Podobnosť trojuholníkov: znaky a koeficient podobnosti

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

Maskot-geometer s kružidlom vedľa dvoch trojuholníkov rovnakej formy, ale rôznych veľkostí

Podobné trojuholníky sú trojuholníky rovnakej formy, ale rôznych veľkostí: ich uhly sú zhodné a zodpovedajúce si strany sú úmerné. Číslo, ktoré udáva, koľkokrát je jeden trojuholník väčší ako druhý, nazývame koeficient podobnosti $k$. Na dokázanie podobnosti pomáhajú tri znaky a pomery obvodov a plôch sa riadia jednoduchým pravidlom: obvody sa vzťahujú ako $k$, plochy — ako $k^2$. Na tejto stránke nájdete definíciu a zápis podobnosti so správnym poradím vrcholov, všetky tri znaky, podobnosť pravouhlých trojuholníkov a výšku z pravého uhla, rozbory úloh OGE „nájdite stranu“ a interaktívny trenažér.

Čo sú podobné trojuholníky a koeficient podobnosti

Dva trojuholníky nazývame podobné, ak platia súčasne dve podmienky:

ich uhly sú zhodné — každému uhlu prvého trojuholníka zodpovedá jemu rovný uhol druhého;
ich zodpovedajúce si strany sú úmerné — všetky tri pomery dávajú rovnaké číslo.

Zodpovedajúce si (zhodné) strany — sú strany, ktoré ležia oproti zhodným uhlom. Práve ony tvoria páry, medzi ktorými sa počíta pomer.

Podobnosť zapisujeme znakom $\sim$:

\[\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\]

Koeficient podobnosti $k$ — to isté rovnaké pomery zodpovedajúcich si strán:

\[k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}\]

Ak $k > 1$, druhý trojuholník je väčší ako prvý; ak $k < 1$ — menší; pri $k = 1$ sú trojuholníky zhodné, pretože zhodnosť je špeciálny prípad podobnosti.

Poradie vrcholov v zápise — nie je formalita

Zápis $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ sa číta striktne podľa pozícií: $A$ zodpovedá $A_1$, $B$ — $B_1$, $C$ — $C_1$. Odtiaľ hneď vyplýva, ktoré uhly sú zhodné ($\angle A = \angle A_1$) a ktoré strany sú zodpovedajúce ($AB$ a $A_1B_1$, $BC$ a $B_1C_1$, $AC$ a $A_1C_1$).

Ak by sme písmená vymenili a napísali $\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1$, dostali by sme iný výrok: teraz $\angle A = \angle B_1$ a zodpovedajúcou k $AB$ by bola strana $B_1A_1$. Skladať proporciu podľa „podobne umiestnených“ strán nemožno — len podľa pozícií v zápise. Preto najprv vypíšeme páry zhodných uhlov a až pod ne prispôsobíme poradie písmen.

6 : 4 = 1,5 9 : 6 = 1,5 12 : 8 = 1,5 k = 1,5

△ABC ∼ △A₁B₁C₁: zodpovedajúce vrcholy sú označené rovnakou farbou — A a A₁, B a B₁, C a C₁. Všetky tri pomery zodpovedajúcich si strán dali rovnaké číslo.

Tri znaky podobnosti trojuholníkov

Na overenie všetkých šiestich podmienok z definície nie je potrebné: podobnosť sa dokazuje podľa jedného z troch znakov. Každý je minimálna sada údajov, z ktorej automaticky vyplýva zhodnosť všetkých uhlov a úmernosť všetkých strán.

Ako vybrať znak. Pozri, čo je v úlohe dané: ak sú dané uhly — prvý, ak sú dané dve strany a uhol — druhý, ak sú dané tri strany — tretí.

