Окружность создаёт два главных вида углов: центральный — с вершиной в центре, и вписанный — с вершиной на самой окружности. Связь между ними проста: центральный угол равен дуге, на которую опирается, а вписанный — её половине. На этой странице — определения, теорема о вписанном угле со всеми следствиями, наглядные чертежи, пошаговые разборы задач и интерактивный тренажёр, на котором можно сразу проверить себя.
Виды углов в окружности: центральный и вписанный
Проведём в окружности два отрезка из одной точки — получится угол. В зависимости от того, где лежит его вершина, выделяют два основных вида углов в окружности:
- Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности \(O\). Его стороны — радиусы.
- Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её (то есть являются хордами).
Каждый из этих углов опирается на дугу — часть окружности, которая лежит внутри угла. Именно дуга связывает центральный и вписанный углы: через её градусную меру выражаются оба.
Если вершина угла оказалась внутри круга (но не в центре) или вне его — это уже не вписанный и не центральный угол: для таких углов есть свои формулы, о них — в конце страницы.
∠AOC = дуге AC = 120°
∠ABC = ½ дуги AC = 60°
Теорема о вписанном угле и величина вписанного угла
Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, — так вводится градусная мера дуги. Если \(\angle AOC = 120°\), то и дуга \(AC\) равна \(120°\).
Теорема о вписанном угле: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:
Отсюда — главное соотношение вписанных и центральных углов: вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу:
Величина вписанного угла не зависит от того, где именно на окружности находится вершина — важна только дуга, на которую он опирается. Поэтому чертёж ниже стоит запомнить как «рабочую картинку» всей темы: зелёная дуга и два угла, глядящих на неё.
Вписанные и центральные углы: свойства и следствия
Из теоремы о вписанном угле напрямую вытекают свойства, на которых строится большинство школьных задач:
- Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Каждый из них равен половине одной и той же дуги — а значит, они равны и друг другу, где бы ни находились их вершины.
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой. Диаметр делит окружность на две полуокружности по \(180°\), поэтому такой угол равен \(180° : 2 = 90°\). Верно и обратное: если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр.
- Вписанный угол может быть тупым. Если дуга больше \(180°\), угол больше \(90°\) — формула «половина дуги» работает без исключений.
Эти свойства работают и «в обратную сторону»: например, по равенству углов, опирающихся на один отрезок, доказывают, что четыре точки лежат на одной окружности.
Вписанные и описанные углы: четырёхугольник в окружности
Если все четыре вершины четырёхугольника лежат на окружности, он называется вписанным (а окружность — описанной около него). Углы такого четырёхугольника — вписанные, поэтому для них работает та же теорема.
- Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна \(180°\). Углы \(A\) и \(C\) опираются на две дуги, которые вместе составляют всю окружность (\(360°\)), поэтому \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему углу при противоположной вершине. Внешний угол дополняет свой внутренний до \(180°\) — ровно как и противоположный.
- Свойство суммы углов — ещё и признак: если у четырёхугольника суммы противоположных углов по \(180°\), вокруг него можно описать окружность. Поэтому любой прямоугольник вписывается в окружность, а ромб (кроме квадрата) — нет.
Рядом с вписанными в задачах встречаются и описанные углы — углы между двумя касательными, проведёнными из одной точки вне окружности. Описанный угол равен полуразности дуг, которые он высекает на окружности.
Примеры решения задач на вписанные и центральные углы
Пример 1. Вписанный угол по дуге
Задача. Вписанный угол \(ABC\) опирается на дугу \(AC\), равную \(120°\). Найдите \(\angle ABC\).
Шаг 1. Вспоминаем теорему: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Шаг 2. Подставляем: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Ответ: \(60°\).
Пример 2. Центральный угол по вписанному
Задача. Вписанный угол \(ABC\) равен \(40°\). Найдите центральный угол \(AOC\), опирающийся на ту же дугу \(AC\).
