamo koren: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Odgovor: \(13\). Preverjanje po smislu: kot \(60°\) je ostri, zato stranica nasproti njega ni najdaljša — res je, \(13 < 15\).
Primer 2. Topi kot: minus na minus
Naloga. V trikotniku \(ABC\) je znano: \(AB = 6\), \(BC = 10\), kot \(B = 120°\). Poišči stranico \(AC\).
Korak 1. Kot \(B\) je vključen med stranicama \(AB\) in \(BC\), stranica \(AC\) pa leži nasproti njega:
Korak 2. Kot je topi, zato \(\cos 120° = -0{,}5\). Minus pred produktom in minus pri kosinusu dajeta plus:
Korak 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Odgovor: \(14\). Preverjanje: nasproti topokotnega kota leži najdaljša stranica — \(14\) je večja od \(6\) in \(10\).
Primer 3. Najdi kot po treh straneh
Naloga. Stranice trikotnika so dolge \(3\), \(5\) in \(7\). Poišči njegov največji kot.
Korak 1. Največji kot leži nasproti največje stranice, torej nasproti stranice \(7\). Označimo ga \(C\), tedaj \(c = 7\), priležni stranici pa \(a = 3\) in \(b = 5\).
Korak 2. Uporabimo posledico:
Korak 3. Kosinus je negativen — kot je topi. Po preglednici vrednosti \(\cos 120° = -0{,}5\), torej \(C = 120°\).
Odgovor: \(120°\). Mimogrede se je izkazalo, da je trikotnik topokotni.
Primer 4. Določi vrsto trikotnika
Naloga. Določi vrsto trikotnika s stranicami \(6\), \(7\) in \(10\).
Korak 1. Preverimo trikotniško neenakost: \(6 + 7 = 13 > 10\) — trikotnik obstaja. Najdaljša stranica je \(10\).
Korak 2. Primerjamo vsoto kvadratov dveh krajših stranic s kvadratom najdaljše:
Korak 3. \(85 < 100\), torej je številnik ulomka negativen in \(\cos C < 0\) — kot nasproti stranice \(10\) je topi. Po želji lahko najdemo tudi sam kot:
Odgovor: trikotnik je topokotni. Opomba: na pogled to ni vidno — stranice so skoraj enake, kot pa je že presegel \(90°\).
Primer 5. Naloga ravni OGE: diagonala paralelograma
Naloga. Stranici paralelograma sta dolgi \(5\) in \(8\), ostri kot je \(60°\). Poišči manjšo diagonalo.
Korak 1. Diagonala odseka trikotnik, pri katerem sta znani dve stranici (\(5\) in \(8\)) in kot med njima. Manjša diagonala leži nasproti ostrega kota \(60°\).
Korak 2. Izračunamo:
Korak 3. Preverjanje. Druga diagonala leži nasproti kota \(120°\) (sosednji koti paralelograma v vsoti dajo \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), torej \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Vsota kvadratov diagonal je \(49 + 129 = 178\), dvojna vsota kvadratov stranic pa — \(2(25 + 64) = 178\). Ujema se, torej je račun pravilen.
Odgovor: \(7\).
Pogoste napake pri nalogah na kosinusni izrek
-
Vzamejo kosinus topokotnega kota s predznakom plus. Za stranici $4$ in $9$ z kotom $120°$ med njima napišejo $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ in dobijo $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), minus na minus pa da plus: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), torej \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Hitro preverjanje: nasproti topokotnega kota leži najdaljša stranica, zato mora biti odgovor večji od \(9\).
-
Vstavijo kot, ki ni vključen med danima stranicama: v pogoju je dan en kot, in ga vzamejo »kot je«, ne da bi pogledali skico.
V zapisu \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) stranici \(a\) in \(b\) tvorita kot \(C\), stranica \(c\) pa leži nasproti njega. Če je znani kot priležni iskani stranici, ta zapis ni primeren — potreben je drug izmed treh ali sinusni izrek.