Prvý znak (podľa dvoch uhlov) — pracovný kôň školského kurzu: takmer všetky úlohy OGE sa riešia práve ním. Tretí uhol nie je potrebné overovať, je automaticky zhodný: súčet uhlov trojuholníka je vždy $180°$. Hľadaj hotové páry zhodných uhlov — spoločný uhol dvoch trojuholníkov, zvislé uhly, striedavé a zodpovedajúce pri rovnobežných priamkach, dva pravé uhly.
Druhý znak (podľa dvoch strán a uhla medzi nimi) vyžaduje, aby uhol bol presne medzi týmito dvoma stranami. Ak je zhodný uhol oproti jednej z nich, znak nefunguje a podobnosť nie je dokázaná.
Tretí znak (podľa troch strán) — keď v zadaní nie sú žiadne uhly, len dĺžky. Vypíš strany každého trojuholníka vzostupne a vydel najmenšiu najmenšou, strednú strednou, najväčšiu najväčšou: tak sa páry určite nepomýlia. Podobnosť existuje, len ak sa všetky tri pomery zhodujú.

Aby ste si nepomýlili znaky podobnosti so znakmi zhodnosti, majte na pamäti rozdiel: pri zhodnosti sa strany musia zhodovať, pri podobnosti — byť úmerné.

Znak 1 Podľa dvoch uhlov ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁
→ △ABC ∼ △A₁B₁C₁

Znak 2 Podľa dvoch strán a uhla medzi nimi A₁B₁ : AB = A₁C₁ : AC, ∠A = ∠A₁

Znak 3 Podľa troch strán A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC

Pomer obvodov a plôch podobných trojuholníkov

Podobnosť má dva dôsledky, ktoré sa pýtajú najčastejšie, a jeden z nich je hlavnou pascou témy.

Obvody sa vzťahujú ako $k$. Každá strana druhého trojuholníka je $k$-krát väčšia ako zodpovedajúca strana prvého, preto aj súčet strán narastie presne $k$-krát:

\[\frac{P_2}{P_1} = k\]

Podobne — „$k$-krát“ — sa správajú všetky lineárne veličiny: výšky, mediány, výšky k stranám, polomery vpísaných a opísaných kružníc, stredné priečky.

Plochy sa vzťahujú ako $k^2$. Plocha závisí od dvoch rozmerov naraz: základňa aj výška sa zväčšia $k$-krát, a súčin — $k \cdot k$ krát:

\[\frac{S_2}{S_1} = k^2\]

Nech $k = 5$. Potom obvod je väčší 5-krát (napríklad bolo 14 cm — je 70 cm), a plocha — už 25-krát (bolo 6 cm² — je 150 cm²). Rozdiel je obrovský, a dosadiť sem $k$ namiesto $k^2$ — to je najčastejšia chyba na skúške.

Spätný chod. Ak je v zadaní daný pomer plôch, koeficient podobnosti sa získa odmocninou: $k = \sqrt{S_2 : S_1}$. Napríklad, plochy sa vzťahujú ako $16 : 1$, teda strany — ako $4 : 1$.

Stredné priečky delia trojuholník na 4 zhodné. Strana väčšieho je 2-krát väčšia, a plocha — 4-krát: 2² = 4.

k	Obvody P₂ : P₁	Plochy S₂ : S₁
2	2 : 1	4 : 1
3	3 : 1	9 : 1
1,5	1,5 : 1	2,25 : 1
ľubovoľné	k : 1	k² : 1

Podobnosť pravouhlých trojuholníkov a výška z pravého uhla

Pre pravouhlé trojuholníky sa prvý znak zjednodušuje: pravé uhly sú u nich zhodné vopred, preto stačí zhodnosť jedného ostrého uhla, aby boli trojuholníky podobné. Z toho vyplýva aj znak podľa dvoch odvesien: ak sú odvesny jedného úmerné odvesnám druhého, trojuholníky sú podobné (to je druhý znak, pretože uhol medzi odvesnami je pravý).

Najužitočnejšia konfigurácia celej témy — výška vedená z vrcholu pravého uhla. Rozdelí trojuholník na dva, a všetky tri vzniknuté trojuholníky sú podobné navzájom.

Prečo tak: trojuholník $AHC$ má pravý uhol pri $H$ a spoločný s veľkým trojuholníkom uhol $A$, preto $\triangle AHC \sim \triangle ACB$. Trojuholník $CHB$ má pravý uhol pri $H$ a spoločný uhol $B$, preto $\triangle CHB \sim \triangle ACB$. Odtiaľ sú podobné aj dva malé trojuholníky medzi sebou.

