Kosinusová veta spája tri strany trojuholníka a jeden jeho uhol: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Funguje v akomkoľvek trojuholníku, preto v 9. ročníku práve ona nahrádza Pytagorovu vetu tam, kde nie je pravý uhol. Podľa nej sa nachádza tretia strana, ak sú známe dve iné a uhol medzi nimi, a podľa dôsledku \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) – akýkoľvek uhol podľa troch strán a typ trojuholníka. Na stránke – formulácia a všetky tri zápisy vzorca, dôkaz, tabuľka kosínov, prehľadná tabuľka „sínus alebo kosínus“, rozbory úloh z OGE a trenažér na sebakontrolu.
Kosinusová veta: formulácia a vzorec
Kosinusová veta funguje v akomkoľvek trojuholníku – pravý uhol nepotrebuje. Spája tri strany a jeden uhol, preto podľa nej nachádzame stranu, ak sú známe dve iné strany a uhol medzi nimi.
Formulácia. Druhá mocnina strany trojuholníka sa rovná súčtu druhých mocnín dvoch ostatných strán mínus dvojnásobok súčinu týchto strán a kosínusu uhla medzi nimi.
Tu \(a\), \(b\), \(c\) – strany trojuholníka a \(C\) – uhol medzi stranami \(a\) a \(b\); strana \(c\) leží oproti tomuto uhlu. Písmená možno zvoliť ľubovoľne – vzorec je symetrický, preto má tri rovnocenné zápisy:
Hlavné pravidlo dosadenia: uhol berieme ten, ktorý je zovretý medzi dvoma stranami zo súčinu, a nachádzame stranu, ktorá leží oproti nemu. Ak zvolíme „susedný“ uhol, všetky čísla budú z podmienky a odpoveď – nesprávna.
Prečo je Pytagorova veta špeciálnym prípadom kosinusovej vety
Dosadíme do vzorca pravý uhol, teda \(C = 90°\). Kosínus pravého uhla je nula, preto sa tretí člen celkom vynuluje:
Získali sme presne Pytagorovu vetu, známu z 8. ročníka. Preto sa kosinusová veta nazýva jej zovšeobecnením: Pytagoras je „špeciálny prípad pri 90°“, a kosinusová veta funguje pre všetky uhly naraz.
Člen \(-2ab\cos C\) je vhodné chápať ako korekciu na nepravosť uhla:
- uhol je ostrý, \(\cos C > 0\) – korekcia sa odčíta, strana \(c\) je kratšia, než by dala Pytagorova veta;
- uhol je pravý, \(\cos C = 0\) – korekcia nie je, zostáva \(c^2 = a^2 + b^2\);
- uhol je tupý, \(\cos C < 0\) – korekcia sa pripočíta, strana \(c\) je dlhšia.
Dôkaz kosinusovej vety
Najkratší školský dôkaz je pomocou súradníc. Umiestnime vrchol \(C\) do počiatku súradnicového systému a stranu \(b = CA\) nasmerujeme pozdĺž osi x. Potom súradnice vrcholov sú:
- \(C(0;\ 0)\) – počiatok súradnicového systému;
- \(A(b;\ 0)\) – bod na osi x vo vzdialenosti \(b\) od počiatku;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) – vrchol vo vzdialenosti \(a\) od počiatku pod uhlom \(C\) k osi x.
Strana \(c\) je dĺžka úsečky \(AB\). Počítame ju podľa vzorca vzdialenosti medzi dvoma bodmi:
Roznásobíme zátvorky:
Zoskupíme členy s \(a^2\) a použijeme základnú goniometrickú identitu \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Čo sme chceli dokázať. Pozor: nikde sa nevyžadovalo, aby uhol \(C\) bol ostrý. Ak je tupý, kosínus je záporný, súradnica \(a\cos C\) sa posunie doľava od osi y, ale všetky výpočty zostávajú rovnaké – preto je veta platná pre ľubovoľný trojuholník.
Dôsledok: ako nájsť uhol podľa troch strán
Z kosinusovej vety sa vyjadruje samotný kosínus – to je jej hlavný dôsledok. Podľa neho sa nachádza uhol, keď sú známe všetky tri strany:
V čitateli je súčet druhých mocnín dvoch strán, priľahlých k uhlu, mínus druhá mocnina strany, ktorá leží oproti nemu. V menovateli je dvojnásobok súčinu priľahlých strán. Pre iné uhly sú vzorce rovnaké:
Postup riešenia:
- vybrať hľadaný uhol a určiť, ktorá strana leží oproti nemu – jej druhá mocnina ide do čitateľa so znamienkom mínus;
- vypočítať zlomok (menovateľ je vždy kladný, znamienko určuje iba čitateľ);
- podľa tabuľky hodnôt alebo pomocou arkus kosínusu nájsť samotný uhol.
