Подобные треугольники — это треугольники одинаковой формы, но разного размера: их углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны. Число, показывающее, во сколько раз один треугольник крупнее другого, называют коэффициентом подобия \(k\). Доказать подобие помогают три признака, а отношения периметров и площадей подчиняются простому правилу: периметры относятся как \(k\), а площади — как \(k^2\). На этой странице — определение и запись подобия с правильным порядком вершин, все три признака, подобие прямоугольных треугольников и высота из прямого угла, разборы задач ОГЭ «найдите сторону» и интерактивный тренажёр.
Что такое подобные треугольники и коэффициент подобия
Два треугольника называют подобными, если выполняются сразу два условия:
- их углы соответственно равны — каждому углу первого треугольника отвечает равный ему угол второго;
- их сходственные стороны пропорциональны — все три отношения дают одно и то же число.
Сходственные (соответственные) стороны — это стороны, которые лежат против равных углов. Именно они образуют пары, между которыми и считают отношение.
Подобие записывают знаком \(\sim\):
Коэффициент подобия \(k\) — то самое одинаковое отношение сходственных сторон:
Если \(k > 1\), второй треугольник крупнее первого; если \(k < 1\) — мельче; при \(k = 1\) треугольники просто равны, ведь равенство — это частный случай подобия.
Порядок вершин в записи — не формальность
Запись \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) читается строго по позициям: \(A\) соответствует \(A_1\), \(B\) — \(B_1\), \(C\) — \(C_1\). Отсюда сразу следует, какие углы равны (\(\angle A = \angle A_1\)) и какие стороны сходственные (\(AB\) и \(A_1B_1\), \(BC\) и \(B_1C_1\), \(AC\) и \(A_1C_1\)).
Если переставить буквы и написать \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), получится другое утверждение: теперь \(\angle A = \angle B_1\), а сходственной к \(AB\) станет сторона \(B_1A_1\). Составлять пропорцию по «похоже расположенным» сторонам нельзя — только по позициям в записи. Поэтому первым делом выписывают пары равных углов и уже под них подстраивают порядок букв.
Три признака подобия треугольников
Проверять все шесть условий из определения не нужно: подобие доказывают по одному из трёх признаков. Каждый — это минимальный набор данных, из которого автоматически следует и равенство всех углов, и пропорциональность всех сторон.
Как выбирать признак. Посмотри, что дано в задаче: если про углы — первый, если про две стороны и угол — второй, если про все три стороны — третий.
- Первый признак (по двум углам) — рабочая лошадка школьного курса: почти все задачи ОГЭ решаются именно им. Третий угол проверять не нужно, он равен автоматически: сумма углов треугольника всегда \(180°\). Ищи готовые пары равных углов — общий угол двух треугольников, вертикальные углы, накрест лежащие и соответственные при параллельных прямых, два прямых угла.
- Второй признак (по двум сторонам и углу между ними) требует, чтобы угол был именно между этими двумя сторонами. Если равный угол лежит напротив одной из них, признак не работает и подобие не доказано.
- Третий признак (по трём сторонам) — когда углов в условии нет вовсе, а есть только длины. Выпиши стороны каждого треугольника по возрастанию и подели наименьшую на наименьшую, среднюю на среднюю, большую на большую: так пары точно не перепутаются. Подобие есть, только если все три отношения совпали.
Чтобы не путать признаки подобия с признаками равенства, держи в голове разницу: в равенстве стороны должны совпадать, в подобии — быть пропорциональными.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Отношение периметров и площадей подобных треугольников
У подобия есть два следствия, которые спрашивают чаще всего, и одно из них — главная ловушка темы.
Периметры относятся как \(k\). Каждая сторона второго треугольника в \(k\) раз больше сходственной стороны первого, поэтому и сумма сторон вырастает ровно в \(k\) раз:
Так же — «в \(k\) раз» — ведут себя все линейные величины: высоты, медианы, биссектрисы, радиусы вписанной и описанной окружностей, средние линии.