Z týchto podobností vyplývajú vzorce priemeru geometrického (nazývajú sa proporcionálne úsečky v pravouhlom trojuholníku):

$CH^2 = AH \cdot HB$ — výška je geometrický priemer úsečiek, na ktoré rozdeľuje preponu;
$AC^2 = AH \cdot AB$ a $BC^2 = HB \cdot AB$ — odvesna je geometrický priemer celej prepone a jej priemetu na ňu.

Hlavné je nepomýliť si, ktorá úsečka je „vlastná“: k odvesne $AC$ patrí priemet $AH$, k odvesne $BC$ patrí priemet $HB$. Priemet vždy prilieha k rovnakému koncu prepone ako odvesna.

△AHC ∼ △CHB ∼ △ACB

CH² = AH · HB AC² = AH · AB BC² = HB · AB

Kontrola na číslach z obrázka: 12² = 9 · 16, 15² = 9 · 25, 20² = 16 · 25.

Úlohy OGE na podobnosť: ako nájsť stranu

Takmer všetky úlohy na podobnosť sa riešia podľa jedného algoritmu:

Nájsť pár zhodných uhlov — spoločný uhol, zvislé, striedavé pri rovnobežných priamkach alebo dva pravé.
Zapísať podobnosť v správnom poradí vrcholov — tak, aby zhodné uhly boli na rovnakých pozíciách.
Skladať proporciu zo zodpovedajúcich si strán (berieme strany na rovnakých miestach v zápise).
Vyjadiť neznámu a vypočítať; na konci skontrolovať odpoveď podľa zmyslu — strana menšieho trojuholníka musí vyjsť menšia.

Typických konfigurácií v OGE je málo a treba ich spoznať na prvý pohľad:

Priamka rovnobežná so stranou. Priamka odsekne od trojuholníka malý trojuholník, podobný pôvodnému. Kľúčová jemnosť: do proporcie ide pomer celých strán od spoločného vrcholu ($BM : BA$), nie úsečiek ($BM : MA$).
„Motýlik“. Dve úsečky sa pretínajú a ich konce sú spojené rovnobežnými priamkami — vzniknú dva podobné trojuholníky, otočené voči sebe.
Výška z pravého uhla — konfigurácia z predchádzajúcej časti; v OGE sa podľa nej hľadá výška, odvesna alebo úsek prepone.
Tieň a výška predmetu. Slnečné lúče sú rovnobežné, preto predmet so svojím tieňom a strom so svojím tieňom tvoria podobné pravouhlé trojuholníky.
Stredná priečka — špeciálny prípad s $k = 2$: je rovnobežná so stranou a dvakrát kratšia ako ona.

MN ∥ AC → △BMN ∼ △BAC
uhol B je spoločný, uhly pri M a A sú zodpovedajúce

AB ∥ CD → △AOB ∼ △COD
uhly pri O sú zvislé, uhly A a C sú striedavé

Príklady riešenia úloh na podobnosť trojuholníkov

Príklad 1. Nájsť strany podľa koeficientu podobnosti

Úloha. $\triangle MNK \sim \triangle PQR$. Je dané, že $MN = 7$, $NK = 11$, $MK = 9$ a $PQ = 21$. Nájdite $QR$ a $PR$.

Krok 1. Rozoberieme zápis podľa pozícií: $M \leftrightarrow P$, $N \leftrightarrow Q$, $K \leftrightarrow R$. Teda zodpovedajúce páry sú: $MN$ a $PQ$, $NK$ a $QR$, $MK$ a $PR$.

Krok 2. Spočítame koeficient podľa jediného páru, kde sú známe obe strany:

\[k = \frac{PQ}{MN} = \frac{21}{7} = 3.\]

Krok 3. Ostatné strany druhého trojuholníka sú 3-krát väčšie ako zodpovedajúce:

\[QR = 3 \cdot NK = 3 \cdot 11 = 33, \qquad PR = 3 \cdot MK = 3 \cdot 9 = 27.\]

Odpoveď: $QR = 33$, $PR = 27$. Kontrola: $33 : 11 = 27 : 9 = 3$ — všetky pomery sa zhodujú.