Užitočný trik: začať s najväčšou stranou. Oproti nej leží najväčší uhol, a iba ten môže byť pravý alebo tupý – ostatné dva uhly v trojuholníku sú vždy ostré.
Kosinusy tupých uhlov sú záporné: tabuľka hodnôt
V školských úlohách sú uhly takmer vždy „tabuľkové“: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Pri ostrých uhloch je kosínus kladný, pri pravom je nula a pri tupých – záporný. Hodnoty pre tupé uhly sa získavajú z hodnôt pre ostré uhly podľa pravidla prevodu \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): napríklad \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Čo to znamená v praxi: pri tupom uhle sa výraz \(-2ab\cos C\) zmení na plus – mínus krát mínus. Pre uhol \(120°\) vzorec vyzerá takto:
Práve tu sa stráca najviac bodov: dosadia \(0{,}5\) namiesto \(-0{,}5\) a získajú stranu kratšiu ako obe dané. To je zjavne nemožné – oproti tupému uhlu leží najdlhšia strana trojuholníka.
| Uhol | Kosinus |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Ako určiť typ trojuholníka podľa troch strán
Kosinusová veta umožňuje zistiť typ trojuholníka bez merania uhlov uhlomerom. Znamienko zlomku \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) závisí iba od čitateľa: menovateľ \(2ab\) je vždy kladný. Znamená to, že stačí porovnať druhú mocninu najväčšej strany so súčtom druhých mocnín dvoch ostatných.
Nech \(c\) je najväčšia strana, potom oproti nej leží najväčší uhol \(C\):
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → uhol \(C\) je ostrý. Ostatné uhly sú menšie ako on, teda všetky tri uhly sú ostré – trojuholník je ostrouhlý;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) – trojuholník je pravouhlý (to je aj obrátená Pytagorova veta);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → uhol \(C\) je tupý – trojuholník je tupouhlý.
Preverovať ostatné uhly netreba: pravý alebo tupý uhol v trojuholníku môže byť iba jeden. A nezabudnite na trojuholníkovú nerovnosť – ak najväčšia strana nie je menšia ako súčet dvoch ostatných, trojuholník s takými stranami vôbec neexistuje.
Sínusová alebo kosinusová veta: ako si vybrať
Obe vety riešia jeden problém – nachádzajú neznáme strany a uhly trojuholníka –, ale zapájajú sa od rôznych sád údajov. Sínusová veta spája stranu a jej protiľahlý uhol:
Odtiaľ aj pravidlo výberu: ak je v podmienke už pár „strana a uhol oproti nej“ – funguje sínusová veta; ak taký pár nie je – začíname s kosinusovou vetou. Prehľadná tabuľka štyroch školských sád údajov – v tabuľke.
Často sa úloha rieši v dvoch krokoch: najprv kosinusová veta dá tretiu stranu a potom sínusová veta rýchlo nájde zvyšné uhly.
| Čo je známe | Čo použijeme |
|---|---|
| SUSDve strany a uhol medzi nimi | Kosinusová vetanachádzame tretiu stranu |
| SSSVšetky tri strany | Kosinusová vetanachádzame akýkoľvek uhol a typ trojuholníka |
| USUStrana a dva uhly | Sínusová vetanachádzame dve iné strany |
| SSUDve strany a uhol oproti jednej z nich | Sínusová vetanachádzame protiľahlý uhol |
Kosinusová veta v úlohách OGE
Na prijímacích skúškach OGE z matematiky sa kosinusová veta vyskytuje v planimetrických úlohách – aj v prvej časti, aj v úlohách s rozvinutou odpoveďou. Typické scenáre sú takéto:
- Nájsť stranu podľa dvoch strán a uhla medzi nimi – priame použitie vzorca, najčastejšie s uhlami 60° alebo 120°.
- Nájsť uhol alebo jeho kosínus podľa troch strán – dôsledok \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Ak je v úlohe napísané „nájdite \(\cos\angle A\)“, arkus kosínus brať netreba: odpoveď je ten istý zlomok, ten sa aj zapíše.
- Uhly rovnobežníka. Uhlopriečka odsekne trojuholník z dvoch strán a uhla medzi nimi. Susedné uhly rovnobežníka dávajú v súčte 180°, preto ich kosínusy sú opačné: oproti ostrému uhlu leží menšia uhlopriečka, oproti tupému – väčšia.
- Typ trojuholníka podľa troch čísel – porovnanie \(a^2 + b^2\) s \(c^2\).