Площади относятся как \(k^2\). Площадь зависит от двух измерений сразу: и основание, и высота увеличиваются в \(k\) раз, а произведение — в \(k \cdot k\) раз:
Пусть \(k = 5\). Тогда периметр больше в 5 раз (например, было 14 см — стало 70 см), а площадь — уже в 25 раз (было 6 см² — стало 150 см²). Разница огромная, и подставить сюда \(k\) вместо \(k^2\) — самая частая ошибка на экзамене.
Обратный ход. Если в условии дано отношение площадей, коэффициент подобия достают корнем: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Например, площади относятся как \(16 : 1\), значит стороны — как \(4 : 1\).
| k | Периметры P₂ : P₁ | Площади S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| любое | k : 1 | k² : 1 |
Подобие прямоугольных треугольников и высота из прямого угла
Для прямоугольных треугольников первый признак упрощается: прямые углы у них равны заранее, поэтому достаточно равенства одного острого угла, чтобы треугольники были подобны. Из этого же следует признак по двум катетам: если катеты одного пропорциональны катетам другого, треугольники подобны (это второй признак, ведь угол между катетами — прямой).
Самая полезная конфигурация всей темы — высота, проведённая из вершины прямого угла. Она разбивает треугольник на два, и все три получившихся треугольника подобны друг другу.
Почему так: у треугольника \(AHC\) прямой угол при \(H\) и общий с большим треугольником угол \(A\), значит \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). У треугольника \(CHB\) прямой угол при \(H\) и общий угол \(B\), значит \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Отсюда подобны и два маленьких треугольника между собой.
Из этих подобий получаются формулы среднего геометрического (их называют пропорциональными отрезками в прямоугольном треугольнике):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — высота есть среднее геометрическое отрезков, на которые она делит гипотенузу;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) и \(BC^2 = HB \cdot AB\) — катет есть среднее геометрическое всей гипотенузы и своей проекции на неё.
Главное — не перепутать, какой отрезок «свой»: у катета \(AC\) проекция \(AH\), у катета \(BC\) проекция \(HB\). Проекция всегда примыкает к тому же концу гипотенузы, что и катет.
Задачи ОГЭ на подобие: как найти сторону
Почти все задачи на подобие решаются по одному алгоритму:
- Найти пару равных углов — общий угол, вертикальные, накрест лежащие при параллельных прямых или два прямых.
- Записать подобие в правильном порядке вершин — так, чтобы равные углы стояли на одинаковых позициях.
- Составить пропорцию из сходственных сторон (берём стороны, стоящие на одинаковых местах в записи).
- Выразить неизвестную и посчитать; в конце проверить ответ по смыслу — сторона меньшего треугольника обязана получиться меньше.
Типичных конфигураций в ОГЭ немного, и их стоит узнавать с первого взгляда:
- Прямая, параллельная стороне. Прямая отсекает от треугольника маленький треугольник, подобный исходному. Ключевая тонкость: в пропорцию идёт отношение целых сторон от общей вершины (\(BM : BA\)), а не отрезков (\(BM : MA\)).
- «Бабочка». Два отрезка пересекаются, а их концы соединены параллельными прямыми — получаются два подобных треугольника, развёрнутых друг относительно друга.
- Высота из прямого угла — конфигурация из предыдущего раздела; в ОГЭ по ней ищут высоту, катет или отрезок гипотенузы.
- Тень и высота предмета. Солнечные лучи параллельны, поэтому предмет со своей тенью и дерево со своей тенью дают подобные прямоугольные треугольники.
- Средняя линия — частный случай с \(k = 2\): она параллельна стороне и вдвое короче её.
угол B общий, углы при M и A соответственные
углы при O вертикальные, углы A и C накрест лежащие
Примеры решения задач на подобие треугольников
Пример 1. Найти стороны по коэффициенту подобия
Задача. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Известно, что \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) и \(PQ = 21\). Найдите \(QR\) и \(PR\).
Шаг 1. Разбираем запись по позициям: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Значит сходственные пары такие: \(MN\) и \(PQ\), \(NK\) и \(QR\), \(MK\) и \(PR\).
Шаг 2. Считаем коэффициент по единственной паре, где известны обе стороны:
Шаг 3. Остальные стороны второго треугольника в 3 раза больше сходственных:
Ответ: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Проверка: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — все отношения совпали.
