Podobnost trikotnikov: znaki in koeficient podobnosti

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

Maskota-geometra s šestilom ob dveh trikotnikih enake oblike, vendar različnih velikosti

Podobni trikotniki so trikotniki enake oblike, vendar različnih velikosti: njihovi koti so skladni, skladen strani pa sta sorazmerni. Število, ki pove, kolikokrat je en trikotnik večji od drugega, imenujemo koeficient podobnosti $k$. Dokazovanju podobnosti pomagajo trije znaki, razmerja obsegov in ploščin pa sledijo preprostem pravilu: obsegi se nanašajo kot $k$, ploščine pa kot $k^2$. Na tej strani – definicija in zapis podobnosti s pravilnim vrstnim redom oglišč, vsi trije znaki, podobnost pravokotnih trikotnikov in višina iz pravega kota, reševanje nalog OGE «poišči stranico» in interaktivni vadnik.

Kaj sta podobna trikotnika in koeficient podobnosti

Dva trikotnika imenujemo podobna, če veljata hkrati dva pogoja:

njuni koti so skladni – vsakemu kotu prvega trikotnika ustreza enak kot drugega;
njuni skladni stranici sta sorazmerni – vsa tri razmerja dajejo isto število.

Skladni (ustrezni) stranici sta stranici, ki ležita nasproti enakih kotov. Prav ti tvorita pare, med katerima izračunamo razmerje.

Podobnost zapišemo s simbolom $\sim$:

\[\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\]

Koeficient podobnosti $k$ je isto enako razmerje skladen strani:

\[k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}\]

Če je $k > 1$, je drugi trikotnik večji od prvega; če je $k < 1$ – manjši; pri $k = 1$ sta trikotnika enaka, saj je enakost poseben primer podobnosti.

Vrstni red oglišč v zapisu – ni formalnost

Zapis $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ se bere strogo po položajih: $A$ ustreza $A_1$, $B$ – $B_1$, $C$ – $C_1$. Od tod takoj sledi, kateri koti so skladni ($\angle A = \angle A_1$) in katere stranice so skladne ($AB$ in $A_1B_1$, $BC$ in $B_1C_1$, $AC$ in $A_1C_1$).

Če premešamo črke in napišemo $\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1$, dobimo drug trditev: zdaj je $\angle A = \angle B_1$, skladen k $AB$ pa bo stranica $B_1A_1$. Ne moremo sestaviti sorazmerja po »podobno postavljenih« straneh – samo po položajih v zapisu. Zato najprej izpišemo pare enakih kotov in šele nato prilagodimo vrstni red črk.

6 : 4 = 1,5 9 : 6 = 1,5 12 : 8 = 1,5 k = 1,5

△ABC ∼ △A₁B₁C₁: ustrezni oglišči sta označeni z isto barvo — A in A₁, B in B₁, C in C₁. Vsa tri razmerja skladen strani sta enaka isti številki.

Trije znaki podobnosti trikotnikov

Preverjati vseh šest pogojev iz definicije ni treba: podobnost dokazujemo z enim od treh znakov. Vsak je minimalni nabor podatkov, iz katerega samodejno sledi enakost vseh kotov in sorazmernost vseh strani.

Kako izbrati znak. Poglej, kaj je dano v nalogi: če gre za kote – prvi, če za dve stranici in kot – drugi, če za vse tri stranice – tretji.

Prvi znak (po dveh kotih) – delovni konj šolskega kurikula: skoraj vse naloge OGE rešujemo z njim. Tretji kot ni treba preverjati, samodejno je enak: vsota kotov trikotnika je vedno $180°$. Išči gotove pare enakih kotov – skupni kot dveh trikotnikov, vrstni koti, križni in skladni koti pri vzporednih premicah, dva prava kota.
Drugi znak (po dveh stranicah in kotu med njima) zahteva, da je kot točno med tema dvema stranicama. Če je enak kot nasproti ene od njih, znak ne deluje in podobnost ni dokazana.
Tretji znak (po treh stranicah) – ko v pogoju sploh ni kotov, ampak samo dolžine. Izpiši stranice vsakega trikotnika po velikosti navzdol in deli najmanjšo z najmanjšo, srednjo s srednjo, največjo z največjo: tako parov zagotovo ne boš zamenjal. Podobnost obstaja le, če so vsa tri razmerja enaka.

