V kružnici rozoznávame dva hlavné typy uhlov: stredový – s vrcholom v strede, a obvodový – s vrcholom na samotnej kružnici. Vzťah medzi nimi je jednoduchý: stredový uhol sa rovná oblúku, ku ktorému prislúcha, a obvodový uhol je jeho polovicou. Na tejto stránke nájdete definície, vetu o obvodovom uhle so všetkými dôsledkami, názorné nákresy, podrobné riešenia úloh a interaktívny trenažér, na ktorom si môžete hneď overiť svoje vedomosti.
Typy uhlov v kružnici: stredový a obvodový
Ak v kružnici narysujeme dve úsečky z jedného bodu, vznikne uhol. Podľa toho, kde leží jeho vrchol, rozlišujeme dva základné typy uhlov v kružnici:
- Stredový uhol – uhol s vrcholom v strede kružnice \(O\). Jeho ramená sú polomery.
- Obvodový uhol – uhol, ktorého vrchol leží na kružnici a jeho ramená ju pretínajú (teda sú tetivami).
Každý z týchto uhlov prislúcha k oblúku – časti kružnice, ktorá leží vnútri uhla. Práve oblúk spája stredový a obvodový uhol: cez jeho stupňovú mieru sa vyjadrujú oba.
Ak sa vrchol uhla nachádza vnútri kruhu (ale nie v strede) alebo mimo neho – už to nie je obvodový ani stredový uhol: pre takéto uhly existujú vlastné vzorce, o nich sa dočítate na konci stránky.
∠AOC = oblúku AC = 120°
∠ABC = ½ oblúka AC = 60°
Veta o obvodovom uhle a jeho veľkosť
Stredový uhol sa rovná oblúku, ku ktorému prislúcha – tak sa zavádza stupňová miera oblúka. Ak \(\angle AOC = 120°\), tak aj oblúk \(AC\) má \(120°\).
Veta o obvodovom uhle: obvodový uhol sa rovná polovici oblúka, ku ktorému prislúcha:
Z toho vyplýva hlavný vzťah medzi obvodovými a stredovými uhlami: obvodový uhol je dvakrát menší ako stredový uhol, prislúchajúci k tomu istému oblúku:
Veľkosť obvodového uhla nezávisí od toho, kde presne na kružnici sa nachádza jeho vrchol – dôležitý je len oblúk, ku ktorému prislúcha. Preto si nižšie uvedený nákres zapamätajte ako „pracovný obrázok“ celej témy: zelený oblúk a dva uhly, ktoré sa naň „pozerajú“.
Obvodové a stredové uhly: vlastnosti a dôsledky
Z vety o obvodovom uhle priamo vyplývajú vlastnosti, na ktorých je postavená väčšina školských úloh:
- Obvodové uhly prislúchajúce k tomu istému oblúku sú zhodné. Každý z nich sa rovná polovici toho istého oblúka – a teda sú si rovné, bez ohľadu na to, kde sa nachádzajú ich vrcholy.
- Obvodový uhol prislúchajúci k priemeru je pravý. Priemer delí kružnicu na dve polkružnice po \(180°\), preto takýto uhol má veľkosť \(180° : 2 = 90°\). Platí to aj naopak: ak je obvodový uhol pravý, tak prislúcha k priemeru. (Toto je známe ako Talesova veta.)
- Obvodový uhol môže byť tupý. Ak je oblúk väčší ako \(180°\), uhol je väčší ako \(90°\) – vzorec „polovica oblúka“ funguje bez výnimiek.
Tieto vlastnosti fungujú aj „obrátene“: napríklad na základe rovnosti uhlov prislúchajúcich k jednej úsečke sa dokazuje, že štyri body ležia na jednej kružnici.
Vpísané a opísané uhly: štvoruholník v kružnici
Ak všetky štyri vrcholy štvoruholníka ležia na kružnici, nazýva sa vpísaný (a kružnica sa nazýva opísaná okolo neho). V slovenskej terminológii sa takýto štvoruholník nazýva tetivový. Uhly takéhoto štvoruholníka sú obvodové, preto pre ne platí tá istá veta.
- Súčet protiľahlých uhlov vpísaného (tetivového) štvoruholníka je \(180°\). Uhly \(A\) a \(C\) prislúchajú k dvom oblúkom, ktoré spolu tvoria celú kružnicu (\(360°\)), preto \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Vonkajší uhol vpísaného štvoruholníka sa rovná vnútornému uhlu pri protiľahlom vrchole. Vonkajší uhol dopĺňa svoj vnútorný uhol do \(180°\) – rovnako ako protiľahlý uhol.
- Vlastnosť súčtu uhlov je zároveň aj kritériom: ak má štvoruholník súčty protiľahlých uhlov rovné \(180°\), dá sa mu opísať kružnica. Preto je každý obdĺžnik tetivový, ale kosoštvorec (okrem štvorca) nie.
Okrem obvodových uhlov sa v úlohách stretávame aj s uhlami, ktorých vrchol leží mimo kružnice, napríklad uhol medzi dvoma dotyčnicami z jedného bodu. Tento uhol sa rovná polovičnému rozdielu oblúkov, ktoré na kružnici vytína.
Príklady riešenia úloh na obvodové a stredové uhly
Príklad 1. Obvodový uhol podľa oblúka
Úloha. Obvodový uhol \(ABC\) prislúcha k oblúku \(AC\) s veľkosťou \(120°\). Vypočítajte \(\angle ABC\).
Krok 1. Pripomenieme si vetu: obvodový uhol sa rovná polovici oblúka, ku ktorému prislúcha.