Пример 2. Доказать подобие по второму признаку
Задача. В треугольниках \(ABC\) и \(DEF\) известно: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), а углы \(A\) и \(D\) равны. Докажите, что треугольники подобны.
Шаг 1. Проверяем главное условие второго признака: угол \(A\) заключён между сторонами \(AB\) и \(AC\), угол \(D\) — между \(DE\) и \(DF\). Углы между данными сторонами — признак применим.
Шаг 2. Считаем отношения сходственных сторон:
Шаг 3. Две пары сторон пропорциональны с одним коэффициентом \(k = 3\), углы между ними равны — по второму признаку \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Ответ: треугольники подобны, \(k = 3\). Заметь: если бы равными были углы \(B\) и \(D\), признак не сработал бы — угол \(B\) не лежит между \(AB\) и \(AC\).
Пример 3. Прямая, параллельная стороне (задача ОГЭ)
Задача. В треугольнике \(ABC\) точка \(M\) лежит на стороне \(AB\), точка \(N\) — на стороне \(BC\), причём \(MN \parallel AC\). Известно, что \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Найдите \(AC\).
Шаг 1. Так как \(MN \parallel AC\), углы \(BMN\) и \(BAC\) равны как соответственные, а угол \(B\) — общий. По первому признаку \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (порядок вершин: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Шаг 2. Находим полную сторону от общей вершины: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Это и есть главная тонкость — в пропорцию идёт \(BA\), а не \(MA\).
Шаг 3. Составляем пропорцию по сходственным сторонам:
Шаг 4. Отсюда \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Ответ: \(AC = 20\). Коэффициент подобия здесь равен 4: большой треугольник вчетверо крупнее отсечённого.
Пример 4. Периметры и площади
Задача. Периметры подобных треугольников равны 18 см и 45 см. Площадь меньшего треугольника равна 16 см². Найдите площадь большего.
Шаг 1. Периметры относятся как коэффициент подобия:
Шаг 2. Площади относятся как квадрат коэффициента: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Шаг 3. Умножаем площадь меньшего треугольника на \(k^2\):
Ответ: 100 см². Если бы мы умножили на \(k = 2{,}5\), получили бы 40 см² — типичная ошибка, из-за которой теряют весь балл.
Пример 5. Высота из вершины прямого угла
Задача. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\) проведена высота \(CH\) к гипотенузе. Известно, что \(AH = 4\) см, \(HB = 9\) см. Найдите высоту \(CH\) и площадь треугольника.
Шаг 1. Высота из прямого угла — среднее геометрическое отрезков гипотенузы, потому что \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Шаг 2. Извлекаем корень: \(CH = 6\) см.
Шаг 3. Гипотенуза \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) см. Площадь считаем через гипотенузу и проведённую к ней высоту:
Ответ: \(CH = 6\) см, \(S = 39\) см².
Пример 6. Высота дерева по тени
Задача. Вертикальный шест высотой 2 м отбрасывает тень длиной 1,5 м. В тот же момент тень дерева равна 9 м. Какова высота дерева?
Шаг 1. Солнечные лучи параллельны, поэтому угол падения луча для шеста и для дерева одинаков. Шест с тенью и дерево с тенью образуют прямоугольные треугольники с равным острым углом — значит, они подобны.
Шаг 2. Составляем пропорцию «высота к своей тени»:
Шаг 3. Выражаем неизвестную высоту:
Ответ: 12 м. Проверка по смыслу: тень дерева в 6 раз длиннее тени шеста, значит и дерево в 6 раз выше: \(2 \cdot 6 = 12\) м.
Частые ошибки в задачах на подобие треугольников
-
Считают, что площади подобных треугольников относятся как $k$: при $k = 3$ увеличивают площадь втрое.
Площади относятся как квадрат коэффициента: при \(k = 3\) площадь больше в \(3^2 = 9\) раз. Как \(k\) относятся только линейные величины — стороны, периметр, высоты, медианы. Правило-подсказка: площадь измеряется в квадратных единицах, значит и коэффициент в неё входит в квадрате.
-
Игнорируют порядок вершин: из записи $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ составляют пропорцию $AB : LM$.