Da ne bi zamenjeval znakov podobnosti s znaki enakosti, imej v mislih razliko: pri enakosti se morajo stranice pokrivati, pri podobnosti – biti sorazmerne.

Znak 1 Po dveh kotih ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁
→ △ABC ∼ △A₁B₁C₁

Znak 2 Po dveh stranicah in kotu med njima A₁B₁ : AB = A₁C₁ : AC, ∠A = ∠A₁

Znak 3 Po treh stranicah A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC

Razmerje obsegov in ploščin podobnih trikotnikov

Podobnost ima dva najpogosteje zastavljena sklepa, eden od njiju pa je glavna past te teme.

Obsegi se nanašajo kot $k$. Vsaka stranica drugega trikotnika je $k$-krat večja od skladen strani prvega, zato se tudi vsota stranic poveča natanko $k$-krat:

\[\frac{P_2}{P_1} = k\]

Na enak način – «$k$-krat» – se vedejo vse linearne količine: višine, mediane, težiščnice, polmeri včrtanih in očrtanih krožnic, srednjice.

Ploščine se nanašajo kot $k^2$. Ploščina je odvisna od dveh meritev hkrati: tako osnovnica kot višina se povečata $k$-krat, njun produkt pa $k \cdot k$-krat:

\[\frac{S_2}{S_1} = k^2\]

Naj bo $k = 5$. Takrat je obseg večji 5-krat (na primer, bilo je 14 cm – postalo je 70 cm), ploščina pa že 25-krat (bilo je 6 cm² – postalo je 150 cm²). Razlika je ogromna, in namesto $k^2$ vstaviti $k$ je najpogostejša napaka na izpitu.

Obraten postopek. Če je v pogoju dano razmerje ploščin, koeficient podobnosti izračunamo s korenom: $k = \sqrt{S_2 : S_1}$. Na primer, ploščini se nanašata kot $16 : 1$, torej sta stranici v razmerju $4 : 1$.

Srednjice delijo trikotnik na 4 enake. Stranica večjega je 2-krat daljša, ploščina pa 4-krat: 2² = 4.

k	Obsegi P₂ : P₁	Ploščine S₂ : S₁
2	2 : 1	4 : 1
3	3 : 1	9 : 1
1,5	1,5 : 1	2,25 : 1
katerokoli	k : 1	k² : 1

Podobnost pravokotnih trikotnikov in višina iz pravega kota

Za pravokotne trikotnike se prvi znak poenostavi: pravi koti so pri njih že enaki, zato zadostuje enakost enega ostrega kota, da sta trikotnika podobna. Iz tega sledi tudi znak po dveh katetah: če sta kateti enega sorazmerni s katetama drugega, sta trikotnika podobna (to je drugi znak, saj je kot med katetama pravi).

Najbolj uporabna konfiguracija celotne teme je višina, speljana iz vrha pravega kota. Ona razdeli trikotnik na dva, vsi trije nastali trikotniki pa so podobni med seboj.

Zakaj tako: trikotnik $AHC$ ima pravi kot pri $H$ in skupni kot z velikim trikotnikom $A$, torej $\triangle AHC \sim \triangle ACB$. Trikotnik $CHB$ ima pravi kot pri $H$ in skupni kot $B$, torej $\triangle CHB \sim \triangle ACB$. Od tod sta podobna tudi dva majhna trikotnika med seboj.