Príklad 2. Dokázať podobnosť podľa druhého znaku

Úloha. V trojuholníkoch $ABC$ a $DEF$ je dané: $AB = 5$, $AC = 9$, $DE = 15$, $DF = 27$ a uhly $A$ a $D$ sú zhodné. Dokážte, že trojuholníky sú podobné.

Krok 1. Overíme hlavnú podmienku druhého znaku: uhol $A$ je medzi stranami $AB$ a $AC$, uhol $D$ — medzi $DE$ a $DF$. Uhol medzi danými stranami — znak je použiteľný.

Krok 2. Spočítame pomery zodpovedajúcich si strán:

\[\frac{DE}{AB} = \frac{15}{5} = 3, \qquad \frac{DF}{AC} = \frac{27}{9} = 3.\]

Krok 3. Dva páry strán sú úmerné s jedným koeficientom $k = 3$, uhly medzi nimi sú zhodné — podľa druhého znaku $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

Odpoveď: trojuholníky sú podobné, $k = 3$. Všimnite si: ak by boli zhodné uhly $B$ a $D$, znak by nefungoval — uhol $B$ neleží medzi $AB$ a $AC$.

Príklad 3. Priamka rovnobežná so stranou (úloha OGE)

Úloha. V trojuholníku $ABC$ bod $M$ leží na strane $AB$, bod $N$ — na strane $BC$, pričom $MN \parallel AC$. Je dané, že $BM = 4$, $MA = 12$, $MN = 5$. Nájdite $AC$.

Krok 1. Keďže $MN \parallel AC$, uhly $BMN$ a $BAC$ sú zhodné ako zodpovedajúce, a uhol $B$ je spoločný. Podľa prvého znaku $\triangle BMN \sim \triangle BAC$ (poradie vrcholov: $M \leftrightarrow A$, $N \leftrightarrow C$).

Krok 2. Nájdeme celú stranu od spoločného vrcholu: $BA = BM + MA = 4 + 12 = 16$. Toto je hlavná jemnosť — do proporcie ide $BA$, nie $MA$.

Krok 3. Skladáme proporciu podľa zodpovedajúcich si strán:

\[\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC} \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{16} = \frac{5}{AC}.\]

Krok 4. Odtiaľ $AC = 5 \cdot 4 = 20$.

Odpoveď: $AC = 20$. Koeficient podobnosti je tu 4: veľký trojuholník je štvornásobne väčší ako odseknutý.

Príklad 4. Obvody a plochy

Úloha. Obvody podobných trojuholníkov sú 18 cm a 45 cm. Plocha menšieho trojuholníka je 16 cm². Nájdite plochu väčšieho.

Krok 1. Obvody sa vzťahujú ako koeficient podobnosti:

\[k = \frac{45}{18} = 2{,}5.\]

Krok 2. Plochy sa vzťahujú ako druhá mocnina koeficientu: $k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25$.

Krok 3. Vynásobíme plochu menšieho trojuholníka číslom $k^2$:

\[S = 16 \cdot 6{,}25 = 100 \text{ cm}^2.\]

Odpoveď: 100 cm². Keby sme vynásobili číslom $k = 2{,}5$, dostali by sme 40 cm² — typická chyba, kvôli ktorej sa stráca celý bod.

Príklad 5. Výška z vrcholu pravého uhla

Úloha. V pravouhlom trojuholníku $ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $C$ je vedená výška $CH$ k prepone. Je dané, že $AH = 4$ cm, $HB = 9$ cm. Nájdite výšku $CH$ a plochu trojuholníka.

Krok 1. Výška z pravého uhla je geometrický priemer úsekov prepone, pretože $\triangle AHC \sim \triangle CHB$:

\[CH^2 = AH \cdot HB = 4 \cdot 9 = 36.\]

Krok 2. Odmocníme: $CH = 6$ cm.

Krok 3. Prepona $AB = AH + HB = 4 + 9 = 13$ cm. Plochu počítame cez preponu a k nej vedenú výšku:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 39 \text{ cm}^2.\]

Odpoveď: $CH = 6$ cm, $S = 39$ cm².

