Теорема косинусов связывает три стороны треугольника и один его угол: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Она работает в любом треугольнике, поэтому в 9 классе именно она заменяет теорему Пифагора там, где прямого угла нет. По ней находят третью сторону, если известны две другие и угол между ними, а по следствию \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) — любой угол по трём сторонам и вид треугольника. На странице — формулировка и все три записи формулы, доказательство, таблица косинусов, памятка «синусов или косинусов», разборы задач ОГЭ и тренажёр для самопроверки.
Теорема косинусов: формулировка и формула
Теорема косинусов работает в любом треугольнике — прямой угол ей не нужен. Она связывает три стороны и один угол, поэтому по ней находят сторону, если известны две другие стороны и угол между ними.
Формулировка. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Здесь \(a\), \(b\), \(c\) — стороны треугольника, а \(C\) — угол между сторонами \(a\) и \(b\); сторона \(c\) лежит против этого угла. Буквы можно взять любые — формула симметрична, поэтому у неё три равноправные записи:
Главное правило подстановки: угол берём тот, который заключён между двумя сторонами из произведения, а находим сторону, лежащую против него. Если взять «соседний» угол, все числа будут из условия, а ответ — неверным.
Почему теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов
Подставим в формулу прямой угол, то есть \(C = 90°\). Косинус прямого угла равен нулю, поэтому третье слагаемое обнуляется целиком:
Получилась ровно теорема Пифагора, знакомая по 8 классу. Поэтому теорему косинусов называют её обобщением: Пифагор — это «частный случай при 90°», а теорема косинусов работает для всех углов сразу.
Слагаемое \(-2ab\cos C\) удобно понимать как поправку на непрямоту угла:
- угол острый, \(\cos C > 0\) — поправка вычитается, сторона \(c\) получается короче, чем дал бы Пифагор;
- угол прямой, \(\cos C = 0\) — поправки нет, остаётся \(c^2 = a^2 + b^2\);
- угол тупой, \(\cos C < 0\) — поправка прибавляется, сторона \(c\) получается длиннее.
Доказательство теоремы косинусов
Самое короткое школьное доказательство — координатное. Поместим вершину \(C\) в начало координат, а сторону \(b = CA\) направим по оси \(x\). Тогда координаты вершин такие:
- \(C(0;\ 0)\) — начало координат;
- \(A(b;\ 0)\) — точка на оси \(x\) на расстоянии \(b\) от начала;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — вершина на расстоянии \(a\) от начала под углом \(C\) к оси \(x\).
Сторона \(c\) — это длина отрезка \(AB\). Считаем её по формуле расстояния между двумя точками:
Раскрываем скобки:
Группируем слагаемые с \(a^2\) и применяем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Что и требовалось доказать. Обрати внимание: нигде не потребовалось, чтобы угол \(C\) был острым. Если он тупой, косинус отрицателен, координата \(a\cos C\) уходит влево от оси \(y\), но все выкладки остаются теми же — поэтому теорема верна для любого треугольника.
Следствие: как найти угол по трём сторонам
Из теоремы косинусов выражают сам косинус — это её главное следствие. По нему находят угол, когда известны все три стороны:
В числителе — сумма квадратов двух сторон, прилежащих к углу, минус квадрат стороны, лежащей против него. В знаменателе — удвоенное произведение прилежащих сторон. Для других углов формулы такие же:
Порядок решения:
- выбрать искомый угол и определить, какая сторона лежит против него — её квадрат идёт в числитель со знаком минус;
- посчитать дробь (знаменатель всегда положительный, знак задаёт только числитель);
- по таблице значений или через арккосинус найти сам угол.
Полезный приём: начинать с наибольшей стороны. Против неё лежит наибольший угол, и только он может оказаться прямым или тупым — остальные два угла в треугольнике всегда острые.
Косинусы тупых углов отрицательны: таблица значений
В школьных задачах углы почти всегда «табличные»: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. У острых углов косинус положительный, у прямого равен нулю, а у тупых — отрицательный. Значения для тупых углов получают из значений для острых по правилу приведения \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): например, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Что это значит на практике: при тупом угле выражение \(-2ab\cos C\) превращается в плюс — минус на минус. Для угла \(120°\) формула выглядит так:
Именно здесь теряют баллы чаще всего: подставляют \(0{,}5\) вместо \(-0{,}5\) и получают сторону короче обеих данных. Это заведомо невозможно — против тупого угла лежит самая длинная сторона треугольника.
| Угол | Косинус |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Как определить вид треугольника по трём сторонам
Теорема косинусов позволяет узнать вид треугольника, не измеряя углов транспортиром. Знак дроби \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) зависит только от числителя: знаменатель \(2ab\) всегда положителен. Значит, достаточно сравнить квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других.
Пусть \(c\) — наибольшая сторона, тогда против неё лежит наибольший угол \(C\):
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → угол \(C\) острый. Остальные углы меньше него, значит все три угла острые — треугольник остроугольный;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — треугольник прямоугольный (это и есть обратная теорема Пифагора);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → угол \(C\) тупой — треугольник тупоугольный.