Iz teh podobnosti izhajajo formule geometrijske sredine (imenujejo se sorazmerni odseki v pravokotnem trikotniku):

$CH^2 = AH \cdot HB$ – višina je geometrijska sredina odsekov, na katere deli hipotenuzo;
$AC^2 = AH \cdot AB$ in $BC^2 = HB \cdot AB$ – kateta je geometrijska sredina celotne hipotenuzne in njene projekcije nanjo.

Glavno je, da ne zamenjaš, kateri odsek je «svoj»: kateta $AC$ ima projekcijo $AH$, kateta $BC$ pa projekcijo $HB$. Projekcija se vedno pripne na isti konec hipotenuzne, kot kateta.

△AHC ∼ △CHB ∼ △ACB

CH² = AH · HB AC² = AH · AB BC² = HB · AB

Preverjanje na številkah narisa: 12² = 9 · 16, 15² = 9 · 25, 20² = 16 · 25.

Naloge OGE o podobnosti: kako najti stranico

Skoraj vse naloge o podobnosti rešujemo po enem algoritmu:

Poišči par enakih kotov – skupni kot, vrstni koti, križni koti pri vzporednih premicah ali dva prava kota.
Zapiši podobnost v pravilnem vrstnem redu oglišč – tako, da bodo enaki koti na enakih položajih.
Sestavi sorazmerje iz skladen strani (vzemi stranice, ki so na enakih mestih v zapisu).
Izrazi neznanko in izračunaj; na koncu preveri odgovor po smislu – stranica manjšega trikotnika mora biti manjša.

Tipičnih konfiguracij v OGE je malo, in jih je treba prepoznati na prvi pogled:

Premica, vzporedna stranici. Premica izreže iz trikotnika majhen trikotnik, podoben izvirnemu. Ključna tankost: v sorazmerje gre razmerje celih stranic od skupnega oglišča ($BM : BA$), ne odsekov ($BM : MA$).
«Metulj». Dva odseka se sekata, njuni krajišči pa sta povezani z vzporednimi premicami – dobimo dva podobna trikotnika, obrnjenih drug proti drugemu.
Višina iz pravega kota – konfiguracija iz prejšnjega poglavja; v OGE po njej iščemo višino, kateto ali odsek hipotenuzne.
Senca in višina predmeta. Sončni žarki so vzporedni, zato predmet s svojo senco in drevo s svojo senco tvorita podobna pravokotna trikotnika.
Srednjica – poseben primer s $k = 2$: je vzporedna stranici in dvakrat krajša od nje.

MN ∥ AC → △BMN ∼ △BAC
kot B skupen, koti pri M in A ustrezni

AB ∥ CD → △AOB ∼ △COD
koti pri O so vrstni, koti A in C so križni

Primeri reševanja nalog o podobnosti trikotnikov

Primer 1. Poišči stranici po koeficientu podobnosti

Naloga. $\triangle MNK \sim \triangle PQR$. Znano je, da $MN = 7$, $NK = 11$, $MK = 9$ in $PQ = 21$. Poišči $QR$ in $PR$.

Korak 1. Razčlenimo zapis po položajih: $M \leftrightarrow P$, $N \leftrightarrow Q$, $K \leftrightarrow R$. Torej so pari skladen strani: $MN$ in $PQ$, $NK$ in $QR$, $MK$ in $PR$.

Korak 2. Izračunajmo koeficient po edinem paru, kjer sta obe stranici znani:

\[k = \frac{PQ}{MN} = \frac{21}{7} = 3.\]

Korak 3. Ostali stranici drugega trikotnika sta 3-krat večji od skladen:

\[QR = 3 \cdot NK = 3 \cdot 11 = 33, \qquad PR = 3 \cdot MK = 3 \cdot 9 = 27.\]

Odgovor: $QR = 33$, $PR = 27$. Preverjanje: $33 : 11 = 27 : 9 = 3$ – vsa razmerja so enaka.