Príklad 6. Výška stromu podľa tieňa

Úloha. Vertikálna tyč s výškou 2 m vrhá tieň dlhý 1,5 m. V tom istom momente je tieň stromu 9 m. Aká je výška stromu?

Krok 1. Slnečné lúče sú rovnobežné, preto uhol dopadu lúča pre tyč a pre strom je rovnaký. Tyč s tieňom a strom s tieňom tvoria pravouhlé trojuholníky so zhodným ostrým uhlom — teda sú podobné.

Krok 2. Skladáme proporciu „výška k svojmu tieňu“:

\[\frac{h}{9} = \frac{2}{1{,}5}.\]

Krok 3. Vyjadríme neznámu výšku:

\[h = \frac{2 \cdot 9}{1{,}5} = \frac{18}{1{,}5} = 12 \text{ m}.\]

Odpoveď: 12 m. Kontrola podľa zmyslu: tieň stromu je 6-krát dlhší ako tieň tyče, preto aj strom je 6-krát vyšší: $2 \cdot 6 = 12$ m.

Časté chyby v úlohách na podobnosť trojuholníkov

Počítajú, že plochy podobných trojuholníkov sú v pomere $k$: pri $k = 3$ zväčšujú plochu trojnásobne.

Plochy sú v pomere druhá mocnina koeficientu: pri $k = 3$ je plocha väčšia $3^2 = 9$-krát. Ako $k$ sú len lineárne veličiny — strany, obvod, výšky, mediány. Pravidlo-pomôcka: plocha sa meria v štvorcových jednotkách, preto aj koeficient do nej vstupuje v druhej mocnine.
Ignorujú poradie vrcholov: zo zápisu $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ skladajú proporciu $AB : LM$.

Zodpovednosť vrcholov je daná pozíciami v zápise: $A \leftrightarrow K$, $B \leftrightarrow L$, $C \leftrightarrow M$. Zodpovedajúcou k $AB$ bude $KL$, a k $BC$ — $LM$. Predtým, ako napíšete proporciu, vypíšte si páry vrcholov pod seba — to zaberie päť sekúnd a odstráni väčšinu chýb.
Dokazujú podobnosť podľa jedného zhodného uhla alebo podľa dvoch úmerných strán bez uhla.

Jeden zhodný uhol nestačí: dva trojuholníky môžu mať zhodný uhol pri úplne odlišnej forme. Potrebný je úplný znak — dva uhly, alebo dve strany a uhol medzi nimi, alebo všetky tri strany.
V druhom znaku berú uhol, ktorý neleží medzi danými stranami.

Druhý znak funguje len s uhlom medzi dvoma danými stranami. Ak sú známe $AB$, $AC$ a uhol $B$ je zhodný, znak nie je použiteľný — hľadajte inú cestu: pár zhodných uhlov alebo tretiu stranu.
Obracajú koeficient: nachádzajú $k$ ako „menšia strana k väčšej“, a potom ním násobia, aby získali stranu väčšieho trojuholníka.

Dohodnite sa sami so sebou o smere: ak $k$ je pomer strán druhého trojuholníka k prvému, potom strany prvého násobíme $k$, a strany druhého $k$ delíme. Finálna kontrola podľa zmyslu: strana menšieho trojuholníka musí vyjsť menšia.
V úlohe s priamkou rovnobežnou so stranou skladajú proporciu z úsečiek: $BM : MA = MN : AC$.

Podobné sú trojuholníky $BMN$ a $BAC$, a ich zodpovedajúce si strany sú $BM$ a $BA$ (celá strana od spoločného vrcholu), nie úsek $MA$. Najprv nájdite $BA = BM + MA$, a až potom skladajte proporciu.
Pomýlia si podobnosť so zhodnosťou a v odpovedi napíšu, že strany sú jednoducho zhodné.

Zhodnosť je špeciálny prípad podobnosti pri $k = 1$. Ak $k \ne 1$, trojuholníky majú zhodné len uhly, a strany sa líšia $k$-krát. Znaky sú tiež rôzne: pri zhodnosti sú to SUS, USU, SSS so zhodnými stranami, pri podobnosti — úmerné strany.