Проверять остальные углы не нужно: прямой или тупой угол в треугольнике бывает только один. И не забудь про неравенство треугольника — если наибольшая сторона не меньше суммы двух других, треугольника с такими сторонами вообще не существует.
Теорема синусов или косинусов: как выбрать
Обе теоремы решают одну задачу — находят неизвестные стороны и углы треугольника, — но включаются от разных наборов данных. Теорема синусов связывает сторону и противолежащий ей угол:
Отсюда и правило выбора: если в условии уже есть пара «сторона и угол напротив неё» — работает теорема синусов; если такой пары нет — начинаем с теоремы косинусов. Памятка по четырём школьным наборам данных — в таблице.
Часто задача решается в два шага: сначала теорема косинусов даёт третью сторону, а потом теорема синусов быстро находит оставшиеся углы.
| Что известно | Что применяем |
|---|---|
| СУСДве стороны и угол между ними | Теорема косинусовнаходим третью сторону |
| СССВсе три стороны | Теорема косинусовнаходим любой угол и вид треугольника |
| УСУСторона и два угла | Теорема синусовнаходим две другие стороны |
| ССУДве стороны и угол против одной из них | Теорема синусовнаходим противолежащий угол |
Теорема косинусов в задачах ОГЭ
На ОГЭ по математике теорема косинусов встречается в планиметрических заданиях — и в первой части, и в задачах с развёрнутым ответом. Типовые сюжеты такие:
- Найти сторону по двум сторонам и углу между ними — прямое применение формулы, чаще всего с углами 60° или 120°.
- Найти угол или его косинус по трём сторонам — следствие \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Если в задании написано «найдите \(\cos\angle A\)», арккосинус брать не нужно: ответ — та самая дробь, её и записывают.
- Диагонали параллелограмма. Диагональ отсекает треугольник из двух сторон и угла между ними. Соседние углы параллелограмма дают в сумме 180°, поэтому их косинусы противоположны: против острого угла лежит меньшая диагональ, против тупого — большая.
- Вид треугольника по трём числам — сравнение \(a^2 + b^2\) с \(c^2\).
- Медиана треугольника. Формула \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) выводится двойным применением теоремы косинусов к двум смежным углам при основании.
Совет на экзамене: прежде чем считать, отметь на чертеже угол, который «зажат» между известными сторонами. Если такого угла нет — теорема косинусов пока не применима, нужно искать другой путь.
Примеры решения задач на теорему косинусов
Пример 1. Найти сторону по двум сторонам и углу 60°
Задача. В треугольнике \(ABC\) стороны \(a = 7\) и \(b = 15\), угол между ними \(C = 60°\). Найдите сторону \(c\).
Шаг 1. Угол \(C\) заключён между сторонами \(a\) и \(b\) — это как раз тот случай, для которого теорема и придумана:
Шаг 2. Подставляем числа, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Шаг 3. Извлекаем корень: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Ответ: \(13\). Проверка по смыслу: угол \(60°\) острый, поэтому сторона против него не самая длинная — и правда, \(13 < 15\).
Пример 2. Тупой угол: минус на минус
Задача. В треугольнике \(ABC\) известно: \(AB = 6\), \(BC = 10\), угол \(B = 120°\). Найдите сторону \(AC\).
Шаг 1. Угол \(B\) заключён между сторонами \(AB\) и \(BC\), а сторона \(AC\) лежит против него:
Шаг 2. Угол тупой, поэтому \(\cos 120° = -0{,}5\). Минус перед произведением и минус у косинуса дают плюс:
Шаг 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Ответ: \(14\). Проверка: против тупого угла лежит самая длинная сторона — \(14\) больше и \(6\), и \(10\).
Пример 3. Найти угол по трём сторонам
Задача. Стороны треугольника равны \(3\), \(5\) и \(7\). Найдите его наибольший угол.
Шаг 1. Наибольший угол лежит против наибольшей стороны, то есть против стороны \(7\). Обозначим его \(C\), тогда \(c = 7\), а прилежащие стороны \(a = 3\) и \(b = 5\).
Шаг 2. Применяем следствие:
Шаг 3. Косинус отрицательный — угол тупой. По таблице значений \(\cos 120° = -0{,}5\), значит \(C = 120°\).
Ответ: \(120°\). Попутно выяснилось, что треугольник тупоугольный.
Пример 4. Определить вид треугольника
Задача. Определите вид треугольника со сторонами \(6\), \(7\) и \(10\).
Шаг 1. Проверяем неравенство треугольника: \(6 + 7 = 13 > 10\) — треугольник существует. Наибольшая сторона — \(10\).