Primer 2. Dokaži podobnost po drugem znaku

Naloga. V trikotnikih $ABC$ in $DEF$ je znano: $AB = 5$, $AC = 9$, $DE = 15$, $DF = 27$, kota $A$ in $D$ pa sta enaka. Dokaži, da sta trikotnika podobna.

Korak 1. Preverimo glavno pogoja drugega znaka: kot $A$ leži med stranicama $AB$ in $AC$, kot $D$ – med $DE$ in $DF$. Koti med danima stranicama – znak je uporaben.

Korak 2. Izračunajmo razmerja skladen strani:

\[\frac{DE}{AB} = \frac{15}{5} = 3, \qquad \frac{DF}{AC} = \frac{27}{9} = 3.\]

Korak 3. Dva para stranic sta sorazmerna z istim koeficientom $k = 3$, koti med njima so enaki – po drugem znaku $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Odgovor: trikotnika sta podobna, $k = 3$. Opomba: če bi bila enaka kota $B$ in $D$, znak ne bi deloval – kot $B$ ne leži med $AB$ in $AC$.

Primer 3. Premica, vzporedna stranici (naloga OGE)

Naloga. V trikotniku $ABC$ točka $M$ leži na stranici $AB$, točka $N$ – na stranici $BC$, pri čemer je $MN \parallel AC$. Znano je, da $BM = 4$, $MA = 12$, $MN = 5$. Poišči $AC$.

Korak 1. Ker je $MN \parallel AC$, sta kota $BMN$ in $BAC$ enaka kot ustrezna, kot $B$ pa je skupen. Po prvem znaku $\triangle BMN \sim \triangle BAC$ (vrstni red oglišč: $M \leftrightarrow A$, $N \leftrightarrow C$).

Korak 2. Poiščimo celotno stranico od skupnega oglišča: $BA = BM + MA = 4 + 12 = 16$. To je glavna tankost – v sorazmerje gre $BA$, ne $MA$.

Korak 3. Sestavimo sorazmerje po skladen straneh:

\[\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{16} = \frac{5}{AC}.\]

Korak 4. Od tod $AC = 5 \cdot 4 = 20$.

Odgovor: $AC = 20$. Koeficient podobnosti je tukaj enak 4: večji trikotnik je štirikrat večji od odrezanega.

Primer 4. Obsegi in ploščine

Naloga. Obsega podobnih trikotnikov sta 18 cm in 45 cm. Ploščina manjšega trikotnika je 16 cm². Poišči ploščino večjega.

Korak 1. Obsega se nanašata kot koeficient podobnosti:

\[k = \frac{45}{18} = 2{,}5.\]

Korak 2. Ploščini se nanašata kot kvadrat koeficienta: $k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25$.

Korak 3. Ploščino manjšega trikotnika pomnožimo s $k^2$:

\[S = 16 \cdot 6{,}25 = 100 \text{ cm}^2.\]

Odgovor: 100 cm². Če bi pomnožili s $k = 2{,}5$, bi dobili 40 cm² – tipična napaka, zaradi katere izgubijo celo točko.

Primer 5. Višina iz vrha pravega kota

Naloga. V pravokotnem trikotniku $ABC$ s pravim kotom pri vrhu $C$ je speljana višina $CH$ na hipotenuzno. Znano je, da $AH = 4$ cm, $HB = 9$ cm. Poišči višino $CH$ in ploščino trikotnika.

Korak 1. Višina iz pravega kota je geometrijska sredina odsekov hipotenuzne, ker $\triangle AHC \sim \triangle CHB$:

\[CH^2 = AH \cdot HB = 4 \cdot 9 = 36.\]

Korak 2. Izračunajmo koren: $CH = 6$ cm.

Korak 3. Hipotenuzna $AB = AH + HB = 4 + 9 = 13$ cm. Ploščino izračunamo preko hipotenuzne in na njo speljane višine:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 39 \text{ cm}^2.\]

Odgovor: $CH = 6$ cm, $S = 39$ cm².