Шаг 1. Центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Шаг 2. Считаем: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Заодно узнали дугу: \(AC = 80°\).
Ответ: \(80°\).
Пример 3. Угол, опирающийся на диаметр
Задача. \(AC\) — диаметр окружности, точка \(B\) лежит на окружности, \(\angle BAC = 35°\). Найдите \(\angle BCA\).
Шаг 1. Угол \(ABC\) опирается на диаметр \(AC\), значит \(\angle ABC = 90°\) — треугольник \(ABC\) прямоугольный.
Шаг 2. Сумма углов треугольника равна \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Ответ: \(55°\).
Пример 4. Вписанный четырёхугольник
Задача. Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Найдите углы \(C\) и \(D\).
Шаг 1. Суммы противоположных углов вписанного четырёхугольника равны \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Шаг 2. Аналогично \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Проверка. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — сумма углов четырёхугольника сходится.
Ответ: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Частые ошибки в задачах про углы в окружности
-
Путают вписанный угол с центральным: у угла с вершиной в центре берут половину дуги (или наоборот).
Сначала смотрите на вершину. Вершина в центре \(O\) — центральный угол, он равен дуге целиком. Вершина на окружности — вписанный, он равен половине дуги.
-
Берут не ту дугу: для вписанного угла считают дугу, на которой лежит его вершина.
Вписанный угол опирается на дугу, которая лежит «внутри» угла, — вершина всегда на другой дуге. В записи \(\angle ABC\) угол опирается на дугу \(AC\), не содержащую точку \(B\).
-
Умножают и делят на 2 «не в ту сторону»: от вписанного угла к центральному делят, а не умножают.
Запомните: вписанный — «маленький» (половина дуги), центральный — «большой» (целая дуга). От вписанного к центральному — умножить на 2, от центрального к вписанному — разделить.
-
Считают вписанным любой угол, чьи стороны пересекают окружность, — например, угол между хордами, пересекающимися внутри круга.
У вписанного угла вершина обязана лежать на самой окружности. Угол с вершиной внутри круга равен полусумме высекаемых дуг, с вершиной вне круга — полуразности: это другие формулы.
-
Во вписанном четырёхугольнике приравнивают к $180°$ сумму соседних углов вместо противоположных.
Свойство работает только для противоположных вершин: \(\angle A + \angle C = 180°\) и \(\angle B + \angle D = 180°\). Соседние углы вписанного четырёхугольника могут быть какими угодно.
Вопросы и ответы
Чему равен вписанный угол?
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Например, если дуга равна 120°, вписанный угол равен 60°. Это и есть теорема о вписанном угле — главная формула темы.
Как связаны вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну дугу?
Центральный угол вдвое больше вписанного: ∠AOC = 2·∠ABC. Центральный угол равен самой дуге, а вписанный — её половине.
Почему вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°?
Диаметр стягивает полуокружность — дугу в 180°. Вписанный угол равен половине дуги: 180° : 2 = 90°. Поэтому любой треугольник, у которого одна сторона — диаметр описанной окружности, прямоугольный.
Может ли вписанный угол быть тупым?
Да. Если дуга, на которую опирается угол, больше 180°, угол тупой: например, дуге 210° соответствует вписанный угол 105°. При этом вписанный угол всегда меньше 180°.
Что такое описанный угол и чем он отличается от вписанного?
Описанный угол образуют две касательные, проведённые к окружности из одной внешней точки. Его вершина лежит вне окружности, и равен он полуразности высекаемых дуг. У вписанного угла вершина лежит на окружности, и равен он половине одной дуги.
Какие виды углов в окружности бывают ещё?
Кроме центрального и вписанного рассматривают угол между хордами (вершина внутри круга — полусумма дуг), угол между секущими из внешней точки (полуразность дуг) и угол между касательной и хордой (половина заключённой внутри дуги). Все они выражаются через дуги окружности.