Соответствие вершин задаётся позициями в записи: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). Сходственной к \(AB\) будет \(KL\), а к \(BC\) — \(LM\). Прежде чем писать пропорцию, выпиши пары вершин столбиком — это занимает пять секунд и снимает большинство ошибок.
-
Доказывают подобие по одному равному углу или по двум пропорциональным сторонам без угла.
Одного равного угла мало: у двух треугольников может совпасть угол при совершенно разной форме. Нужен полный признак — два угла, либо две стороны и угол между ними, либо все три стороны.
-
Во втором признаке берут угол, который не лежит между данными сторонами.
Второй признак работает только с углом между двумя данными сторонами. Если известны \(AB\), \(AC\) и равен угол \(B\), признак неприменим — ищи другой путь: пару равных углов или третью сторону.
-
Переворачивают коэффициент: находят $k$ как «меньшая сторона к большей», а потом умножают на него, чтобы получить сторону большего треугольника.
Договорись сам с собой о направлении: если \(k\) — отношение сторон второго треугольника к первому, то стороны первого умножают на \(k\), а стороны второго на \(k\) делят. Финальная проверка по смыслу: сторона меньшего треугольника обязана получиться меньше.
-
В задаче с прямой, параллельной стороне, составляют пропорцию из отрезков: $BM : MA = MN : AC$.
Подобны треугольники \(BMN\) и \(BAC\), а их сходственные стороны — \(BM\) и \(BA\) (целая сторона от общей вершины), а не отрезок \(MA\). Сначала найди \(BA = BM + MA\), и только потом составляй пропорцию.
-
Путают подобие с равенством и в ответе пишут, что стороны просто равны.
Равенство — частный случай подобия при \(k = 1\). Если \(k \ne 1\), у треугольников совпадают только углы, а стороны отличаются в \(k\) раз. Признаки тоже разные: у равенства это СУС, УСУ, ССС с совпадающими сторонами, у подобия — пропорциональные стороны.
Вопросы и ответы
Какие треугольники называются подобными?
Подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны. Проще говоря, это треугольники одинаковой формы, но разного размера. Записывают подобие знаком ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Что такое коэффициент подобия треугольников?
Коэффициент подобия k — это число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Оно показывает, во сколько раз один треугольник крупнее другого. При k = 1 треугольники равны.
Сколько признаков подобия треугольников и какие они?
Признаков три. Первый — по двум углам: два угла одного треугольника равны двум углам другого. Второй — по двум сторонам и углу между ними: две стороны пропорциональны и углы между ними равны. Третий — по трём сторонам: все три пары сходственных сторон пропорциональны.
Как относятся площади подобных треугольников?
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: S₂ : S₁ = k². Например, при k = 4 площадь больше в 16 раз. Обратно: если площади относятся как 25 : 1, то стороны относятся как 5 : 1.
Как относятся периметры подобных треугольников?
Периметры относятся как коэффициент подобия: P₂ : P₁ = k. Так же ведут себя все линейные элементы — высоты, медианы, биссектрисы, средние линии, радиусы вписанной и описанной окружностей.
Чем подобие треугольников отличается от равенства?
У равных треугольников совпадают и углы, и стороны, поэтому фигуры можно наложить друг на друга. У подобных совпадают только углы, а стороны пропорциональны с коэффициентом k. Равенство — это частный случай подобия при k = 1.
Как доказать подобие прямоугольных треугольников?
Достаточно равенства одного острого угла: прямые углы у них уже равны, значит работает первый признак. Второй способ — пропорциональность катетов: угол между катетами прямой, поэтому применим второй признак подобия.
Почему высота из прямого угла даёт три подобных треугольника?
Высота CH из вершины прямого угла C делит треугольник ABC на треугольники AHC и CHB. У AHC прямой угол при H и общий с ABC угол A, у CHB — прямой угол при H и общий угол B, поэтому оба подобны исходному, а значит и друг другу. Отсюда получаются формулы CH² = AH · HB, AC² = AH · AB и BC² = HB · AB.
В каком классе проходят подобие треугольников?
В 8 классе на уроках геометрии — сразу после темы про пропорциональные отрезки. Там же изучают три признака подобия, отношение площадей и применение подобия к прямоугольному треугольнику. Дальше тема используется в 9 классе и в задачах ОГЭ.