Primer 6. Višina drevesa po senci

Naloga. Navpični drog višine 2 m meče senco dolžine 1,5 m. V istem trenutku je senca drevesa dolga 9 m. Kakšna je višina drevesa?

Korak 1. Sončni žarki so vzporedni, zato je kot padanja žarka za drog in za drevo enak. Drog s senco in drevo s senco tvorita pravokotna trikotnika z enakim ostrim kotom – torej sta podobna.

Korak 2. Sestavimo sorazmerje «višina proti svoji senci»:

\[\frac{h}{9} = \frac{2}{1{,}5}.\]

Korak 3. Izrazimo neznano višino:

\[h = \frac{2 \cdot 9}{1{,}5} = \frac{18}{1{,}5} = 12 \text{ m}.\]

Odgovor: 12 m. Preverjanje po smislu: senca drevesa je 6-krat daljša od sence droga, torej je tudi drevo 6-krat višje: $2 \cdot 6 = 12$ m.

Pogoste napake pri nalogah o podobnosti trikotnikov

Štejejo, da se ploščini podobnih trikotnikov nanašata kot $k$: pri $k = 3$ povečajo ploščino trikrat.

Ploščini se nanašata kot kvadrat koeficienta: pri $k = 3$ je ploščina večja $3^2 = 9$-krat. Kot $k$ se nanašajo le linearne količine – stranice, obseg, višine, mediane. Pravilo-namig: ploščina se meri v kvadratnih enotah, torej tudi koeficient v njej nastopa v kvadratu.
Ignorirajo vrstni red oglišč: iz zapisa $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ sestavijo sorazmerje $AB : LM$.

Ustreznost oglišč določa položaj v zapisu: $A \leftrightarrow K$, $B \leftrightarrow L$, $C \leftrightarrow M$. Skladna k $AB$ bo $KL$, k $BC$ pa $LM$. Preden napišeš sorazmerje, izpiši pare oglišč v stolpec – to vzame pet sekund in odpravi večino napak.
Dokazujejo podobnost po enem enakem kotu ali po dveh sorazmernih straneh brez kota.

En enak kot ni dovolj: dva trikotnika imata lahko enak kot ob povsem različni obliki. Potreben je celoten znak – dva kota, ali dve stranici in kot med njima, ali vse tri stranice.
Pri drugem znaku vzamejo kot, ki ne leži med danima stranicama.

Drugi znak deluje le s kotom med dvema danima stranicama. Če sta znani $AB$, $AC$ in je enak kot $B$, znak ni uporaben – išči drugo pot: par enakih kotov ali tretjo stranico.
Obrnejo koeficient: najdejo $k$ kot «manjša stranica proti večji», nato pa z njim množijo, da dobijo stranico večjega trikotnika.

Dogovori se sam s seboj o smeri: če je $k$ – razmerje stranic drugega trikotnika proti prvemu, potem stranice prvega množimo s $k$, stranice drugega pa s $k$ delimo. Končni preverjanje po smislu: stranica manjšega trikotnika mora biti manjša.
V nalogi s premico, vzporedno stranici, sestavijo sorazmerje iz odsekov: $BM : MA = MN : AC$.

Podobna sta trikotnika $BMN$ in $BAC$, njuni skladen stranici pa sta $BM$ in $BA$ (celotna stranica od skupnega oglišča), ne odsek $MA$. Najprej poišči $BA = BM + MA$, in šele nato sestavi sorazmerje.
Zamenjujejo podobnost z enakostjo in v odgovoru napišejo, da so stranice enostavno enake.

Enakost je poseben primer podobnosti pri $k = 1$. Če $k \ne 1$, se trikotnikoma ujemajo le koti, stranice pa se razlikujejo $k$-krat. Znaki so prav tako različni: pri enakosti so to SKS, KSK, SSS z enakimi stranicami, pri podobnosti – sorazmerne stranice.