-
Pozabijo izračunati koren in v odgovor zapišejo kvadrat stranice: dobili so $c^2 = 225$ in napišejo »stranica je 225«.
Formula vedno da kvadrat stranice. Zadnji korak je obvezen: \(c = \sqrt{225} = 15\). Preden zapišete odgovor, ponovno preberite vprašanje naloge.
-
Zamenjajo vrstni red členov v posledici in napišejo $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Pravilni številnik je \(a^2 + b^2 - c^2\): vsota kvadratov priležnih stranic minus kvadrat nasproti ležeče. Pri zamenjavi se predznak ulomka spremeni v nasprotnega, namesto topokotnega kota \(120°\) pa dobimo ostri \(60°\).
-
Iščejo kot po modulu kosinusa: dobili so −0,25, v odgovor pa napišejo ostri kot, kot da bi bil kosinus +0,25.
Negativni kosinus je vedno topi kot. Predznaka se ne sme izgubiti: cos 60° = 0,5, cos 120° = −0,5; arkus kosinus negativnega števila je večji od 90°.
-
Poskušajo rešiti nalogo »dve stranici in kot med njima« s sinusnim izrekom in se zataknejo pri prvi vrstici.
Sinusni izrek potrebuje pripravljen par «stranica in nasproti ležeči kot». Pri dveh stranicah in kotu med njima takšnega para ni — najprej kosinusni izrek da tretjo stranico, šele nato se vključi sinusni izrek.
Vprašanja in odgovori
Kako se glasi kosinusni izrek?
Kvadrat stranice trikotnika je enak vsoti kvadratov drugih dveh stranic, zmanjšani za dvakratnik produkta teh stranic s kosinusom kota med njima: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Izrek velja za kateri koli trikotnik, ne le za pravokotnega.
Kako najti stranico trikotnika po dveh stranicah in kotu med njima?
Vstavite podatke v formulo c² = a² + b² − 2ab·cos C in izračunajte koren. Na primer, pri stranicah 4 in 6 ter kotu 60° med njima: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, torej c = √28 ≈ 5,3.
Kako najti kot trikotnika, če so znane tri stranice?
Po posledici kosinusnega izreka: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), kjer je c stranica nasproti iskanega kota. Na primer, za stranice 2, 3 in 4 je kosinus največjega kota enak (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, torej je kot topi, približno 104°.
Zakaj je Pitagorov izrek poseben primer kosinusnega izreka?
Ker pri pravem kotu cos 90° = 0, in se člen −2ab·cos C obotavi. Od formule ostane c² = a² + b² — to je Pitagorov izrek za pravokotni trikotnik.
Ali kosinusni izrek velja v topokotnem trikotniku?
Da, in velja brez sprememb. Pri topem kotu je kosinus negativen, zato se člen −2ab·cos C spremeni v pozitivnega in se prišteje k vsoti kvadratov. Prav zaradi tega je stranica nasproti topokotnega kota najdaljša.
Kdaj uporabiti sinusni izrek, kdaj pa kosinusni?
Sinusni izrek je potreben, ko je v pogoju že podan par »stranica in nasproti ležeči kot« — na primer, podana je stranica in dva kota. Kosinusni izrek pa, ko takšnega para ni: podani sta dve stranici in kot med njima ali vse tri stranice. Pogosto se naloga reši v dveh korakih: najprej kosinusni, nato sinusni izrek.
Kako določiti vrsto trikotnika po treh straneh?
Primerjajte kvadrat najdaljše stranice c² s vsoto kvadratov drugih dveh. Če je a² + b² > c² — trikotnik je ostrikotni, če je a² + b² = c² — pravokotni, če je a² + b² < c² — topokotni. Predznak te razlike sovpada s predznakom kosinusa največjega kota.
V katerem razredu se obravnava kosinusni izrek?
V 9. razredu pri urah geometrije, v temi »Razmerja med stranicami in koti trikotnika« — skupaj s sinusnim izrekom. Kasneje se stalno uporablja v nalogah OGE in EGE iz geometrije ter v stereometriji.