Krok 2. Dosadíme: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Odpoveď: \(60°\).
Príklad 2. Stredový uhol podľa obvodového
Úloha. Obvodový uhol \(ABC\) má \(40°\). Vypočítajte stredový uhol \(AOC\), ktorý prislúcha k tomu istému oblúku \(AC\).
Krok 1. Stredový uhol je dvakrát väčší ako obvodový uhol prislúchajúci k tomu istému oblúku: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Krok 2. Počítame: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Zároveň sme zistili veľkosť oblúka: \(AC = 80°\).
Odpoveď: \(80°\).
Príklad 3. Uhol prislúchajúci k priemeru
Úloha. \(AC\) je priemer kružnice, bod \(B\) leží na kružnici, \(\angle BAC = 35°\). Vypočítajte \(\angle BCA\).
Krok 1. Uhol \(ABC\) prislúcha k priemeru \(AC\), takže \(\angle ABC = 90°\) — trojuholník \(ABC\) je pravouhlý.
Krok 2. Súčet uhlov v trojuholníku je \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Odpoveď: \(55°\).
Príklad 4. Tetivový štvoruholník
Úloha. Štvoruholník \(ABCD\) je vpísaný do kružnice, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Vypočítajte uhly \(C\) a \(D\).
Krok 1. Súčet protiľahlých uhlov v tetivovom štvoruholníku je \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Krok 2. Podobne \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Skúška. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — súčet uhlov štvoruholníka sedí.
Odpoveď: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Časté chyby v úlohách o uhloch v kružnici
-
Mýlia si obvodový uhol so stredovým: pri uhle s vrcholom v strede berú polovicu oblúka (alebo naopak).
Najprv sa pozrite na vrchol. Vrchol v strede \(O\) – stredový uhol, rovná sa celému oblúku. Vrchol na kružnici – obvodový uhol, rovná sa polovici oblúka.
-
Berú nesprávny oblúk: pre obvodový uhol počítajú s oblúkom, na ktorom leží jeho vrchol.
Obvodový uhol prislúcha k oblúku, ktorý leží „vnútri“ uhla – vrchol je vždy na druhom oblúku. V zápise \(\angle ABC\) uhol prislúcha k oblúku \(AC\), ktorý neobsahuje bod \(B\).
-
Násobia a delia dvomi „nesprávnym smerom“: pri prechode od obvodového uhla k stredovému delia, namiesto toho, aby násobili.
Zapamätajte si: obvodový je „malý“ (polovica oblúka), stredový je „veľký“ (celý oblúk). Od obvodového k stredovému – násobiť dvomi, od stredového k obvodovému – deliť.
-
Považujú za obvodový akýkoľvek uhol, ktorého ramená pretínajú kružnicu – napríklad uhol medzi tetivami, ktoré sa pretínajú vnútri kruhu.
Vrchol obvodového uhla musí ležať na samotnej kružnici. Uhol s vrcholom vnútri kruhu sa rovná polovičnému súčtu vytatých oblúkov, s vrcholom mimo kruhu – polovičnému rozdielu: to sú iné vzorce.
-
V tetivovom štvoruholníku dávajú do rovnosti s $180°$ súčet susedných uhlov namiesto protiľahlých.
Táto vlastnosť platí len pre protiľahlé vrcholy: \(\angle A + \angle C = 180°\) a \(\angle B + \angle D = 180°\). Susedné uhly tetivového štvoruholníka môžu byť ľubovoľné.
Otázky a odpovede
Čomu sa rovná obvodový uhol?
Obvodový uhol sa rovná polovici oblúka, ku ktorému prislúcha. Napríklad, ak má oblúk 120°, obvodový uhol má 60°. To je veta o obvodovom uhle – hlavný vzorec tejto témy.
Aký je vzťah medzi obvodovým a stredovým uhlom prislúchajúcim k tomu istému oblúku?
Stredový uhol je dvakrát väčší ako obvodový: ∠AOC = 2·∠ABC. Stredový uhol sa rovná samotnému oblúku a obvodový jeho polovici.
Prečo je obvodový uhol nad priemerom pravý (90°)?
Priemeru prislúcha polkružnica – oblúk s veľkosťou 180°. Obvodový uhol sa rovná polovici tohto oblúka: 180° : 2 = 90°. Preto je každý trojuholník, ktorého jedna strana je priemerom opísanej kružnice, pravouhlý. (Talesova veta)
Môže byť obvodový uhol tupý?
Áno. Ak je oblúk, ku ktorému uhol prislúcha, väčší ako 180°, uhol je tupý: napríklad oblúku 210° zodpovedá obvodový uhol 105°. Obvodový uhol je však vždy menší ako 180°.
Čo je uhol medzi dotyčnicami a ako sa líši od obvodového uhla?
Uhol medzi dvoma dotyčnicami je uhol, ktorý zvierajú dve dotyčnice ku kružnici z jedného vonkajšieho bodu. Jeho vrchol leží mimo kružnice a rovná sa polovičnému rozdielu vytatých oblúkov. Vrchol obvodového uhla leží na kružnici a rovná sa polovici jedného oblúka.
Aké ďalšie typy uhlov v kružnici existujú?
Okrem stredového a obvodového uhla sa uvažuje aj uhol medzi tetivami (vrchol vnútri kruhu – polovičný súčet oblúkov), uhol medzi sečnicami z vonkajšieho bodu (polovičný rozdiel oblúkov) a úsekový uhol medzi dotyčnicou a tetivou (polovica oblúka ležiaceho vnútri). Všetky sa vyjadrujú pomocou oblúkov kružnice.