Otázky a odpovede

Aké trojuholníky sa nazývajú podobné?

Podobné sa nazývajú trojuholníky, ktorých uhly sú zhodné a zodpovedajúce si strany sú úmerné. Jednoduchšie povedané, sú to trojuholníky rovnakej formy, ale rôznych veľkostí. Podobnosť sa zapisuje znakom ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.

Čo je koeficient podobnosti trojuholníkov?

Koeficient podobnosti k je číslo rovné pomeru zodpovedajúcich si strán podobných trojuholníkov: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Ukazuje, koľkokrát je jeden trojuholník väčší ako druhý. Pri k = 1 sú trojuholníky zhodné.

Koľko znakov podobnosti trojuholníkov existuje a aké sú?

Znaky sú tri. Prvý — podľa dvoch uhlov: dva uhly jedného trojuholníka sú zhodné dvom uhlom druhého. Druhý — podľa dvoch strán a uhla medzi nimi: dve strany sú úmerné a uhly medzi nimi sú zhodné. Tretí — podľa troch strán: všetky tri páry zodpovedajúcich si strán sú úmerné.

Ako sa vzťahujú plochy podobných trojuholníkov?

Plochy podobných trojuholníkov sa vzťahujú ako druhá mocnina koeficientu podobnosti: S₂ : S₁ = k². Napríklad, pri k = 4 je plocha väčšia 16-krát. Naopak: ak sa plochy vzťahujú ako 25 : 1, potom strany sú v pomere 5 : 1.

Ako sa vzťahujú obvody podobných trojuholníkov?

Obvody sa vzťahujú ako koeficient podobnosti: P₂ : P₁ = k. Podobne sa správajú všetky lineárne prvky — výšky, mediány, výšky k stranám, stredné priečky, polomery vpísaných a opísaných kružníc.

Čím sa podobnosť trojuholníkov líši od zhodnosti?

Pri zhodných trojuholníkoch sa zhodujú aj uhly, aj strany, preto sa útvary dajú na seba položiť. Pri podobných sa zhodujú len uhly, a strany sú úmerné s koeficientom k. Zhodnosť je špeciálny prípad podobnosti pri k = 1.

Ako dokázať podobnosť pravouhlých trojuholníkov?

Stačí zhodnosť jedného ostrého uhla: pravé uhly sú u nich už zhodné, preto funguje prvý znak. Druhý spôsob — úmernosť odvesien: uhol medzi odvesnami je pravý, preto je použiteľný druhý znak podobnosti.

Prečo výška z pravého uhla dáva tri podobné trojuholníky?

Výška CH z vrcholu pravého uhla C rozdeľuje trojuholník ABC na trojuholníky AHC a CHB. AHC má pravý uhol pri H a spoločný s ABC uhol A, CHB — pravý uhol pri H a spoločný uhol B, preto oba sú podobné pôvodnému, a teda aj navzájom. Odtiaľ vyplývajú vzorce CH² = AH · HB, AC² = AH · AB a BC² = HB · AB.

V ktorom ročníku sa preberá podobnosť trojuholníkov?

V 8. ročníku na hodinách geometrie — hneď po téme o proporcionálnych úsečkách. Tam sa tiež učia tri znaky podobnosti, pomer plôch a použitie podobnosti na pravouhlý trojuholník. Ďalej sa téma používa v 9. ročníku a v úlohách OGE.

Zostali otázky? Pokračuj v chate

Vyrieš moju úlohu Skontroluj moje riešenie Dokáž podobnosť Nájsť koeficient podobnosti Plochy alebo obvody? Daj úlohy na tréning

Používateľ #4365351

Naozaj sa mi páčil editor textu na fotkách — výsledok je absolútne majstrovské dielo.

Web · máj 2026

Používateľ #4383661

Ďakujem, práca umelej inteligencie ma naozaj ohromila. Perfektné!

Používateľ #4279467

Veľmi sa mi to páči — bolo by skvelé mať niekoľko bezplatných pokusov navyše.

Google Play · máj 2026

Používateľ #4160129

Úžasná aplikácia s dostupnými cenami.