- Ťažnica trojuholníka. Vzorec \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) sa odvodzuje dvojitým použitím kosinusovej vety na dva susedné uhly pri základni.
Rada na skúške: pred počítaním si na náčrtku označte uhol, ktorý je „zovretý“ medzi známymi stranami. Ak takýto uhol nie je – kosinusová veta zatiaľ nie je použiteľná, treba hľadať iný postup.
Príklady riešenia úloh na kosinusovú vetu
Príklad 1. Nájsť stranu podľa dvoch strán a uhla 60°
Úloha. V trojuholníku \(ABC\) sú strany \(a = 7\) a \(b = 15\), uhol medzi nimi \(C = 60°\). Nájdite stranu \(c\).
Krok 1. Uhol \(C\) je zovretý medzi stranami \(a\) a \(b\) – to je presne ten prípad, na ktorý je veta určená:
Krok 2. Dosadíme čísla, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Krok 3. Odmocníme: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Odpoveď: \(13\). Kontrola podľa zmyslu: uhol \(60°\) je ostrý, preto strana oproti nemu nie je najdlhšia – a naozaj, \(13 < 15\).
Príklad 2. Tupý uhol: mínus na mínus
Úloha. V trojuholníku \(ABC\) je známe: \(AB = 6\), \(BC = 10\), uhol \(B = 120°\). Nájdite stranu \(AC\).
Krok 1. Uhol \(B\) je zovretý medzi stranami \(AB\) a \(BC\), a strana \(AC\) leží oproti nemu:
Krok 2. Uhol je tupý, preto \(\cos 120° = -0{,}5\). Mínus pred súčinom a mínus pri kosínuse dávajú plus:
Krok 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Odpoveď: \(14\). Kontrola: oproti tupému uhlu leží najdlhšia strana – \(14\) je väčšie ako \(6\) aj ako \(10\).
Príklad 3. Nájsť uhol podľa troch strán
Úloha. Strany trojuholníka sú \(3\), \(5\) a \(7\). Nájdite jeho najväčší uhol.
Krok 1. Najväčší uhol leží oproti najväčšej strane, teda oproti strane \(7\). Označme ho \(C\), potom \(c = 7\), a priľahlé strany \(a = 3\) a \(b = 5\).
Krok 2. Použijeme dôsledok:
Krok 3. Kosínus je záporný – uhol je tupý. Podľa tabuľky hodnôt \(\cos 120° = -0{,}5\), teda \(C = 120°\).
Odpoveď: \(120°\). Popri tom sa zistilo, že trojuholník je tupouhlý.
Príklad 4. Určiť typ trojuholníka
Úloha. Určte typ trojuholníka so stranami \(6\), \(7\) a \(10\).
Krok 1. Preveríme trojuholníkovú nerovnosť: \(6 + 7 = 13 > 10\) – trojuholník existuje. Najväčšia strana je \(10\).
Krok 2. Porovnáme súčet druhých mocnín dvoch menších strán s druhou mocninou najväčšej:
Krok 3. \(85 < 100\), teda čitateľ zlomku je záporný a \(\cos C < 0\) – uhol oproti strane \(10\) je tupý. Ak chcete, môžete nájsť aj samotný uhol:
Odpoveď: trojuholník je tupouhlý. Pozor: „voľným okom“ to nie je vidieť – strany sú takmer rovnaké, a uhol už prekročil \(90°\).
Príklad 5. Úloha úrovne OGE: uhlopriečka rovnobežníka
Úloha. Strany rovnobežníka sú \(5\) a \(8\), ostrý uhol je \(60°\). Nájdite menšiu uhlopriečku.
Krok 1. Uhlopriečka odsekne trojuholník, pri ktorom sú známe dve strany (\(5\) a \(8\)) a uhol medzi nimi. Menšia uhlopriečka leží oproti ostrému uhlu \(60°\).
Krok 2. Počítame:
Krok 3. Kontrola. Druhá uhlopriečka leží oproti uhlu \(120°\) (susedné uhly rovnobežníka v súčte dávajú \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), teda \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Súčet druhých mocnín uhlopriečok je \(49 + 129 = 178\), a dvojnásobok súčtu druhých mocnín strán je \(2(25 + 64) = 178\). Zhoduje sa, teda výpočet je správny.
Odpoveď: \(7\).
Časté chyby v úlohách na kosinusovú vetu
-
Berú kosínus tupého uhla so znamienkom plus. Pre strany $4$ a $9$ s uhlom $120°$ medzi nimi napíšu $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ a získajú $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), a mínus krát mínus dáva plus: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), teda \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Rýchla kontrola: oproti tupému uhlu leží najdlhšia strana, preto odpoveď musí byť väčšia ako \(9\).