Шаг 2. Сравниваем сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом наибольшей:
Шаг 3. \(85 < 100\), значит числитель дроби отрицателен и \(\cos C < 0\) — угол против стороны \(10\) тупой. При желании можно найти и сам угол:
Ответ: треугольник тупоугольный. Обрати внимание: «на глаз» это не видно — стороны почти равны, а угол уже перевалил за \(90°\).
Пример 5. Задача уровня ОГЭ: диагональ параллелограмма
Задача. Стороны параллелограмма равны \(5\) и \(8\), острый угол равен \(60°\). Найдите меньшую диагональ.
Шаг 1. Диагональ отсекает треугольник, у которого известны две стороны (\(5\) и \(8\)) и угол между ними. Меньшая диагональ лежит против острого угла \(60°\).
Шаг 2. Считаем:
Шаг 3. Проверка. Вторая диагональ лежит против угла \(120°\) (соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), то есть \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Сумма квадратов диагоналей равна \(49 + 129 = 178\), а удвоенная сумма квадратов сторон — \(2(25 + 64) = 178\). Совпало, значит счёт верный.
Ответ: \(7\).
Частые ошибки в задачах на теорему косинусов
-
Берут косинус тупого угла со знаком плюс. Для сторон $4$ и $9$ с углом $120°$ между ними пишут $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ и получают $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), а минус на минус даёт плюс: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), то есть \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Быстрая проверка: против тупого угла лежит самая длинная сторона, поэтому ответ обязан быть больше \(9\).
-
Подставляют угол, который не заключён между данными сторонами: в условии дан один угол, и его берут «как есть», не глядя на чертёж.
В записи \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) стороны \(a\) и \(b\) образуют угол \(C\), а сторона \(c\) лежит против него. Если известный угол прилегает к искомой стороне, эта запись не подходит — нужна другая из трёх или теорема синусов.
-
Забывают извлечь корень и записывают в ответ квадрат стороны: получили $c^2 = 225$ и пишут «сторона равна 225».
Формула всегда даёт именно квадрат стороны. Последний шаг обязателен: \(c = \sqrt{225} = 15\). Перечитывай вопрос задачи перед тем, как записать ответ.
-
Путают порядок слагаемых в следствии и пишут $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Правильный числитель — \(a^2 + b^2 - c^2\): сумма квадратов прилежащих сторон минус квадрат противолежащей. При перестановке знак дроби меняется на противоположный, и вместо тупого угла \(120°\) получается острый \(60°\).
-
Находят угол по модулю косинуса: получили −0,25, а в ответ пишут острый угол, будто косинус был +0,25.
Отрицательный косинус — это всегда тупой угол. Знак терять нельзя: cos 60° = 0,5, а cos 120° = −0,5; арккосинус отрицательного числа больше 90°.
-
Пытаются решить задачу «две стороны и угол между ними» теоремой синусов и застревают на первой строке.
Теореме синусов нужна готовая пара «сторона и противолежащий угол». При двух сторонах и угле между ними такой пары нет — сначала теорема косинусов даёт третью сторону, и только потом подключается теорема синусов.
Вопросы и ответы
Как звучит теорема косинусов?
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Теорема верна для любого треугольника, а не только для прямоугольного.
Как найти сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними?
Подставить данные в формулу c² = a² + b² − 2ab·cos C и извлечь корень. Например, при сторонах 4 и 6 и угле 60° между ними: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, значит c = √28 ≈ 5,3.
Как найти угол треугольника, если известны три стороны?
По следствию из теоремы косинусов: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), где c — сторона напротив искомого угла. Например, для сторон 2, 3 и 4 косинус наибольшего угла равен (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, то есть угол тупой, примерно 104°.
Почему теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов?
Потому что при прямом угле cos 90° = 0, и слагаемое −2ab·cos C обнуляется. От формулы остаётся c² = a² + b² — это и есть теорема Пифагора для прямоугольного треугольника.
Работает ли теорема косинусов в тупоугольном треугольнике?
Да, и работает без изменений. У тупого угла косинус отрицательный, поэтому слагаемое −2ab·cos C становится положительным и прибавляется к сумме квадратов. Именно из-за этого сторона против тупого угла оказывается самой длинной.
Когда применять теорему синусов, а когда теорему косинусов?
Теорема синусов нужна, когда в условии уже есть пара «сторона и противолежащий ей угол» — например, дана сторона и два угла. Теорема косинусов — когда такой пары нет: даны две стороны и угол между ними или все три стороны. Часто задачу решают в два шага: сначала косинусы, потом синусы.
Как определить вид треугольника по трём сторонам?
Сравнить квадрат наибольшей стороны c² с суммой квадратов двух других. Если a² + b² > c² — треугольник остроугольный, если a² + b² = c² — прямоугольный, если a² + b² < c² — тупоугольный. Знак этой разности совпадает со знаком косинуса наибольшего угла.
В каком классе проходят теорему косинусов?
В 9 классе на уроках геометрии, в теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника» — вместе с теоремой синусов. Дальше она постоянно используется в задачах ОГЭ и ЕГЭ по планиметрии и в стереометрии.