Vprašanja in odgovori

Kateri trikotniki se imenujejo podobni?

Podobni se imenujejo trikotniki, pri katerih so koti skladni, skladen strani pa sorazmerni. Preprosto povedano, to so trikotniki enake oblike, vendar različnih velikosti. Podobnost zapišemo s simbolom ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.

Kaj je koeficient podobnosti trikotnikov?

Koeficient podobnosti k je število, enako razmerju skladen strani podobnih trikotnikov: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Pokaže, kolikokrat je en trikotnik večji od drugega. Pri k = 1 sta trikotnika enaka.

Koliko znakov podobnosti trikotnikov obstaja in kakšni so?

Znakov je tri. Prvi – po dveh kotih: dva kota enega trikotnika sta enaka dvema kotoma drugega. Drugi – po dveh stranicah in kotu med njima: dve stranici sta sorazmerni in koti med njima so enaki. Tretji – po treh straneh: vse tri pare skladen strani so sorazmerne.

Kako se nanašata ploščini podobnih trikotnikov?

Ploščini podobnih trikotnikov se nanašata kot kvadrat koeficienta podobnosti: S₂ : S₁ = k². Na primer, pri k = 4 je ploščina večja 16-krat. Obratno: če se ploščini nanašata kot 25 : 1, potem sta stranici v razmerju 5 : 1.

Kako se nanašata obsega podobnih trikotnikov?

Obsega se nanašata kot koeficient podobnosti: P₂ : P₁ = k. Na enak način se vedejo vsi linearni elementi – višine, mediane, težiščnice, srednjice, polmeri včrtanih in očrtanih krožnic.

S čim se podobnost trikotnikov razlikuje od enakosti?

Pri enakih trikotnikih se ujemata tako koti kot stranice, zato se lahko lika prekrivata. Pri podobnih se ujemata le koti, stranice pa so sorazmerne s koeficientom k. Enakost je poseben primer podobnosti pri k = 1.

Kako dokazati podobnost pravokotnih trikotnikov?

Dovolj je enakost enega ostrega kota: pravi koti so pri njih že enaki, torej deluje prvi znak. Drugi način – sorazmernost katet: kot med katetama je pravi, zato je uporaben drugi znak podobnosti.

Zakaj višina iz pravega kota da tri podobne trikotnike?

Višina CH iz vrha pravega kota C razdeli trikotnik ABC na trikotnika AHC in CHB. AHC ima pravi kot pri H in skupni kot z ABC kot A, CHB pa – pravi kot pri H in skupni kot B, zato sta oba podobna izvirnemu, in s tem tudi med seboj. Od tod izhajajo formule CH² = AH · HB, AC² = AH · AB in BC² = HB · AB.

V katerem razredu se obravnava podobnost trikotnikov?

V 8. razredu pri urah geometrije – takoj po temi o sorazmernih odsekih. Tam se preučujejo trije znaki podobnosti, razmerje ploščin in uporaba podobnosti pri pravokotnem trikotniku. Nadalje se tema uporablja v 9. razredu in v nalogah OGE.

Ostala vprašanja? Nadaljuj v klepetu

Reši mojo nalogo Preveri mojo rešitev Dokaži podobnost Poišči koeficient podobnosti Ploščine ali obsegi? Daj mi naloge za vadbo

Uporabnik #4365351

Urejevalnik besedila na fotografiji mi je bil zelo všeč — rezultat je prava mojstrovina.

Splet · maj 2026

Uporabnik #4383661

Hvala, delovanje umetne inteligence me je res navdušilo. Popolno!

Uporabnik #4279467

Zelo mi je všeč — bilo bi super, če bi imeli še nekaj brezplačnih poskusov.

Google Play · maj 2026

Uporabnik #4160129

Čudovita aplikacija s cenovno ugodnimi cenami.