-
Dosadzujú uhol, ktorý nie je zovretý medzi danými stranami: v podmienke je daný jeden uhol, a berú ho „tak ako je“, bez pohľadu na náčrtok.
V zápise \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) strany \(a\) a \(b\) tvoria uhol \(C\), a strana \(c\) leží oproti nemu. Ak je známy uhol priľahlý k hľadanej strane, tento zápis nepasuje – treba iný z troch alebo sínusovú vetu.
-
Zabúdajú odmocniť a zapisujú do odpovede druhú mocninu strany: získali $c^2 = 225$ a napíšu „strana má dĺžku 225“.
Vzorec vždy dáva presne druhú mocninu strany. Posledný krok je povinný: \(c = \sqrt{225} = 15\). Pred zapísaním odpovede si prečítajte otázku úlohy.
-
Pletú poradie členov v dôsledku a píšu $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Správny čitateľ je \(a^2 + b^2 - c^2\): súčet druhých mocnín priľahlých strán mínus druhá mocnina protiľahlej. Pri zámene sa znamienko zlomku zmení na opačné, a namiesto tupého uhla \(120°\) sa získa ostrý \(60°\).
-
Nachádzajú uhol podľa modulu kosínusu: získali −0,25, a do odpovede napíšu ostrý uhol, akoby kosínus bol +0,25.
Záporný kosínus je vždy tupý uhol. Znamienko sa nesmie stratiť: cos 60° = 0,5, a cos 120° = −0,5; arkus kosínus záporného čísla je väčší ako 90°.
-
Snažia sa riešiť úlohu „dve strany a uhol medzi nimi“ sínusovou vetou a zaseknú sa na prvej riadke.
Sínusovej vete treba hotový pár „strana a protiľahlý uhol“. Pri dvoch stranách a uhle medzi nimi taký pár nie je – najprv kosinusová veta dá tretiu stranu, a až potom sa zapojí sínusová veta.
Otázky a odpovede
Ako znie kosinusová veta?
Druhá mocnina strany trojuholníka sa rovná súčtu druhých mocnín dvoch ostatných strán mínus dvojnásobok súčinu týchto strán a kosínusu uhla medzi nimi: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Veta platí pre akýkoľvek trojuholník, nie len pre pravouhlý.
Ako nájsť stranu trojuholníka podľa dvoch strán a uhla medzi nimi?
Dosadiť údaje do vzorca c² = a² + b² − 2ab·cos C a odmocniť. Napríklad, pri stranách 4 a 6 a uhle 60° medzi nimi: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, teda c = √28 ≈ 5,3.
Ako nájsť uhol trojuholníka, ak sú známe tri strany?
Podľa dôsledku kosinusovej vety: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), kde c je strana oproti hľadanému uhlu. Napríklad, pre strany 2, 3 a 4 je kosínus najväčšieho uhla (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, teda uhol je tupý, približne 104°.
Prečo je Pytagorova veta špeciálnym prípadom kosinusovej vety?
Pretože pri pravom uhle cos 90° = 0, a člen −2ab·cos C sa vynuluje. Z vzorca zostáva c² = a² + b² – to je Pytagorova veta pre pravouhlý trojuholník.
Funguje kosinusová veta v tupouhlom trojuholníku?
Áno, a funguje bez zmien. Tupý uhol má záporný kosínus, preto sa člen −2ab·cos C stáva kladným a pripočítava sa k súčtu druhých mocnín. Práve preto je strana oproti tupému uhlu najdlhšia.
Kedy použiť sínusovú vetu a kedy kosinusovú vetu?
Sínusová veta je potrebná, keď v podmienkach už existuje pár „strana a protiľahlý uhol“ – napríklad, je daná strana a dva uhly. Kosinusová veta – keď taký pár neexistuje: sú dané dve strany a uhol medzi nimi alebo všetky tri strany. Často sa úloha rieši v dvoch krokoch: najprv kosinusová veta, potom sínusová.
Ako určiť typ trojuholníka podľa troch strán?
Porovnať druhú mocninu najväčšej strany c² so súčtom druhých mocnín dvoch ostatných. Ak a² + b² > c² – trojuholník je ostrouhlý, ak a² + b² = c² – pravouhlý, ak a² + b² < c² – tupouhlý. Znamienko tohto rozdielu sa zhoduje so znamienkom kosínusu najväčšieho uhla.
V ktorom ročníku sa preberá kosinusová veta?
V 9. ročníku na hodinách geometrie, v téme „Vzťahy medzi stranami a uhlami trojuholníka“ – spolu so sínusovou vetou. Ďalej sa neustále používa v úlohách OGE a ЕГЭ z planimetrie a stereometrie.
